7.3.2 离散型随机变量的方差 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2离散型随机变量的方差 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 1．离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量的分布列为 … … … … 由数学期望的公式可知______，则称为随机变量的______，并称为的______．通常还用表示方差，用表示标准差． 2．性质 ______________，（为常数） 3．两点分布的方差 若X服从两点分布，则__________（其中p为成功概率）． 4．随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的_______．方差或标准差越小，随机变量的取值越________；方差或标准差越大，随机变量的取值越______． 5．方差的计算可以简化吗？ 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 2．若随机变量满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量的分布列如表，则随机变量的方差的最大值为（   ） ξ 0 1 2 P y 0.4 x A．0.72 B．0.6 C．0.24 D．0.48 4．设，随机变量的分布列如下： X 1 2 P a A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 5．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 二、多选题 9．设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 10．若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．设随机变量X的分布列为 X 1 2 P p 其中．若，则一定正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5 P 0.4 0.1 0.5 则X的标准差为________． 13．抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，则______. 14．随机变量的分布列是 2 4 P a b 若，则__________． 四、解答题 15．某市高二建模数学小组的7名学员中恰有4人来自建华中学，从这7名学员中随机选取2人，表示选取的人中来自建华中学的人数． (1)求的分布列； (2)求的数学期望和方差． 16．已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 17．已知某随机变量的概率分布为 1 2 3 其中，随机变量的方差，求的值 18．某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为， （1）求的概率即 （2）求取出白球的数学期望和方差 19．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每日加工的零件数相等，所出次品数分别为、，且和的分布列分别为 0 1 2 0 1 2 试比较这两名工人的技术水平及稳定性． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.2离散型随机变量的方差 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 1．离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量的分布列为 … … … … 由数学期望的公式可知______，则称为随机变量的______，并称为的______．通常还用表示方差，用表示标准差． 【答案】 方差 标准差 2．性质 ______________，（为常数） 【答案】 3．两点分布的方差 若X服从两点分布，则__________（其中p为成功概率）． 【答案】 4．随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的_______．方差或标准差越小，随机变量的取值越________；方差或标准差越大，随机变量的取值越______． 【答案】 离散程度 集中 分散 5．方差的计算可以简化吗？ 【答案】. 即： 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用离散型随机变量的方差的计算公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 2．若随机变量满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据方差的性质求出，再根据标准差与方差的关系求出. 【详解】因为，所以， 故. 故选：C. 3．已知随机变量的分布列如表，则随机变量的方差的最大值为（   ） ξ 0 1 2 P y 0.4 x A．0.72 B．0.6 C．0.24 D．0.48 【答案】B 【知识点】方差的期望表示、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由分布列的性质求得，得到和，再根据，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得，所以， 又由期望的公式，可得，所以， 则， 所以当时，. 故选：B. 4．设，随机变量的分布列如下： X 1 2 P a A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】C 【知识点】方差的期望表示、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】根据公式求出方差，结合二次函数的单调性即可得出结论. 【详解】由题意可得，随机变量的数学期望， 随机变量的数学期望， ∴随机变量X的方差， 对称轴为， ∴当在增大时，先增大后减小， 故选：C. 5．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】根据题意写出随机变量的分布列，再由数学期望和方差的公式求解即可. 【详解】抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，则 所以随机变量的分布列为 1 所以，． 故选：A 6．已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、判断命题的充分不必要条件、两点分布 【分析】根据两点分布结合数学期望及方差定义计算，再应用充分必要定义判断即可. 【详解】当时，得，则，，充分性成立； 反之，，即，解得或，必要性不成立. 故选:A. 7．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】先根据概率的性质求出，再根据期望公式求出，然后根据方差公式得出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出方差的最小值. 【详解】由，可得， 所以随机变量的期望为， 则方差为， 所以当时，方差取得最小值，最小值为. 故选：A. 8．已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题、方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】先根据分布列性质计算求参数，再根据方差定义计算方差，最后应用方差性质计算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以． 故选：C． 二、多选题 9．设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】均值的性质、求离散型随机变量的均值、方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据题意，利用期望和方差的公式求得，结合期望与方差的性质，分别求得的值，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 则， 因为，所以 . 故选：ABC. 10．若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】两点分布的方差、方差的性质、两点分布的均值、两点分布 【分析】根据两点分布得，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以，故A正确； ，故D错误； ，故B正确； ， 故C错误. 故选：AB 11．设随机变量X的分布列为 X 1 2 P p 其中．若，则一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】先通过求出未知参数，再依次计算和，最后验证选项. 【详解】依题意，， 已知，代入得：，故A错误，B正确； ， 代入得：，C正确； ，D错误. 三、填空题 12．已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5 P 0.4 0.1 0.5 则X的标准差为________． 【答案】 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】先求出数学期望，再根据方差公式计算最后得出标准差计算求解. 【详解】， ． 的标准差为． 故答案为：. 13．抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，则______. 【答案】 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、两点分布的方差、方差的性质 【分析】根据两点分布的方差计算公式和方差的基本性质即可求解. 【详解】由题知，服从两点分布，且， 所以. 故答案为：. 14．随机变量的分布列是 2 4 P a b 若，则__________． 【答案】 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、方差的期望表示 【分析】根据概率之和等于1及求得，然后再利用方差公式即可求得答案. 【详解】解：，即， 又因，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．某市高二建模数学小组的7名学员中恰有4人来自建华中学，从这7名学员中随机选取2人，表示选取的人中来自建华中学的人数． (1)求的分布列； (2)求的数学期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）列出的所有可能取值，根据古典概型概率计算公式计算对应概率列表可得分布列； （2）根据分布列由期望和方差公式计算即可. 【详解】（1）的所有可能取值是0，1，2； ，，， 所以的分布列是 0 1 2 P （2）数学期望是， 方差为． 16．已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 【答案】(1) (2) 【知识点】方差的性质、均值的性质、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用方差和期望的公式可求得结果. （2）利用均值和方差的性质求解. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， . 17．已知某随机变量的概率分布为 1 2 3 其中，随机变量的方差，求的值 【答案】/ 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】利用离散型随机变量的期望与方差公式列式计算，即可得解. 【详解】由题，，， 由，则， 解得，从而， 所以. 18．某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为， （1）求的概率即 （2）求取出白球的数学期望和方差 【答案】（1）；（2），. 【知识点】方差的期望表示、求离散型随机变量的均值 【解析】（1）首先求出，然后可算出答案； （2）的可能取值为，算出对应的概率，然后可得答案. 【详解】（1）因为，所以 （2）的可能取值为 ，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以 19．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每日加工的零件数相等，所出次品数分别为、，且和的分布列分别为 0 1 2 0 1 2 试比较这两名工人的技术水平及稳定性． 【答案】甲、乙技术水平相当，乙更稳定 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】计算平均数与方差，即可得出结论． 【详解】，， ，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当， 又， ， ，所以工人乙的技术比较稳定. 所以甲、乙技术水平相当，乙更稳定. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $