10.3 频率与概率-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

品甲在第1,34局庆硅的概率月-号×品×号×品0甲在 2.5.3.7210 第2,34局获胜的概率B=5×0×了×0250所以打完4局结 束比赛并且甲获胜的概率P=P1+P2+P3= 147+189+210546273 2500 25001250 10.3频率与概率 10.3.1频率的稳定性+10.3.2随机模拟 白题 基础过关 1.AC解析：根据频率和概率的定义易得AC正确：对B,因为概率是 频率的稳定值，频率是概率的近似值，不能说频率就是概率，故B错 误：对D,任意事件A发生的概率P(A)总满足0≤P(A)≤1，故 D错误 2.ABC解析：对于A:从中任取100件，可能有10件是次品，A错误； 对于B:做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币 出现正面的频率是？，不是概率为？，B错误；对于C:多次重复试 验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符， C错误；对于D:10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确”的 表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次 数越多，频率就等于概率，D正确 3.C解析：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估 计误差越小，可能性越大，所以合计列对应的频率最为合适 4.A解析：根据题意，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则样本 中夹谷的腹率为码行，则这托米内夹行约为185×写 361(石) 5.300解析：由题表可知，最高气温低于25℃的频率为45=0.1，所 90 以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1. 63解折：红色小球出现的频率为恐58%，所以红色小球出现的： 率应接近58%，设袋子中红色小球的个数为，当=3时，？=60% 最接近58%，所以袋中红色小球最有可能有3个， 7.解：(80-089，号4-0901①@对应的频率分别为080， 0.901. (2)从题表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数 不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，由此可估计这种鱼卵孵 化成功的概率为0.9. (3)大概需要鱼卵300-5600（个）。 0.9 8.C解析：由题意可知，代表事件“一年内这3台设备都不需要维修” 的数组有533,224,344,254,424,435,335,233,232,353,442，共 11 11组，因此，所求概率P=200.5, 9.选出的4个人中，只有1个男生解析：用1~4代表男生，用5~9代 表女生，“4678”表示一男三女，即“4678”代表的含义是选出的4个 人中，只有1个男生 102 解析：由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有 021,001,130,031,共4组随机数，所以恰好抽取三次就停止的概率 为4、2 189 黑题应用提优 1.ABC解析：对于选项A,某人打靶，射击10次，击中7次，则此人中 靶的频率（不是概率）为0.7，故A错误； 对于选项B,虽然抛掷一枚质地均匀的硬币“正面朝上”的概率是 ),但是一位同学做抛硬币试验，抛6次，不一定有3次“正面朝 上”，故B错误； 参考答案 对于选项C,虽然某福利彩票回报率为47%，但是买这种彩票，中奖 或不中奖都有可能，事先无法预料，故C错误； 对于选项D,必然事件发生的概率是1，但是发生的概率等于1的事 件不一定为必然事件，故D正确.故选ABC 2.B解析：击中的环数不小于8的频率为2+13+8=0.55，因此估计其 60 概率为0.55.故选B. 3.AB解析：可回收物约占生活垃圾的比例为30+20+40+30=30%，所 1000 以A正确：生活垃圾投放错误的概率约为1300+20+50+60=39%，所 1000 以B正确；因为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类垃圾箱 中顿放正确的城华分别为票器器引品合品品它们 的大小关系为分品高品所以投故正确的率最低份是其他 垃圾”箱，所以C错误；至=300+80+20+100=125，= 4 (30-125)2+(80-125)2+(20-125)2+(10-1252_1732+452+1052+25- 4 4 11075,所以D错误故选AB. 4.A解析：因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和 50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为 ,因此，这200人中，回答了第-个问题的有100人，而一年365天 1 中，日期为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为 186-0.51,所以这100个回答第一个问题的人中，约有51人回答了 365 “是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答 了“是”，所以可以估计出该地区经常吸烟的成年人所占的百分比约 为9%. 5.0.75解析：由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为 三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907， 966,569,556,989,共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为20 0.25,则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为1-0.25=0.75. 6.0.550.3解析：事件A发生时当且仅当一年内出险次数小于2. 由题目所给数据知，一年内出险次数小于2的颜率为60+50=0.55， 200 故P(A)的估计值为0.55. 事件B发生时当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由题目所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为 30+30=0.3,故P(B)的估计值为0.3， 200 7.0.42解析：由题中频数分布表可知，高一家长满意度等级为不满意 的概率为了，为满意的概率为？，为非者满意的概率为 1 高二家长满意度等级为不满意的概率为号，为满意的概率为？，为 非常满意的概率为0' 1 高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况： ①高一家长满意，高二家长不满意，其概率为子×子= 2 ②高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为丁×子幻 ③商一家长非常满意，高二家长满意，其概率为了×了0 则事件A发生的散率为会云0-动0红放答案为0 8.解：(1)由题表可知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率 (2)甲分厂加工100件产品的总利润为40×(90-25)+20×(50- 25)+20×(20-25)-20×(50+25)=1500(元)，所以甲分厂加工 黑白题08/ 100件产品的平均利润为15元/件；乙分厂加工100件产品的总利润 为28×(90-20)+17×(50-20)+34×(20-20)-21×(50+20)= 1000(元)，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元/件.故 厂家应选择甲分厂承接加工任务 专题探究7概率与统计的综合应用 黑题专题强化 1.解：(1)依题中的数据可得x甲= 5×(5+5+6+9+10)=7,z=5× ×[(5-7)2+(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+ 1 (5+6+7+8+9)=7,sm= (10-7)2]=22 =5=44,2=5×灯(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+ (9-7)2]=2,x甲=x2,品>2，.两组学生的总体水平相同，甲组 中学生的水平差异比乙组大 (2)甲、乙两组中做对题目超过7个的学生共有4名，记4名学生为 a,b,c,d,他们对应的分数为8,9,9,10，样本空间2={(a,b),(a,c), (a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共包含6个样本点，若两人做对题目 的个数之和不少于19个，则对应的样本点共2个，即为(b,d),(c, 2 d),故所求概率P=6=3 2.解：(1)由表格中的数据可知，平均数为x= 160×20+165×120+170×180+175×100+180×30 450 =170,中位数为 第225个数据和第226个数据的平均数，即为170，众数为170，由于 全国各地的高一年级男生的身高存在一定的差异，所以用一个学校 的数据估计全国高一年级男生的校服规格不合理. (2)样本空间为2={AB,AC,A1,A2,A3,BC,B1,B2,B3,C1,C2,C3, 12,13,23},共15个基本事件，其中，事件M包含的基本事件为 2,A3,B1,B3,C1,C2,共6个基本事件，故P(M)= 2 15=5 3.解：(1)由题意知(a+0.025+0.020+0.035+0.010+a)×10=1,解得a= 0.005 (2)按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前30%的无人机，即 求70%分位数.在频率分布直方图中，前3组的频率之和为(0.005+ 0.025+0.020)×10=0.5,前4组的频率之和为0.5+0.035×10=0.85> 0.7,所以70%分位数位于[35,45)内.设70%分位数为x,则0.5+ x-35 10 ×0.35=0.7,解得x≈40.7.因为42>40.7，属于前30%，故能被检 测到. (3)正常飞行时长在[45,55)，[55,65]内的频率分别为0.1,0.05，则 抽取6架时在[45,55)，[55,65]内的应分别抽取4架、2架.设在 [45,55)内的4架分别为a1,a2,a3,a4,在[55,65]内的2架分别为 b1,b2,在[45,55)和[55,65]内各抽取一架为事件A,则该试验的样 本空间2=1(a1,a2),(a1,a3）,(a1,a4),（a1,b1),（a1,b2), (a2,a3）,(a2,a4),(a2,b1）,(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),（a3,b2), (a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)},n(2)=15,A={(a1,b1),（a1,b2), (a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2)},n(A)=8, 所以P(A)=n(A、8 n(2)15 4.解：(1)如图所示 ↑频率/组距 0.040-- 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 5060708090100分数 (2)55×0.005×10+65×0.035×10+75×0.030×10+85×0.020×10+95× 0.010×10=2.75+22.75+22.5+17+9.5=74.5(分)，估计这次测试的平 均分为74.5分.由频率分布直方图可知，中位数左边和右边的面积相 必修第二册·RJ 等，均为2，设申位数在70-80之间的宽度为，则有0.05×10+ 0.035×10+0.030x=0.5,整理得0.4+0.03x=0.5,x=3,70+2)= 3 1 73了，所以估计这次测试的中位数为33 (3)根据题意，从[70,80)中抽取3人，记为A1,A2,A3,[80,90)中抽 取2人，记为B1,B2,[90,100]中抽取1人，记为C,从中任意抽取 3人：(A1,A2,A3),(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A2,C),（A1,A3 B1),(A1,A3,B2),(A1,A3,C),(A1,B1,B2),(A1,B1,C),(A1,B2, C),(A2,A3,B1),（A2,A3,B2),（A2,A3,C),(A2,B1,B2),（A2,B1, C),(A2,B2,C),(A3,B1,B2),（A3,B,C),（A3,B,C),(B1,B2 C),共20种，其中在[70,80)的学生3人都被抽到的有(A1,A2,A3) 共1种，所以成绩在[70,80)的学生至多有2人被抽到的概率P=1- 119 2020 5.解：(1)由(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1,解得a 0.006.该组数据的众数在分数为[70,80)这一组，取中点值75，即众 数为75. (2)由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分x=45× 0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022× 10+95×0.018×10=76.2(分).因为76.2>75，所以食堂不需要进行内 部整顿。 (3)由题图可知，[40,60)，[60,80)，[80,100]这三组的频率分别为 0.1,0.5,0.4.用频率估计概率，即差评、中评、好评的概率分别为0.1， 0.5,0.4.以本次抽取的3名学生，让学生在“差评、中评、好评”中选择 一个作答，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到 其他因素的影响，记3名学生分别为甲、乙、丙设本周校长不会责成 后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件记为A,则A事件即 为甲好评乙丙中评、甲乙好评丙中评、甲丙好评乙中评、乙好评甲丙 中评、乙丙好评甲中评、丙好评甲乙中评、甲乙丙都好评， 即P(A)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.4×0.5+0.4×0.4×0.5+0.4×0.5×0.5+ 0.4×0.4×0.5+0.4×0.5×0.5+0.4×0.4×0.4=0.604, 所以P(A)=1-P(A)=1-0.604=0.396.即本周校长会责成后勤分管 副校长亲自检查食堂服务质量的概率为0.396. 第十章章末检测 1.B解析：对于A,中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市 明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误；对于B,明天郊区降 雨概率为70%，降雨的可能性较大，如果不带伞出门很可能会淋雨， 故B正确；对于C,不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故 C错误；对于D,降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及 有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨 量，故D错误故选B. 2.B解析：若A,B互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到 P(A)+P(B)=1,故条件是必要的；若试验基本事件含3种及以上， 其中A,B表示概率为2的两个不同事件，则A,B不互为对立事件， 此时P(A)+P(B)=2+21,故条件不是充分的。 3.C解析：对于A,因为B,C不一定互斥，所以由P(B)+P(C)=1得 不到C与B相互对立，错误；对于B,若ACB,则P(AB)=P(A)= 0.3,错误；对于C,若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)= 0.15,则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.5-0.15=0.65,正 确；对于D,若事件A与B相互独立，则A,B相互独立，则P(AB)= P(A)·P(B)=(1-0.3)×0.5=0.35,错误 4.C解析：因为甲、乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是】 ，所以甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为1- 2 (3(号) 3 5.B解析：观察20组随机数，其中有116,812,730,217,109,361,284， 黑白题08810.3频率与概率 10.3.1 频率的稳定性甲10.3.2随机模拟 白题 基础过关 限时：40min 题组1频率与概率 第1组第2组第3组 合计 1.·(多选)(2025·广东佛山高二月考)下列 投篮次数 100 200 300 600 说法中，正确的是 ( 命中次数 66 126 183 375 A.概率是频率的稳定值，频率是概率的近 命中频率 0.66 0.63 0.61 0.625 似值 B.做n次随机试验，事件发生m次，则事件发 A.0.61 B.0.63 C.0.625 D.0.66 生的频率”就是事件的概率 4.(2025·江西景德镇高一期中)《九章算 n. 术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人 C.频率是不能脱离n次试验的试验值，而概 送米1805石（古代容量单位），验得米内夹 率是具有确定性的不依赖于试验次数的理 谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒， 论值 则这批米内夹谷约为 () D.任意事件A发生的概率P(A)总满足0< A.361石 B.341石 P(A)<1 2.★（多选）(2025·黑龙江哈尔滨高一期末) C.314石 D.360石 下述关于频率与概率的说法中，错误的是 5.*(2025·湖北武汉高二月考)某超市计划 按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天 A.设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则 需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果 从中任取100件，必有10件是次品 最高气温不低于25℃，需求量为600瓶：如果 B.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面， 最高气温位于区间[20℃，25℃)，需求量为 因此，抛一枚便币出现正面的概率是 300瓶：如果最高气温低于20℃，需求量为 100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发 生的概率 三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的 D.利用随机事件发生的频率估计随机事件的 频数分布表： 概率，即使随机试验的次数超过10000，所 最高 [15, [20, [25 [30, [35, 估计出的概率也不一定很准确 气温 20) 25) 30) 35) 40) 题组2用频率估计概率 天数 4 5 25 38 18 3.·(2025·广东潮州高一期末)某同学做立 定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中次 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温 数如表.根据表中的数据信息，用频率估计一 位于该区间的概率若6月份这种冷饮一天的 次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估 需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x= 计是 第十章黑白题141 6.(2025·广东广州高一期末)在一个袋子 题组3随机模拟估计概率 中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球 8.(2025·河南信阳高二期中)已知某种设 共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后放 备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器 回，进行100次后统计发现，红色小球出现了 产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时， 58次，黄色小球出现了42次.则袋中红色小球 表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有 最有可能有 个 3台设备，所以每3个随机数为一组，代表 7.某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化， 3台设备一年内需要维修的情况，现产生 6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出 20组随机数如下： 的鱼苗数，如表所示 412 451312533 224344151 254 鱼卵数 孵化出的鱼苗数 孵化成功的频率 424142 435 414335132 123233 200 188 0.940 314 232353 442 600 548 0.913 据此估计 一年内这3台设备都不需要维修的 900 817 0.908 概率为 () 1200 1067 ① A.0.4 B.0.45 C.0.55 D.0.6 1800 1614 0.897 9.·在用随机（整数）模拟求“有4个男生和 2400 2163 ② 5个女生，从中取4个，求选出2个男生、2个 (1)表中①②对应的频率分别为多少？（结果 女生”的概率时，可让计算机产生1~9的随机 保留三位小数) 整数，并用1~4代表男生，用5~9代表女生 (2)估计这种鱼卵孵化成功的概率， 因为是选出4个，所以每4个随机数作为一 (3)要孵化5000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少 组.若得到的一组随机数为“4678”，则它代表 个？（精确到百位） 的含义是 10.*(2025·四川广元高二月考)袋子中有 四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字， 有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华” 两个字都取到才停止用随机模拟的方法估 计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机 产生0到3之间取整数值的随机数，分别用 0,1,2,3代表“中、华、民、族”这四个字，以每 三个随机数为一组，表示取球三次的结果， 经随机模拟产生了以下18组随机数： 232321230023123021132220 001231130133231031320 122 103233 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率 必修第二册·RJ黑白题142 黑题 应用提优 限时：45min 1.(多选)下列说法错误的有 ( A.可回收物约占生活垃圾的30% A.某人打靶，射击10次，击中7次，则此人中 B.生活垃圾投放错误的概率约为0.39 靶的概率为0.7 C.四类垃圾箱中投放正确的概率最低的是 B.一位同学做抛硬币试验，抛6次，一定有 “有害垃圾”箱 3次“正面朝上” D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物” C.某福利彩票回报率为47%，若有人花了 箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放 100元钱买彩票，则一定会有47元的回报 量的方差为106800 D.发生的概率等于1的事件不一定为必然 4.*(2025·云南昆明高一期末)某地区公共 事件 卫生部门为了调查本地区成年人的吸烟情 2.某射箭运动员进行射箭训练，射箭60次， 况，对随机抽出的200人进行了调查.