综合测试卷（二）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若“”是“或”的充分不必要条件，则 的取值范围是  （       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设或，根据充分不必要的定义可得集合是集合B的真子集，利用集合与集合之间的关系即可求解. 【详解】设或， 因为“”是“或”的充分不必要条件， 所以集合是集合B的真子集，则， 所以 的取值范围是 . 故选：B. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据，，结合充要条件的概念可得结果. 【详解】若，则，即； 若，则，所以，即. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知向量，，，若与垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合平面向量线性运算的坐标表示求出的坐标，利用平面向量垂直列出方程即可得解. 【详解】向量，，， ， 因为与垂直，则， 解得. 故选：. 4．已知向量，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量垂直和线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】由向量，，可知 ， 又， 故，解得. 故选：A. 5．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可； 【详解】因为向量，，且， 所以，所以. 故选：D 6．已知抛物线上的一点到焦点的距离，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】∵抛物线一点到焦点的距离， ∴由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线方程为. 故选：B. 7．设是双曲线上的一点，是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．1或17 B．17 C．19 D．18 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义及性质求解. 【详解】由双曲线方程得，则， 根据双曲线的定义得， 因为，所以或17， 又因为，所以. 故选：B. 8．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆外一点，是等边三角形，若线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设线段的中点为，求出，，利用椭圆的定义可得，据此可求解. 【详解】 如图所示，是等边三角形，设线段的中点为， 所以，， 在中，，则，， 由椭圆的定义可得，， 所以椭圆的离心率. 故选：B 9．已知双曲线的离心率是，则该双曲线的焦距为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的离心率公式及焦距定义求解. 【详解】已知双曲线的离心率是， 则，， 所以，所以焦距为， 故选：D. 10．已知空间中两条直线，，两个平面，，下列命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则； 其中正确命题的序号为（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】依据空间线面、面面的位置关系判定定理， 逐一判断每个命题的正确性. 【详解】①若，，则可能平行于，也可能在内，故①错误. ②若，则垂直于平面内的所有直线，又，所以，故②正确. ③若，，直线与的位置关系可能是平行、相交或异面，则与可能平行，可能相交，故③错误. ④若，，根据面面平行的性质，一条直线垂直于两个平行平面中的一个，必垂直于另一个，所以，故④正确. 故选：C. 11．如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线的概念，结合线面垂直证明线线垂直即可求解. 【详解】在正方体中，平面，    因为平面，所以， 在正方体中，， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以. 即异面直线与所成的角的大小是. 故选：A. 12．下列命题中，不正确的是（    ） A．若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线，则 B．若平面内任意一条直线都平行于平面，则 C．若平面平面，任取，且与两个平面的交线垂直，则必有 D．若平面平面，任取，则必有 【答案】A 【分析】根据面面垂直的判定定理和性质，以及面面平行的判定和性质即可求解. 【详解】对A：根据面面垂直的判定定理可知，若平面内的一条直线垂直于平面β，则，故A项错误； 对B：若平面内任一直线平行于平面，则直线与平面没有公共点， 所以平面与平面没有公共点，所以，故B项正确； 对C：根据面面垂直的性质定理可知，若两个平面垂直， 那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，故C项正确； 对D：若平面平面，则平面与平面没有公共点，任取直线， 则直线与平面没有公共点，所以，故D项正确. 故选：A. 13．若一条直线与一个平面内的两条平行直线都垂直，则这条直线与这个平面的位置关系是（    ） A．一定垂直 B．一定平行 C．可能垂直也可能斜交 D．一定在平面内 【答案】C 【分析】根据直线与平面的位置关系判断. 【详解】若一条直线与一个平面内的两条平行直线都垂直， 则这条直线与这个平面的位置关系：可能垂直、可能斜交、可能平行、也可能在平面内． 如图1中，直线平面，，，此时直线与平面垂直； 如图2中，直线平面，，，此时直线与平面斜交， 如图3中，直线平面，，，此时直线与平面平行， 如图4中，直线平面，，，此时直线在平面内， 结合4个选项可知，ABD错误，C正确， 故选：C． 14．复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共轭复数的定义可得结果. 【详解】根据共轭复数的定义可知， 复数的共轭复数. 故选：A. 15．复数（是虚数单位），则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据复数的模的公式求解. 【详解】复数，其中， 则. 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量，，若，则______． 【答案】6 【分析】利用向量垂直的坐标表示求解． 【详解】因为向量，，， 所以，解得. 故答案为：6. 17．“”是“”的______条件．（用“充分不必要”或“必要不充分”填空） 【答案】必要不充分 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若，当时，和无意义， 所以由“”不能推出“”，充分性不成立； 若，等式两边同时乘以（且），得到， 即由“”可以推出“”，必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 18．已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为______． 【答案】. 【分析】根据双曲线的渐近线方程求解. 【详解】已知双曲线的方程为， 则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 19．在平面内，，，则与所成的角为_____ 【答案】 【分析】先由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直平面，即可得到. 【详解】    因为在平面内，，所以， 又，，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 即与所成的角为. 故答案为： 20．已知复数（其中i为虚数单位），则______. 【答案】 【分析】由复数的加法运算即可得解. 【详解】， 因此，. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题. (1)求实数m的取值集合M； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式来确定的取值范围； （2）根据题意可得集合是的真子集，列不等式求解即可. 【详解】（1）因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，即，解得或， 所以实数m的取值集合或． （2）或，，显然， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是的真子集， 所以或， 解得或． 22．在平面直角坐标系中，已知点，且. (1)求点的坐标； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据向量的坐标表示及向量相等，列方程组可求解； （2）由向量的线性运算的坐标表示可得和，再根据向量共线的坐标表示，列方程可求解. 【详解】（1）设，由题可得 ，， 又， 所以，解得， 所以点的坐标为； （2）由（1）可得，，则 ， . 由可得 ，解得. 23．已知抛物线的焦点为，求： (1)抛物线的标准方程； (2)抛物线上到焦点的距离等于3的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设抛物线方程为，由焦点坐标解得即可得解； （2）根据抛物线的定义，求出该点的横坐标，代入抛物线方程可求纵坐标. 【详解】（1）由题意，设抛物线的标准方程为， 又焦点为，所以，解得， 所以抛物线方程为； （2）由可知，其准线方程为. 设抛物线上所求点的坐标为，则满足且. 因为该点到焦点的距离等于3，根据抛物线的定义，可得该点到准线的距离也等于3， 故有，解得， 将代入，可得， 所以抛物线上到焦点的距离等于3的点的坐标为或. 24．如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）根据直线与平面的关系，再结合正方体的性质以及三角形的相关知识求解. （2）结合正方体的性质及三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）连接交于O，连接，则正方形中，为中点， 因为分别为中点， 所以是的中位线，所以． 又面，面， 所以平面． （2）正方体中，平面， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若“”是“或”的充分不必要条件，则 的取值范围是  （       ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知向量，，，若与垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线上的一点到焦点的距离，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．设是双曲线上的一点，是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．1或17 B．17 C．19 D．18 8．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆外一点，是等边三角形，若线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的离心率是，则该双曲线的焦距为（   ） A．4 B．6 C． D． 10．已知空间中两条直线，，两个平面，，下列命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则； 其中正确命题的序号为（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 11．如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角的大小是（    ）    A． B． C． D． 12．下列命题中，不正确的是（    ） A．若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线，则 B．若平面内任意一条直线都平行于平面，则 C．若平面平面，任取，且与两个平面的交线垂直，则必有 D．若平面平面，任取，则必有 13．若一条直线与一个平面内的两条平行直线都垂直，则这条直线与这个平面的位置关系是（    ） A．一定垂直 B．一定平行 C．可能垂直也可能斜交 D．一定在平面内 14．复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 15．复数（是虚数单位），则（   ） A．1 B． C． D．2 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量，，若，则______． 17．“”是“”的______条件．（用“充分不必要”或“必要不充分”填空） 18．已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为______． 19．在平面内，，，则与所成的角为_____ 20．已知复数（其中i为虚数单位），则______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题. (1)求实数m的取值集合M； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 22．在平面直角坐标系中，已知点，且. (1)求点的坐标； (2)若，求实数的值. 23．已知抛物线的焦点为，求： (1)抛物线的标准方程； (2)抛物线上到焦点的距离等于3的点的坐标． 24．如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $