第9章 专题探究09 统计概率与数列、不等式的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

0 1 2 3 1 12 18 4 P 35 3535 35 因此数学期望E(X)=0x 12 18 +1× +2× +3× 412 35 35 35 1 35 3+4+5+6+7+8 3.解：(1)依题意，x= =5.5,y= 70+65+62+59+56+48 6 6 60,而含=1910，盒好=19，于是6 =1 联-6 1910-6×5.5×60-70 199-6×5.5217.5 =-4,a=y-6x=60+4×5.5=82,所以所求经 验回归方程为y=-4x+82, (2)利用(1)中所求的经验回归方程y=-4x+82得当x1=3时，少1= 70;当x2=4时，少2=66；当x3=5时，3=62；当x4=6时，少4=58；当 x5=7时，y5=54:当x6=8时，y6=50,与销售数据对比知满足1y: y≤1(i=1,2,…,6)的共有4个“好数据”：(3,70)，(4,65)，(5， 62),(6,59),记6个销售数据中的4个“好数据”分别为a,b,c,d, 另两个数据为1,2，从6个销售数据中任取2个的试验的样本空 间：2={ab,ac,ad,al,a2,bc,bd,b1,b2,cd,cl,c2,dl,d2,12},共 15个样本点，设“好数据”至少有1个的事件为A,其对立事件 114 为A={12},故P(A)=1-P(A)=1 15=15 ,所以“好数据”至少有 1个的影率为治 4.解：(1)由已知得列联表如下： 生活习惯B 疾病A 合计 具有 不具有 患病 25 15 40 未患病 20 40 60 合计 45 55 100 根据列联表中的数据，经计算得：x2=100x(40x25-15×20)2 45×55×40×60 8.249>6.635,故有超过99%的把握认为，该市市民患有疾病A与 是否具有生活习惯B有关 459 (2)由(1)数据可得：P(M)= 201 020P(NM)=00 .所以 1 P(NMM=P(N面.54 P(M) 99 20 (a)(2)蜘，P0品写所以x-a,写） ,所以E(X) 的估计值为p=3× 13 55 5.解：(1)令u=,则y=a+b可转化为y=a+bu,因为万=360 45, 84:-8my183.4-8x0.34x4561 所以B= 好-8(a2 1.53-8x0.1150.6=10,则a=7- 参考答案 ?u=45-100×0.34=11,所以y=11+100u,所以y关于x的经验回 归方程为y=1+10 (2)y与上的相关系数为2= 4，x-8可 i1 宫好-8(2]-8内 V0.61x61855640.9,因为1nKl<1,所以用反比例函数 61 61 模型拟合效果更好，当x=10时，y 10+11=21(元)，所以当产量 100. 为10千件时，每件产品的非原料成本为21元 (3)(1)若产品单价为100元，记企业利润为X(千元)，订单为 9千件时，每件产品的成本为。+ +21元，企业的利润为611千元， 订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为690千 元，企业利润X(千元)的分布列为 X611690 P0.80.2 所以E(X)=611×0.8+690×0.2=626.8(千元)； (i)若产品单价为90元，记企业利润为Y(千元)， 订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为590千 元，订单为11千件时，每件产品的成本为 100 +21元，企业的利润 为659千元，企业利润Y(千元)的分布列为 Y590659 P0.30.7 所以E(Y)=590×0.3+659×0.7=638.3(千元)，626.8<638.3， 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元. 专题探究09统计概率与数列、 不等式的综合应用 是sy-13s·7 1.解：（1)由已知r1= = √层-13(2·√层-13列2 13.94 ≈0.8858，则Ir11<Ir2|<1,所以利用模型y=c+ √/11.67×√21.22 。建立y关于x的经验回归方程更合适 2)由山)得月多-13·习 -2.1 3-13(020.2-10,a=y-Bi=109.94+10x 13 Q.16=11.54,则y关于x的经验回归方程为=11.54-10 (3)由题目可知，利润函数：=20y子=20×(11.54-0） 22308-(+号），由本不等式+≥ 1 2√四子20，当且仪当四受，即=0时等号度立，所以 学霸69 当温度为20℃时，z的预期最大 2.(1)解：假设H。:喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性 别无关根据列联表数据，经计算得x2=200x(60x80-20x40)2 100×100×80×120 1 3>10,828,即能有9.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关 （2(i)注阴：由题意，=P10+(1-P）·号 -3P1t 号所以P号(P14）汉P子0，所以 {P.}是以子为首项，-号为公比的等比数列， ()+·(号)+好甲第5 是触球者的概率大. 重难点拨 高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，因此在 解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题 所属的事件类型是重点，搞清数列的递推关系是解题的关键. 3.解：(1)零假设H。:假设武术社团同学的武术优秀情况与训练无 关列联表为 优秀人数非优秀人数合计 训练前 0 训练后 8 2 10 合计 10 10 20 X2 20×(4-64)236 10×10x10x105>6.635.故有9%的把握认为武术社团同学 的武术优秀情况与训练有关 (2)设“所选4人中恰有3人训练后为优秀”为事件A,“所选4人 中恰有1人训练前也为优秀”为事件B,事件AB为所选4人中，有 1人训练前优秀，有2人为训练前非优秀，训练后变为优秀，有1人 训练前非优秀，训练后也非优秀，从(1)中可知，有6人训练前非优 秀，训练后变为优秀，有2人训练前非优秀，训练后也非优秀，则 P(AB)=Cci C Cio ,P(A)= ,所以P(BA)- cC2C2_15 C8C328 (3)设“甲同学一天得分不低于3分”为事件M,有P(M)=1-(1 D)(1-号)-2，则恰有3天每天得分不低于3分的概率， -8(）'(-2）p+1p.0<1 rp)-gx6(2+1(1-p）-×(2p+1P-8x(2p+1(5 8 8p),当0sp名时(p)>0,<1时，(p)<0,故p)在pe (0,令）上单调递啪，在pe(,+）上单调遥减所以当p= 选择性必修第二册·SJ 。时，)取得最大位 4.解：(1)①经计算可知x=y=0, %0) 所以相关系数r= √解√x 1029000 10290 10290 V2x(9+36+81)×V√4209320000√22×√42093267x2√105233 1715 ,从而2= 1715 2941225420175 27×√/10523 7x105232946524092这得到1-- 1号7230n-am1r7 1764 2946524 5300 2900000 Q001x3 ×9c00182x所以Q98122<0%236,故Q9%1< 2<0.9%83,而09990532=0.9981009025<0.9%811,0.999152= 0998300725>0.9983,所以0999052<2<0999152.从而099905<r< 0.99915,故r的值保留到第一个不为9的数约等于0.991因为r≈0.9991 很接近于1，所以x,y之间基本上满足线性关系 ②设y与x的经验回归方程为y=x+a,则由x=y=0知a=y-)· 7 Σ(x:-x)(y:-y) 1029000 x=0,又由于b= (气2 2×(9+36+81) 10290002572508575012250 252 63 21 3,故y与x的经验回归方程为 六12250 3 ③直接计算可得A、B、C、D四人的个人值，即“附加能力值”和“基 础能力值”之和分别是48,25,13,10.而这四个数的平均值为24，故 这四人的个人值与平均值之差分别为24,1，-11，-14，分别将这 四个x的取值代人经验回归方程=12250 3 x,可以估计出A、B、C、 D的得分分别为98000,4100，-44900，-57200（近似至百位）. 420932 420175 -1 (2)由于2= 420175 故 △B 420932' 757 420175 757 5 V2100875 又由于P(X>10.5)=0.02275= 1-0.9545 2 2灯1-P(u-2o≤X≤u+2o)]=P(Xu+2o),且X服 从正态分布，故u+2σ=10.5.而根据(1)中③知D评估得出的个人 值4=10，故σ=0.25，即X的标准差为0.25.又因为根据经验回归 方程可以估计D的得分为x,故其估计得分f=X的标准差为 △f=IfI 1225 757 0.25 2 122500 757 3 ×10√2100875 10 3W21008751600 1004y=1225 1 757 1 1225 132483 3V21008751600 31√134456000= 学霸70 6V1动而 245132483 28<20 13445641 6W1344560 6V1344560 √10 245132483 410<4.1×3.17=12.997<13.5,6√344560 > 0隔-44俘-8√侣 /440 /88 /,364>56西=125故125<0A水13.5，从面所 1 求标准差△f精确到百位后约为1300. (3)由于B的个人值为25，而平均值为10，故在第一轮中，剩余三 人的个人值的平均值为5，从而在第i轮中，剩余三人的个人值的 平均值为5·（台）广这表明在第：轮中，日人的平均值为： 25+35·(仔)]草5：（台）所以B在第轮中 的计得分为2[5--5·（台）]，E(: 含0s-55·(告)]-含[臣- (台)]2[2-（台）]-2[ 9 5·6 2[(传门 对A= 1,2, 23 品…+公我们有24=1+是+是…2从而两式 作可得41+22是 11 从而0：2名[空·宁+立g (号）]2[()2 1"( (号]}-2[·-·+ (号）]216s050m(仔)门06 2n 2n 2()] 第9章真题演练 1.A解析：观察4幅题图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近 某一条直线，一元线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相 关，Ir值相比于其他3幅图更接近1.故选A 参考答案 2.C解析：因为x=22.5厘米，y=160厘米，所以a=160-4×22.5= 70,y=4×24+70=166(厘米)，故选C. 方法总结 求解经验回归方程的关键是确定回归系数a,B,应充分利用经验回 归直线过样本点的中心(，) 19 3.解：(1)由已知得样本平均数了=20y=60,从而该地区这种野生 动物数量的估计值为60×200=12000. (2)样本(x,y)(i=1,2,…,20)的相关系数 (-)( i=1 8002w2 ≈0.94. √g,-)2(,280x900了 r=- /20 (3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个 地块进行分层抽样理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数 量与植物覆盖面积有很强的正相关性.由于各地块间植物覆盖面 积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分 层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高 了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确 的估计.（合理即可） 4解：(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值=06 10 0.06(m2) 样本中10棵这种树木的材积量的平均值)=3,9 0.39(m3). 10 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2, 平均一棵的材积量为0.39m3. (2)r= 8 -10 √4永√经--0时 =1 0.2474-10×0.06×0.39 ≈0.97. √0.038-10×0.062)(1.6158-10×0.392) (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3, 又已知这种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得0.06186 039y,解得y=1209. 则该林区这种树木的总材积量的估计值为1209m3, 5.解：(1)根据表中数据，A家公司共有260个班次，准点班次有 240个，设A家公司甲、乙两城之间的长途客车准点为事件M,则 P(M=202 26013:B家公司共有240个班次，准点班次有210个，设 B家公司甲、乙两城之间的长途客车准点为事件N,则P(N)= 210了故A家公司甲、乙两城之间的长途容车准点的概率为 2408 12 7 ,B家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为8 (2)补全列联表如下： 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 学霸71专题探究09统计概率与 1.（2024·陕西西安高二月考)近年来，长安区 大力发展大花卉产业，其中玫瑰既有观赏价 值也能加工成食品和高档化妆品而得到环山 路一带农民大面种植.已知玫瑰的株高y(单 位：cm)与一定范围内的温度x(单位：℃)有 关，现收集了玫瑰的13组观测数据，得到如 下的散点图： 株高y/em 111 110 109 108 107 106 温度x/℃ 02468101214161820 现根据散点图利用y=a+b或y=c+d建立 y关于x的经验回归方程，令s=:,t=二得到 如下数据： x y t 10.15 109.94 3.04 0.16 x-厚 13s·y 13·y13(s)2 13(t)2 13(y)2 13.94 -2.1 11.67 0.21 21.22 且(s:y:)与(，y:)(i=1,2,3,…,13)的相关系 数分别为11,2，且r2=-0.9953. (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的 经验回归方程更合适； (2)根据(1)的结果及表中数据，建立y关于 x的经验回归方程； (3)已知玫瑰的利润z与x、y的关系为 z=20y2,当x为何值时，z的预期最大 参考数据和公式：0.21×21.22=4.4562， 第9章 数列、不等式的综合应用 题课堂 11.67×21.22=247.6374,√247.6374=15.7365，对 于一组数据(u,v:)(i=1,2,3,…,n),其经验 回归方程ù=α+u的斜率和截距的最小二乘 uw:nu·方 估计分别为B= 一，a=元-Bu,相关 含-n(@ -nu·而 系数r= 含听-n(a2-n() 学霸111 2.(2024·安徽阜阳高三月考)篮球运动深受青 少年喜爱，为了解喜爱篮球运动是否与性别 有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和 女性各100名进行调查，得到2×2列联表 如下： 喜爱篮 不喜爱篮 合计 球运动 球运动 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 (1)能否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动 与性别有关？ (2)某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行 传球训练，第1次由甲将球传出，每次传 球时，传球者都等可能将球传给另外三个 人中的任何一人，如此不停地传下去，且 假定每次传球都能被接到.记甲第n次触 球的概率为Pn,则P1=1 （i)证明：数列{P.}是等比数列： (ⅱ)判断第24次与第25次触球者是甲 的概率的大小 附：X2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n= a+b+c+d. P(X2≥x0） 0.05 0.01 0.005 0.001 xo 3.841 6.635 7.879 10.828 选择性必修第二册·SJ 3.(2024·江苏无锡高二期末)为提升学生体 质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武 术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请 专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位 同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两 次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记 得分在8分以上（包含8分）的为“优秀” 1 o 4 S 6 1 0 10 训练前4 595 28.567 训练后8.59.57.59.58.569.58.59 9 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 训练后 合计 (1)将上面的列联表补充完整，能否有99%的 把握判断武术社团同学的武术优秀情况 与训练是否有关？并说明原因 (2)从这10人中任选4人，在这4人中恰有 3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人 中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率. (3)为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进 行A和B两个武术项目的训练考核，A、 B项目考核相互独立，且每天考核互相不 影响，A项目若为优秀得2分，概率为p, B项目若为优秀得3分，概率为？，否则 霸112 都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有 3天每天得分不低于3分的概率为f(p), 求p为何值时，f(p)取得最大值 附：X2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(6+d,其中n= a+b+c+d. P(X2≥x0) 0.05 0.01 0.005 0.001 0 3.8416.635 7.87910.828 第9章 4.（2024·浙江绍兴高三月考)小明设计了一款 四人游戏，其中每个参赛者的水平都由“基础 能力值”与“附加能力值”共同决定.经过试 玩，发现每位角色在一局游戏中的得分与个 人值和该桌平均值之差存在着较大的关系. (注：平均值指的是该桌内四个人各自的“附 加能力值”和“基础能力值”之和的平均值，个 人值类似.)为深入研究这两者的关系，他列 出了以下表格： 个人值与平均值之差x 得分y -9 -38600 -6 -23100 -3 -10900 0 0 3 +11800 6 +24100 9 +36700 (1)①计算x,y的相关系数r,并判断x,y之 间是否基本上满足线性关系，注意：保留 至第一位非9的数 ②求出y与x的经验回归方程. ③以下为四位游戏参与者的“附加能力 值”和“基础能力值”： 游戏参与者 A B D 附加能力值 24 9 10 4 基础能力值 24 16 3 6 试估计此四位游戏参与者坐在一桌玩游 戏时每一位的得分（近似至百位）. (2)在分析了更多的数据后，小明发现游戏中 存在着很多运气的成分.为衡量运气对于 游戏胜负的影响，小明建立了以下模型， 其中他指出：实际上的得分并不是一个固 霸113 定值，而是具有一定分布的，存在着一个 标准差.运气实际上体现在这一分布当中 取值的细微差别.接下去他便需要得出得 分的标准差.他发现这一标准差来源于两 个方面：一方面是在(1)②问当中方程斜 率b存在的标准差△b;另一方面则是在 不影响平均值的情况下，实际表现“个人 值”X符合正态分布规律X~N(,σ2).(u 为评估得出的个人值.)已知游戏参与者 D实际表现个人值满足P(X>10.5)= 0.02275,求(1)③中其得分的标准差（四 舍五入到百位). (3)现在新提出了一种赛制：参赛者从平均值 为10开始进行第一轮挑战，之后每一轮 对手的“附加能力值”和“基础能力值”均 会提升至原来的？我们假设在进行了 i轮之后，在前i轮内该参赛者的总得分 为E(X):;若角色B参加了此比赛，求 参考数据和公式：①名*：=1029000；名= 4209320000. 含(x0(列 ②相关系数r ;经 含()2含(y)月 验回归方程y=x+a,6= 2(x-x)(y:-y） a= 含(2 1 -1 △b -6·玉62其中n为回归数据组数 ③对于随机变量X~N(u,σ2)，P(u-σ≤X≤ u+σ)≈0.6827，P(u-2σ≤X≤u+2σ）≈ 0.9545,P(-3σ≤X≤w+3o）≈0.9973. 选择性必修第二册·SJ ④lx<1时，(1+x)≈1+ax,a∈R ⑤对间接计算得出的值f=xy有标准差△f满 足=+. @3663.2x10V68≈2.6，W2946524 1715×(1+9×104). 学霸114