调查中 统计结果如下表： 使用了下面两个问题：问题一：你的生日日期 是不是奇数？问题二：你是否经常吸烟？调 环数 0 5 7 9 10 查者设计了一个随机化装置：一个装有大小 击中的 形状和质量完全一样的50个白球和50个红 6 101213 f 次数 球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取1个 则估计他击中的环数不小于8的概率为( 球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的人如 A.0.46 B.0.55 C.0.57 D.0.63 实回答第一个问题，摸到红球的人如实回答 3.*(多选)生活垃圾分为厨余垃圾、可回收 第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放 物、有害垃圾和其他垃圾四类，分别设置了相 一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，最 应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情 后收集回来60个小石子，则可以估计出该地 区经常吸烟的成年人所占的百分比约为（假 况，随机抽取了该地区四类垃圾箱中总计 设一年为365天，其中日期为奇数的天数为 1000t生活垃圾.数据统计如下表（单位：t) 186天) () 根据样本估计本地区生活垃圾投放情况，下 A.9% B.14%C.16% D.32% 列说法中正确的是 ( 5.**(2025·福建福州高一期末)在一个实验 “厨余垃 “可回收 “有害垃 “其他垃 中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%， 项目 圾”箱 物”箱 圾”箱 圾”箱 现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染 厨余 的概率：先由计算机产生出[0,9]之间整数值 300 80 20 100 垃圾 的随机数，指定1,2,3,4表示被感染，5,6,7， 8,9,0表示没有被感染.经随机模拟产生了如 可回 30 200 40 30 下20组随机数： 收物 192 907966 925 271 932812 458 有害 20 20 50 10 569 683257393 127556488730 垃圾 113 537989 431 其他 20 10 10 60 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率 垃圾 为 第十章黑白题143 6.*某险种的基本保费为α（单位：元），继续8.#(2025·湖南长沙高二期末)某厂接受了 购买该险种的投保人称为续保人，续保人 一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按 本年度的保费与其上年度出险次数的关联如 标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定： 下表： 对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收 取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂 上年度出 0 2 ≥5 家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙 险次数 两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费 保费 0.85a e 1.25a 1.5a 1.75a 2a 为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件 随机调查了该险种的200名续保人在一年内 厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两 的出险情况，得到如下统计表： 个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了 出险次数 这些产品的等级，整理如下： 0 1 2 4 ≥5 甲分厂产品等级的频数分布表 频数 60 50 30 30 20 10 等级 A B 记A为事件“一续保人本年度的保费不高于 频数 40 20 20 20 基本保费”，则P(A)的估计值为 .记 B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保 乙分厂产品等级的频数分布表 费但不高于基本保费的160%”，则P(B)的估 等级 A B C D 计值为 频数 28 17 34 21 7.某校为了解家长对学校食堂的满意情况， (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产 分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长 品为A级品的概率 的满意度评分，其频数分布表如下： (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产 满意度 [50, [60, 70, [80, 90 合计 品的平均利润，以平均利润为依据，厂家 评分分组60) 70) 80) 90) 100 应选哪个分厂承接加工业务？ 高一 3 6 4 20 高二 2 6 5 5 20 根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个 等级，如下表： 评分< 70≤ 评分≥ 满意度评分 70 评分<90 90 满意度等级 不满意 满意 非常满意 假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据 所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发 生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取 1名家长，记事件A:“高一家长的满意度等级 高于高二家长的满意度等级”，则事件A发生 的概率为 必修第二册·RJ黑白题144