专题12 圆的一般方程-北师大版《数学》基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题12 圆的一般方程 一、知识梳理 （1）圆的一般方程定义 一般地，当时，我们把方程 称为圆的一般方程，圆心坐标半径. （2）圆的一般方程的系数特征 1.和的系数相等且不为0（这是判断一个二元二次方程是否为圆的必要条件）； 2.方程中不含项（即项系数为0）； 3.判别式的取值决定方程的图形： 1　 ：表示以为圆心，为半径的圆； 2　 ：方程退化为一个点（点圆）； 3　 ：方程无实数解，不表示任何图形（虚圆）. （3）圆的标准方程与一般方程的转化 1.标准方程转一般方程：将展开、整理，合并同类项即可得到的形式； 2.一般方程转标准方程：通过配方法对、分别配方，转化为的形式，直接得到圆心和半径. 2、 题型精练 题型1 由圆的一般方程求圆心和半径 【典例1】已知圆的一般方程为，求该圆的圆心坐标和半径. 题型2 判断二元二次方程是否表示圆 【典例2】判断下列方程是否表示圆，若表示圆，求出圆心和半径： （1） ； （2）； （3）； （4）. 题型3 圆的标准方程转化为一般方程 【典例3】将圆的标准方程转化为一般方程. 题型4 待定系数法求圆的一般方程（已知圆上三点） 【典例4】已知圆经过点、、，求该圆的一般方程. 题型5 已知圆心/半径，求圆的一般方程 【典例5】已知圆的圆心为，半径，求该圆的一般方程. 题型6 已知点与圆的位置关系，求方程中的参数 【典例6】已知点在圆上，求实数的值，并判断该圆的图形特征. 三、知识检测 1．圆的一般方程为，则其圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是圆的一般方程的是（ ） A． B． C． D． 3．圆的半径为（ ） A．3 B．4 C．5 D．25 4．将圆的标准方程转化为一般方程，结果为（ ） A． B． C． D． 5．已知圆的一般方程为，则判别式的值为（ ） A．16 B．24 C．28 D．32 6．若方程表示以为圆心的圆，则的值分别为（ ） A．4，-6 B．-4，6 C．-2，3 D．2，-3 7．圆的图形特征为（ ） A．以为圆心的圆 B．点 C．无实数图形 D．以为圆心的圆 8．已知圆经过点、、，则其一般方程为（ ） A． B． C． D． 9．圆的一般方程与标准方程一致，其圆心和半径分别为（ ） A．，-1 B．，1 C．，1 D．，1 10．将圆的一般方程化为标准方程，结果为（ ） A． B． C． D． 11．圆的圆心到原点的距离为（ ） A．7 B．8 C．5 D．9 12．若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A．为任意实数 B． C． D． 13．已知圆的圆心为，半径，则其一般方程为（ ） A． B． C． D． 14．下列圆中，圆心在第四象限的是（ ） A． B． C． D． 15．圆经过原点，则的值为（ ） A．0 B．1 C．-1 D．任意实数 16．圆的半径为（ ） A． B．5 C． D． 17．已知圆的一般方程为，则点与该圆的位置关系为（ ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．圆心 18．圆的一般方程中，的值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 19．若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A． B． C． D．为任意实数 20．圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 21．求圆心与圆得圆心相同，半径为4的圆的方程. 22．直线与轴的交点为B，求以B为圆心，且半径为圆的半径的5倍的圆的方程. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 圆的一般方程 一、知识梳理 （1）圆的一般方程定义 一般地，当时，我们把方程 称为圆的一般方程，圆心坐标半径. （2）圆的一般方程的系数特征 1.和的系数相等且不为0（这是判断一个二元二次方程是否为圆的必要条件）； 2.方程中不含项（即项系数为0）； 3.判别式的取值决定方程的图形： 1　 ：表示以为圆心，为半径的圆； 2　 ：方程退化为一个点（点圆）； 3　 ：方程无实数解，不表示任何图形（虚圆）. （3）圆的标准方程与一般方程的转化 1.标准方程转一般方程：将展开、整理，合并同类项即可得到的形式； 2.一般方程转标准方程：通过配方法对、分别配方，转化为的形式，直接得到圆心和半径. 2、 题型精练 题型1 由圆的一般方程求圆心和半径 【典例1】已知圆的一般方程为，求该圆的圆心坐标和半径. 答案：圆心，半径 分析：本题考查由圆的一般方程求圆心和半径知识点，通过配方法转化为标准方程，或直接套用圆心、半径公式求解. 详解：方法一（配方法）： 对、分别配方： 故圆心为，半径. 方法二（公式法）： 由，得，，， 圆心， 半径. 题型2 判断二元二次方程是否表示圆 【典例2】判断下列方程是否表示圆，若表示圆，求出圆心和半径： （1） ； （2）； （3）； （4）. 答案：（1）是圆，圆心，半径；（2）不是圆（点圆）；（3）是圆，圆心，半径；（4）不是圆 分析：本题考查判断二元二次方程是否为圆的一般方程知识点，根据系数特征和判别式判断. 详解：（1），，，系数为1且无项， ，表示圆； 圆心，半径. （2），，，，表示一个点，不表示圆. （3）先化为标准形式：两边同除以2得， ，，，，表示圆； 圆心，半径. （4） 方程含项，不满足圆的一般方程系数特征，不表示圆. 题型3 圆的标准方程转化为一般方程 【典例3】将圆的标准方程转化为一般方程. 答案： 分析：本题考查圆的标准方程转一般方程知识点，将标准方程展开、整理合并同类项即可. 详解：展开标准方程： 移项、合并同类项： ， 即为圆的一般方程. 题型4 待定系数法求圆的一般方程（已知圆上三点） 【典例4】已知圆经过点、、，求该圆的一般方程. 答案： 分析：本题考查用待定系数法求圆的一般方程知识点，设一般方程，代入三点坐标列方程组求解. 详解：设圆的一般方程为， 将、、分别代入： 代入：； 代入：，结合，得； 代入：，结合、，得； 验证判别式：， 故圆的一般方程为. 题型5 已知圆心/半径，求圆的一般方程 【典例5】已知圆的圆心为，半径，求该圆的一般方程. 答案： 分析：本题考查由圆心和半径求圆的一般方程知识点，先写标准方程，再转化为一般方程. 详解：先写圆的标准方程：， 展开并整理： ，即为圆的一般方程. 题型6 已知点与圆的位置关系，求方程中的参数 【典例6】已知点在圆上，求实数的值，并判断该圆的图形特征. 答案：，表示以为圆心、为半径的圆 分析：本题考查已知点在圆上求一般方程中的参数知识点，将点的坐标代入方程求解参数，再验证判别式. 详解：将点代入圆的方程： ； 此时圆的方程为， 判别式，表示圆； 圆心，半径. 三、知识检测 1．圆的一般方程为，则其圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查由圆的一般方程求圆心坐标知识点，直接套用圆心公式求解. 详解：由方程得，，圆心， 故选A. 2．下列方程中，是圆的一般方程的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查判断二元二次方程是否为圆的一般方程知识点，根据系数特征和判别式判断. 详解：A含项，B系数不等，C.,该方程表示一个点，D满足系数特征且， 故选D. 3．圆的半径为（ ） A．3 B．4 C．5 D．25 答案：C 分析：本题考查由圆的一般方程求半径知识点，套用半径公式求解. 详解：，，，， 故选C. 4．将圆的标准方程转化为一般方程，结果为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查圆的标准方程转一般方程知识点，展开标准方程并整理合并同类项. 详解：展开得，整理为， 故选A. 5．已知圆的一般方程为，则判别式的值为（ ） A．16 B．24 C．28 D．32 答案：D 分析：本题考查圆的一般方程的判别式计算知识点，确定后代入公式计算. 详解：，，，， 故选D. 6．若方程表示以为圆心的圆，则的值分别为（ ） A．4，-6 B．-4，6 C．-2，3 D．2，-3 答案：B 分析：本题考查由圆心坐标求圆的一般方程系数知识点，利用圆心公式列方程求解. 详解：，， 故选B. 7．圆的图形特征为（ ） A．以为圆心的圆 B．点 C．无实数图形 D．以为圆心的圆 答案：B 分析：本题考查由判别式判断圆的一般方程的图形特征知识点，计算的值判断. 详解：，，，，表示点， 故选B. 8．已知圆经过点、、，则其一般方程为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查用待定系数法求圆的一般方程知识点，设一般方程代入三点坐标求解. 详解：设方程为，代入得，，，解得，，，方程为， 故选A. 9．圆的一般方程与标准方程一致，其圆心和半径分别为（ ） A．，-1 B．，1 C．，1 D．，1 答案：B 分析：本题考查特殊圆的一般方程求圆心和半径知识点，对照一般方程确定再求解. 详解：，，，圆心，半径，故选B. 10．将圆的一般方程化为标准方程，结果为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查圆的一般方程转标准方程知识点，先化系数为1，再用配方法配方. 详解：两边同除以2得，配方得， 故选A. 11．圆的圆心到原点的距离为（ ） A．7 B．8 C．5 D．9 答案：C 分析：本题考查由圆的一般方程求圆心，再求圆心到原点的距离知识点，分步求解. 详解：圆心为，到原点的距离， 故选C. 12．若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A．为任意实数 B． C． D． 答案：A 分析：本题考查含参数的二元二次方程表示圆的参数取值范围知识点，计算判别式并令其大于0. 详解：，，，，故为任意实数， 故选A. 13．已知圆的圆心为，半径，则其一般方程为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查由圆心和半径求圆的一般方程知识点，先写标准方程再转化为一般方程. 详解：标准方程为，展开整理为， 故选A. 14．下列圆中，圆心在第四象限的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查由圆的一般方程判断圆心所在象限知识点，求圆心坐标后根据象限特征判断. 详解：A圆心（第二象限），B圆心（第四象限），C圆心（第一象限），D圆心（第三象限）， 故选B. 15．圆经过原点，则的值为（ ） A．0 B．1 C．-1 D．任意实数 答案：A 分析：本题考查已知圆过原点求一般方程系数知识点，将原点坐标代入方程求解. 详解：代入得， 故选A. 16．圆的半径为（ ） A． B．5 C． D． 答案：B 分析：本题考查由圆的一般方程求半径知识点，配方转化为标准方程后直接读取半径. 详解：配方得，半径， 故选B. 17．已知圆的一般方程为，则点与该圆的位置关系为（ ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．圆心 答案：D 分析：本题考查由圆的一般方程判断点与圆的位置关系知识点，先求圆心再对比点的坐标. 详解：圆心为，与点坐标一致，故点是圆心， 故选D. 18．圆的一般方程中，的值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 答案：B 分析：本题考查圆的标准方程转一般方程，再求系数和的知识点，先转化方程再确定系数计算. 详解：标准方程展开为，，，，. 故选B. 19．若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A． B． C． D．为任意实数 答案：A 分析：本题考查含参数的圆的一般方程的参数取值范围知识点，计算判别式令其大于0. 详解：， 故选A. 20．圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查由圆的一般方程求圆心坐标知识点，直接套用圆心公式求解. 详解：，，圆心，. 故选B. 21．求圆心与圆得圆心相同，半径为4的圆的方程. 答案： 分析：本题考查圆的方程形式互化以及圆心、半径的求法，先将已知方程化为标准方程，在对未知方程进行求解. 详解：将方程配方，得.可知圆心坐标（-2，4），故所求圆的坐标也是（-2，4），半径为4. 因此，所求圆的方程为 22．直线与轴的交点为B，求以B为圆心，且半径为圆的半径的5倍的圆的方程. 答案： 分析：本题考查直线与坐标轴交点、圆一般式配方求半径、已知圆心半径写圆方程先求直线与 y 轴交点 B，再配方已知圆得半径并放大 5 倍，最后代入圆标准方程即可. 详解：对于直线方程，令，可得，解得，所以直线与y轴的交点B的坐标为（0，5）. 已知圆的方程为，转为圆的标准方程： 所以该圆的半径. 因为所求圆的半径是已知圆半径的5倍，已知圆半径，所以所求圆的半径为5. 已知所求圆的圆心为,半径为5，故所求圆的方程为 即： 综上，所求圆的方程为. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $