上分专题11 概率与统计的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题课堂 上分专题11 概率与统计的综合应用 命题密钥 本专题中的概率与统计问题主要是研究样本与总体的数字特征，并利用古典概型计算概 率.概率与统计问题多以真实情境为背景设计试题，着重考查学生的阅读理解能力与数据分 析能力，解题时需要从题干描述及图表信息中提炼关键信息，梳理事件之间的关系，构建相应 的数学模型， 概率与统计的综合应用在高考中有非常重要的地位，如2022年的新高考Ⅱ卷中以解答 题形式出现，研究样本与总体的数字特征，并利用古典概型计算概率.更多的时候，概率与统 计常与高年级的数学知识相结合，侧重跨模块知识的融会贯通，成为考查学生综合能力的核 心命题热点 考点觉醒 ●样本数字特征的计算问题 众数 取最高的小矩形底边中点的横坐标 中位数 根据中位数左右两侧小矩形面积之和相等估计中位数的值 频率分布 直方图 平均数 每个小矩形的面积乘矩形底边中点的横坐标之和 计算累计频率，确定百分位数在哪一组，设出百分位数，利 百分位数 用方程思想求解 平均数与 X1,X2,·, x的平均数为无，方差为s2,则kx,+b,kx,+b,·,k+b的平均数 方差的性质 为kx+b,方差为k22 ●概率中的重难题型 看作有序抽取，连续两次抽取的过程中，(a,b)与 (b,)不是同一个样本点 “放回” “放回”与 存在重复抽取，样本空间中包含样本点(a,a “不放回”问题 看作有序或无序抽取均可，也可看作一次性抽取 “不放回” 不存在重复抽取 分解为几个互斥的简单事件的和事件，利用P(4A,UA,U 方法 复杂古典概型 …UA)=P4)+P(A)++P(A,)求解 概率的计算方法 采用“正难则反”原则，转化为对立事件，再利用P(4) 万因 =1-P(④求解 事件的相互 判断 事件A,B相互独立←→P(AB)=P(A)P(B) 独立性 应用 将事件拆解成几个独立的步骤，利用独立性的公式求解 28 数学|必修第二册·RJ 实战演练 1.*某公司有甲、乙两支研发团队，现在要 2.(2025·辽宁省实验中学高一期末)某 考察两支团队的研发水平，随机抽取两个团 校的体育组为了了解本校高一学生的体能 队往年研发新品的成果如下：(A,B),(A, 状况，随机抽取了n名高一学生进行体能测 B),(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),（A,B), 试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体 能测试评价标准整理，得到频率分布直方图， (A,B),(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),(A, 已知评分在[70,80)中的学生有100人.体能 B),(A,B),（A,B).其中A,A分别表示甲团 测试评价标准如下表： 队研发成功和失败；B,B分别表示乙团队研 ↑频率/组距 0.035---------- 发成功和失败 (1)若某团队成功研发一种新品，则给该团 0.025 0.020 队记1分，否则记0分.试求两队研发新 品的成绩的平均数和方差，并比较两团 0.004 队的研发水平； 0405060708090100分数 (2)若公司安排两团队各自研发一种新品， 测试 [0, 40. 50, 60, 「70，[80. 90. 试估计恰有一队研发成功的概率， 评分 40) 50) 60) 70) 80) 90) 100 体能 D C B A 等级 (1)求n的值及频率分布直方图中t的值； (2)在抽取的体能等级为D的学生中，按照 测试评分的分组，分为两层，通过分层抽 样抽取出三人进行体能训练.根据以往 数据统计，经体能训练后，测试评分在 [40,50)中的学生的体能等级转为B的 概率为，测试评分在[50,60)中的学生 的体能等级转为B的概率为7，假设经 体能训练后的等级转化情况相互独立， 求在抽取出的三人中，经体能训练后至 少有一人的体能等级转为B的概率 黑白题·上分秘籍29 3.*(2025·河北保定高一期末)某宠物医4.整(2025·广东深圳高一期末)由甲、乙两 院为了解客户对宠物医院服务的满意程度， 个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关 医院对1000位客户进行了服务评价调查， 解密码锁，规则如下： 满分为100分.根据客户的评分数据（评分都 ①一共有2道相同的密码锁，每一道密码锁 在[40,100]之间)，将其按照[40,50)、[50， 都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成 60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100] 功，否则视为解锁失败； 划分为6组，其频率分布直方图如图所示. ②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解 频率/组距 锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会， 第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一 0.030------ 位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解 锁成功，则替换为下一位解锁人解锁； 0.015 0.010 ③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进 0.005 入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局 0405060708090100分数 现根据以往100次的测试，分别获得如下甲 (1)求图中a的值，并估算本次服务评价调 乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直 查的平均得分.（同一组中的数据用该组 方图，其中a=0.7b 区间的中点值作代表)》 +频率/组距 ↑频率/组距 0.04 (2)若宠物医院准备对给出高评价（将评分 0.03 从高到低排序，排在前13%的视为高评 0.017 0.02 价)的客户赠送宠物护理礼包，那么获得 0.01- 0.01 宠物护理礼包的客户评分至少要达到多 0.005 0253545556575 0'3545556575 少分？ 甲时间/秒 乙 时间/秒 (3)若通过分层随机抽样的方式从“评分最 (1)求a,b的值，并求出甲解开1道密码锁 低组”[40,50)和“评分最高组”[90， 的时间在1分钟以内的频率 100]中抽取6人，再从这6人中随机抽 (2)以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于 取2位客户进行回访，求进行回访的 各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每 2人都来自“评分最高组”的概率， 次是否成功解开密码锁相互独立，解答 下列问题： (1)若2人决定由甲先开始解锁，求团 队使用的解锁机会不超过3次就进入下 一关的概率； (ⅱ)你认为甲、乙两人进入下一关的概 率是否与他们的出场顺序有关？试通过 计算说明理由， 30数学1必修第二册·RJ(3)解：存在如图②，延长三棱台ABC-A1B1C1的侧棱AA1,BB1,CC1 交于点P,由(1)得△PAC为正三角形. 因为BC⊥平面A,ACC1,BCC平面ABC,所以平面ABC⊥平面PAC. 取AC的中点N,连接PN,则PN⊥AC,且PN=√3，又因为平面ABC∩ 平面PAC=AC,PNC平面PAC,所以PN⊥平面ABC. 过点E作EF∥PN交BN于点F,则EF⊥平面ABC,又因为ACC平 面ABC,所以AC⊥EF. 过点E作ED⊥AC于点D,连接FD,则FD为ED在平面ABC内的投 影，又因为ED∩EF=E,ED,EFC平面DEF,所以AC⊥平面DEF,又 因为FDC平面DEF,所以AC⊥FD,所以∠EDF为二面角E-AC-B 的平面角 若存在点E使得二面角E-AC-B的平面角正切值为 4,即 tan L EDF=尽，设EF=3,则FD=4,因为=E=2=DN PN BN CN'BC CN' 所祭+品器+器1管告1解得1=古， VC+BC=5,PB=2反，B,B=2,所以BE-EF即BE.1、 PB PN' 223, 3<B1B=2,所以线段B,B上存在满足题意的 上分专题11概率与统计的综合应用 1.解：(1)甲团队研发新品的成绩为：1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1， 0,1; 乙团队研发新品的成绩为：1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1. 号)八小号[（号八（号）s]会 x甲>x乙，屏<吃，通过两队平均数、方差的比较，可以看出甲团队的研 发水平优于乙团队 (2)记恰有一队研发成功的概率为P,所抽的15个结果中，恰有一队 研发成功包括(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),(A, B),共7个，.P= 7 151 100 2.解：(1)由已知条件可得n0.02X1050,又因为每组的小矩形的面 积之和为1. 所以(0.035+0.025+0.02+0.004+8t)×10=1,解得t=0.002. (2)由(1)可知t=0.002,所以评分在[40,50)中的人数是评分在 [50,60)中人数的分 若按分层抽样抽取3人，则评分在[40,50)中的有1人，在[50,60)中 的有2人， 设事件M=“在抽取的3人中，经体能训练后至少有一人的体能等级 转为B” 经体能训练后的等级转化情况相互独立，所以P(M)子 21 12 子=3，所以P(M)=1-P(M=1-3子， 必修第二册·RJ 数经体能训练后至少有一人的体能等级转为B的概率为号 3.解：(1)由(0.005+0.010+0.015×2+a+0.030)×10=1,解得a=0.025; 45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.15+95×0.1=71, 所以本次服务评价调查的平均得分为71分. (2)设获得宠物护理礼包的客户评分至少要达到x分， 因为[80,90)，[90,100)对应的频率分别为0.15,0.1，所以排在前 13%的高评价客户应在区间[80,90)内， 所以(90-x)×0.015+0.1=0.13,解得x=88,故获得宠物护理礼包的 客户评分至少要达到88分. (3)设在“评分最高组”和“评分最低组”抽取的人数分别为x,y, 三6×2=4，y=6×，=2,“由分层随机抽样在“评分最高红 抽取4人，在“评分最低组”中抽取2人. 设“评分最高组”中的4人分别用A,B,C,D表示，“评分最低组”中 的2人分别为a,b表示. 从中抽取2人进行回访的所有结果为AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD, Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,共15种 进行回访的2人均来自“评分最高组”的所有结果为AB,AC,AD,BC, BD,CD,共6种，故进行回访的2人都来自“评分最高组”的概率为 62 15=5 4.解：(1)由(0.005+0.01+0.017+a+b)×10=1,又因为a=0.7b,解得a= 0.028,b=0.04. 甲解开1道密码锁在1分钟时正好位于[55,65)中间，所以甲在1分 钟内解开1道密码锁的频率为(0.005+0.017+0.028+0.02)×10=0.7. (2)由题可知乙在1分钟内解开1道锁的频率为(0.01+0.03+0.02)× 10=0.6,设甲在第i次开锁成功为事件Ai(i=1,2),则P(A1)= P(4)上0，乙在第次开锁成功为事件B,(i=1,2),则P(B,)月 63 P(B2)=105 (ⅰ)若甲先开始解锁，团队使用的解锁机会不超过3次就进入下 关总共有：A1A2,A1A2B1,A142B13种情况，所以其概率为： P=4P4石r)-石石b品g品 7.3371 105500 (ⅱ)甲、乙两人进入下一关的概率与他们的出场顺序无关.假设甲先 开锁乙后开锁，进入下一关的情况有：A1A2,A1A2B1,A1A2B1, A1A2B1B2,A1A2B1B2,A1A2B1B2共6种情况，则其概率为： P(AA2)+P(A A2B)+P(AA2B)+P(A A2BB2)+P(AA2 BB2)+ 3 37233、3、33_2188547 0*10×行×万+10×10×方×行-250625 假设乙先开锁甲后开锁，进入下一关的情况有：B1B2,B1B2A1, B1B2A1,B1B2A1A2,B1B2A1A2,B1B2A1A2共6种情况，则其概率为： P(B B2)+P(B B2A)+P(B B2A)+P(B B2 A A2)+P(B B2 AA2)+ x7+3x2x3× 0号品品号号品0--器图为器 所以与他们的出场顺序无关 黑白题112