【选择题专项】15立体几何-2026年河北省对口升学考试《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2026年河北省对口升学考试 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十五）立体几何 1.（2021·河北对口升学）在正方体中，平面与平面所成的二面角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由正方体的特征，找出所求二面角的平面角即可得解. 【详解】如图，在正方体中，平面，平面， 所以，又，所以为平面与平面所成的二面角的平面角，因为为正方形，所以，即平面与平面所成的二面角的度数是.故选：C. 2. （2022·河北对口升学）下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 若直线a垂直于平面α，则a垂直于α内任何一条直线 C. 若平面α内有三个点到平面β的距离相等，则α∥β D. 若两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线 【答案】B 【分析】根据点、线、面特殊关系的性质定理解答. 【详解】A、不共线的三点确定一个平面，故A错误；B、根据线面垂直的性质定理：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线，则B说法正确； C、若一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等，则两平面平行，故C说法错误； D、若两条直线a，b没有公共点，两直线可能是异面直线，也可能是平行线，故D说法错误. 故选：B. 3. （2023·河北对口升学） 已知直线，直线，且，以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】利用线面平行、垂直的知识判断. 【详解】选项A中，要证明，需要一个平面上两条相交直线与另一个平面平行，错误； 选项B中，要证明，一个平面上的一条直线垂直于另一个平面上的两条相交直线，条件不足，错误；选项C中，若，仅能证明，或，条件不足，错误；选项D中，直线，直线，且，，则，证明成立，正确. 故选D. 4. （2024·河北对口升学）已知m是直线，，是两个不同平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【分析】根据线面，面面的位置关系判断ACD；根据线面垂直的性质可判断B. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，根据线面垂直的性质可得，故B正确； 对于C，若，，则或相交，故C错误； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：B. 5. （2025·河北对口升学）如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，则该几何体的直观图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据三视图作出该几何体的直观图即可判断. 【详解】由题意，作出该几何体的直观图如下图， 则ABD不符，C符合. 故选：C. 6. 已知某几何体的正视图与左视图是直角三角形，俯视图是正方形，如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【分析】根据三视图确定几何体的形状和尺寸，然后利用几何体的体积公式计算体积. 【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为一倒置的四棱锥，如图， 故. 故选：C. 7．由几个相同的小正方体组成了一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正视图、侧视图、俯视图的投影可判断结果. 【详解】由正视图，可排除D选项；由侧视图，可排除C选项；由俯视图，可排除B选项. 故选：A. 8．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从左面看得到的图形即可． 【详解】该几何体的左视图从左到右看到的正方体分别是， 所以该几何体的左视图是，   ． 故选：A． 9．如图所示是一个放在水平面上的几何体，它的主视图是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案． 【详解】从正面看是一个上下平行，左右大肚子的图形，故排除A，D；由于几何体中部是空的，主视图需要画虚线． 故选：B． 10．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图的概念，对比四个选项的正视图、左视图和俯视图即可得出正确答案． 【详解】A.正视图与俯视图与题意不符，故A错误， B. 三视图与题意相符，故B正确， C. 正视图与俯视图与题意不符，故C错误， D.左视图与题意不符，故D错误， 故选：B. 11．一个几何体的形状如图所示，它的左视图是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据 “左视图是从物体左侧往右侧看，所得到的图形”判断即可． 【详解】从几何体左侧往右看，得到的是矩形，中间方孔不可见，用两条水平虚线表示． 故选：D． 12．一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据几何体的三视图求解即可. 【详解】由正视图知，如果原几何体上面是一个球，下面是一个圆柱，则俯视图是A； 如果原几何体上面是一个球，下面是一个正方体，则俯视图是； 如果原几何体上面是一个球，下面是一个三棱柱，但是圆的直径应该和边长相等，与正视图不符，选项C错误. 如果原几何体上面是一个圆柱，下面是一个正方体，则俯视图是； 故选：C. 13．已知，，，分别是空间四边形四条边，，，的中点，且，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】如图，在中，易证且，同理有且，故且，所以四边形是平行四边形. 在中，易证，结合，可得，所以四边形为菱形. 【详解】 由图，在中，，分别，的中点，所以且， 同理，且，所以且.所以四边形是平行四边形. 在中，，分别，的中点，所以， 又，所以.故四边形为菱形. 故选：C. 14．已知两个平面，两条直线，满足，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举反例，结合线面与面面的位置关系排除ABC，利用面面垂直的判定定理可判断D，从而得解. 【详解】因为两个平面，两条直线，满足， A选项，当时，有可能出现与异面的情况，故A错误； B选项，当时，有可能出现的情况，故B错误； C选项，如图，满足，但，故C错误；    D选项，由面面垂直的判定定理可知，当时，又，则，故D正确. 故选：D. 15. （2025·河北对口升学）在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【分析】根据题意结合共面直线与异面直线的定义即可得解. 【详解】选项中，如图所示，连接，因为， 所以四点共面，所以与共面，故正确；选项中，与为异面直线. 故选：. 16.已知某圆锥的体积为，底面圆的半径为1，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】首先由圆锥的体积公式求出圆锥的高，再由圆锥的侧面积公式求值即可. 【详解】已知某圆锥的体积为，则设该圆锥的高为，且底面圆的半径为， 所以，解得，所以圆锥的母线， 所以该圆锥的侧面积为， 故选：A. 17．已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据球O和圆柱的空间位置关系，结合勾股定理即可求出． 【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 由题意可知，，则在直角中，． 故选：B．      18．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为长方体，底面，，， 所以四棱锥的体积， 故选：B. 19．某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意，这种球体的表面积为. 故选：D. 20．祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用球的体积公式，将半径，直接代入求解即可. 【详解】由题意球的体积公式为， 则半径的球的体积， 故选：D. 21．一个长方形容器中盛有水，面为正方形且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于（    ）    A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据水的体积不变即可求解. 【详解】设正方形的边长为a，则水的体积为， 将面水平放置时，设水面的高度为，则有，得. 故选：A. 22．在如图所示的正方体中，分别为棱和的中点，则异面直线和所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造辅助线平移异面直线，再根据三角形全等，利用三角形内角和，即可求解. 【详解】 取的中点，连接， 因为，即四边形是平行四边形，故， 设，所以异面直线和所成的角为或其补角， 因为分别为的中点，所以，又， 所以，即， 因为，所以， 即，故异面直线和所成的角为. 故选：C. 23．如图，在长方体中，E为的中点，，则异面直线和所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直线平行，将异面直线转化为相交直线，再由边的关系即可求解余弦值. 【详解】连接，因为，所以为异面直线和所成的角， 因为，所以，因为E为的中点，，所以， 所以为正三角形，所以，所以. 故选：B. 24．已知m是直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据线面，面面的位置关系判断ACD；根据线面垂直的性质可判断B. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，根据线面垂直的性质可得，故B正确； 对于C，若，，则或相交，故C错误； 对于D，若，，则或，故D错误， 故选：B. 25．已知某圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的结构特征，体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为， 所以圆锥的高为，则圆锥的体积为. 故选：B. 26．已知圆柱的轴截面为正方形,且该圆柱的侧面积为,则该圆柱的体积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆柱的侧面积及体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的高为.圆柱的轴截面为正方形,所以底面直径为,半径为. 因为圆柱的侧面积为.所以.解得.所以底面半径为.. 故选:. 27．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，即可判断求解. 【详解】连接，如图，    对于A，在中，由中位线定理得且； 因为底面是平行四边形，且，为中点， 故，则且，所以四边形是平行四边形， 所以，又， 所以与不平行，故选项A错误； 对于B，连接交于点O，连接，则， 又，故不平行，故选项B错误； 对于C，假设平面， 则由线面平行的性质定理可知，存在直线平面，使得， 因为，所以， 易知平面，而平面，所以平面， 而平面，平面，即与平面相交，显然矛盾， 所以直线与平面不平行，故选项C错误； 对于D，因为，又平面，平面， 所以平面，故选项D正确； 故选：D. 28．已知正方体，则下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面的夹角为 C．直线与的夹角为 D．平面与平面所成的二面角为 【答案】D 【分析】根据据直线与直线、直线与平面所成角及二面角知识逐项分析即可. 【详解】A选项中，因为为正方体，所以平面， 因为平面，所以，异面直线与所成的角为，故A错误， B选项中，因为为正方体，所以平面， 所以为直线与平面的夹角，因为， 所以直线与平面的夹角为，故B错误， C选项中，直线，和均为正方体的面对角线，所以为等边三角形， 所以直线与的夹角为，故C错误， D选项中，因为为正方体，所以平面， 因为平面，平面，所以， 所以为平面与平面所成的二面角的平面角， 因为，所以平面与平面所成的二面角为，故D正确， 故选：D. 29．如图，在长方体中，，，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由长方体性质知平面，即可根据二面角定义求解得. 【详解】由长方体的性质可知平面，且平面， ∴，，∴是二面角的平面角． 在中，，∴，即二面角的大小为． 故选： B. 30．如图所示，容积为的密闭长方体容器中，所盛液体的体积是，现将容器以棱所在直线为旋转轴，容器旋转到任意一个位置后，将静止的液面抽象为平面，该平面都可以把长方体分为上半部分和下半部分，则下列说法正确的是 (　　) A．上半部分的几何体有可能是三棱锥 B．下半部分的几何体不可能是三棱锥 C．直线与平面始终平行 D．下半部分几何体的正视图面积不变 【答案】B 【分析】根据题意，逐一分析选项判断即可. 【详解】对于A，B选项：因为容器所盛液体的体积是，而三棱锥的体积公式， 若上半部分是三棱锥，其体积最大值小于长方体体积的一半， 所以上半部分的几何体不可能是三棱锥， 而在旋转过程中液面始终将长方体容器分为上下两部分，且上下两部分体积相等， 所以下半部分的几何体不可能是三棱锥，故A错误，B正确； 对于C选项：由题意可知，容器旋转到任意一个位置后， 有平面或平面，故C错误； 对于D选项：在旋转过程中，下半部分几何体形状会发生变化， 其正视图的形状和面积也会随之发生变化， 所以下半部分几何体的正视图面积不是不变的，故D错误. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第16页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省对口升学考试 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十五）立体几何 1.（2021·河北对口升学）在正方体中，平面与平面所成的二面角的度数是（ ） A. B. C. D. 2. （2022·河北对口升学）下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 若直线a垂直于平面α，则a垂直于α内任何一条直线 C. 若平面α内有三个点到平面β的距离相等，则α∥β D. 若两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线 3. （2023·河北对口升学） 已知直线，直线，且，以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. （2024·河北对口升学）已知m是直线，，是两个不同平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. （2025·河北对口升学）如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，则该几何体的直观图为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某几何体的正视图与左视图是直角三角形，俯视图是正方形，如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. 1 B. C. D. 7．由几个相同的小正方体组成了一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体可能为（    ） A． B． C． D． 8．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A．   B．   C．   D．   9．如图所示是一个放在水平面上的几何体，它的主视图是（    ） A．   B．   C．   D．   10．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　) A． B． C． D． 11．一个几何体的形状如图所示，它的左视图是（    ） A．  B．   C．   D．   12．一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   13．已知，，，分别是空间四边形四条边，，，的中点，且，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 14．已知两个平面，两条直线，满足，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15. （2025·河北对口升学）在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（ ） A. B. C D. 16.已知某圆锥的体积为，底面圆的半径为1，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 17．已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 18．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．10 19．某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（   ） A． B． C． D． 20．祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（    ） A．2 B．4 C． D． 21．一个长方形容器中盛有水，面为正方形且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于（    ）    A．4 B．8 C．10 D．12 22．在如图所示的正方体中，分别为棱和的中点，则异面直线和所成的角为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在长方体中，E为的中点，，则异面直线和所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 24．已知m是直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 25．已知某圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 26．已知圆柱的轴截面为正方形,且该圆柱的侧面积为,则该圆柱的体积为（    ）. A． B． C． D． 27．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 28．已知正方体，则下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面的夹角为 C．直线与的夹角为 D．平面与平面所成的二面角为 29．如图，在长方体中，，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 30．如图所示，容积为的密闭长方体容器中，所盛液体的体积是，现将容器以棱所在直线为旋转轴，容器旋转到任意一个位置后，将静止的液面抽象为平面，该平面都可以把长方体分为上半部分和下半部分，则下列说法正确的是 (　　) A．上半部分的几何体有可能是三棱锥 B．下半部分的几何体不可能是三棱锥 C．直线与平面始终平行 D．下半部分几何体的正视图面积不变 试卷第1页，共3页 试卷第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $