第四章 立体几何（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知直线l，m，平面，且，给出下列四个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中正确的命题是（    ） A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④ 2．已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知直线平面，直线，则a与b的关系为（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 4．如图，在长方体中，，为的中点，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 5．已知两条不同的直线和两个不同的平面，下列命题是真命题的为（    ） A．若，，则 B．若， ，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．正方体中，下底面对角线与棱所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为点，为的中点，下面结论中不正确的是（    ）    A． B．平面 C．平面 D．平面 8．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如图，在四棱锥中，M，N分别为上的点，且∥，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 10．在正方体中，异面直线与AC所成的角是（    ） A． B． C． D． 11．在空间，下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①平行于同一直线的两条直线平行      ②垂直于同一直线的两条直线平行 ③平行于同一平面的两条直线平行      ④垂直于同一平面的两条直线平行 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．如图，在直三棱柱中，，则直线与的夹角（    ） A． B． C． D． 13．如图所示，在正方体中，直线与平面所成角的大小是（    ）    A． B． C． D． 14．如图在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 15．“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图，在空间四边形中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则__________．    17．下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，a和c相交，则b和c一定相交；④和已知直线平行且距离等于定长的直线有无数条．其中正确命题的序号是__________． 18．在正方体中，平面与平面的交线为__________. 19．在正方体中，直线与所成角的大小为______． 20．在如图所示长方体中，直线与直线的位置关系为_____.（平行、相交、异面） 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在三棱锥中，平面，，，，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的正切值． 22．如图，在正方体中，点分别是上的中点，连接． (1)求异面直线和所成角的大小． (2)求与平面所成角的正弦值． 23．如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)证明：直线平面. 24．如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知直线l，m，平面，且，给出下列四个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中正确的命题是（    ） A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据直线与平面的垂直、平行的性质判断. 【详解】， ①若，则时，是的垂线，而，故，①正确； ②若，若不在内，则，是过的平面，则平行或相交，②错； ③当时，，令是的交线，，则l与m异面，③错误； ④当时，而，则，又，则，④正确． 故选：A. 2．已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的定义、判定、性质即可判断． 【详解】若，则或，故A错误； 若，则或，故B错误； ∵垂直于同一直线的两平面平行，∴若，则，故C正确； 若，则或相交，故D错误. 故选：C． 3．已知直线平面，直线，则a与b的关系为（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面的关系结合图形即可解答. 【详解】已知直线平面，直线，如图， 则a与b的关系为平行或异面， 故选：D. 4．如图，在长方体中，，为的中点，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出二面角的平面角，并求出其大小. 【详解】由长方体的性质可知平面，平面，平面， ∴，且， ∴为二面角的平面角． ∵，∴． 故选：B. 5．已知两条不同的直线和两个不同的平面，下列命题是真命题的为（    ） A．若，，则 B．若， ，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据直线与平面之间的关系判断即可. 【详解】若，，则或l与相交但不垂直，故A是假命题； 若，，则，又，∴，故B是真命题； 若，，则或或m与相交但不垂直，或者，故C是假命题； 若，，则m或，故D是假命题， 故选：B. 6．正方体中，下底面对角线与棱所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的几何特征结合线面垂直的定义即可解答. 【详解】因为为正方体， 所以平面， 因为平面, 所以，即对角线与棱所成的角为，    故选：D. 7．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为点，为的中点，下面结论中不正确的是（    ）    A． B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】通过线面平行的判定及中位线定理判断选项对错即可. 【详解】因为矩形的对角线与交于点，所以为的中点． 在中，为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面． 因为，所以与平面、平面都相交. 故选：D． 8．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定，可知C正确；根据线线、线面、面面的位置关系可判断A、B、D错误. 【详解】对A选项，与可能相交、异面，故错误； 对B选项，与可能相交，故错误； 对C选项，因为，所以.故正确； 对D选项，与可能平行，故错误； 故选：C 9．如图，在四棱锥中，M，N分别为上的点，且∥，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定及线线的位置关系即可得解. 【详解】因为∥，，所以与不平行， 又因为平面，平面，所以∥平面， 则与没有公共点，又不平行，所以位置关系为异面， 故选：. 10．