第四章 立体几何（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知不同的两个平面，和不同的两条直线、，要使“如果，，，那么”正确，则须添加条件（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与为异面直线 【答案】B 【分析】利用面面垂直的性质定理即可得解. 【详解】面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 所以要使“如果，，，那么”正确，须添加条件. 故选：B. 2．正方体的棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与CD所成的角为 B．直线与平面ABCD所成的角为 C．直线与的夹角是 D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成的角的定义分析AC选项，由直线与平面所成的角的定义分析B选项，根据三棱锥的体积公式求解D选项即可. 【详解】对A，在正方体中，平面，平面，则与CD所成角为，A错误； 对B，因为平面ABCD，所以为直线与平面ABCD所成角， 所以与平面ABCD所成角为，B错误； 对C，因为，AC，为面对角线，所以，AC，相等，所以是等边三角形，所以直线与夹角是，C错误； 对D，，D正确． 故选：D. 3．下列命题中，正确的是（    ） A．若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则a，c是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c是相交直线 【答案】C 【分析】利用直线与直线的位置关系分析，逐项排除即可. 【详解】对A，若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则a，c可能异面或共面，故A项错误， 对B，若，，则有可能平行，故B项错误； 对C，由平行线的传递性，若，，则，故C项正确， 对D，若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c有可能为异面直线，故D项错误. 故选：C. 4．设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据线面的位置关系可判断A；举反例判断B、C；由面面垂直的判定定理可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：若，，则或，故选项A不正确； 对于B：如图，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，但与相交，故选项B不正确；    对于C：如图，在正方体中，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，， 但，故选项C不正确；    对于D：若，，可得或，若，因为，由面面垂直的判定定理可得；若，可过作平面与相交，则交线在平面内， 且交线与平行，由可得交线与垂直，由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确； 故选：D. 5．设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据空间中的线面关系，面面关系结合充分必要条件即可求解. 【详解】由面面垂直的判定定理可得，，，则. 又，，则，或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．已知边长为a的菱形ABCD中，，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使二面角为，则AC的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由线线垂直可求解为二面角的平面角，再由边的关系求解边长即可. 【详解】如图，边长为a的菱形ABCD中， ，且二面角为， 因为，， 所以为二面角的平面角， 即交， 因此都是正三角形， 在菱形ABCD中，， 所以. 故选:A. 7．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，则可得为异面直线与所成角的平面角或其补角，然后由题意可得，从而在中求解. 【详解】解：连接，则， 故为异面直线与所成角的平面角或其补角， 连接，则， 因为为的中点，故， 在中，因为，而， 所以在，，且为正三角形， 所以. 故选:C 8．已知二面角的平面角大小为，点在半平面内，已知点到半平面的距离为，则点到棱的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】过点作半平面的垂线，垂足为，作直线的垂线，垂足为，连接，根据线面垂直的判定定理证明出平面，再根据二面角的概念得出为二面角的平面角，最后根据题意结合三角函数的定义即可求值. 【详解】如图，过点作半平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接， 因为平面，所以，又， 且为平面中的两条相交直线， 所以平面，因为平面， 所以，则为二面角的平面角， 所以，由点到半平面的距离为， 可得，则点到棱的距离即. 故选：C. 9．已知表示平面，，表示直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 【答案】C 【分析】由平面与直线的位置关系，直线与直线的位置关系，面面平行的性质及判断逐项判断即可得解. 【详解】选项，若，则或，故错误. 选项，若，则或直线异面，故错误. 选项，若，则，故正确. 选项，若，只有相交，才有，故错误. 故选：. 10．在四面体，，平面，从该四面体的四个面中任取两个作为一对，其中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4 对 【答案】C 【分析】先根据题设条件，得到平面，平面，再结合题目已知平面，根据平面与平面垂直的定理分析求解. 【详解】 又∵平面，平面， ∴， 题目已知，且平面，， 得到平面. 而平面，， 得到平面， 根据平面与平面垂直的定理，一个平面过另外一个平面的垂线，则这两个平面垂直，可知平面平面，平面平面，平面平面. 而平面与其它平面（平面，平面，平面，）不包含相互垂直的直线. 因此，相互垂直的平面有3对. 故选：C. 11．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，即可判断求解. 【详解】连接，如图，    对于A，在中，由中位线定理得且； 因为底面是平行四边形，且，为中点， 故，则且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又， 所以与不平行，故选项A错误； 对于B，连接交于点O，连接，则， 又，故不平行，故选项B错误； 对于C，假设平面， 则由线面平行的性质定理可知，存在直线平面，使得， 因为，所以， 易知平面，而平面，所以平面， 而平面，平面，即与平面相交，显然矛盾， 所以直线与平面不平行，故选项C错误； 对于D，因为，又平面，平面， 所以平面，故选项D正确； 故选：D. 12．已知点P是正方形所在平面外一点，且平面ABCD，则平面PAB（    ）. A．与平面PBC，平面PAD都垂直 B．与平面PBC，平面PAD都相交，但不垂直 C．与平面PBC垂直，与平面PAD都相交但不垂直 D．与平面PAD垂直，与平面PBC都相交但不垂直 【答案】A 【分析】利用线面垂直性质、面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】因为平面，平面，所以， 又在正方形中，， 又平面，平面， 则平面， 因为平面，所以平面平面； 因为在正方形中，， 所以平面， 因为平面，则平面平面. 故选：A. 13．如图所示，点E、F、G、H分别是正方体四条棱的中点，则直线与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【答案】B 【分析】连接，根据正方体的特点以及点E、F、G、H是棱的中点，证明是梯形，即可得到直线与相交. 【详解】    连接， ∵是正方体， ∴且，即是矩形， 则， 依题意，是的中点，是的中点， 所以，. 又因为是的中点，是的中点， 所以在中，且. 得到. 因此是梯形，故直线与相交. 故选：B. 14．正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，异面直线所成角的概念，直线与平面所成角，线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】 因为正方体中，平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成角为，故选项A错误； 连接，因为，即为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面，即与平面所成角为，故选项B错误； 因为，所以是等边三角形， 所以，即与的夹角是，故选项C错误； 因为在正方体中，平面， 所以即是直线与平面所成的角， 又，即直线与平面所成的角是，故选项D正确； 故选：D. 15．在正方体中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线与EF所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行的传递性，异面直线所成角的知识，解三角形，最后求解所成角大小即可. 【详解】 连接， 在正方体中，分别是的中点， 所以， 所以， 则异面直线与所成角为， 因为，即为等边三角形， 所以. 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图，四面体中，，平面平面，，，则______. 【答案】13 【分析】取的中点，连接，利用面面垂直证明线线垂直，然后利用勾股定理求即可. 【详解】 取的中点，连接，因为，，， 所以，所以. 因为，是的中点， 所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 在中，， 故答案为：. 17．已知正三棱柱中，G是的中点，过点G的截面与侧面平行，若侧面是边长为4的正方形，则截面周长为______. 【答案】12 【分析】数形结合画出图形利用面面平行找出截面易得答案. 【详解】如图，取的中点的中点的中点，连接， 由中位线性质得，， 因为平面，平面 所以平面， 同理可得平面. 又， 所以平面平面，即平面为过点且与平面平行的截面， 因为侧面是边长为的正方形，所以， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 同理可得， 所以得此截面的周长为. 故答案为：. 18．已知平面ABC，在△ABC中，，，，，则点P到直线AB的距离为________．    【答案】 【分析】由证平面，得出，再在中求即可. 【详解】平面ABC，， 又，， ,平面，平面， 平面，， 即点P到直线AB的距离为， 又，，， ， 即点P到直线AB的距离为. 故答案为：. 19．已知是锐二面角中内一点，垂直于点，，点到的距离为，则二面角的平面角的大小为__________. 【答案】 【分析】根据二面角的概念作出二面角解三角形即可求解. 【详解】过点作的垂线，设垂足为，即，连接，如图所示， 因为，，所以，， 所以为直角三角形， 由，，平面，所以平面， 因为平面，所以，由， 所以就是锐二面角的平面角， 在中，，， 所以，因此， 即二面角的平面角的大小是. 故答案为： 20．已知，是两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题： ①若，，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，，则． 其中正确的命题是___________（填上所有正确命题的序号）． 【答案】① 【分析】根据面面，线面，线线的位置关系即可得解. 【详解】已知，是两条不同的直线，，为两个不同的平面， 对于①，若，，，则，故①正确； 对于②，若，，，则与平行或相交，故②错误； 对于③，当时，也满足，，，故③错误； 对于④，若，，，则与平行，相交或异面，故④错误， 故答案为：①. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC，. (1)求三棱锥P-ABC的体积； (2)若M为BC中点，求PM与平面ABC所成角大小. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由题知，底面ABC，在中，可求得三棱锥P-ABC的高，根据棱锥的体积公式可求解； （2）连接OM ， 由于底面ABC，故为PM与平面ABC所成角，在中可求解. 【详解】（1）底面ABC，底面ABC ， ， 又，， ∴， 而， 所以； （2） 如图，连接OM ， 底面ABC， 为PM与平面ABC所成角， O，M分别是AC，BC的中点， ， 在中， ， ， 所以PM与平面ABC所成角大小为 . 22．为矩形所在平面外一点，且平面，若，，，求与平面所成的角的正切值. 【答案】 【分析】利用线面垂直的性质定理得，进而为与平面所成角，在中，利用三边长度和正切函数的定义即可求解. 【详解】 连接，   平面，平面， ， 为在平面上的射影， 为与平面所成角， 在中，，， ， 即与平面所成角的正切值为， 23．如图所示，在四棱锥中，已知底面为正方形，底面，，与底面所成的角为．求：    (1)二面角的正切值； (2)该四棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，连接，交于O，连接，结合线面垂直的性质定理和判定定理，及二面角的定义，易判断即是二面角的大小，结合线面角的定义，及解直角三角形，即可求解； （2）根据题意，先求得底面的边长，继而求得底面的面积，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1）    连接，交于O，连接， 因为底面，底面， 所以， 又底面为正方形，所以, 因为平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 所以即是二面角的大小， 因为底面， 所以是与底面所成的角，即, 所以，, 所以， 即二面角的正切值为； （2）因为底面为正方形，， 所以正方形的边长， 因为底面，所以， 所以四棱锥的体积. 24．如图所示，已知正方体的棱长为1，．求：    (1)与平面所成的角的正切值； (2)二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，可证得平面，得为所求角，再由直角三角形求正切值即可； （2）由勾股定理得，由线面垂直的判定可得平面，进而可得平面平面，即可得出所求二面角大小. 【详解】（1）如图所示，作于点，连接.    因为平面⟂平面，平面平面， 所以平面，则为与平面所成的角． 因为，，所以． 又， 所以． 即与平面所成的角的正切值为. （2）因为，且， 所以. 因为，， 所以平面．又因为平面， 所以平面平面． 故平面与平面所成角为 ，即二面角为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知不同的两个平面，和不同的两条直线、，要使“如果，，，那么”正确，则须添加条件（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与为异面直线 2．正方体的棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与CD所成的角为 B．直线与平面ABCD所成的角为 C．直线与的夹角是 D． 3．下列命题中，正确的是（    ） A．若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则a，c是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c是相交直线 4．设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知边长为a的菱形ABCD中，，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使二面角为，则AC的长是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 8．已知二面角的平面角大小为，点在半平面内，已知点到半平面的距离为，则点到棱的距离是（    ） A． B． C．2 D． 9．已知表示平面，，表示直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 10．在四面体，，平面，从该四面体的四个面中任取两个作为一对，其中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4 对 11．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 12．已知点P是正方形所在平面外一点，且平面ABCD，则平面PAB（    ）. A．与平面PBC，平面PAD都垂直 B．与平面PBC，平面PAD都相交，但不垂直 C．与平面PBC垂直，与平面PAD都相交但不垂直 D．与平面PAD垂直，与平面PBC都相交但不垂直 13．如图所示，点E、F、G、H分别是正方体四条棱的中点，则直线与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 14．正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 15．在正方体中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线与EF所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图，四面体中，，平面平面，，，则______. 17．已知正三棱柱中，G是的中点，过点G的截面与侧面平行，若侧面是边长为4的正方形，则截面周长为______. 18．已知平面ABC，在△ABC中，，，，，则点P到直线AB的距离为________．    19．已知是锐二面角中内一点，垂直于点，，点到的距离为，则二面角的平面角的大小为__________. 20．已知，是两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题： ①若，，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，，则． 其中正确的命题是___________（填上所有正确命题的序号）． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC，. (1)求三棱锥P-ABC的体积； (2)若M为BC中点，求PM与平面ABC所成角大小. 22．为矩形所在平面外一点，且平面，若，，，求与平面所成的角的正切值. 23．如图所示，在四棱锥中，已知底面为正方形，底面，，与底面所成的角为．求：    (1)二面角的正切值； (2)该四棱锥的体积． 24．如图所示，已知正方体的棱长为1，．求：    (1)与平面所成的角的正切值； (2)二面角的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $