空间几何体中的最值、范围问题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

空间几何体的最值、范围问题 立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题. 常以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等, 同时往往也需要将问题进行等价转化.解决的思路有： 一是根据几何体的结构特征，化动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 二是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.； 三是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解.考点一 切接问题中的最值、范围问题 【方法储备】 求解与球有关的组合体问题：一种是内切,一种是外接. 分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. 【典例精讲】 例1.(2025·全国·真题)一底面半径为，高为的封闭圆柱形容器容器壁厚度忽略不计内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为          单位： 例2.如图，一张纸的长，宽，，分别是，的中点．现将沿折起，得到以，，，为顶点的三棱锥，则三棱锥的外接球的半径为          ；在翻折的过程中，直线被球截得的线段长的取值范围是          ． 【拓展提升】 练1-1已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 练1-2已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为    ． A. B. C. D. 考点二 距离有关的最值、范围问题 【方法储备】 1.求线段长度的最值 几何法：先用立体几何知识确定动点的轨迹,转化为平面几何问题求最值； 向量法：建立适当的坐标系,建立线段长度的表达式,转化为函数求最值. 2.求曲面上的两点间距离或多面体中的折线的最短长度 通过化曲为直转化为平面上两点间的最短距离问题,然后用解三角形的方法加以解决. 【典例精讲】 例3.如图，正三棱锥的顶点为圆柱的上底面的中心，底面为圆柱下底面的内接等边三角形，四边形为圆柱的轴截面，，，现有一机器人从点处开始沿圆柱的表面到达点，再到达点处，再从处沿正三棱锥的表面返回处，则其最短的路程约为          参考数据：，，，结果精确到 例4.在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练2-1如图，在三棱锥中，平面，，，为线段的中点，，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 练2-2如图，在直三棱柱中，，，，，点，分别是，上的动点，那么的长度最小值是          ，此时三棱锥外接球的表面积为          ． 考点三 与角度有关的最值、范围问题 【方法储备】 求空间角： 1.几何法: 根据空间角的定义找到空间角, 通过变量假设建立函数,求最值; 2. 坐标法: 建立坐标系, 设动点, 求解空间角, 根据函数特征求出最值. 【典例精讲】 例5.动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例6.如图，在长方体中，，，是与的交点，、分别为下底面、上底面上的点，且，则直线与底面所成的角为          ；异面直线与所成角的正弦的最小值为           【拓展提升】 练3-1如图，在正方体中，为线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则平面与底面所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练3-2在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为(    ) A. B. C. D. 考点四 与面积、体积有关的最值、范围问题 【方法储备】 1.面积最值问题 立体几何中的面积最值问题往往和截面有关,这类问题的求解思路为：将已知的线段、角及其关系转化到截面上；利用勾股定理、正余弦定理,求得在截面上的各条线段、角的大小；根据平面几何图形的面积公式求得几何图形面积的表达式；利用函数的性质、基本不等式等求得最值. 2.体积问题 根据图形特点及求积需要,合理选取未知量,建立目标函数,把比较复杂的动态立体几何求积问题,转化为积关于未知量的函数问题,从而借助求函数最值的方法来解决. 【典例精讲】 例7.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为的球，则该四棱锥的表面积最小值是(    ) A. B. C. D. 例8.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足，面，，若，则该“鞠”的体积的最小值为(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练4-1已知矩形，，，将沿折起到若点在平面上的射影落在的内部不包括边界，则四面体的体积的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练4-2如图，在四棱锥中，，底面是边长为的正方形．是的中点，过点，作棱锥的截面，分别与侧棱，交于，两点，则四棱锥体积的最小值为          ． 练4-3在三棱锥中，，且，平面，过点作截面分别交，于点，，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为(    ) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间几何体的最值、范围问题 立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题. 常以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等, 同时往往也需要将问题进行等价转化.解决的思路有： 一是根据几何体的结构特征，化动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 二是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.； 三是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解.考点一 切接问题中的最值、范围问题 【方法储备】 求解与球有关的组合体问题：一种是内切,一种是外接. 分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. 【典例精讲】 例1.(2025·全国·真题)一底面半径为，高为的封闭圆柱形容器容器壁厚度忽略不计内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为          单位： 【解析】轴截面如图所示，设铁球半径为， 则有， 即， 即， 解得或舍， 故答案为：． 例2.如图，一张纸的长，宽，，分别是，的中点．现将沿折起，得到以，，，为顶点的三棱锥，则三棱锥的外接球的半径为          ；在翻折的过程中，直线被球截得的线段长的取值范围是          ． 【解析】如图： 因为四边形是矩形，，， 所以连接交于，则， 因此将沿折起，得到以，，，为顶点的三棱锥， 则三棱锥的外接球球心为，半径为． 因为，分别是，的中点，所以连接，则在上． 分别过，作的垂线，交于，， 由得，， 因此，， 所以． 设将沿折起，得二面角大小为，如下图： 在平面内，过作直线与平行，过作直线与平行，， 连接，，因此， 所以为二面角的平面角，即， 且，． 因为，，，，平面， 所以平面，而与平行，因此平面， 而平面，所以． 因为在中，，而， 所以． 在中，因为， 所以在平面内，到直线的距离为． 又因为球的半径为， 所以直线被球截得的线段长为． 因为，所以， 即直线被球截得的线段长的取值范围是． 【拓展提升】 练1-1已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【解析】因为球是正方体的内切球，是球的直径， 所以， 因为， 又点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点图中点时，有最大值为， 当为内切球与正方体的切点图中点时，有最小值为， 所以． 练1-2已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为    ． A. B. C. D. 【解析】连接，，由，可知：和是等边三角形， 设三棱锥外接球的球心为， 所以球心到平面和平面的射影是和的中心，， 是等边三角形，为中点， 所以，又因为侧面底面，侧面底面， 所以底面，而底面，因此，所以是矩形． 和是边长为的等边三角形，所以两个三角形的高， 在矩形中，，连接， 所以， 设过点的平面为，当时， 此时所得截面的面积最小，该截面为圆形， ， 因此圆的半径为：，所以此时面积为 当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为： 所以截面的面积范围为：，故选A． 考点二 距离有关的最值、范围问题 【方法储备】 1.求线段长度的最值 几何法：先用立体几何知识确定动点的轨迹,转化为平面几何问题求最值； 向量法：建立适当的坐标系,建立线段长度的表达式,转化为函数求最值. 2.求曲面上的两点间距离或多面体中的折线的最短长度 通过化曲为直转化为平面上两点间的最短距离问题,然后用解三角形的方法加以解决. 【典例精讲】 例3.如图，正三棱锥的顶点为圆柱的上底面的中心，底面为圆柱下底面的内接等边三角形，四边形为圆柱的轴截面，，，现有一机器人从点处开始沿圆柱的表面到达点，再到达点处，再从处沿正三棱锥的表面返回处，则其最短的路程约为          参考数据：，，，结果精确到 【解析】因为，所以， 所以， 又因为，，所以， 所以， 所以劣弧的长为， 由图可知，当从到经过的路程最短时，总路程最短， 将圆柱侧面展开，从到的最短距离为线段的长度， 此时， 所以最短距离为， 故答案为：． 例4.在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【解析】如图所示，分别取棱、的中点、，连接，连接， 、、、为所在棱的中点，，，， 又平面，平面， 平面， 连接，由，，，， 可得，，则四边形为平行四边形， 则，而平面，平面，则平面， 又，平面平面， 又是上底面内一点，且平面， 点在线段上， 在中，， 同理，在中，求得，则为等腰三角形． 当为的中点时，最小，为， 当与或重合时，最大，为． 线段长度的取值范围是 故选：． 【拓展提升】 练2-1如图，在三棱锥中，平面，，，为线段的中点，，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【解析】依题意得，， 易得平面，又平面， 则， 在中，， 故， ， 又，， 所以， 即，当，时取等号， 当时，为的中点， 此时当时，为的中点， 综上所述的最小值是． 故选C． 练2-2如图，在直三棱柱中，，，，，点，分别是，上的动点，那么的长度最小值是          ，此时三棱锥外接球的表面积为          ． 【解析】把平面沿展开到与平面共面的的位置， 延长到，使得，连接， 如图所示，则， 要使的长度最小，则需，，，四点共线， 此时， 所以的长度最小值是 因为，，， 所以， 所以，， 故，， 所以，，，， 所以的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆， 故三棱锥外接球的球心一定在过点且与平面垂直的直线上， 如图所示，点到点，的距离相等，则， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故答案为：；． 考点三 与角度有关的最值、范围问题 【方法储备】 求空间角： 1.几何法: 根据空间角的定义找到空间角, 通过变量假设建立函数,求最值; 2. 坐标法: 建立坐标系, 设动点, 求解空间角, 根据函数特征求出最值. 【典例精讲】 例5.动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【解析】由动点从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则平面， 易得，点的轨迹为，则有平面平面， 所以动点是在三角形的边长线上运动， 设正方体的棱长为，直线与平面所成角为， 由正方体性质易知平面，平面，且点到平面的距离为定值， 所以， 由图形可知时，取得最小值为，点与点重合时，取得最大值为，即， 所以，即动直线与平面所成角的正弦值的取值范围是    故选C． 例6.如图，在长方体中，，，是与的交点，、分别为下底面、上底面上的点，且，则直线与底面所成的角为          ；异面直线与所成角的正弦的最小值为           【解析】设是与的交点，则，又， 则， 过作交下底面于点， 则就是直线与底面所成的角， 就是异面直线与所成的角， 由，， 则，则， 则，， 所以直线与底面所成的角为； 则点在以为圆心、为半径的圆上运动， 当在上且位于和之间时，最小，且为， 所以， 故答案为；． 【拓展提升】 练3-1如图，在正方体中，为线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则平面与底面所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【解析】在正方体中，为线段上的一个动点， 为线段上的一个动点， 当与重合时，平面即为平面， 此时平面与底面所成的二面角的平面角为，余弦值为， 当与重合，与重合时，平面是平面， 此时平面与底面所成的锐二面角的平面角为，余弦值为． 平面与底面所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是 故选：． 练3-2在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为(    ) A. B. C. D. 【解析】设为中点， 在平面中，， 所以点在以，为焦点的椭圆上， 如上图，点的轨迹方程为． 在平面内，， 所以点在以、为焦点的双曲线的一支上， 如上图，点的轨迹方程为． 过作， 因为， 又，、平面， 则平面， 因为平面，所以， 则二面角的平面角即为， 设，可取， 则，， ， 所以， 令，， ． ， 其中， 在时取最大值， 即， 则． 故选：． 考点四 与面积、体积有关的最值、范围问题 【方法储备】 1.面积最值问题 立体几何中的面积最值问题往往和截面有关,这类问题的求解思路为：将已知的线段、角及其关系转化到截面上；利用勾股定理、正余弦定理,求得在截面上的各条线段、角的大小；根据平面几何图形的面积公式求得几何图形面积的表达式；利用函数的性质、基本不等式等求得最值. 2.体积问题 根据图形特点及求积需要,合理选取未知量,建立目标函数,把比较复杂的动态立体几何求积问题,转化为积关于未知量的函数问题,从而借助求函数最值的方法来解决. 【典例精讲】 例7.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为的球，则该四棱锥的表面积最小值是(    ) A. B. C. D. 【解析】某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，故该四棱锥为正四棱锥体； 当半径为的球与四棱锥体相内切时，四棱锥的表面积最小； 设正方形的边长为，四棱锥体的高为，四棱锥体的表面积为， 所以利用等体积转换法， ， 整理得，；故， 所以四棱锥的体积， 则， 设，可得， 所以． 当且仅当，即时，四棱锥的表面积的最小值为． 故选C． 例8.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足，面，，若，则该“鞠”的体积的最小值为(    ) A. B. C. D. 【解析】因为，面，， 故为三角形所在小圆的直径，取中点，过作，交于点，则， 因为面，面，所以面，， 因为，所以，所以， 则即为球心，为球的直径， 要想该“鞠”的体积最小，只需最小，由于， 故只需最小，其中， 故， 解得：， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 故最小值为，此时直径最小值为， 所以该“鞠”的体积最小值为． 故选B． 【拓展提升】 练4-1已知矩形，，，将沿折起到若点在平面上的射影落在的内部不包括边界，则四面体的体积的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【解析】当在平面上的投影在上时， 点到平面的距离， 此时三棱锥的体积最大， ， 如图，当在平面上的投影在上时，体积最小， 则点到平面的距离为，作于，连接， 因为，，所以， 因为，，且，平面，， 所以平面，而平面，所以， ，， ， 所以四面体的体积的取值范围是． 故选：． 练4-2如图，在四棱锥中，，底面是边长为的正方形．是的中点，过点，作棱锥的截面，分别与侧棱，交于，两点，则四棱锥体积的最小值为          ． 【解析】连接，交于点，连接、，交于点，则为的重心，， 如图所示： 所以，所以在底面的投影为， 所以； 当最小时，四棱锥的体积取最小值； 设，， 则，，， 由、、三点共线知，， 所以， 所以， 当且仅当时取“”， 所以． 即四棱锥体积的最小值为． 故答案为：． 练4-3在三棱锥中，，且，平面，过点作截面分别交，于点，，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为(    ) A. B. C. D. 【解析】过作，垂足为，连接， 平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，即为二面角的平面角， ，， 在三角形中斜边边上的高为，， 设，，则， 在三角形中，， 又， ，， 三角形的面积为， 故截面面积的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $