第15章 概率 真题演练-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第15章 真题演练 考点随机事件的概率及其性质 1.(全国高考)若某群体中的成员只用现金支付 A.6 的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支 7.(2023·全国乙文)某学校举办作文比赛，共 付的概率为0.15，则只用非现金支付的概率为 6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主 ( 题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同 A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 主题的概率为 2.（全国高考)某中学的学生积极参加体育锻 D.3 炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60% 8.（2023·天津)甲、乙、丙三个盒子中装有一定 的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该 数量的黑球和白球，其总数之比为5：4：6 中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校 这三个盒子中黑球占每盒总数的比例分别为 学生总数的比例是 40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个 A.62%B.56% C.46%D.42% 球，取到的三个球都是黑球的概率 考点国古典概型 为 ;将三个盒子混合后任取一个球， 3.(2022·新高考全国I)从2至8的7个整数 是白球的概率为 中随机取2个不同的数，则这2个数互质的 9.（2024·全国甲理)有6个相同的 概率为 ( 球，分别标有数字1,2,3,4,5,6， 46 B c 从中无放回地随机取3次，每次取1个球 4.（2022·全国甲文)从分别写有1,2,3,4,5,6 记m为前两次取出的球上数字的平均值，n 的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到 为取出的三个球上数字的平均值，则m与n 的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 之差的绝对值不大于)的概率为 ( 10.(2024·天津)A,B,C,D,E五个活动，甲、乙 B c号 都要选择三个活动参加.甲选到A的概率 5.(全国高考)设0为正方形ABCD的中心，在 为 ;已知乙选了A活动，他再选择 0,A,B,C,D中任取3点，则取到的3点共线 B活动的概率为 的概率为 ( 考点事件的相互独立性 4号 B. c. 11.（天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率 2 D. 6.某独唱比赛的决赛阶段共有甲 分别为】和？假定两球是香落入盒子互不 乙、丙、丁四人参加，每人出场一 影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 次，出场次序由随机抽签确定.则丙不是第 :甲、乙两球至少有一个落入盒子 个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ 的概率为 必修第二册·SJ学霸176 12.(全国高考)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球14.（北京高考)某校为举办甲、乙两项不同活 比赛，约定赛制如下： 动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先 案二.为了解该校学生对活动方案是否支 比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者 持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如 与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮 下表： 空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩 男生 女生 余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰， 支持 不支持 支持 不支持 另一人最终获胜，比赛结束 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比 方案 200人 400人 300人 100人 赛双方线胜的气率都为 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互 (1)求甲连胜四场的概率； 独立 (2)求需要进行第五场比赛的概率； (1)分别估计该校男生支持方案一的概率、 (3)求丙最终获胜的概率. 该校女生支持方案一的概率； (2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体 女生中随机抽取1人，估计这3人中恰 有2人支持方案一的概率； (3)将该校学生支持方案二的概率估计值记 考点四用频率估计概率 为P0,假设该校一年级有500名男生和 13.（全国高考)某学生兴趣小组随机调查了某市 300名女生，除一年级外其他年级学生支 100天中每天的空气质量等级和当天到某公园 持方案二的概率估计值记为P,试比较 锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： P0与P1的大小.（结论不要求证明） 锻炼人次 (200 (400, [0,200] 空气质量等级 400 600] 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4的概率； (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估 计值（同一组中的数据用该组区间的中 ,点值为代表) 第15章学霸17可知n(D)=45,n(M)=6,所以P(M)=n(M-6-2 n(2)45-15 2.解：(1)平均数为70+74+85+84+82+81+92+89+98+95 =85:极差为 10 98-70=28:方差2-0×灯(70-85)24(74-5)24(85-85)2+(84 85)2+(82-85)2+(81-85)2+(92-85)2+(89-85)2+(98-85)2+ (95-85)2]=70.6. (2)男性参考者考试成绩优秀的有3人，女性参考者考试成绩优秀 的有2人，共5人，现将3名男性成绩优秀者编号为A,B,C,2名女 性成绩优秀者编号为D,E. 从中任取2人的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B, C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个，其中2人性 别相同的基本事件有(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),共4个，记事 件M=“2人性别相同”，则P(M)= 42 105 3.解：(1)设抽样比为x,则由分层随机抽样可知，街舞、围棋、武术 三个社团抽取的人数分别为48x,42x,30x. 由题意得48x-42x=1,解得x=6 故街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为48×石=8,42× 7,0x65 1 (2)由(1)知，从围棋社团抽取了7名同学，其中2名女同学记 为A,B,5名男同学记为C,D,E,F,G. 从中随机选出2人担任该社团活动监督职务，有(A,B),(A,C), (A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),（B,E),（B,F), (B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G), (E,F),(E,G),(F,G),共21种不同的结果.至少有1名女同学担 任监督职务，有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G), (B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),共11种不同的结果， 所以至少有1名女同学担任监督职务的概率P一21 11 4.解：(1)汞含量在0-0.5的样本数为3，故频率为 30=0.1,在频率 分布直方图中对应的高为0=0.2，汞含量在1.0~1.5的样本数为 12,故频率为2 0.4 的30=0.4，在频率分布直方图中对应的高为0.50.8， 补充频率分布直方图如图所示： 频率 ↑组距 0.8--- 0.6 0.4 -。 0.2 0 0.51.01.52.02.5汞含量/106 汞含量分布偏向于大于1.00×106的方向，即多数鱼的汞含量分布 在大于1.00×10-6的区域. (2)依据样本数据：由60%×30=18，样本数据的第60百分位数为 第18,19项数据的平均数，即2+1.26-1.23， 2 所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为1.23×10-6： 依据频率分布直方图：由1.0+0,5×06-04 08-0.41.25, 所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为1.25×10-6 两种方式得到的估计结果不一致，但相差不大，因为在频率分布直 方图中已经损失了一些样本信息，我们无法知道每个组内的数据 是如何分布的，所以通常假设数据在组内均匀分布！ (3)记“两条鱼最终均在A水池”为事件A,则P(A)=子×(1 子）=名记“两条鱼最终均在B水池“为事件B,则P(B)= 1 -X 4 参考答案 (1-）G因为事件4与事件B互斥，所以这两条盒最终在 同一水池的概率P(AUB)=P(A)+P(B)= 3,33 16168 第15章真题演练 1.B解析：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则 P(AUB)=P(A)+P(B)+P(AB)=1. P(A)=0.45,P(AB)=0.15,.P(B)=0.4,故选B. 2.C解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游 泳”为事件B,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件AUB,“该 中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB, 则P(A)=0.6,P(B)=0.82,P(AUB)=0.96, .P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=0.6+0.82-0.96=0.46, .该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例 为46%.故选C. 3.D解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有6+5+ 4+3+2+1=21(种)不同的取法，若两数不互质，不同的取法有(2， 4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种，故所求概 率为27号放法D 4.C解析：从6张卡片中无放回随机抽取2张，共有(1,2)，（1,3)， (1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3 5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种情况，其中数字之积为 4的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，6种情 况，放概率为6=2 155故选C 5.A解析：如图，从0，A,B,C,D,5个点中任取 3点有{0，A,B},{0,A,C},{0,4,D},0 B,C},{O,B,D},{0,C,D,{A,B,C},{A, B,D,{A,C,D},{B,C,D},共10种不同取 0 法，3点共线只有{A,0,C}与{B,0,D2种情 况，由古典概型的概率计算公式知，取到的 3点关锁的微串为品兮放透人 6.C解析：四人由随机抽签的方式确定出场次序，基本事件共有 24个：（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙， 丁，乙)，（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，甲，丙，丁），（乙， 甲，丁，丙)，（乙，丙，甲，丁），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，甲，丙）， (乙，丁，丙，甲)，（丙，乙，甲，丁），（丙，乙，丁，甲），（丙，甲，乙， 丁)，（丙，甲，丁，乙），（丙，丁，乙，甲），（丙，丁，甲，乙），（丁，乙 丙，甲)，（丁，乙，甲，丙），（丁，丙，乙，甲），（丁，丙，甲，乙)，（丁， 甲，乙，丙)，（丁，甲，丙，乙），其中事件“丙不是第一个出场，且甲 或乙最后出场”包含的基本事件有8个：（甲，丙，丁，乙），（甲，丁， 丙，乙)，（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，丙，甲），（丁，乙，丙，甲)，（丁 丙，乙，甲)，（丁，丙，甲，乙），（丁，甲，丙，乙），所以丙不是第一个 出场，且甲或乙最后出场的概率为了放选℃ 7.A解析：用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个 主题的所有结果如下表： 乙 1 甲 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2)(3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1) (6,2)(6,3) (6,4)(6,5) (6,6) 共有36个不同结果，它们发生的可能性相同，其中甲、乙抽到相同 主题的结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共 学霸105 6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率 为忍名放选A 8.0055 3 解析：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5， 4n,6n,所以总数为15n,所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白 球个数为3n;乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n;丙盒 中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n.记“从三个盒子中各取 一个球，取到的球都是黑球”为事件A,所以P(A)=0.4×0.25×0.5= 0.05:记“将三个盒子混合后任取一个球，是白球”为事件B,黑球 有2n+n+3n=6n(个)，白球共有9n个，所以P(B)=5 3 答案为0.05；5 ,解析：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有6×5×4= 120(种)，设前两个球上数字分别为a,b,第三个球上数字为c,则 atb+c atb 1 32 ≤2，故12e-(a+b)1≤3，故-3≤2c-(a+b)≤3，故 a+b-3≤2c≤a+b+3,若c=1,则-1≤a+b≤5，且a,b≠1，则(a,b)为 (2,3),(3,2),共有2种；若c=2,则1≤a+b≤7，且a,b≠2，则(a, b)为(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,1)，(4,1)，(5,1)， (6,1),(4,3),共有10种；当c=3,则3≤a+b≤9，且a,b≠3，则(a, b)为(1,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(4,5)， (2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),共有 16种， 当c=4,则5≤a+b≤11，且a,b≠4，同理共有16种， 当c=5,则7≤a+b≤13，且a,b≠5，同理共有10种， 当c=6,则9≤a+b≤15，且a,b≠6，同理共有2种， 故m与m的差的绝对值不超过？时不同的抽取方法总数为2× (2+10+16)=56.敌所求减率为120=15：放答案为7 151 107 解析：从五个活动中选三个的情况有：ABC,ABD, ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况，其中甲 选到A有6种情况：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,则甲选到A 的概率为6=3 10=59 乙选A活动有6种情况：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,其中再 选择B有3种情况：ABC,ABD,ABE,故乙选了A活动，他再选择B 活动的概率为3.1 6=2 11.12 63 解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为2 占石，甲，乙两球都不落人盒子的燕率为(-宁）×( 号）弓，则甲、乙阿球至少有-个落入盒子的概率为1 12 3-3 12.解：(1)记事件M:甲连胜四场只能是前四场全胜，则P(M)= (位)广石 (2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结 束比赛的概率P'=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4X (3) 需要进行第五场比赛的概率P=1-P'=4 3 (3)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输 记事件M:甲赢，记事件N:丙赢， 必修第二册·SJ 则甲赢的基本事件包括BCBC,ABCBC,ACBCB,BABCC,BACBC, BCACB,BCABC,BCBAC, ∴.甲赢的概率P(M)= :）广x(日)）最 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 97 :丙赢的概率P()=1-2×216 13.解：(1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率 的估计值如表： 空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值0.430.270.210.09 (2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 00×(100x20+ 300×35+500×45)=350. 14.解：(1)记“该校男生支持方案一”为事件A,“该校女生支持方案 一”为事件B,由于所有学生对活动方案是否支持相互独立，则由 题表中数据可知抽取的男生总人数为200+400=600，支持方案一 的有200人，则估计该校男生支持方案一的概率P(A)=20 600 ?抽取的女生总人数为300+100=400，支持方案一的有300人， 故估计该校女生支持方案一的概率P(B)=400=4: (2)记“从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取 1人，这3人中恰有2人支持方案一”为事件C,则事件C包含“ 名男生支持，一名男生不支持，一名女生支持”“两名男生支持， 名生不支持，由(0可知P(0=2x(1-号)）水兮× .13 (3)P0P1 第15章章末检测 1.A解析：某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，对于A,患此疾病 的病人被治愈的可能性为10%，故A正确；对于B,医院接收10位 患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为10%，不一定有一位病 人被治愈，故B错误；对于C,如果前9位病人都没有被治愈，第 10位病人不一定能被治愈，故C错误：对于D,医院接收10位患此 疾病的病人，不一定有能被治愈的，故D错误.故选A 2.C解析：记“从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于48g”为 事件A,“从一批羽毛球产品中任取一个，其质量不超过4.85g”为 事件B,“从一批羽毛球产品中任取一个，其质量在[4.8,4.85]范围 内”为事件C,则AUC=B.又事件A与事件C互斥，所以P(AU C)=P(A)+P(C)=P(B),即0.3+P(C)=0.32,所以P(C)=0.02. 故选C 3.A解析：依题意可知，事件A与B不可能同时发生，A,B互斥，但 不是对立事件；显然A与C可以同时发生，不是互斥事件，更不是 对立事件.故选A. 4.C解析：根据题意，记2个苹果分别为1和2,3个桃子编号为A, B,C,从盘中任选两个，可得(1,2)，(1，A),（1,B),(1,C),(2,A), (2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种情况 选中的水果品种相同的选法有(1,2)，(A,B),(A,C),(B,C),有 纯，所以选中的水果品种相同的概率为0=号故选 5.C解析：甲、乙2人端午节期间都没来无锡旅游的概率为1 号)小×(1子)号则甲，乙2人流午节期间至少有1人来无 縐旅游的概本为1-子子，故选心 6.A解析：第k个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到 学霸106