专题13 圆的方程确定-北师大版《数学》基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题13 圆的方程确定 一、知识梳理 （1）圆的方程确定的核心方法 1.直接法（标准方程法）：已知圆心坐标和半径，直接代入圆的标准方程即可，适用于圆心、半径已知或易求的情况. 2.待定系数法 1　 设标准方程：若已知圆心相关条件（如圆心在某直线上、圆心到点/线的距离）或半径，设，根据条件列方程求解； 2　 设一般方程：若已知圆上三个点的坐标，设，将点坐标代入列三元一次方程组，求解，最后验证. （2）常见已知条件类型 1.已知圆心和半径； 2.已知圆上三个点； 3.已知圆心在某直线上+圆过两个点； 4.已知弦的端点+弦长/圆心到弦的距离； 5.已知圆过两个点+半径. 二、题型精练 题型1 直接法求圆的标准方程（已知圆心和半径） 【典例1】已知圆的圆心为，半径，求该圆的标准方程，若将其转化为一般方程，结果为多少？ 题型2 待定系数法求圆的方程 【典例2】已知圆的圆心在直线上，且过点和，求该圆的标准方程. 【典例3】已知圆经过点、、，求该圆的一般方程，并写出圆心和半径. 【典例4】已知点、，求以线段MN为直径的圆的方程. 【典例5】已知圆过点，且半径，圆心在直线上，求该圆的标准方程. 三、知识检测 1．已知圆的圆心为，半径，则其标准方程为（） A． B． C． D． 2．圆的圆心坐标为（） A． B． C． D． 3．已知圆过点，圆心为，则该圆的一般方程为（） A． B． C． D． 4．若圆的方程为，则下列说法正确的是（） A．圆心，半径4 B．圆心，半径4 C．圆心，半径16 D．圆心，半径16 5．已知圆经过点、、，则该圆的半径为（） A．1 B． C． D．2 6．圆心在直线上，且过点的圆，若半径最小，则其标准方程为（） A． B． C． D． 7．若方程表示圆，则实数的取值范围是（） A．或 B． C．或 D． 8．已知圆的一条弦端点为和，弦的中点为，则该弦的垂直平分线斜率为（） A． B． C． D． 9．圆与轴的交点坐标为（） A．、 B．、 C．、 D．、 10．已知圆过点和，且圆心在轴上，则圆心坐标为（） A． B． C． D． 11．若圆的一般方程为，则其半径为（） A．3 B．4 C．5 D．25 12．已知圆的圆心到直线的距离为，圆心为，则该圆的标准方程可为（） A． B． C． D． 13．下列点中，在圆内部的是（） A． B． C． D． 14．已知圆经过点，且圆心为，则该圆与轴的交点为（） A．、 B．、 C．、 D．、 15．用待定系数法求圆的方程时，若已知圆上三个点，优先设的方程形式为（） A．标准方程 B．一般方程 C．参数方程 D．以上均可 16．已知圆的标准方程为，则其一般方程为________. 17．圆心在原点，且过点的圆的方程为________. 18．圆过点和，且圆心在直线上，则圆心坐标为________. 19．已知圆的圆心为，且过点，求该圆的标准方程和一般方程. 20． 已知圆经过点、、，求该圆的一般方程，并求出圆心和半径. 21．已知圆的圆心在直线上，且过点和，求该圆的标准方程. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 圆的方程确定 一、知识梳理 （1）圆的方程确定的核心方法 1.直接法（标准方程法）：已知圆心坐标和半径，直接代入圆的标准方程即可，适用于圆心、半径已知或易求的情况. 2.待定系数法 1　 设标准方程：若已知圆心相关条件（如圆心在某直线上、圆心到点/线的距离）或半径，设，根据条件列方程求解； 2　 设一般方程：若已知圆上三个点的坐标，设，将点坐标代入列三元一次方程组，求解，最后验证. （2）常见已知条件类型 1.已知圆心和半径； 2.已知圆上三个点； 3.已知圆心在某直线上+圆过两个点； 4.已知弦的端点+弦长/圆心到弦的距离； 5.已知圆过两个点+半径. 二、题型精练 题型1 直接法求圆的标准方程（已知圆心和半径） 【典例1】已知圆的圆心为，半径，求该圆的标准方程，若将其转化为一般方程，结果为多少？ 答案：标准方程为；一般方程为. 