在正方体中，异面直线与AC所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成的角，结合正方体的结构性质即可得解. 【详解】如图， 连接，在正方体中， （或其补角）为与AC所成角， 连接，则，. 故选：B. 11．在空间，下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①平行于同一直线的两条直线平行      ②垂直于同一直线的两条直线平行 ③平行于同一平面的两条直线平行      ④垂直于同一平面的两条直线平行 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可得出. 【详解】平行于同一直线的两直线平行，由平行公理得①正确； 垂直于同一条直线的两直线平行、相交或异面，②错； 平行于同一平面的两直线平行，相交或异面，③错； 垂直于同一个平面的两直线平行，由线面垂直的性质得④正确； 共2个命题正确. 故选：C. 12．如图，在直三棱柱中，，则直线与的夹角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用异面直线所成角的定义，结合直三棱柱的结构特征即可得解. 【详解】在直三棱柱中，， 所以为直线与的夹角， 因为在直三棱柱中，， 又，所以. 故选：B. 13．如图所示，在正方体中，直线与平面所成角的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面角的定义，结合正方体的结构特征即可得解. 【详解】由正方体的性质可知平面， 所以为直线与平面所成的角， 而，所以直线与平面所成角的大小为. 故选：B. 14．如图在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到与平行的直线，即可找到异面直线所成角，结合正方体性质即可求解. 【详解】如图所示，连接： 因为正方体中，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 所以异面直线与所成的角即角， 设正方体棱长为，则， 所以为等边三角形，角. 即异面直线与所成的角为. 故选：C. 15．“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用线面平行的定义，结合空间想象与充分必要条件的知识即可得解. 【详解】如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线平行于平面或直线在平面内. 则命题“如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线平行于平面”是假命题， 其逆命题“如果直线平行于平面，那么直线与平面内的无数条直线平行”是真命题， 所以“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的必要不充分条件. 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图，在空间四边形中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则__________．    【答案】5 【分析】根据异面直线垂直，找到异面直线所成的角，再根据勾股定理求边长. 【详解】取的中点，连接、， 如图所示．则，，且， ∴即为异面直线与所成的角或其补角，． 在中，，， ∴．      故答案为：5. 17．下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，a和c相交，则b和c一定相交；④和已知直线平行且距离等于定长的直线有无数条．其中正确命题的序号是__________． 【答案】①④ 【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可求解. 【详解】，则，由平行线的传递性，①正确； ，则b与c平行，相交或异面，②错误； ，a与c相交，则b与c相交或异面，③错误； 和已知直线平行且距离等于定长的直线有无数条，④正确． 故答案为：①④. 18．在正方体中，平面与平面的交线为__________. 【答案】/ 【分析】结合图形，分析两平面的交线即可得解. 【详解】如图，    因为平面，平面， 所以平面平面. 故答案为：. 19．在正方体中，直线与所成角的大小为______． 【答案】 【分析】构造两条异面直线所成的角，再求角的大小. 【详解】根据题意，连接，，如图所示：    由在正方体中，可得， 异面直线与所成角等于， 的三边分别是正方体三个面的对角线， 是等边三角形，， 直线与所成角的大小为. 故答案为：. 20．在如图所示长方体中，直线与直线的位置关系为_____.（平行、相交、异面） 【答案】异面 【分析】利用异面直线的判定方法即可得解. 【详解】因为直线平面，平面，且， 所以直线与直线的位置关系为异面. 故答案为：异面. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在三棱锥中，平面，，，，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的正切值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）证明底面为直角三角形，然后求出底面三角形面积，再根据棱锥体积公式求体积即可； （2）找到二面角的平面角，然后利用直角三角函数求正切值即可. 【详解】（1）因为， 又，，所以底面为直角三角形， ， ． （2）作垂直于点，连接， 平面，平面，， 又，且平面， 平面，平面，． 为二面角的平面角． ，， 因为，所以三角形为直角三角形， ． 即二面角的正切值为． 22．如图，在正方体中，点分别是上的中点，连接． (1)求异面直线和所成角的大小． (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先构造异面直线的夹角，再根据正方体的性质求解. （2）根据正方体的性质找到线面角，再根据边的关系求得正弦值. 【详解】（1）连接， ∵点分别是的中点， ∴，即所求异面直线所成角为， ∵为正方体，即为正三角形， ∴，即异面直线EF和BC1所成角为； （2）连接与， ∵为正方体， ∴平面，∴所求线面角为， 设正方体棱长为，即，则，， 故． 23．如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)证明：直线平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明直线垂直于平面内两条相交直线即可证明直线平面； （2）证明直线所在的平面平面平面，即可证明直线平面. 【详解】（1）∵在正方体中， 平面，平面， ∴， 又∵在正方形中，为线段中点， ∴， 又，平面， ∴直线平面. （2）连接，如图， 在正方体中， 四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 在正方体中，四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 24．如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先证明，得到平面，再证明，得到平面，最后由面面平行的判定定理即可证明． 【详解】∵、分别是、的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面, ∵，平面，平面， ∴平面平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $