专题12 解直角三角形的最值模型之胡不归模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级下册

专题12.解直角三角形的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.胡不归模型（最值模型） 4 13 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （25-26九年级上·吉林长校考期中）【模型认知】如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图；（2）补全解题过程中缺失部分； 【模型应用】如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】模型认知：垂线段最短；模型探究：（1）见解析；（2）；模型应用：6 【详解】解：模型认知：由题意得，“▲”处应填写的推理依据为垂线段最短； 模型探究：（1）如图所示，即为所求； （2）过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∵， ∴当最小时，有最小值，此时、、三点在同一条直线上， ∴此时是等腰直角三角形，∴，，∴的最小值为； 模型应用：如图所示，作，过点C作于D，则； 在中，当时，，当时，， ∴，∴，∴，， ∴，∴；∵， ∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线， 在中，，∴的最小值为6． 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（24-25八年级下·新疆·期中）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使． ②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于 ③作射线交于点．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：由作图可知，是的平分线，且， ，如图，作于点， ，， ∴当、、三点共线，的值最小为，故答案为：． 例2（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，P为边上的一个动点（不与A、C重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【详解】解：如图，以为斜边在下方作等腰直角，过B作于E，连接 ，，，， ，，的最小值为．故选：B． 例3（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， ，，，在中，， ，，， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时， 在中，，，， 即的最小值为，故答案为：． 例4（24-25九年级上·重庆·期末）如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． (1)求抛物线解析式；(2)点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； 【答案】(1)y(2)，的最小值为3 【详解】（1）解：（1）当时，，，∴， 当时，，∴，∴，∴，∴，， ∴，∴，∴抛物线解析式为：y； （2）解：如图1，作轴于E，交于F，设直线的解析式为：， ∴，∴，∴，设，则 ∴，∴， ∴当时，，当时，，∴， 作轴，作于G，作于H，∴， ∴，∴， ∴，则的最小值为3； 例5（25-26下·浙江宁波·九年级校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，∴点A（3，0），点， ∴AO＝3，，∴， 作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示： ∴，∴， ∴，∴是等边三角形，∵，∴， ∵CH⊥AB，∴，∴， ∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值， 此时，，是等边三角形，∴，， ∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6． 例6（2025·山东德州·校考二模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如图，过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，由题意得，解得，所以二次函数的解析式为， 令，则，，令，则，解得，，，， ，，，， ，， 当D，P，F三点共线时，取最小值， ，，，，，， 而在中，，，即取最小值为， 的最小值为．故答案为：4． 例7（24-25·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 例8（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴，， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到， 作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形， 此时，，∴有最小值，作轴于点P，         则，，∵，∴，∴， ∴，即，∴，则，设直线的解析式为， 则，解得，∴直线的解析式为， 联立，，解得，即；过点D作轴于点G， 直线与x轴的交点为，则，∴， ∴，∴， 即的最小值是，故答案为：． 例9（2025·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 例10（25-26·山东·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 ． 【详解】（1） 四边形 是矩形， ， 与 交于点O,且 关于 对称， ，， 四边形 是菱形； （2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ， 关于 的对称图形为 ， ， 在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点， 为 的中位线 ，   ，同理可得： 为 的中点， ，   ， ； ②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s， 由①可得，， 点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A， 即：， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小. 如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.， 在 中，设， ， ，解得： ， ，和 走完全程所需时间为． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：过点作于，过点作于，连接， 为的直径，，，， ，，，， 的最小值为的长，为弧的中点，， 在中，，， 的最小值为，故选：A． 2．（25-26·河北·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：如图， 在△ABC内作∠MBA＝30°过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P， ∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝AP 当BP⊥AE时，则AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的长， 在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB•cos30°＝．∴AP+PB的最小值是．故选：B． 3．（2025·山东淄博·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E， ∵点A的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴点D的坐标为； ∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°， ∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°， ∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动， 当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合， ∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，∴此时点P的坐标为（0，-2）， 设直线PD的解析式为，∴，∴，∴直线PD的解析式为； 如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H，∴点H的坐标为，∴，∴∠OCH=30°，∴， 由轴对称的性质可知AP=GP，∴， ∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D为AG的中点， ∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为，∴AG=2AD=2OA=4， ∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等边三角形，∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G在x轴上， ∴由勾股定理得，∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长，∴的最小值为，故选：C． 4．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于 ． 【答案】4 【详解】解：如图，连接交于点M，过点M作于点H，过点A作于点G，交于点P，四边形是菱形，边长为5，， ，，，， ，， ，，，，， ，即，， 当A，P，G三点共线且时，取最小值，最小值为， 菱形的面积，， 的最小值是4．故答案为：4． 5．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，．点是在边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作交于的延长线于点， ，，， 当时，，此时，取最小值， ∵，，设，则， 根据勾股定理可得：，即，解得：（舍）， ，，，，故答案为：． 6．（2025·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过作，菱形，， ，，即为等边三角形，， 在中，，，当、、三点共线时，取得最小值， ，，， 在中，，则的最小值为．故答案为：． 7．（25-26九年级上·湖北·期末）在等边中，是射线上的点． (1)如图1，点在边上，以为边在左侧作等边三角形，求证：； (2)如图2，点在边的延长线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若为的中点，猜想：与之间的位置关系是________，数量关系是________，请证明你的结论； (3)在（2）的条件下，连接，若，直接写出的最小值为________． 【答案】(1)见解析(2)，，证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵等边，，∴， ∴，即， ∵，∴，∴； （2）解：如图2，以为边在左侧作等边三角形，连接，同理（1），， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴三点共线， ∵等边三角形，，∴，∴，，解得，； （3）解：由（2）可知，，∴， 如图3，作于，连接，由（2）可知，， ∵等边，，∴，，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴点在过点且与夹角为的直线上运动，如图3，延长交于，， ∴，， 如图3，作关于的对称点，连接交于，连接，则， ∴，， ∴当三点共线时，最小，最小值为， 如图3，作于，则，，解得，， ∴，，由勾股定理得，， ∴的最小值为，故答案为：． 8．（2025·江苏苏州·二模）如图，抛物线的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，其中点坐标，点坐标．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点为轴上一个动点，则最小值为_______． 【答案】(1)(2)(3)12 【详解】（1）解：将、代入可得， ，解得，抛物线的解析式是 （2）解：当时，，∴，连接，过O作于H，并延长至点M，使，作直线交抛物线于G，过M作于N， ∴，∴，即， ∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，即，解得，，∴， 设直线解析式为，则，解得，∴， 联立方程组，整理得，解得，（舍去）， ∴，∴∴存在点，使； （3）解：取点，作直线，过Q作于H，过B作于M， 则，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴要求的最小值，只需求的最小， 当B、Q、H三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，，∴， ∴，即，解得，∴的最小值为 ∴的最小值为． 9．（24-25九年级上·重庆巴南·月考）如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F． (1)如图1，点D在线段上，，，求的面积； (2)如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：； (3)如图3，点D在的延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵，，， ，，∴，∴， 在中，，，∴，∴， 在中，，∴， ，∴； （2）证明：如图2，过点作交延长线于点， ∵，，， ，，， ，，∴，， ∵，∴，∵，∴，， ∵，，∵， ∵，，∴， ，， ∴，，， ∵，∴，，即． （3）解：如图3，取，作，． ，，，，∴， ，，，，， ，，，， 如图4，当，重合时，取最小值，此时， ∵，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，过作于点，∵，∴， ∵，∴，． 10．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)当时，求的函数值的取值范围；(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3)的最小值为： 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵的对称轴为直线，而，∴函数最小值为：， 当时，，当时，，∴函数值的范围为：； （3）解：∵，当时，，∴， 当时，解得：，，∴，∴， 设直线为，∴，∴，∴直线为， ∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为，∴，∴在直线上， 如图，过作于，连接，过作于， ∵，，∴，， ∵对称轴与轴平行，∴，∴，∴， 由抛物线的对称性可得：，， ∴，当三点共线时取等号， ∴，∴，∴， 即的最小值为：． 11．（25-26九年级·江苏·专题练习）如图，内接于，，，过点作交于点，点是上一动点，求的最小值． 【答案】的最小值为9． 【详解】如解图，过点作于点，过点作于点， ∵，，是的直径，∴，∴， ∴，∴，∴， 当点，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，此时点与点重合， ∵，∴，∴，即的最小值为9. 12．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知，在正方形中，点，分别为上的两点，连接、，并延长交于点，连接，为上一点，连接、，. (1)如图1，若为的中点，，且，求线段的长； (2)如图2，若，过点作于点，求证：； (3)如图3，若，为线段（包含端点、）上一动点，连接，过点作于点，将沿翻折得，为直线上一动点，连接，当面积最大时，直接写出的最小值． 【答案】(1)；(2)见解析(3)的最小值为． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，∴，， ∵，∴，，在中，， ∵为的中点，∴； （2）证明：如图，过点作于点， ，，，， ，，， ，， 是等腰直角三角形，， ，，， ，，，， ，是等腰直角三角形，， ，即； （3）证明：如图甲所示，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，，，是直角三角形， 将沿BC翻折得，是直角三角形，， 当时，的面积最大，是的中点，是等腰直角三角形， 则也是等腰直角三角形，，此时如图乙所示，则点与重合， ∵，，，三点共线时，取得最小值， ，，， 则四边形是矩形，，即的最小值为． 13．（2025·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 ． 【详解】（1） 四边形 是矩形， ， 与 交于点O,且 关于 对称， ，， 四边形 是菱形； （2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ， 关于 的对称图形为 ， ， 在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点， 为 的中位线 ，   ，同理可得： 为 的中点， ，   ， ； ②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s， 由①可得，， 点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A， 即：，由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小. 如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.， 在 中，设， ， ，解得： ， ，和 走完全程所需时间为． 14．（2020·湖南·中考真题）已知直线与抛物线（b，c为常数，）的一个交点为，点是x轴正半轴上的动点．（1）当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标； （2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为，当的最小值多时，求b的值． 【答案】（1）-2，2，-3，；（2）4或6；（3）3 【详解】解：（1）∵直线经过， ∴把代入直线，可得，解得； ∵抛物线（b，c为常数，）经过， ∴把代入抛物线，可得， ∵当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E， ∴顶点的坐标为，把代入直线， 可得，∴，解得， ∵，∴，∴，∴顶点的坐标为． （2）∵点D在抛物线（b，c为常数，）上，且点D的横坐标为， ∴，∵在抛物线（b，c为常数，）上， ∴，即，∴， 可知点D在第四象限，且在直线的右侧． ∵，∴可取点， 如图2，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，∴，得， 则此时点M满足题意，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H， 在Rt△MDH中，可知，∴， ∵点，∴，解得：， ∵，∴，∴． 15．（2025·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于． ∵，∴．在中，． ∵，∴．∴点到的距离为． （2）如图，连接，过点作于，过点作于． ∵，∴的最小值等于的长， ∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合， ∴的最小值等于的长，∵，∴． 在中，． ∵，∴． 即的最小值为；故答案为： （3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G， 在中，，∴， ∴，∴的最小值等于， ∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合， ∴的最小值等于， ∵四边形是矩形，∴， ∴，∴，即的最小值等于． 16．（2025·重庆沙坪坝·校考一模）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形． （1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积； （2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF； （3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值． 【答案】（1） (2)证明见解析（3）CQ＋BQ的最小值为 【详解】解：作DF⊥AC ∵点E是BD的中点∴BE=DE故 ∵AD=4,△ADE是等边三角形，DF⊥AE∴AF=EF=2,∠ADF=30°∴DF= ∵在Rt△DEC中，CD=5,DF=,根据勾股定理得：FC= ∴CE=CF-EF= = (2)证明：延长AF使AF=FG如下图 ∵△AED是等边三角形 ∴∠AED=∠ADE=60°，AE=AD=ED ∵AF=FG，点F是CD的中点∴CF=FD又∠AFD=∠CFG ∴△AFD≌△GFC∴CG=AD，∠FCG=∠ADF∴CG=AE 又∵∠CEB=∠ECD+∠EDC=60°，∴∠ACG=∠FCG+∠ACD=∠ADF+∠ACD=120° 又∠AEB=120°∴∠AEB=∠ACG，∠CAG=∠ABD 又CG=AE∴∴AB=AG 故AB=2AF (3)如下图，过点Q作QG⊥BG，使∠NBE=∠GBQ,在Rt△BQG中，sin∠BQG= 则GQ=BQ,故CQ＋BQ=CQ+QG，由∠APD=90°，可知点P的运动轨迹为AD为直径的圆，⊙N ．点G为以BE的中点为圆心的圆，点G的运动轨迹为圆．当点C、Q、G在同一条直线上时，CQ+QG的长度最小． ∵AB∥CD，∠APD＝90°∴四边形ADCK为正方形，有AD= AB= ∴CK=AD=又tan∠ABC＝2∴BC= ∵AN= ，GN= ∴CL=CD-DL= ∠BGN=∠GCL ∴Rt△BGN≌Rt△GCL ∴BG=CG 在Rt△BGC中，BC=∴CG= 即CQ＋BQ的最小值= 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.解直角三角形的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.胡不归模型（最值模型） 4 13 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （25-26九年级上·吉林长校考期中）【模型认知】如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图；（2）补全解题过程中缺失部分； 【模型应用】如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（24-25八年级下·新疆·期中）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使． ②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于 ③作射线交于点．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 例2（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，P为边上的一个动点（不与A、C重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．8 例3（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 例4（24-25九年级上·重庆·期末）如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． (1)求抛物线解析式；(2)点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； 例5（25-26下·浙江宁波·九年级校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ． 例6（2025·山东德州·校考二模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 例7（24-25·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 例8（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    例9（2025·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例10（25-26·山东·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 2．（25-26·河北·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（　　） A． B． C． D．2 3．（2025·山东淄博·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（    ） A． B．4 C． D．2 4．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于 ． 5．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，．点是在边上的动点，则的最小值是 ． 6．（2025·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 7．（25-26九年级上·湖北·期末）在等边中，是射线上的点． (1)如图1，点在边上，以为边在左侧作等边三角形，求证：； (2)如图2，点在边的延长线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若为的中点，猜想：与之间的位置关系是________，数量关系是________，请证明你的结论； (3)在（2）的条件下，连接，若，直接写出的最小值为________． 8．（2025·江苏苏州·二模）如图，抛物线的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，其中点坐标，点坐标．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点为轴上一个动点，则最小值为_______． 9．（24-25九年级上·重庆巴南·月考）如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F． (1)如图1，点D在线段上，，，求的面积； (2)如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：； (3)如图3，点D在的延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 10．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)当时，求的函数值的取值范围；(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 11．（25-26九年级·江苏·专题练习）如图，内接于，，，过点作交于点，点是上一动点，求的最小值． 12．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知，在正方形中，点，分别为上的两点，连接、，并延长交于点，连接，为上一点，连接、，. (1)如图1，若为的中点，，且，求线段的长； (2)如图2，若，过点作于点，求证：； (3)如图3，若，为线段（包含端点、）上一动点，连接，过点作于点，将沿翻折得，为直线上一动点，连接，当面积最大时，直接写出的最小值． 13．（2025·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 14．（2020·湖南·中考真题）已知直线与抛物线（b，c为常数，）的一个交点为，点是x轴正半轴上的动点．（1）当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标； （2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为，当的最小值多时，求b的值． 15．（2025·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 16．（2025·重庆沙坪坝·校考一模）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形． （1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积； （2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF； （3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $