综合测试卷（一）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数虚部的定义求解. 【详解】复数（i为虚数单位），则z的虚部为， 故选：C. 2．“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的概念判断. 【详解】若且，根据不等式的基本性质可得，充分性成立， 令，，，，此时，，满足， 但，即由不能推出且，必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则即可得解. 【详解】复数， . 故选：. 4．下列条件能确定一个平面的是（   ） A．空间的三个点 B．空间的一个点和一条直线 C．空间的两条直线 D．空间的两条相交的直线 【答案】D 【分析】根据题意，结合平面的公理及推论，即可判断结果． 【详解】根据平面的公理和三个推论可得： 空间不共线的三个点确定一个平面， 若空间三点共线时，过这三点的平面有无数个，故A错误； 空间的一条直线和直线外一点可确定一个平面， 若该点在直线上时，则有无数个平面经过这条直线和该点，故B错误； 空间的两条相交直线或两条平行直线可确定一个平面， 若两条直线异面时，则这两条直线不能确定一个平面，故C错误，D正确. 故选：D 5．已知向量 ，且 ，则 的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性运算的坐标表示求出，再根据向量垂直的坐标表示可求解. 【详解】由题意得： ， 由 ，得 ，解得 . 故选：C 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念即可求解. 【详解】因为或， 或， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C. 7．已知为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，线面垂直及面面平行的判定定理逐一分析选项. 【详解】项，若且，则可能平行、相交、异面，错误； 项，若，则，又，则，B正确； C项，若，则可能平行或异面，C错误； D项，若，则或，D错误. 故选：B. 8．在直三棱柱中，已知，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将异面直线与所成的角转化到三角形中，再求解即可. 【详解】   在直三棱柱中，平面，进而. 因为，平面，所以平面，进而. 因为，所以异面直线与所成的角为. 在中，，所以. 因为，解得. 故选：C. 9．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于，若，则（   ） A．4 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线定义可得为等边三角形，再结合p的值求解即可. 【详解】记准线与x轴的交点为点D，如图，    ∵由抛物线定义可知，且， ∴为等边三角形，则， ∴， 由抛物线方程：可知，可得， ∴， 在中，， ∴. 故选：B. 10．已知椭圆的离心率是，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．不存在这样的 【答案】C 【分析】根据椭圆方程以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】椭圆的标准方程为，因此，即， 若焦点在轴上，则，即， 此时，，， 离心率，故，解得 ，符合条件. 若焦点在轴上，则，解得， 此时，，， 离心率 ，故 ，解得 ，符合条件. 因此的值为或. 故选：C. 11．已知双曲线的方程为．若其顶点是线段的两个三等分点，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线方程可知，利用实轴与焦距的关系求得，进而得的值，最后根据渐近线公式可求解. 【详解】由双曲线可知，双曲线的焦点在轴上，且. ∵顶点是线段的两个三等分点， ∴，解得， 从而， ∴双曲线的渐近线方程为． 故选：D 12．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据向量的线性运算求出与的坐标，再根据向量内积的坐标运算公式计算. 【详解】已知，，可得， 可得，， 所以. 故选：B. 13．已知向量，且，则（   ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据题意利用模长公式求出，代入内积公式即可得解. 【详解】，则， ∴， 故选：. 14．已知两条不同的直线，两个不同的平面，，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系分析即可. 【详解】若，，则，故A错误， 若，，则，故B正确， 若，，则可能平行，相交或异面，故C错误， 若，，则可能平行，可能相交，故D错误. 故选：B. 15．已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，为抛物线C上一点，且，若为锐角三角形，则（   ） A． B．1 C．8 D．16 【答案】C 【分析】将点代入抛物线方程中，再利用焦半径公式求出值，分类讨论，利用三个内角均为锐角，则三个向量的数量积均大于零即可得解. 【详解】    如图所示，抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，为抛物线C上一点， 将代入抛物线方程中得， 由焦半径公式得，则， 解得或， 当时，，则，， 因为为锐角三角形， ， ， ， 则为钝角，故不符题意； 当时，，则，， ， ， ， 三个角都是锐角，符合题意， 所以， 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知复数，则______． 【答案】 【分析】根据复数模的坐标表示求值即可. 【详解】已知复数， 则， 故答案为：. 17．若抛物线的焦点为F，抛物线上有A，B两点，点A的横坐标为3，点B的横坐标为5，则______． 【答案】31 【分析】根据抛物线的定义分别求出的值即可得解. 【详解】由抛物线可得，其准线方程为. 因为点A的横坐标为3，点B的横坐标为5， 根据抛物线的定义，可得，， 所以. 故答案为：. 18．已知和的夹角为是的中点，则__________. 【答案】 【分析】先由与表示，再根据向量的模长公式求解即可. 【详解】∵和的夹角为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴ . 故答案为：. 19．“”是“”的______条件．（填“充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要、充要”） 【答案】充分不必要 【分析】通过举反例由充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，而，所以成立. 因此“”是“”的充分条件. 若，取，，此时满足，但，不满足. 因此“”不是“”的必要条件. 故答案为：充分不必要 20．已知椭圆的两个焦点为和，经过坐标原点的动直线与该椭圆相交于两点，设存在，则的面积的最大值为__________． 【答案】 【分析】首先求出焦点坐标，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】椭圆方程为，是焦点在轴上的椭圆，可得，， 由，得，因此焦点到原点的距离. 因为动直线过原点，椭圆是中心对称图形，所以、关于原点对称，设，则. 的面积可以拆分为和的面积和： 由椭圆的范围可知，椭圆中，即，因此，即面积最大值为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知点，，，求： (1)、的坐标； (2)的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的坐标表示求值即可. （2）根据向量的线性运算的坐标表示求值即可. 【详解】（1）已知点，，， 则， . （2）由（1）可得，，， 则. 22．已知复数，. (1)计算； (2)写出复数的共轭复数，并求以的共轭复数为根的实系数一元二次方程. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据复数的加法运算计算即可； （2）根据共轭复数以及实系数一元二次方程的计算求解即可. 【详解】（1）因为复数，， 所以； （2）因为复数，则， 若以的共轭复数为根， 则可知该实系数一元二次方程的两个根为和， 设该实系数一元二次方程为， 所以，则有，即， 所以， 所以以的共轭复数为根的实系数一元二次方程为. 23．如图所示，正三棱柱的底面边长为4，高为6，截面把正三棱柱分成两部分，已知.求：    (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，得出为二面角的平面角，再由在直角三角形中正切函数的概念即可解答. （2）设点到平面的距离为，再由等体积法列方程求解即可. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接. 因为，所以， 则， 所以， 为二面角的平面角， 因为为正三棱柱， 所以平面， 因为平面，所以， 在中，因为正三棱柱的底面边长为4，高为6， 且，， ，且， ，即二面角的大小为.    （2）设点到平面的距离为. ， ， ， ， ，即， 即， ，即点到平面的距离为. 24．已知椭圆，过椭圆右焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于两点．求： (1)直线的方程； (2)弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程确定焦点，再由点斜式求出直线方程即可. （2）将直线方程与椭圆方程联立，设，再由韦达定理得，最后由弦长公式求值即可. 【详解】（1）已知椭圆， 其中， 其右焦点为，直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即. （2）已知椭圆， 直线方程为， 联立方程组得，即， 得出，设， ， 所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（   ） A． B． C． D．1 2．“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 4．下列条件能确定一个平面的是（   ） A．空间的三个点 B．空间的一个点和一条直线 C．空间的两条直线 D．空间的两条相交的直线 5．已知向量 ，且 ，则 的值为 （    ） A． B． C． D． 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．在直三棱柱中，已知，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 9．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于，若，则（   ） A．4 B．12 C． D． 10．已知椭圆的离心率是，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．不存在这样的 11．已知双曲线的方程为．若其顶点是线段的两个三等分点，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 12．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 13．已知向量，且，则（   ） A．5 B． C．10 D． 14．已知两条不同的直线，两个不同的平面，，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 15．已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，为抛物线C上一点，且，若为锐角三角形，则（   ） A． B．1 C．8 D．16 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知复数，则______． 17．若抛物线的焦点为F，抛物线上有A，B两点，点A的横坐标为3，点B的横坐标为5，则______． 18．已知和的夹角为是的中点，则__________. 19．“”是“”的______条件．（填“充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要、充要”） 20．已知椭圆的两个焦点为和，经过坐标原点的动直线与该椭圆相交于两点，设存在，则的面积的最大值为__________． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知点，，，求： (1)、的坐标； (2)的坐标． 22．已知复数，. (1)计算； (2)写出复数的共轭复数，并求以的共轭复数为根的实系数一元二次方程. 23．如图所示，正三棱柱的底面边长为4，高为6，截面把正三棱柱分成两部分，已知.求：    (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离. 24．已知椭圆，过椭圆右焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于两点．求： (1)直线的方程； (2)弦长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $