函数的图象与性质课件-2026年高考数学二轮复习

函数的图象与性质 高中数学 二轮复习 返回导航 五年高考真题分布(2021—2025) 返回导航 1．以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性和单调性，利用函数的性质推断函数的图象，利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强． 2．此部分内容多以选择题、填空题形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题． 返回导航 内容索引 第一部分 真题演练　重温高考 第三部分 主干整合　核心提炼 第二部分 热点分类　考向探究 课时作业 第四部分 返回导航 主干整合　核心提炼 第 分 部 一 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 热点分类　考向探究 第 分 部 二 返回导航 考向 1 函数的概念与表示 B 返回导航 D 返回导航 1．若f(x)的定义域为[m，n]，则y＝f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围，即为f(g(x))的定义域；若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域． 2．形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则． 3．分段函数的注意事项：①注意分段求解不等式时自变量的取值范围；②利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化． 反思感悟 返回导航 A 返回导航 B 返回导航 考向 2 函数的图象 C 返回导航 B 返回导航 返回导航 D 返回导航 返回导航 1．确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象． 2．函数图象的应用主要体现为利用数形结合思想，借助函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题． 反思感悟 返回导航 B 返回导航 返回导航 A 返回导航 返回导航 考向 3 函数的性质及应用 A 返回导航 BCD 返回导航 返回导航 函数的四个性质及应用 1．奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上． 2．单调性：可以比较大小、解不等式、求函数的最值(值域)等． 3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解． 4．对称性：常围绕图象的对称中心或对称轴设置问题，利用图象对称中心或对称轴的性质简化所求问题． 反思感悟 返回导航 D 返回导航 BD 返回导航 返回导航 真题演练　重温高考 第 分 部 三 返回导航 A 返回导航 D 返回导航 返回导航 C 返回导航 B 返回导航 返回导航 返回导航 课时作业1 第 分 部 四 返回导航 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 D 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 D 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 D 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 ACD 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 ABC 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 ACD 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 4 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 [0，＋∞) 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 谢谢观看！ 返回导航 1．奇、偶函数的性质 (1)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2．函数单调性的常用结论 (1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． (3)当函数y＝f(x)恒正或恒负时，y＝f(x)与y＝的单调性相反． 3．函数对称性的常用结论 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)． 特殊：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)； 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即偶函数)． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b． 特殊：函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函数y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即奇函数)． (3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 4．周期函数的常用结论 a，b为非零实数且a≠b，周期函数y＝f(x)满足： (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数f(x)的一个周期为2a． (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的一个周期为2a． (3)若f(x＋a)＝－，则函数f(x)的一个周期为2a． (4)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则函数f(x)的一个周期为2(b－a)． (5)若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的一个周期为2(b－a)． (6)若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的一个周期为4(b－a)． (7)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)的一个周期为2a． (8)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)的一个周期为4a． 例1　 (1)(2025·山东潍坊一模)已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　 　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：将x＝－1代入，得到f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0，所以f(f(－1))＝f(0)，将x＝0代入，得到f(0)＝e0＋ln 1＝1．因此，f(f(－1))＝f(0)＝1．故选B． (2)(2025·湖南长沙月考)已知函数y＝f(x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，9]，则函数y＝f(x＋1)的定义域和值域分别为(　 　) A．[0，2]和[6，10] B．[－2，0]和[6，10] C．[0，2]和[5，9] D．[－2，0]和[5，9] 解析：由函数y＝f(x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，9]，可得x∈[－1，1]和f(x)∈[5，9]．令－1≤x＋1≤1，解得－2≤x≤0，所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2，0]．又由函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，得到y＝f(x＋1)的图象，所以函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(x)的值域相同，即f(x＋1)∈[5，9]．故选D． 跟踪训练 (1)(2025·江西上饶二模)已知函数f(x)＝若f(1－a)＝4，则a的值为(　 　) A．0或 B．0或 C． D． 解析：若1－a≥0，则a≤1，可得f(1－a)＝41－a＝4，解得a＝0，符合题意；若1－a<0，则a>1，可得f(1－a)＝22a－1＝4，解得a＝，符合题意．综上可知，a的值为0或．故选A． (2)(2025·黑龙江大庆三模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，若函数f(x)－g(x)的值域为[－3，2]，则函数f(3x)＋g(3x)的最大值为(　 　) A．2 B．3 C．6 D．9 解析：由函数f(x)－g(x)的值域为[－3，2]，得－3≤f(－x)－g(－x)≤2，由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(－x)＝－f(x)，由g(x)是定义在R上的偶函数，得g(－x)＝g(x)，则－3≤－f(x)－g(x)≤2，则－2≤f(x)＋g(x)≤3，而函数f(3x)＋g(3x)与f(x)＋g(x)的值域相同，所以函数f(3x)＋g(3x)的最大值为3．故选B． 角度1　函数图象的识别 例2 (1)(2025·重庆江北区二模)函数f(x)＝(2－x－2x)cos x的图象大致为(　 　) 　　　　　　 解析：f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(2x－2－x)·cos (－x)＝－(2－x－2x)cos x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A，B；f(1)＝(2－1－2)cos 1＝－cos 1<0，排除D．故选C． (2)(2025·四川南充三模)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　 　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：由题图可知f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数．对于A，f(x)＝的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)＝为偶函数，故A不符合题意；对于C，f(x)＝的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)＝为偶函数，故C不符合题意；对于D，f(x)＝的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，当x>0时，ex>e－x>0，x2＋2>0，所以f(x)>0恒成立，故D不符合题意．故选B． 角度2　函数图象的应用 例3 (2025·河南信阳三模)已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)满足f(x)＝f(4－x)，f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，f(4)＋f(0)＝0，则关于x的不等式<0的解集为(　 　) A．(0，2) B．(0，2)∪(2，4) C．(2，4) D．(0，2)∪(4，＋∞) 解析：由f(x)＝f(4－x)得f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(0)＝f(4)，得f(4)＋f(0)＝2f(4)＝0，解得f(4)＝f(0)＝0，由f(x)在(－∞，2)上单调递减，可知f(x)在(2，＋∞)上单调递增，画出f(x)的大致图象如图所示， 结合图象及<0可得或解得0<x<2或x>4，故不等式<0的解集为(0，2)∪(4，＋∞)．故选D． 跟踪训练 (1)(2025·陕西西安二模)函数f(x)＝的图象大致为(　 　) 　　　　　　　　　 解析：函数f(x)＝的定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)，故函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除C；当x>0时，f(x)＝>0恒成立，排除D；当x＝4时，f(4)＝＝≈7．97，排除A．故选B． (2)(2025·河南郑州二模)已知函数f(x)＝若a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则cf(c)的取值范围为(　 　) A．(0，e] B．(0，e) C．(0，＋∞) D． 解析：当x>0时，f(x)＝|ln x|＝所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，且f＝f(e)＝1；当x≤0时，f(x)＝2x，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(0)＝1，所以f(x)的图象如图所示． 又a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨令f(a)＝f(b)＝f(c)＝t，结合图象可知0<t≤1且a≤0<≤b<1<c≤e，即0<f(c)≤1，所以0<cf(c)≤e，即cf(c)的取值范围为(0，e]．故选A． 角度1　函数的奇偶性与单调性 例4　(2025·山东济南一模)已知函数f(x)＝则f(2x)＋f(x－3)>0的解集是(　 　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞) 解析：当x>0时，f(x)＝1－ex，－x<0，f(－x)＝e－(－x)－1＝ex－1＝－f(x)，当x<0时，f(x)＝e－x－1，－x>0，f(－x)＝1－e－x＝－f(x)，且当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数，易知f(x)为R上的减函数，则f(2x)＋f(x－3)>0⇔f(2x)>－f(x－3)＝f(3－x)⇔2x<3－x⇔x<1，所以原不等式的解集为(－∞，1)．故选A． 角度2　奇偶性、周期性与对称性 例5　(多选)(2025·江西南昌一模)已知f(x)是定义在R上的连续函数，满足∀x，y∈R有f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论正确的是(　 　) A．f(0)＝0 B．f(x)为偶函数 C．f(x)的一个周期为6 D．为f(x)图象的一个对称中心 解析：由题意得f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(x)的定义域为R，关于原点对称．对于A，令x＝y＝0，则2f(0)＝[f(0)]2，解得f(0)＝0或f(0)＝2，若f(0)＝0，令y＝0，即f(x)＋f(x)＝2f(x)＝f(x)f(0)＝0，这与f(1)＝1矛盾，故f(0)＝2，故A错误；对于B，令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝f(0)f(y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，可知f(x)为偶函数，故B正确；对于D，因为f(0)＝2，f(1)＝1，所以当x＝1，y＝1时，f(2)＋f(0)＝[f(1)]2，故f(2)＝－1，当x＝2，y＝1时，f(3)＋f(1)＝f(2)f(1)，故f(3)＝－2，当x＝y＝时，f(3)＋f(0)＝，故f＝0，当x＝时，f＋f＝ff(y)＝0，所以f＋f＝0，点为f(x)图象的一个对称中心，故D正确；对于C，因为f＋f＝0，所以f＝－f，即f＝－f，则f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故f(x)是以6为周期的周期函数，故C正确．故选BCD． 跟踪训练 (1)(2025·湖北武汉一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(x)在[－2，2]上单调递增．设a＝f，b＝f，c＝f(－13)，则(　 　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a 解析：因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的一个周期是8，所以b＝f＝f，c＝f(－13)＝f(3)＝f(1)．因为f(x)在[－2，2]上单调递增，所以b＝f<c＝f(1)<a＝f．故选D． (2)(多选)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对∀x∈R都有f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则下列说法正确的是(　 　) A．f(x)的最大值是1，最小值是0 B．当3≤x≤4时，f(x)＝－(x－4)2 C．点(1，0)是函数f(x)图象的对称中心 D．f(x)在区间(3，5)上单调递增 解析：因为对∀x∈R都有f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C错误；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2－x)＝－f(－x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，又当x∈[0，1]时，f(x)＝x2单调递增，所以f(x)在[－1，0]上单调递增，则f(x)在[－1，1]上单调递增，由f(x)的图象关于直线x＝1对称，得f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)在[－1，3]上的最大值是f(1)＝1，最小值是f(－1)＝－f(1)＝－1，故A错误；当3≤x≤4时，0≤4－x≤1，则f(x)＝－f(－x)＝－f(4－x)＝－(4－x)2，故B正确；由f(x)在[－1，1]上单调递增，且周期为4，得f(x)在区间(3，5)上单调递增，故D正确．故选BD． 1．(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　 　) A．－ B．－ C． D． 解析：由题知f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)对一切x∈R成立，于是f＝f＝f＝5－2×＝－．故选A． 2． (2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　 　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：由题图可知函数y＝f(x)为偶函数，而函数f(x)＝和函数f(x)＝为奇函数，故排除A，B；当x∈(0，1)时，1－x2>0，x2－1<0，此时f(x)＝>0，f(x)＝<0，由题图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0，故C不符合，D符合．故选D． 3．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln (x＋b)．若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　 　) A． B． C． D．1 解析：由题意可知f(x)的定义域为(－b，＋∞)，令x＋a＝0，解得x＝－a．令ln (x＋b)＝0，解得x＝1－b，则当x∈(－b，1－b)时，ln (x＋b)<0，故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0，当x∈(1－b，＋∞)时，ln (x＋b)>0，故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0，故1－b＋a＝0，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝2＋≥，当a＝－，b＝时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为．故选C． 4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　 　) A．f(10)>100 B．f(20)>1 000 C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000 解析：因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2．又因为f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，则f(3)>f(2)＋f(1)＝3，f(4)>f(3)＋f(2)>5，f(5)>f(4)＋f(3)>8，f(6)>f(5)＋f(4)>13，f(7)>f(6)＋f(5)>21，f(8)>f(7)＋f(6)>34，f(9)>f(8)＋f(7)>55，f(10)>f(9)＋f(8)>89，f(11)>f(10)＋f(9)>144，f(12)>f(11)＋f(10)>233，f(13)>f(12)＋f(11)>377，f(14)>f(13)＋f(12)>610，f(15)>f(14)＋f(13)>987，f(16)>f(15)＋f(14)>1 597>1 000，依次比下去可知f(20)>1 000，则B正确，且无证据表明A，C，D一定正确．故选B． 5．(2023·全国乙卷理节选)已知函数f(x)＝ln (1＋x)．是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称？若存在，求a，b；若不存在，说明理由． 解：假设存在满足题意的a，b．由函数f(x)的解析式可得f＝(x＋a)ln ． 函数f的定义域满足＋1＝>0，即函数f的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，定义域关于x＝－对称，由题意可得b＝－． 由对称性可知f＝f， 取m＝，可得f(1)＝f， 即(a＋1)ln 2＝(a－2)·ln ，则a＋1＝2－a，解得a＝． 经检验a＝，b＝－满足题意．故a＝，b＝－． 1．(5分)(2025·广东茂名一模)已知函数f(x)＝则f(－1)＋f(1)＝(　 　) A． B．3 C． D． 解析：因为f(x)＝所以f(1)＝log39＝2，f(－1)＝3－1＝，所以f(－1)＋f(1)＝＋2＝．故选C． 2．(5分)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，则y＝的定义域是(　 　) A．(－2，5] B．(－2，3] C．[－1，3] D．[0，2] 解析：因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，所以x∈[－1，3]，2x－1∈[－3，5]，所以y＝f(x)的定义域是[－3，5]．又因为x＋2>0，即x>－2，所以－2<x≤5，所以函数y＝的定义域是(－2，5]．故选A． 3．(5分)(2025·广东茂名一模)已知函数f(x)＝在区间(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为(　 　) A．(－∞，1] B．(－∞，3] C．[3，＋∞) D．[5，＋∞) 解析：由x2－6x＋5≥0，可得x≤1或x≥5，即函数f(x)的定义域为(－∞，1]∪[5，＋∞)，又因为t＝x2－6x＋5在[5，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，y＝在[0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知f(x)＝在区间[5，＋∞)上单调递增，所以a≥5．故选D． 4．(5分)(2025·云南玉溪二模)已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)g(x)的图象可能是(　 　) 　　　　　　　　　　　　 解析：由题图可知函数y＝f(x)g(x)的定义域为函数y＝f(x)和函数y＝g(x)的定义域的交集，即(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y＝f(x)g(x)的图象不经过坐标原点，排除B，C；因为函数y＝f(x)是偶函数，函数y＝g(x)是奇函数，所以函数y＝f(x)g(x)是奇函数，排除D．故选A． 5．(5分)(2025·黑龙江大庆二模)定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式≤0的解集为(　 　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ 解析：由函数f(x)是奇函数，f(0)＝0，且在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f＝－f＝0，f(0)＝0，当x∈∪时，f(x)<0；当x∈∪时，f(x)>0．又当x∈(－∞，2)时，x－2<0，当x∈(2，＋∞)时，x－2>0，则不等式≤0的解集为∪．故选D． 6．(5分)(2025·江西九江二模)已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝－sin x．设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　 　) A．b<a<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b 解析：b＝f＝f，c＝f＝f＝f，因为f(x)在[0，1]上单调递减，<<，所以c<a<b．故选B． 7．(5分)(2025·河北张家口一模)已知定义在实数集上的函数f(x)满足以下条件：①f(1＋x)＝f(1－x)；②f(3＋x)＋f(3－x)＝0；③f(5)＝1．则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝(　 　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x)＝f(2－x)，由f(3＋x)＋f(3－x)＝0可得f(x)＝－f(6－x)，因此f(x)＝f(2－x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，所以f(x)的一个周期为8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(－1)＋f(0)＝[f(1)＋f(5)]＋[f(2)＋f(4)]＋[f(6)＋f(0)]＋f(3)＋f(－1)＝f(3)＋f(－1)＝2f(3)，由f(x)＝－f(6－x)得f(3)＝－f(3)，则f(3)＝0，故f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝f(1)＋253[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)]＝－f(5)＝－1．故选A． 8．(5分)(2025·湖北黄冈一模)已知函数f(x)，若存在实数λ，使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意的实数x恒成立，则称f(x)满足性质R(λ)，下列说法正确的为(　 　) A．若f(x)的周期为1，则f(x)满足性质R(1) B．若f(x)＝sin πx，则f(x)不满足性质R(λ) C．若f(x)＝ax(a>0且a≠1)满足性质R(λ)，则λ>0 D．若偶函数f(x)满足性质R(－1)，则f(x)的图象关于直线x＝对称 解析：对于A，f(x)的周期为1，则f(x＋1)＝f(x)＝f(x－1)，从而f(x－1)－f(x)＝0，因此f(x)满足性质R(－1)，但f(x＋1)＋f(x)＝2f(x)＝0不一定成立，A错误；对于B，f(x)＝sin πx，f(x＋1)＝sin π(x＋1)＝sin (πx＋π)＝－sin πx＝－f(x)，所以f(x＋1)＋f(x)＝0，所以f(x)满足性质R(1)，B错误；对于C，若f(x)＝ax(a>0且a≠1)满足性质R(λ)，则f(x＋λ)＋λf(x)＝ax＋λ＋λax＝ax(aλ＋λ)＝0，所以aλ＋λ＝0，从而λ＝－aλ<0，C错误；对于D，函数f(x)满足性质R(－1)，即f(x－1)－f(x)＝0，又f(x)是偶函数，所以f(1－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，D正确．故选D． 9．(8分，多选)(2025·陕西汉中二模)若函数f(x)＝x，则(　 　) A．f()＝ B．f(x)的最小值为0 C．f(x)为奇函数 D．f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析：f()＝×＝，故A正确；由x2－1≥0，得x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故D正确；因为f(－2)<0，所以f(x)的最小值不为0，故B错误；因为f(x)的定义域关于原点对称，f(－x)＝－x·＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故C正确．故选ACD． 10．(8分，多选)(2025·河北秦皇岛一模)已知函数f(x)的定义域为R，值域为(0，＋∞)，且f(x＋y)＝f(x－y)[f(y)]2，则(　 　) A．f(0)＝1 B．f(2x)＝[f(x)]2 C．f(x)＋f(－x)≥2 D．f(x)是增函数 解析：对于A，取x＝y＝0，则f(0)＝f(0)[f(0)]2，即[f(0)]3＝f(0)，又因为f(x)的值域为(0，＋∞)，所以f(0)>0，故f(0)＝1，故A正确；对于B，取y＝x，则f(2x)＝f(0)[f(x)]2，即f(2x)＝[f(x)]2，故B正确；对于C，令y＝－x，则f(0)＝f(2x)[f(－x)]2，即1＝f(0)＝f(2x)[f(－x)]2＝[f(x)]2[f(－x)]2，因为f(x)>0，所以f(－x)＝>0，所以f(x)＋f(－x)＝f(x)＋≥2＝2，当且仅当f(x)＝1时等号成立，故C正确；对于D，取f(x)＝e－x，则f(x＋y)＝e－x－y，f(x－y)[f(y)]2＝ey－x·e－2y＝e－x－y，符合题意，但此时f(x)是减函数，故D错误．故选ABC． 11．(8分，多选)设函数f(x)＝则下列结论正确的是(　 　) A．函数f(x)的值域是R B．∀x1，x2∈(－2，＋∞)(x1≠x2)，有>0 C．若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是(－3，＋∞) D．∃x0>0，使得f(－x0)＝f(x0) 解析：作出函数f(x)＝的图象如图所示，对于A，由函数图象可知f(x)的值域是R，故A正确；对于B，例如x1＝0，x2＝1，可得＝＝－4<0，故B错误；对于C，不妨设x1<x2<x3，由函数图象可知x1＋x2＝－4，因为f(－2)＝－1，则－1<f(x3)<0，即－1<－<0，解得x3>1，可得x1＋x2＋x3＝－4＋x3>－4＋1＝－3，所以x1＋x2＋x3的取值范围是(－3，＋∞)，故C正确； 对于D，将y＝f(x)，x≤0的图象关于y轴对称可得y＝g(x)的图象，如图， 由图象可知，g(2)＝－1<－＝f(2)，y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有交点，所以∃x0>0，使得f(－x0)＝f(x0)，故D正确．故选ACD． 12．(5分)(2025·河南新乡二模)若f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，f(2)＋g(2)＝20，且f(x)－xg(x)＝x3，则f(－2)＋5g(－2)＝___． 解析：依题意得f(2)－2g(2)＝8，又f(2)＋g(2)＝20，解得f(2)＝16，g(2)＝4，所以f(－2)＋5g(－2)＝－f(2)＋5g(2)＝－16＋20＝4． 13．(5分)(2025·浙江绍兴二模)已知偶函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，则f(x)的值域为_____________． 解析：令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，解得f(0)＝0；令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)－2x2，又f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，故2f(x)－2x2＝0，所以f(x)＝x2≥0，故其值域为[0，＋∞)． 14．(6分)(2025·湖南长沙月考)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝－f(2－x)，当x∈[0，1)时，f(x)＝2cos πx，函数g(x)＝x－1(－1<x<3)，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为____． 解析：函数g(x)＝x－1(－1<x<3)的图象是中心对称图形，对称中心为点(1，0)．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝－f(2－x)，则函数f(x)图象的一条对称轴为y轴，一个对称中心为点(1，0)，且f(1)＝0．又当x∈[0，1)时，f(x)＝2cos πx，则可在同一坐标系内作出f(x)与g(x)在(－1，3)的图象，如图，当x∈[2，3)时，f(x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)＝－2cos π(x－2)，令p(x)＝g(x)－f(x)＝x－1＋2cos π(x－2)，x∈[2，3)，则p′(x)＝1－2π·sin π(x－2)，且p′(3)＝1>0，p′＝1－2π<0，所以存在x0∈，使得当x∈(x0，3)时，p′(x)>0，p(x)单调递增，所以当x∈(x0，3)时，p(x)<p(3)＝0，即g(x)<f(x)，结合图象可得，f(x)与g(x)的图象有5个交点，又点(1，0)均是f(x)与g(x)的图象的对称中心，则两函数图象的所有交点的横坐标之和为5． $