分析：本题考查直接法求圆的标准方程及标准方程转一般方程知识点，直接套用标准方程公式，再展开整理得一般方程. 详解：求标准方程：已知圆心，半径，代入标准方程得 ， 即 . 将标准方程展开，得 ， 移项合并同类项，得 . 题型2 待定系数法求圆的方程 【典例2】已知圆的圆心在直线上，且过点和，求该圆的标准方程. 答案：. 分析：本题考查待定系数法设标准方程求圆的方程，结合直线方程求圆心坐标的知识点，设出圆心坐标，利用圆心到圆上两点距离相等列方程求解. 详解： 设圆心为，因为圆心在直线上，所以 ①. 又因为圆过点和，所以，即： ， 两边平方得： ， 展开整理： ， 化简得： ， 即 ②. 联立①②， 由②得： ， 代入①得： ， 解得 ， 则，即圆心. 半径， 故圆的标准方程为. 【典例3】已知圆经过点、、，求该圆的一般方程，并写出圆心和半径. 答案：一般方程为；圆心，半径. 分析：本题考查待定系数法设一般方程求圆的方程的知识点，将三点坐标代入一般方程，列方程组求解，再验证判别式. 详解：设圆的一般方程为，由题可知，三点在圆上， 故整理得 解得：. 故圆的一般方程为. 圆心坐标，半径. 【典例4】已知点、，求以线段MN为直径的圆的方程. 答案：或. 分析：本题考查待定系数法求圆的方程，先求半径，再求圆心坐标. 详解：设所求圆的圆心坐标为半径为,依题意可知，圆心是线段的中点，半径. 因此中点的坐标为，所以圆心坐标为(1,3). 半径. 因此，所求圆的方程为 【典例5】已知圆过点，且半径，圆心在直线上，求该圆的标准方程. 答案：或. 分析：本题考查综合条件下用待定系数法求圆的标准方程的知识点，设圆心坐标，结合圆心在直线上、圆心到点的距离为半径列方程求解. 详解：设圆心为，圆心在直线上，故， 即 ①； 圆过点，半径，故， 即 ②. 将①代入②，得， 即 ， 两边平方得：， 整理得： ， 解得 或. 当时，，圆心，圆的方程为； 当时，，圆心，圆的方程为. 三、知识检测 1．已知圆的圆心为，半径，则其标准方程为（） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查直接法求圆的标准方程知识点，直接套用标准方程公式. 详解：圆心，即，，，代入得，故选C. 2．圆的圆心坐标为（） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查由圆的一般方程求圆心坐标知识点，套用圆心公式. 详解：由一般方程得，，圆心， 故选A. 3．已知圆过点，圆心为，则该圆的一般方程为（） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查标准方程转一般方程知识点，先写标准方程，再展开整理. 详解：标准方程为，展开得，整理为， 故选A. 4．若圆的方程为，则下列说法正确的是（） A．圆心，半径4 B．圆心，半径4 C．圆心，半径16 D．圆心，半径16 答案：B 分析：本题考查圆的标准方程的基本特征知识点，从标准方程中直接读取圆心和半径. 详解：标准方程中，，，即，圆心，半径4， 故选B. 5．已知圆经过点、、，则该圆的半径为（） A．1 B． C． D．2 答案：C 分析：本题考查待定系数法求圆的方程及求半径知识点，设一般方程求解后计算半径. 详解：设一般方程，代入三点得，，，即，，.半径， 故选C. 6．圆心在直线上，且过点的圆，若半径最小，则其标准方程为（） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查几何法求圆的方程，利用“圆心到点的距离最小时半径最小”的知识点. 详解：半径最小即圆心到点的距离最小，圆心在上，最小距离为点到直线的垂线段长度.垂线方程为，联立得圆心，半径，方程为， 故选A. 7．若方程表示圆，则实数的取值范围是（） A．或 B． C．或 D． 答案：A 分析：本题考查圆的一般方程的判别式知识点，令求解参数范围. 详解：，，，则，即，化简，解得或， 故选A. 8．已知圆的一条弦端点为和，弦的中点为，则该弦的垂直平分线斜率为（） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查圆的几何性质，弦的垂直平分线与弦垂直，利用“垂直直线斜率之积为-1”的知识点. 详解：弦的斜率，则垂直平分线斜率为， 故选C. 9．圆与轴的交点坐标为（） A．、 B．、 C．、 D．、 答案：A 分析：本题考查圆与坐标轴的交点求法知识点，令代入圆的方程求解. 详解：令，得，即，解得，交点为、， 故选A. 10．已知圆过点和，且圆心在轴上，则圆心坐标为（） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查待定系数法求圆心坐标知识点，设圆心在轴上的坐标，利用圆心到两点距离相等列方程. 详解：设圆心，则，平方得，展开整理得，，圆心， 故选C. 11．若圆的一般方程为，则其半径为（） A．3 B．4 C．5 D．25 答案：C 分析：本题考查由圆的一般方程求半径知识点，套用半径公式. 详解：，，，， 故选C. 12．已知圆的圆心到直线的距离为，圆心为，则该圆的标准方程可为（） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查直接法求圆的标准方程，圆心到直线的距离可作为半径的知识点. 详解：圆心，半径，代入标准方程得， 故选A. 13．下列点中，在圆内部的是（） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查点与圆的位置关系知识点，点到圆心的距离小于半径则在圆内. 详解：圆心，半径4.各点到圆心的距离：A为3，B为2，C为3，D为0，均小于4，其中D是圆心，在圆内， 故选D. 14．已知圆经过点，且圆心为，则该圆与轴的交点为（） A．、 B．、 C．、 D．、 答案：B 分析：本题考查圆的方程及圆与轴交点求法知识点，先写圆的方程，再令求解. 详解：标准方程为，令，得，，解得，交点为、， 故选B. 15．用待定系数法求圆的方程时，若已知圆上三个点，优先设的方程形式为（） A．标准方程 B．一般方程 C．参数方程 D．以上均可 答案：B 分析：本题考查圆的方程的选择策略知识点，已知三点时设一般方程可直接列三元一次方程组求解. 详解：已知圆上三个点，设一般方程，将三点代入即可列方程组求解，计算更简便， 故选B. 16．已知圆的标准方程为，则其一般方程为________. 答案： 分析：本题考查圆的标准方程转一般方程知识点，将标准方程展开、移项、合并同类项. 详解：展开标准方程：，移项合并得. 17．圆心在原点，且过点的圆的方程为________. 答案： 分析：本题考查直接法求圆的标准方程知识点，圆心在原点时方程为，求半径即可. 详解：半径，方程为. 18．圆过点和，且圆心在直线上，则圆心坐标为________. 答案： 分析：本题考查利用几何性质求圆心坐标知识点，弦的垂直平分线与已知直线的交点为圆心. 详解：弦中点，斜率，垂直平分线斜率，方程即，联立，解得，，圆心. 19．已知圆的圆心为，且过点，求该圆的标准方程和一般方程. 答案：标准方程；一般方程. 分析：本题考查直接法求圆的标准方程及标准方程转一般方程知识点，先求半径，再写标准方程，最后展开得一般方程. 详解：；代入圆心和半径5，得 ； 展开得 ， 移项合并得 . 20．已知圆经过点、、，求该圆的一般方程，并求出圆心和半径. 答案：一般方程；圆心，半径. 分析：本题考查待定系数法设一般方程求圆的方程的知识点，将三点坐标代入列方程组求解. 详解：设圆的一般方程为，将三点代入： 代入：，即 ①； 代入：，即 ②； 代入：，即 ③. ②-①得：，解得； ③-②得：，解得； 将，代入①得：，解得. 验证判别式：，符合圆的条件. 故一般方程为. 圆心坐标，半径. 21．已知圆的圆心在直线上，且过点和，求该圆的标准方程. 答案：. 分析：本题考查待定系数法设标准方程求圆的方程知识点，设圆心坐标，结合圆心在直线上、圆心到两点距离相等列方程求解. 详解： 设圆心为，根据题意得：圆心在直线上，故 ①；圆过、，故，即 ②. 将①代入②，得， 两边平方：， 整理得：，解得，则，圆心. 半径， 故圆的标准方程为. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $