综合测试卷（四）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量满足，，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．已知向量，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在正方体中，平面与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 5．一个椭圆形状的操场，长轴长为100米，短轴长为60米，则它的焦距为（    ） A．40米 B．60米 C．80米 D．100米 6．双曲线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，准线为，该抛物线上的点到轴的距离为7，且，则焦点到准线的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知实系数一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正切值为（   ）．    A． B． C． D． 10．如图，在正方体中，点分别为的中点，则直线与所成角的大小为（      ）    A． B． C． D． 11．下列条件中，能作为平面平面的判定定理是（    ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有两条相交直线与平面平行 D．平面与平面没有公共点 12．椭圆 左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆交于 两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．40 13．若向量与垂直，且，，则等于（   ） A． B． C．5 D．13 14．命题“若，则”的逆命题中，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．若，，，则与的关系是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的充要条件 D．无直接条件关系 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知复数，，则________. 17．已知向量，则__________． 18．如图，在正方体中，为的中点，为上的动点，当平面时，点的位置为__________．    19．过抛物线的顶点，且倾斜角为的直线与抛物线的另一个交点为，若，则__________. 20．若命题，命题，则 是 的 __________ 条件. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知命题，命题. (1)分别求出、对应的的取值范围； (2)判断是的什么条件，并说明理由. 22．设有两个平面向量，（其中m，n为实数），且. (1)求m与n； (2)与是否平行？ 23．已知椭圆：，右焦点为，离心率为，过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求弦的长. 24．如图，在四棱锥中，平面，为菱形对角线的交点，为中点，且，. (1)求四棱锥的体积； (2)求二面角的正切值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量满足，，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据平面向量内积的定义可求解. 【详解】由题可得， . 故选：C 2．已知向量，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】先由向量线性运算的坐标表示求得，再根据向量内积的坐标表示可得解. 【详解】由题可得， ， 所以. 故选：B 3．在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先由复数的乘法运算计算，再由对应的点判断象限即可. 【详解】∵复数， ∴该复数在复平面内对应的点为，在第二象限. 故选：B. 4．在正方体中，平面与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 【答案】C 【分析】根据正方体中平面与平面的位置关系判断. 【详解】在正方体中， 平面经过平面的垂线（平面） 根据面面垂直判定定理，平面⊥平面. 故选：C. 5．一个椭圆形状的操场，长轴长为100米，短轴长为60米，则它的焦距为（    ） A．40米 B．60米 C．80米 D．100米 【答案】C 【分析】通过椭圆长轴长和短轴长求出，即可求出并得到焦距. 【详解】椭圆的长轴长，则， 短轴长，则，所以， 故焦距为：米. 故选：C. 6．双曲线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的标准方程求得，再根据焦点的位置可得结果. 【详解】由双曲线方程可知： ，，且焦点在轴上， 所以， 所以焦点坐标为. 故选：D 7．已知抛物线的焦点为，准线为，该抛物线上的点到轴的距离为7，且，则焦点到准线的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由抛物线得准线为， 因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，又点到轴的距离为7， 且，所以，解得， 所以焦点到准线的距离是. 故选：C. 8．已知实系数一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数一元二次方程两根互为共轭复数求解即可. 【详解】实系数一元二次方程的一个根为， 则它的另一个根是的共轭复数，即. 故选：B. 9．如图，已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正切值为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定直线与平面所成角的平面角，再利用锐角三角函数求解即可. 【详解】在长方体中，侧棱平面， 所以直线在平面的射影为， 即直线与平面所成角为， 因为，， 所以. 故直线与平面所成角的正切值为. 故选：A. 10．如图，在正方体中，点分别为的中点，则直线与所成角的大小为（      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知（或其补角）为直线与所成的角，求解即可. 【详解】如图所示，连接，    ∵点分别为的中点，∴， ∴（或其补角）为直线与所成的角， ∵在正方体中，， ∴是等边三角形，则， ∴直线与所成角的大小为. 故选：B. 11．下列条件中，能作为平面平面的判定定理是（    ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有两条相交直线与平面平行 D．平面与平面没有公共点 【答案】C 【分析】根据平面与平面平行的定义和判定定理可判断结果. 【详解】对A选项，当平面与平面相交时，平面内也存在直线平行于平面，故错误； 对B选项，若这两条直线平行时，即使都平行于平面，平面与平面也可能相交，故错误； 因为平面与平面平行的判定定理为 “如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行”， 选项 C 符合定理，故正确； 选项 D 是面面平行的定义，而非判定定理的常用条件，故错误. 故选：C. 12．椭圆 左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆交于 两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．40 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆方程求得a的值，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】    因为椭圆 ，所以， 由椭圆定义可得， 所以的周长. 故选：C. 13．若向量与垂直，且，，则等于（   ） A． B． C．5 D．13 【答案】A 【分析】根据向量的模长公式计算即可. 【详解】∵向量与垂直，且，， ∴， ∴. 故选：A. 14．命题“若，则”的逆命题中，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先写出逆命题，再根据充分、必要条件判断推导关系. 【详解】原命题“若，则”的逆命题为“若，则”. 若，则一定成立,故充分性成立； 若，则，故必要性成立. 则是的充要条件. 故选：C. 15．若，，，则与的关系是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的充要条件 D．无直接条件关系 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的判定求解. 【详解】由条件得：. 因此传递链为：， 无法推出，无法推出， 故与无直接条件关系. 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知复数，，则________. 【答案】8i 【分析】根据复数的加减运算即可求解. 【详解】因为复数，，则. 故答案为：. 17．已知向量，则__________． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】由向量得，， 则． 故答案为：. 18．如图，在正方体中，为的中点，为上的动点，当平面时，点的位置为__________．    【答案】的中点 【分析】设平面与交于，利用线面平行与面面平行的性质可证得为平行四边形，进而得是的中位线，从而得出点的位置. 【详解】设平面与交于，连接，    当平面时， ∵平面，平面平面，∴， ∵平面平面，平面平面，平面平面， ∴，∴为平行四边形， 又为的中点，∴， ∵，∴， ∴是的中位线， ∴点是的中点. 故答案为：的中点. 19．过抛物线的顶点，且倾斜角为的直线与抛物线的另一个交点为，若，则__________. 【答案】6 【分析】先求解出直线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解出点A的坐标，再由两点间距离公式求解即可. 【详解】设点， 直线的倾斜角为，则斜率， ∴过抛物线顶点的直线为， 联立，消y可得，， 解得或， ∴点A的横坐标为，则， ∴点， ∵，则， 整理可得，即， ∵，可得. 故答案为：6. 20．若命题，命题，则 是 的 __________ 条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则或，充分性不成立， 若，则，必要性成立， 所以 是 的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知命题，命题. (1)分别求出、对应的的取值范围； (2)判断是的什么条件，并说明理由. 【答案】(1) (2)充分不必要条件，理由见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式以及绝对值不等式的解法求解即可. （2）根据充分条件和必要条件的概念求解即可. 【详解】（1）， 所以命题对应的的取值范围为. ， 所以命题对应的的取值范围为. （2）是的充分不必要条件. 因为的解集是的解集的真子集， 即, 所以是的充分不必要条件. 22．设有两个平面向量，（其中m，n为实数），且. (1)求m与n； (2)与是否平行？ 【答案】(1) (2)平行 【分析】（1）根据向量的坐标运算求解即可； （2）根据向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】（1）∵向量，，且. ∴， ∴，解得， ∴； （2）平行. 由（1）知，， ∴向量，， ∵，故与平行. 23．已知椭圆：，右焦点为，离心率为，过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求弦的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和的关系结合已知条件即可求解. （2）根据已知条件求出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】（1）由椭圆的右焦点为，则， 因为离心率为，即，又，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为直线倾斜角为，所以直线斜率为1， 又直线过椭圆的右焦点，所以直线方程为， 联立直线和椭圆方程，消整理得， 由韦达定理有，，设， 故. 24．如图，在四棱锥中，平面，为菱形对角线的交点，为中点，且，. (1)求四棱锥的体积； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据棱锥的体积公式求值即可. （2）取的中点为，连接，得出为二面角的平面角，再由直角三角形中正切函数的定义求值即可. 【详解】（1）因为平面， 为菱形对角线的交点， 所以为的中点，因为为中点， 所以，所以平面， 且， 即四棱锥的高， 又，所以， 所以，， 所以四棱锥的体积. （2）取的中点为，连接， 因为为菱形，， 所以为等边三角形，所以， 因为平面，平面， 所以，且，平面， 所以平面，平面， 所以，所以为二面角的平面角， 且，则，， ，， 所以，即二面角的正切值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $