7.3.1 离散型随机变量的均值-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

四方法总结 求离散型随机变量的分布列的突破口： 首先，明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值时所表示的 意义； 其次，利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率，如利 用古典概型的概率公式求出随机变量取各个值时的概率； 最后，列表格写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布 列或某事件的概率是否正确 压轴挑战 n(n-1) 解：(1)设袋中原有n个白球，由题意知1_C二 2n(n-1D,所 7C37x6 7×6 2 以n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2),即袋中原有3个白球. (2)由题意，的可能取值为1,2,3,4,5. 3 4×32 4×3×36 P(5=I)=7:P(5=2)=7x67;P(5=3)=7X6x533P(5=4) 4×3×2×33 7x6x5x435P(5=5) 4x3x2x1x3-所以取球次数专的分布 7×6×5×4×335' 列为 专12345 3 2 631 77 353535 7.3离散型随机变量的数字特征 7.3.1离散型随机变量的均值 白题 基础过关 1.A解析：E(X)=1×5%+0×(1-5%)=0.05.故选A. 2.AC解析：由0.3+m+0.1+m=1,得m=0.3,则E(X)=1×0.3+2×0.3+ 3×0.4=2.1.故选AC. 3.4760解析：设可获收益x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果 失败，*的取值为-5x50%,一年后公司成功的概率估计为0=24 200251 失败的概率估计 20025,所以-年后公司收益的期望为E(x)= 81 (x2% 1 -5×50%×25×1000=4760(元).故答案为4760. 4.1解析：.编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个 座位，.有123,132,213,231,312,321，共6种结果，设与座位编号相 同的学生个数为专，则的可能取值为0,1,3， .专的分布列为 专013 1 1 326 1 .E()=0x +1 23x1 =1.故答案为1. 6 1 5.A解析：E(X)=-1× 2+0x -+1×- 3÷、 6,所以E()=2E(X)+ 1号故选A 6、 1 36 解折：因为E()=28(X0+3=子，所以E0: 3,则有 1 -1× -+0×a+1×b=- 3, a= 3 解得 2+a+b=1, 1 故答案为：1 36 b26 7.解：(1)记检测过程中两件次品不相邻为事件B,即将5件芯片排列， 求其中两件次品不相邻的概率，所以P(B)=AA_3 A3 5 选择性必修第三册·RJ (2)依题意X的可能取值为0,1,2,3， A3A 2 所以P(X=0)= ,P(x=1)= A5A3=3,P(X=2)= A A A3A2A3 1 Ag=5,P(X=3)= A号1 A310 所以X的分布列为 X01 2 2 3 1 510510 2 3 1 1 所以E(X)=0x +1×0+2x5+3 01 黑题 应用提优 1.A解析：由概率之和为1，得0.36+1-2q+q2=1,解得q=0.2或q= 1.8(舍)，∴.P(X=1)=1-2q=0.6,P(X=2)=g2=0.04,.E(X)=0× 0.36+1×0.6+2×0.04=0.68.故选A. 2.BCD解析：由分布列的性质，可得0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4. 因为E(X)=7.5,可得4×0.3+a×0.1+9×0.4+10×0.2=7.5,解得a=7, 则E(aX)=aE(X)=7×7.5=52.5,且E(X+b)=E(X)+b=7.5+0.4= 7.9.故选BCD. 四方法总结 E(aX+b)与E(X)关系如下： 1.当a=0时，E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身. 2.当a=1时，E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等 于X的均值与这个常数的和. 3.当b=0时，E(aX)=aE(X),即常数与随机变量X乘积的均值等于 这个常数与X的均值的乘积 3.D解析：设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为X,则X的所有可 能取值为1,234，所以PX=DP(X=2)=号P(X了 3)=Cicici_1 =4,P(X=4)= CCCC 1 A A =,所以B()=1x+2x 4 4.7 解析：因为x+y+2=8,所以随机变量X可能取值为1和2，用隔 板法可求得：事件总情况为C号种， X=1时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有C3·C4种；②三个 数中有两个1，有C3种，所以X=1时，P1= Cg·C4+C35 C Γ7 X=2时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有C种；②三个数 中有两个2，有C号种，所以X=2时，P2= +C3_2 C号 7 所以(0=12x号号放答案为号 5.解：(1)若用方案甲，设化验次数为X,则X可能取值为1,2,3,4,5， 6,7,8,9,若用方案乙，设化验次数为Y,则Y可能取值为2,3,4,5，由 9、87611 题意可得P(X=5)=10×9×g×气×610所以，若用方案甲， 化验次数为5次的概率为 1 10 911 (2)由()可知，P(X=D0,P(X=2)=10.0,P(X=3)= 9 811 9876.511 9×8×7×6=10P(X=6)10xg87X6510' -X- 子9名g子写09叭品8g9g 黑白题16 4x3x2-1 43=5 所以随机变量X的分布列如下表所示： 123456789 1 11111111 P 10101010101010105 1 1 27 所以E(X)=10×(1+2+3+4+5+6+7+8)+5×9= 59 由题意可知，随机变量Y可能取值为23,4,5，则P(Y=2)=1×5 y=3)=1×5P=41x4 1 11 3.11 5 4×3=万 4322 P(Y=5)=1×5×4×3=5' 所以随机变量Y的分布列如下表所示： Y2345 1112 P 5555 所以B(0=行2*34)+5专了 .219 则E(X)>E(Y),所以方案乙更好 压轴挑战 (0,2) 解析：由题意，可得P(X=1)=p,P(X=2)=（1-p)·p, P(X=3)=(1-p)2·p+(1-p)3=(1-p)2,所以E(X)=1×p+2(1- p)·p+3(1-p)2=p2-3p+3,令p2-3p+3>1.75,即4p2-12p+5>0,解 得p<2或p>,又由0p<1,可得pe(0,分) 5 ,即p的取值范围 为(o)故答案为(0，子）月 7.3.2离散型随机变量的方差 白题 基础过关 1.A解析：方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度，方差越大， 随机变量越不稳定，故A错误，C正确；常数的方差为0，故B正确： 标准差等于方差的算术平方根，故随机变量的方差和标准差越小，则 偏离变量的平均程度越小，故D正确.故选A. 2.D解析：由分布列的性质得0.4+0.1+x=1,解得x=0.5,∴.E()=1× 0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,∴.D(5)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+ (5-3.2)2×0.5=3.56,∴.专的标准差为√D(5)=3.56.故选D. 3子保折：曲题意知=1号号-号由8到=1得0+1以 3 4 2 1 8 8 9+2×9+3n=1,解得m=27,m=27,故D(5)=(0-1)2×27+ 1-1P×号(2-10号(g-1)分号放餐案为号 2731 1 4.D解析：由X的分布列得E(X)=(-1)×2+0x3+1×。 11 3 0(时)宁(g）广x对(g)g号四 5 为Y=x+2,则D(门=子0(X)=6故选D 5.AC解析：E(2X+1)=2E(X)+1=5,则E(X)=2,故A正确，B错误； D(3X-1)=9D(X)=9,则D(X)=1,故C正确，D错误.故选AC. 645折：由CD-0x+1写石，得B(门=8o 3)=a(0+3石+3=宁解得a=-15又0(0=(1-)X 名）广(-g)对-所以n=e3 参考答案 00=(-15x号-空所以D(2y10)=20(0=4 4 425.故答案为425. 7.A解析：由已知E()=48×0.1+49×0.1+50×0.6+51×0.1+52×0.1= 50,E(m)=48×0.2+49×0.2+50×0.2+51×0.2+52×0.2=50,所以 D(5)=(48-50)2×0.1+(49-50)2×0.1+(50-50)2×0.6+(51-50)2× 0.1+(52-50)2×0.1=1,D(7)=(48-50)2×0.2+(49-50)2×0.2+ (50-50)2×0.2+(51-50)2×0.2+(52-50)2×0.2=2,所以D(5)=1, D(7)=2,所以甲方法测量的结果比乙方法测量的结果波动小，故 选A. a.只解折5的可能取值为5,43,2，P(6=5)=×6P( 16 4=×14）6=3)=(（)6s=2 9 (1-4)x(14）6则(=5xG4x6+3x6+2x 共则0=(s)名(）广名(）名 黑题 应用提优 1.C解析：由题可知，m+2m+m=1,解得m=4,则E(X)=0×m+ 40m+40m=80m=20:故D(X)=×(0-20)2+×(20-20)2+ }×(40-20)2=100+100=20故选C 2.CD解析：由题意，随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=号 所以P代X=)=子，则E(X)=0x写+1x号=子 ,D(x)= (0号）广好(）广×号-号对于A.0(+2=. D()=9x号=2，所以A不正确，D正确；对于B,由于D()=号 2 所以B不正确；对于C,由P(X=1)=子，B(X)=子，所以P(X= 1)=E(X),所以C正确.故选CD. 3.A解析：根据随机变量的分布列得B()=(-1)a+0x(子：） 13 =号-，则()=[-(）]·a+ 1 (日]（层-小-（居]'x好… 多子-一(-名）厂，是尚于周版D心到的图象为关于的开口 方向向下的抛物线，且05<号，函数的对称轴为直线。=名，故当。 2 在(0，子)内增大时，D()增大故选A 4.C解析：因为一共有3个盒子，所以X+Y=3,因此E(X)=E(3-Y)= 3-E(Y),D(X)=D(3-Y)=(-1)2×D(Y)=D(Y), 由题意可知X0,12,P0X=0X=-名P(X=2x33 31 27=,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-。-。=2, x0g2+子×1=g,所以E(0=3-B()=3号 E(X)=9 19,故选C 9 5号解标：根据愿意，B()=2含n:-兰，所以D(X)=含n: 黑白题177.3离散型随机变量的数字特征 7.3.1离散型随机变量的均值 白题 基础过关 限时：25min 题组1离散型随机变量的均值（数学期望） 题组2 离散型随机变量的均值的性质 1.（2024·河南开封高二期末)一批产品中次品 5.(2024·广东广州高二月考)已知随机变量X 率为5%，随机抽取1件，定义X= 的分布列为 1,抽到次品， 则E(X)= (0,抽到正品， A.0.05 B.0.5 C.0.95 D.0.095 设Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)的值是 2.(多选)已知随机变量X的分布列为 .2 2 3 n 6.已知随机变量X,Y满足Y=2X+3,Y的期望 0.3 0.1+m 则 E()=3X的分布列如下，则a= A.m=0.3 B.m=0.4 b= C.E(X)=2.1 D.E(X)=2.6 3.(2024·湖南岳阳高二月考)某公司有5万元 资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可 获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金 题组3离散型随机变量的均值的应用 7.(2024·安徽六安高三月考)有5件型号和形 的50%，下表是过去200例类似项目开发的实 状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次 施结果： 品，现对产品随机地逐一检测. 投资成功 投资失败 (1)求检测过程中两件次品不相邻的概率； 192次 8次 (2)设检测完后两件次品中间相隔正品的个 数为X,求X的分布列和数学期望 则该公司一年后估计可获收益的期望是 元 4.（2024·河北石家庄高二期末)编号为1,2,3 的三位学生随意入坐编号为1,2,3的三个座 位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同 的学生的个数是5，则E()= 选择性必修第三册·RJ黑白题32 黑题 应用提优 限时：35min 1.(2024·湖南娄底高二期末)已知离散型随机4.(2024·辽宁沈阳高二月考)已知x,y,z∈N*, 变量X的分布列如下表所示，则E(X)的值为 且x+y+z=8,记随机变量X为x,y,z中的最小 ( 值，则E(X)= 5.(2024·江西上饶高二期末)已知10只小白鼠 0 2 中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来 0.36 1-2q 确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性 A.0.68 B.0.6 C.0.2976 D.3.88 的为患病小白鼠，下面是两种化验方案.方案 2.（多选)(2024·黑龙江哈尔滨高二期末)已知 甲：将10只小白鼠的血液逐个化验，直到查出 随机变量X的分布列为 ( 患病小白鼠为止.方案乙：先取5只小白鼠的 9 10 血液混在一起化验，若呈阳性，则对这5只小 0.3 0.1 6 0.2 白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白 鼠；若不呈阳性，则对剩下的5只小白鼠再逐 若E(X)=7.5,则下列结论正确的是( 个化验，直到查出患病小白鼠. A.a=7.5 B.b=0.4 (1)若用方案甲，求化验次数为5次的概率； C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9 (2)若平均化验次数少的方案好，请你确定方 3.(2024·安徽准南高二期中)如图，某考古队 案甲、方案乙哪个更好 在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂 空间，且有4个形状、大小均相同的入口1,2， 3,4,其中只有1个入口可以打开，其他的入口 是关闭的.现让一个机器狗从点0出发探路， 从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到 后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到 出发点，继续重新寻找.若该机器狗是有记忆 的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于 1次，且每次选择哪条路线是等可能的，则它 压轴挑战 能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是 (2024·河南郑州高三月考)体育课 ( 的排球发球项目考试的规则是：每 入口3 位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止 路线3 路线1 路线2 发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球 入口1 入口2 成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X,若X的 (出发点) 路线4 数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围 入口4 是 7 A B.2 D. 3 3 2 进阶突破拔高练P09 第七章黑白题33