19.3二次根式的加法与减法 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第03讲二次根式的加法与减法 【题型1】同类二次根式 例题1，下列各组根式是同类二次根式的是() T A.√5和18 B.√⑧和V2 c.ab和vab D.Va+l和a-可 【详解】A.=35,故5和⑧ 不是同类根式，该选项不符合题意： I_2 T B、√⑧=2√2，V22,故√⑧和V2是同类根式，该选项符合题意； C、 √ab=d万，√ab=a，故vb和√ab不是同类根式，该选项不符合题意： D、 Va+ 和Va- 不是同类根式，该选项不符合题意； 例题2.下列二次根式中，与万是同类二次根式的是() A.5 B.V5 C v8 D. V10 【详解】解：A6是圾简二次根式，被开方数为3。与 2的被开方数2不同，不是同类 二次根式： B.v 是最简二次根式，被开方数为5，与不同，不是同类二次根式： 5 C. V8=V4×2=2V2 化简后被开方数为？，与5的被开方数相同，是同类二次根式： D. V10 是最简二次根式，被开方数为10，与2不同，不是同类二次根式。 【针对训练】 1.若最简二次根式Vm+2025与2可以合并，则m的值为() A.2023 B.-2023 C.2024 D.-2024 试卷第1页，共3页 【详解】解：：最简=次根式历+205与2可以合并， .它们的被开方数相等，即m+2025=2, 解得m=2-2025=-2023 2.若最简二次根式m一与5是同类二次根式，则m= 【详解】解：：最简二次根式vm与5 是同类二次根式， .m-1=5,解得m=6, 3.已如25是经简二次根式且与V2 是同类二次根式，则的值是 【详解】解： V125=V25×5=55 :最简二次根式V2x-3与V2 可以合并， 即最简二次根式2x-3与5√5 是同类二次根式， 故2x-3=5, 解得x=4. 故答案为：4. 【题型2】二次根式的加减运算 例题1.计算： (1)27-√2 (222+5 【详解】(1)解： √27-√12 =35-2V5 =5 (2)解：(2V2+ =22+2x22x3+5 试卷第2页，共3页 =8+4V6+3 =11+4V6 例题2.计算： a2+4-(-1 (2)2V5+3V5 【详解】(1)解：原式=2+2-1 3. (2)解：原式2+35 =5V5 【针对训练】 1.计算： ①)9+4-27： 25-2+2+3w5 【详解】(1)解：原式=3+2-3 =2. (2)解：原式=V5-V2+V2+35 =3+35+2-2 =4W5 2.计算()23-V27-V2: a6x5++5-45 【详解】(1)解：原式=25-35-25 =-35 2)解，原式派+反+5-6写 试卷第3页，共3页 =3W2+25+√5-22 =(25+5+32-22 =35+2 【题型3】二次根式的混合运算 例题1.计算：v2-6(②8-@：65-j5++s 【详解】()解：V24-6 -26-V6 =6 (2)解：（⑧-2 =√3x8-3x12 =√24-√36 =26-6 5期5-5+西 [5- =(5-3)+V6 =2+V6 例题2.计算：V2-V6×V8+1-V 【详解】解：V2-V6×v⑧+1-V 试卷第4页，共3页 =2W3-√6×8+1-25+3 =25-45+4-2V5 =4-4W5 【针对训练】 1.计算： 5V8+5o-3o,4 【详解】解：、 5⑧5⑩30，√45 =24+150- 图 -2656-9 26+56.6 96 2.计算：2W2÷V2+2--v49 【详解】解：原式=2√6+2-26+3-7 =-2 3.计算： wN任e>u>a厚52-5 【详解】(1)解：VaVb bd÷a西 V -a+lab 试卷第5页，共3页 Nab Jab 8*2 6x2V3+N2+12 (2)解： 8x -2√6×3+2+2√2+1 2 =4W2-6√2+2+22+1 =3 4.计算： 027x3i2 9:25+2- 【详解】(1)解： V27x3W12 9 =35x65x5 9 =6W5 (2)解：(V5+2-5 =-( =2-3 =-1. 【题型4】分母有理化 3x+3 3x+1 x+ 例题1.先化简，再求值： x-1 x-1 其中x=V3-1. 3(x+1) xx-1,3x+1 【详解】解：原式x-1 x-1 x-1 试卷第6页，共3页 3(x+1,x2-x+3x+1 x-1 x-1 3(x+1)x-1 x-1x2+2x+1 3x+1,x-1 x-1(x+1)2 3 x+1, 当x=√3-1时，原式3-1+ =v3 例题2.观察下列等式： √2-1 02*12+25- 1 5-2 ②3+反3+25-2 =3-2 1 N4-5 ③4+5V4+34-5 =V4-√3 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简：5-而· 1 (2)计算：√n+1+n (,为正整数). 2 1 1 (3)计算： 2+1√3+V2V4+万 √2022+√2021 √2022+1. 4+ 【详解】(1)解：5-而5-5+ 4+而5+而 4 (n+i-n (2)+1Gai+vni-万T- 试卷第7页，共3页 1 1 1 1 (3)(2+15+5+4+5++V222+2a2022+l =2-1+V5-√2+V4-3++V2022-√2021√2022+ =√2022-1√2022+1 =2022-1 =2021. 【针对训练】 m2-2m+1. 1- 4 1.先化简，再求值：m2+3m m+3, 其中m=√2-1. m2-2m+1 4 ÷1- 【详解】解：m2+3m m+3 =(m-2 m+34 mm+3)(m+3m+3 (m-12m-1 m(m+3m+3 (m-12m+3 m(m+3)m-1 m-1 m; 当 m-52525利22-2 2-12-12H 2-1 2.阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 222 万V3+1,这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简. 试卷第8页，共3页 22xV52W5 (一)55xV33: 2 2x510 (=)V5V5x5=5 2 2x5-1)=2x5-_245-0=5-1 (三)V3+1(N3+10(3-1)(3)2-12 2 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化. 2 (1)化简：√6 V5+5 V2-1,V2+1 x- (2)已知： 2+y=2-1,求x+y的值. 1 1 2++V+2++ ×(W2026+1) (3)计算： 2026+√2025 33636V6 【详解】(1)解：V66 62: 号89 3 25-5 25-25-月-5-5 5+5W5+5-55-3 V2-1 (2-1 (2)解：x= 3-2W2_3-22_ 2+12+12-可2-11 3-22 y2+. (2+13+223+22 =2-12+12-可2-11-3+25 ..(+ =3-22+3+2W2 试卷第9页，共3页 =62 =36: 1 2++5+2++2026+V225 ×(√2026+1) (3)解： √2-1 5-2 V2026-√2025 +…+72026+V2025小2026-V2025} ×√2026+1 (2+12-13+25-2 (2-15-2 ++2026-V202 2-13-2 ×√2026+1 2026-2025 =V2-1+5-√2++V2026-V2025×V2026+1 =√2026-1√2026+1 =2026-1 -2025 3.若两个含有二次根式的代数式M,N满足MV=1,其中t是有理数，则称M与N是互 为“1相关代数式”. 0)活M与5是互为“6相关代数式”，则M= 2)若其中M=a-v5 (a是有理数)，N=8+25 且M与N是互为“t相关代数式”， 求a和t的值. 【详解】()解：M与5 是互为“6相关代数式”， :V5M=6 w培2w, (2)解：~M与N是互为“t相关代数式”， MN=a-58+25=i, 整理得， (2a-8)V5+8a-10=t 试卷第10页，共3页 第03讲二次根式的加法与减法 【题型1】同类二次根式 例题1．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 例题2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．2023 B． C．2024 D． 2．若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 3．已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是_______． 【题型2】二次根式的加减运算 例题1．计算： (1) (2) 例题2．计算： (1) (2) 【针对训练】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算(1)； (2)． 【题型3】二次根式的混合运算 例题1．计算：(1) (2)；(3)； 例题2．计算：． 【针对训练】 1．计算：． 2．计算：． 3．计算： (1)(2) 4．计算： (1)；(2)． 【题型4】分母有理化 例题1．先化简，再求值：．其中． 例题2．观察下列等式： ①； ②； ③； … 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简：． (2)计算：________（为正整数）． (3)计算：． 【针对训练】 1．先化简，再求值：，其中． 2．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：_________，_________，_________； (2)已知：，求的值． (3)计算：． 3．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【题型5】已知字母的值，化简求值 例题1．已知，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 例题2．已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【针对训练】 1．先化简，再求值：，其中 ． 2．已知．求的值． 3．设．求和的值． 4．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 5．（1）计算； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【题型6】已知条件式，化简求值 例题1．已知：，求代数式的值． 例题2．已知，求式子的值． 【针对训练】 1．已知，． (1)求的值；(2)求的值；(3)求的值． 【题型7】二次根式比大小 例题1．比较大小：______6． 例题2．比较大小：（1）________    （2）________ 【针对训练】 1．比较下列两个数的大小：____________． 2．阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： (1)与___________互为有理化因式； (2)比大小：___________（直接填或中的一种）； (3)已知是正整数，，求． 3．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 【题型8】二次根式的应用 例题1．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 例题2．如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为______． 【针对训练】 1．如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 2．阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 3．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 4．我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 【题型9】复合二次根式的化简 例题1．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【针对训练】 1．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下： (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：； (3)计算：． 2．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知是两个正整数，且记作，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如： 任务： (1)分母有理化：___________； 化简“理想二次根式”：___________． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值． 3．阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $