7.3.1离散型随机变量的均值讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.1离散型随机变量的均值 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 (1)离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称___________________=______________为随机变量的均值、或数学期望，数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. (2)进一步理解：随机变量的均值是一个___的数，而样本均值具有____，它围绕随机变量的___波动．随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小，因此，我们常用随机变量的____的均值去估计随机变量的均值． （3）离散型随机变量的数学期望的性质：若，，为常数，则______． （4）两点分布的均值公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:________=___________. 1 0 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．随机变量的分布列为，则（　　） A． B． C．2 D． 2．已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则（    ） A． B． C． D． 3．不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（    ） A． B． C． D． 4．一道试题，甲解出的概率为，乙解出的概率为.设解出该题的人数为X，则等于（    ） A． B． C． D． 5．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 6．设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设某学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的均值，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 11．已知随机变量X满足，则（    ） A． B． C． D．记，则 三、填空题 12．在边长为1的正方体的8个顶点中，记任取两点的线段长为，则的期望为________． 13．将一枚硬币和一个骰子同时投掷，硬币出现正面记为2，出现反面记为1，此数与骰子的点数之积记为（例如硬币出现正面，骰子点数为3，则），那么的数学期望是_____． 14．设离散型随机变量的期望为，则____． 四、解答题 15．已知随机变量的分布列为 0 1 2 (1)求的值； (2)求； (3)若，求. 16．袋中有个大小相同的球，其中记上号的有个，记上号的有个.现从袋中任取一球，表示所取球的标号. (1)求的分布列、均值； (2)若，，求的值. 17．小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 18．袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． (1)求恰有1个红球的概率； (2)设3个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望； 19．乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲､乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为. (1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； (2)求再打两个球甲新增的得分的分布列和期望. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.1离散型随机变量的均值 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 (1)离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称___________________=______________为随机变量的均值、或数学期望，数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 【答案】 (2)进一步理解：随机变量的均值是一个___的数，而样本均值具有____，它围绕随机变量的___波动．随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小，因此，我们常用随机变量的____的均值去估计随机变量的均值． 【答案】 确定 随机性 均值 观测值 （3）离散型随机变量的数学期望的性质：若，，为常数，则______． 【答案】 （4）两点分布的均值公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:________=___________. 1 0 【答案】 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．随机变量的分布列为，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】根据数学期望的公式求解即可. 【详解】. 故选：B. 2．已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、求离散型随机变量的均值 【分析】先由数学期望公式求，再根据数学期望的性质建立方程，求解即得参数值. 【详解】由， 因，则， 解得：． 故选：A. 3．不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率、分步乘法计数原理及简单应用、求离散型随机变量的均值 【分析】求出的所有可能取值后，计算其对应概率，结合期望公式计算即可. 【详解】选取次数的所有可能取值为1，2，3，4， 则，，，， 故选取次数的数学期望. 故选：B. 4．一道试题，甲解出的概率为，乙解出的概率为.设解出该题的人数为X，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】先根据题意写出分布列，再利用期望公式计算期望. 【详解】依题意，X的可能取值为0，1，2. 当甲、乙两人均未答对时，； 当甲、乙两人中一人答对、一人答错时，； 当甲、乙两人均答对时，. 故X的分布列如下， X 0 1 2 P 所以. 故选：C. 5．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】均值的性质、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据已知分布列得出对应概率，再应用数学期望公式计算结合数学期望性质求解即可. 【详解】根据分布列可得； ， 故选：A. 6．设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【详解】由题设，可得， 且，可得， 所以，则. 故选：D 7．若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求离散型随机变量的均值、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【详解】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 8．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两点分布、两点分布的均值 【分析】根据两点分布的性质可得，结合题意求得，再根据两点分布的期望公式即可得解. 【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布， 所以， 则，解得或， 又因， 所以，则， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】先应用概率和为1得出，再计算数学期望，利用期望的性质判断各个选项. 【详解】由，得，故A正确； 则故B正确； 因，故C正确； 因故D错误. 故选：ABC. 10．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设某学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的均值，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数 【分析】由题意得到的所有的可能取值为，求得相应的概率，利用，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，随机变量的所有的可能取值为， 可得 则， 因为，即，解得或， 又由，所以，即. 结合选项，可得选项A、B符合题意. 故选：AB. 11．已知随机变量X满足，则（    ） A． B． C． D．记，则 【答案】ABD 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、由随机变量的分布列求概率 【分析】根据分布列的性质，列出方程，求得的值，可判定A正确；根据互斥事件的概率加法公式，可判定B正确；利用期望的公式，求得，可判定C错误；根据，求得相应的概率，结合期望的公式，可判定D正确. 【详解】由随机变量X满足， 根据分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 由，所以B正确； 由期望公式，可得，所以C错误； 由，则，， ，所以，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．在边长为1的正方体的8个顶点中，记任取两点的线段长为，则的期望为________． 【答案】 【知识点】求离散型随机变量的均值、几何组合计数问题 【详解】的所有可能取值为， 从边长为1的正方体的8个顶点中，任取两点可得条线段， 其中长度为1的线段有12条，长度为的有12条，长度为的有4条， 因此， 所以的期望 13．将一枚硬币和一个骰子同时投掷，硬币出现正面记为2，出现反面记为1，此数与骰子的点数之积记为（例如硬币出现正面，骰子点数为3，则），那么的数学期望是_____． 【答案】 【知识点】数学期望与方差 【分析】列出所有的取值并求得其对应概率即可求出期望值. 【详解】易知 可得， ， 所以． 故答案为： 14．设离散型随机变量的期望为，则____． 【答案】 【知识点】均值的性质 【分析】根据数学期望的性质可求答案. 【详解】． 故答案为： 四、解答题 15．已知随机变量的分布列为 0 1 2 (1)求的值； (2)求； (3)若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、均值的性质、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用分布列的性质即可得解； （2）利用随机变量的期望公式可得答案； （3）法一：利用即可得解；法二：利用随机变量的期望公式可得答案. 【详解】（1）依题意，由分布列得，解得， 所以的值为. （2）由（1）得. （3）法一：因为， 所以. 法二：因为，所以的分布列如下： 所以. 16．袋中有个大小相同的球，其中记上号的有个，记上号的有个.现从袋中任取一球，表示所取球的标号. (1)求的分布列、均值； (2)若，，求的值. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率、均值的性质、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】(1)根据古典概型求概率并写出的分布列然后计算均值即可； (2)根据均值的性质及的均值即可求出. 【详解】（1）由题意可知袋中号的有，记上号的有个， 由古典概型可知，，，，； 的分布列为 的均值. （2），又因为，则，所以. 17．小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 【答案】(1) (2) 【知识点】两点分布的均值、均值的性质、独立事件的乘法公式 【分析】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式即可得， （2）利用数学期望的性质，结合两点分布的期望公式即可得解. 【详解】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件， 小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件， ， 故在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率为， （2）设表示第位同学的得分，分别对应小林，小张，小陈，小王）， 则， 由数学期望的性质可知， 对于，答对得2分，答错得0分，服从两点分布， ； ； 则. 18．袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． (1)求恰有1个红球的概率； (2)设3个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望； 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由古典概型结合组合数计算即可求解； （2）依题意求出随机变量的所有可能取值并求出每个取值相应的概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求解数学期望； 【详解】（1）设从袋中任取3个球恰有1个红球为事件， 则； （2）的可能取值为0，1，2，3， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 ． 19．乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲､乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为. (1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； (2)求再打两个球甲新增的得分的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、计算条件概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）设事件为“打两球后结束”，事件为“乙赢得比赛”，求出，，再根据条件概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值是，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望. 【详解】（1）打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球， 设事件为“打两球后结束”，事件为“乙赢得比赛”， 则，， 故. （2）依题意的可能取值是， 所以，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $