第七章 二元一次方程组（单元自测·培优卷）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．小明解二元一次方程组时写出了四种解法，其中最合适的解法是（   ） A．由①得，代入② B．由①得，代入② C．由②得，代入① D．由②得，代入① 2．已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 3．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　） A． B． C． D．4．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 5．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 6．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据．当时间为时，对应的水位为（    ） … 1 2 3 … … … A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 8．如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 9．《西游记》中孙悟空的法宝如意金箍棒可以随心所欲地变大变小、变长变短．一天，孙悟空将金箍棒取出变长到，猪八戒说：“嘿，这棒子若再伸长就能正好分成x根长的小段和y根长的小段了．”沙僧说：“嗯，这棒子若再缩短就能正好分成根长的小段和根长的小段了．”则a可能是（   ） A．25 B．26 C．27 D．31 10．在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 12．如下，在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等，则表格中的值是 ． 2 1 13．在代数式中，若，时，其值是；当，时，其值是，则 ， ． 14．甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是 小时． 15．某人只带2元和5元两种货币若干张，他要买一件43元的商品，而商店不给找钱，要他恰好付43元，他的付款方式共有 种． 16．中国建筑中的窗格图案反映了中国传统文化和中国建筑的美学精神，小明同学利用线段的平行与交错设计出一个大长方形窗格图案（如图），图中大长方形窗格图案是由8个大小相同的小长方形，2个大小相同的平行四边形与2个大小相同的正方形拼接而成的，若大长方形的周长为，则小长方形的周长是 ．（结果用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值． 18．（8分）解下列方程组： (1)； (2)． 19．（9分）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 20．（9分）九章算术中记载，浮箭漏（如图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究，研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 箭尺读数 (1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 21．（9分）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，设两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 22．（9分）某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共台，用去万元，请研究一下商场的进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一台乙种电视机可获利元，销售一台丙种电视机可获利元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案． (3)若商场准备用万元同时购进三种不同的电视机台，请你设计进货方案． 23．（10分）某校七（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品．经与店家沟通，小文获知了如下表的信息： 购买方案 笔/支 大本子/本 小本子/本 剩余钱数/元 方案一 36 0 0 2 方案二 38 0 0 方案三 0 12 8 0 方案四 0 10 10 10 (1)小文所带班费为________元． (2)求大、小本子每本的售价． (3)小文原计划购买6支笔，大、小本子各6本，但店家对小文说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折．”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大、小本子各10本．付钱时，店家说：“我现在的利润只比刚才的利润多10元．”根据以上信息求出小文实际购买文具的成本（已知1支笔的成本为4元）． 24．（10分）如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式； (2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标； (3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共22页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．小明解二元一次方程组时写出了四种解法，其中最合适的解法是（   ） A．由①得，代入② B．由①得，代入② C．由②得，代入① D．由②得，代入① 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题关键．利用代入消元法解方程组即可得． 【详解】解：方程组， 由①得：，，代入②，得到的方程都含分母； 由②得：，则选项C错误； 由②得：，代入①，得到的方程不含分母； 比较可知，最合适的解法是选项D， 故选：D． 2．已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】此题考查解二元一次方程组-特殊方法，根据所求的式子中各系数与方程组的关系，将原方程组对应相加或相减即可得到答案的方法更为简便． 根据两个方程系数的关系将两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：， 得：， 则， 故选：C． 3．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据一间客房住7人，那么有6人无房可住可得方程，根据一间客房住8人，那么就空出一间客房可得方程，据此列出方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 4．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：，即， 解得：， 则这个两位数是． 故选：A． 5．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 6．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据．当时间为时，对应的水位为（    ） … 1 2 3 … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，设，根据表格中的数据利用待定系数法可求出，再求出时，的值即可得到答案． 【详解】解：设， 把，代入中得， ∴， ∴， 当时，， ∴当时间为时，对应的水位为， 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ， ∴， ∴ 则关于、的方程组的解为． 故选：B． 8．如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，本题的难点是解关于，的方程，解题的基本思想是消元． 题目中的图形实际是说明了两个相等关系：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是．根据第一个天平得到：；根据第二个天平得到：，把这两个式子组成方程组，解这个关于，的方程组即可． 【详解】解：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是． 根据题意得到：， 解得：， 第三图中左边是：，因而需在它的右盘中放置7个球． 故选：B． 9．《西游记》中孙悟空的法宝如意金箍棒可以随心所欲地变大变小、变长变短．一天，孙悟空将金箍棒取出变长到，猪八戒说：“嘿，这棒子若再伸长就能正好分成x根长的小段和y根长的小段了．”沙僧说：“嗯，这棒子若再缩短就能正好分成根长的小段和根长的小段了．”则a可能是（   ） A．25 B．26 C．27 D．31 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得，解得，，再根据x、y都是整数，得到或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题可得：， ∴， 得：， ∴，， ∵x、y都是整数， ∴或， ∴或， 故选：C． 10．在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和几何的综合题．根据一次函数的图像和性质依次求出7块阴影部分面积，求和即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 同理可得，其余阴影部分面积分别为， ∴图中所有7块阴影部分面积和为， 故选：D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．根据题意，把代入方程得出一个关于k的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：根据题意，把代入方程得：， 解得：， 故答案为：1． 12．如下，在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等，则表格中的值是 ． 2 1 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：∵在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等， ∴， 解得：， 故表格中的值是， 故答案为：． 13．在代数式中，若，时，其值是；当，时，其值是，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，由，时，代数式的值是；当，时，代数式的值是，则，求出，的值即可，熟练掌握用加减法解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：∵当，时，代数式的值是；当，时，其值是， ∴， 得，解得， 把代入得，解得， 故答案为：，． 14．甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是 小时． 【答案】9 【分析】考查二元一次方程组的应用，得到两个工作量1的等量关系是解决本题的关键．设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，等量关系为：甲用型机器的工作量用型机器的工作量；乙用型机器的工作量用型机器的工作量，把相关数值代入求得两个时间，相加即为完成任务需要时间． 【详解】解：甲用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件； 乙用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件， 设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，则由题意可得： ， 解得， 甲完成任务所用的时间是9小时， 故答案为：9． 15．某人只带2元和5元两种货币若干张，他要买一件43元的商品，而商店不给找钱，要他恰好付43元，他的付款方式共有 种． 【答案】4 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程解决实际问题，解题的关键是利用特殊值分类进行讨论． 假设2元的有张，5元的有张，根据花费钱数，列出二元一次方程，然后利用特殊值进行讨论即可． 【详解】解：假设2元的有张，5元的有张，根据题意得， ， 整理得， 根据题意得，都是正整数， ∴是2的正整数倍， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴付款方式共有4种， 故答案为：4． 16．中国建筑中的窗格图案反映了中国传统文化和中国建筑的美学精神，小明同学利用线段的平行与交错设计出一个大长方形窗格图案（如图），图中大长方形窗格图案是由8个大小相同的小长方形，2个大小相同的平行四边形与2个大小相同的正方形拼接而成的，若大长方形的周长为，则小长方形的周长是 ．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形并结合题意得出二元一次方程组，解方程组即可得出的值，从而即可得解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， 解得： ， ∴小长方形的周长为 ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值． 【答案】． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入求出，再将将代入，得，联立得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， 将代入，得：， 联立得：， 解得：， ∴． 18．（8分）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法求解； （2）先将原方程组变形，再由加减消元法求解． 【详解】（1）解： 由得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组化为 由得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为． 19．（9分）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出与的值是解题的关键． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程，再求出与的值； （2）把a与b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 所以①；② 由②得，代入①得， 所以， 所以， 所以． （2）解：由（1）得． 20．（9分）九章算术中记载，浮箭漏（如图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究，研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 箭尺读数 (1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 【答案】(1)图形见解析； (2)与之间的函数表达式为； (3)是晚上． 【分析】本题考查了一次函数的应用、画函数图象，理解题意，正确求出函数关系式是解题的关键． （）根据表格中的数据描点即可得解； （）由各点连线是一条直线，得出是的一次函数，再利用待定系数法求解即可； （）当时，得，解得，然后计算即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：∵各点连线是一条直线， ∴是的一次函数． 设与之间的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴， 当时，得， 解得， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （3）解：当时，得， 解得， ∵上午经过小时后是晚上， ∴如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是晚上． 21．（9分）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，设两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 【答案】(1)25 (2)或 (3)2 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用、解二元一次方程组的应用． （1）根据“关联方程”的定义求解即可； （2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到关于的二元一次方程组，解方程组即可； （3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“关联方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得； （2）解：根据题意，可得或， 解两个二元一次方程组，可得或， ∴的值为或； （3）解：解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程和是“关联方程”， ∴， 解得． 22．（9分）某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共台，用去万元，请研究一下商场的进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一台乙种电视机可获利元，销售一台丙种电视机可获利元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案． (3)若商场准备用万元同时购进三种不同的电视机台，请你设计进货方案． 【答案】(1)一共有两种方案：①购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台；②购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； (2)为使销售时获利最多，应选择购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； (3)一共有四种进货方案：①购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；②购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；③购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；④购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）分三种情况：购进甲、乙两种型号的电视机；购进甲、丙两种型号的电视机；购进乙、丙两种型号的电视机；根据建立方程求解即可； （2）根据（1）所求分别计算出两种方案的利润，比较即可得到答案； （3）设购进甲种电视台，乙种电视台，则购进丙种电视的数量为台，根据购买费用为9万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：当购进甲、乙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机x台，则购进乙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台； 当购进甲、丙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机a台，则购进丙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； 当购进乙、丙两种型号的电视机时，∵，且， ∴此种情况不成立； 综上所述，一共有两种方案：①购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台；②购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； （2）解：方案①获利为：（元）； 方案②获利为：（元）． ∵， ∴为使销售时获利最多，应选择第②种进货方案． （3）解：设购进甲种电视台，乙种电视台，则购进丙种电视的数量为台． 由题意得，， 化简整理，得， ∴ 又∵，且均为整数， ∴当时，，； 当时， ，； 当时，，； 当时，，； ∴一共有四种进货方案：①购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；②购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；③购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；④购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台． 23．（10分）某校七（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品．经与店家沟通，小文获知了如下表的信息： 购买方案 笔/支 大本子/本 小本子/本 剩余钱数/元 方案一 36 0 0 2 方案二 38 0 0 方案三 0 12 8 0 方案四 0 10 10 10 (1)小文所带班费为________元． (2)求大、小本子每本的售价． (3)小文原计划购买6支笔，大、小本子各6本，但店家对小文说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折．”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大、小本子各10本．付钱时，店家说：“我现在的利润只比刚才的利润多10元．”根据以上信息求出小文实际购买文具的成本（已知1支笔的成本为4元）． 【答案】(1) (2)大、小本子每本的售价分别为元、元． (3)小文实际购买文具的成本为元． 【分析】（1），根据方案一和方案二的笔的购买数量与剩余钱数的关系求出笔的单价，进而求班费； （2）设大、小本子单价，根据方案三、四列方程组求解； （3）设大、小本子成本，结合利润关系列方程求解． 【详解】（1）解：设每支笔的售价为元 根据方案一：为班费； 方案二：为班费 所以 移项可得： 即： 解得： 则班费为（元） （2）解：设大、小本子每本的售价分别为元、元． 根据方案三： 根据方案四： 列方程组 解得 答：大、小本子每本的售价分别为元、元 （3）解：设大、小本子每本的成本分别为元、元 由（1），得1支笔的售价为（元） 由题意，得 整理，得， ∵小文实际购买文具的成本为：，， ∴实际成本为（元）， 答：小文实际购买文具的成本为元． 【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，掌握根据表格中的购买方案，找出等量关系，列出方程（组）求解是解题的关键． 24．（10分）如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式； (2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标； (3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、，直线的解析式为 (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数面积问题，一次函数与全等综合； （1）分别令和求出点A、B的坐标，设直线的解析式为，代入，计算即可求出解析式； （2）过作轴交于，利用铅锤法表示面积，根据列方程求解即可； （3）先求出，设，则，，分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：令则； 令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或； （3）解：∵， ∴， 由勾股定理，得 ， ∵Q在x轴上， ∴设，则，， ①当时， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q的坐标为或． ②当时， ∵， ∴， 两边平方，得 ，即， 解得（与A重合，舍去）或， ∴点Q的坐标为， ③当时， ∵， ∴， 两边平方，得 ， 即， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，满足条件的Q点坐标为：． 试卷第2页，共22页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 二元一次方程组·能力提升（参考答案） 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D A C B B B C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．1 12． 13． 14．9 15．4 16． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分） 【详解】解：将代入，得：， 解得：，……（2分） 将代入，得：，……（3分） 联立得：，……（4分） 解得：，……（7分） ∴．……（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解： 由得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为；……（4分） （2）解：原方程组化为 由得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为．……（8分） 19．（9分） 【详解】（1）解：由题意，得，……（2分），……（4分） 所以①；②……（5分） 由②得，代入①得， 所以，……（7分） 所以， 所以．……（8分） （2）解：由（1）得．……（9分） 20．（9分） 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： ……（2分） （2）解：∵各点连线是一条直线， ∴是的一次函数． 设与之间的函数表达式为，……（4分） 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴，……（6分） 当时，得， 解得， ∴，……（7分） ∴与之间的函数表达式为； （3）解：当时，得， 解得， ∵上午经过小时后是晚上， ∴如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是晚上．……（9分） 21．（9分） 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“关联方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得；……（3分） （2）解：根据题意，可得或， 解两个二元一次方程组，可得或， ∴的值为或；……（6分） （3）解：解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程和是“关联方程”， ∴， 解得．……（9分） 22．（9分） 【详解】（1）解：当购进甲、乙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机x台，则购进乙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台； 当购进甲、丙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机a台，则购进丙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； 当购进乙、丙两种型号的电视机时，∵，且， ∴此种情况不成立； 综上所述，一共有两种方案：①购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台；②购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台；……（3分） （2）解：方案①获利为：（元）； 方案②获利为：（元）． ∵， ∴为使销售时获利最多，应选择第②种进货方案．……（4分） （3）解：设购进甲种电视台，乙种电视台，则购进丙种电视的数量为台． 由题意得，， 化简整理，得， ∴ 又∵，且均为整数， ∴当时，，； 当时， ，； 当时，，； 当时，，； ∴一共有四种进货方案：①购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；②购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；③购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；④购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台．……（9分） 23．（10分） 【详解】（1）解：设每支笔的售价为元 根据方案一：为班费； 方案二：为班费 所以 移项可得： 即： 解得： 则班费为（元）……（3分） （2）解：设大、小本子每本的售价分别为元、元． 根据方案三： 根据方案四： 列方程组 解得 答：大、小本子每本的售价分别为元、元……（6分） （3）解：设大、小本子每本的成本分别为元、元 由（1），得1支笔的售价为（元） 由题意，得 整理，得， ∵小文实际购买文具的成本为：，， ∴实际成本为（元）， 答：小文实际购买文具的成本为元．……（10分） 24．（10分） 【详解】（1）解：令则； 令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为；……（3分） （2）解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或；……（6分） （3）解：∵， ∴， 由勾股定理，得 ， ∵Q在x轴上， ∴设，则，， ①当时， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q的坐标为或． ②当时， ∵， ∴， 两边平方，得 ，即， 解得（与A重合，舍去）或， ∴点Q的坐标为， ③当时， ∵， ∴， 两边平方，得 ， 即， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，满足条件的Q点坐标为：．……（10分） 试卷第2页，共22页 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．小明解二元一次方程组时写出了四种解法，其中最合适的解法是（   ） A．由①得，代入② B．由①得，代入② C．由②得，代入① D．由②得，代入① 2．已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 3．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　） A． B． C． D．4．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 5．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 6．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据．当时间为时，对应的水位为（    ） … 1 2 3 … … … A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 8．如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 9．《西游记》中孙悟空的法宝如意金箍棒可以随心所欲地变大变小、变长变短．一天，孙悟空将金箍棒取出变长到，猪八戒说：“嘿，这棒子若再伸长就能正好分成x根长的小段和y根长的小段了．”沙僧说：“嗯，这棒子若再缩短就能正好分成根长的小段和根长的小段了．”则a可能是（   ） A．25 B．26 C．27 D．31 10．在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 12．如下，在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等，则表格中的值是 ． 2 1 13．在代数式中，若，时，其值是；当，时，其值是，则 ， ． 14．甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是 小时． 15．某人只带2元和5元两种货币若干张，他要买一件43元的商品，而商店不给找钱，要他恰好付43元，他的付款方式共有 种． 16．中国建筑中的窗格图案反映了中国传统文化和中国建筑的美学精神，小明同学利用线段的平行与交错设计出一个大长方形窗格图案（如图），图中大长方形窗格图案是由8个大小相同的小长方形，2个大小相同的平行四边形与2个大小相同的正方形拼接而成的，若大长方形的周长为，则小长方形的周长是 ．（结果用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值． 18．（8分）解下列方程组： (1)； (2)． 19．（9分）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 20．（9分）九章算术中记载，浮箭漏（如图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究，研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 箭尺读数 (1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 21．（9分）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，设两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 22．（9分）某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共台，用去万元，请研究一下商场的进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一台乙种电视机可获利元，销售一台丙种电视机可获利元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案． (3)若商场准备用万元同时购进三种不同的电视机台，请你设计进货方案． 23．（10分）某校七（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品．经与店家沟通，小文获知了如下表的信息： 购买方案 笔/支 大本子/本 小本子/本 剩余钱数/元 方案一 36 0 0 2 方案二 38 0 0 方案三 0 12 8 0 方案四 0 10 10 10 (1)小文所带班费为________元． (2)求大、小本子每本的售价． (3)小文原计划购买6支笔，大、小本子各6本，但店家对小文说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折．”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大、小本子各10本．付钱时，店家说：“我现在的利润只比刚才的利润多10元．”根据以上信息求出小文实际购买文具的成本（已知1支笔的成本为4元）． 24．（10分）如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式； (2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标； (3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $