第12题 立体几何基础分类训练-2026届高考数学三轮冲刺

2026年新高考第12题分类训练 立体几何基础 考点 3年考题 考情分析 立体几何基础 2025年新高考Ⅱ卷第14题 2024年新高考Ⅰ卷第5题 2024年新高考Ⅱ卷第7题 2023年新高考Ⅰ卷第14题 2023年新高考Ⅱ卷第14题 立体几何作为新高考数学的核心考查模块，会以选择、填空、解答等多种题型综合考查，其中填空难度比较低。纵观近 3 年新高考试题，立体几何基础需要熟练掌握表面积、体积公式，了解几何体结构。可以预测 2026 年新高考命题方向，将继续以多几何体为载体，结合截面动态分析、体积最值求解、空间角转化等创新形式体现，侧重考查空间想象与逻辑推理的综合素养。 1.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第14题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径； 【解析】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 2.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 3．（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第7题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【解析】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 4.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第14题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【解析】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 5.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第14题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 【答案】 【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解. 【解析】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为. 故答案为：. 1．多面体的结构特征 2．旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 3．平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图． 4．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和． 5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展 开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 6．柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积、侧面积计算 1.（辽宁省大连市2026年高三双基模拟考试）若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【解析】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形， 所以圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 2.（湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末）已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为，则圆锥的侧面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】不妨设三者半径均为.由题意知圆柱的高为，故其体积为，故圆锥的体积为，而球的体积为，故，解得.记圆锥的高为，由，得，故母线长，于是圆锥的侧面积. 3.（四川省字节精准教育联盟高三第二阶段学情）已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，半球与圆柱的体积分别为，则当的值最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆柱底面半径为，高为，球的半径为， 则，， 所以， 当且仅当时等号成立，此时， 所以. 故选：A 几何体的体积计算 1.（福建省福州市2026届高三三月质量检测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，，为圆锥的母线，，且二面角为.若的面积等于，则圆锥的体积为______. 【答案】 【解析】如图，作，垂足为，则为的中点， ，，为二面角的平面角， 二面角为，， 在等腰三角形中，， 设，则，， 则， ， 的面积等于，解得， 则，， 圆的面积为， 圆锥的体积为. 故答案为：. 2.（湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三联考）正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 正四棱锥中，正方形的对角线相交于点O，连接， 则平面，则为与底面所成角，且， 所以，且，所以， 所以该四棱锥的体积为. 故选：C. 3.(江苏省镇江市2026届高三第一学期零模)圆台的上底面半径为，下底面半径和母线长均为，则它的体积为 . 【答案】 【解析】设圆台上、下底面的圆心分别为，轴截面为梯形，如图，   ，过作的垂线，垂足为，则， 由勾股定理知，即圆台的高为3， 所以圆台的体积为， 故答案为：. 4.(江西省2026届高中毕业班二月诊断性)已知圆锥底面与圆台下底面半径相等，高相等.若圆台体积为圆锥体积的倍，则圆台上，下底面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆台的上､下底面圆的半径分别为，高为,则由圆台体积为圆锥体积的倍， 得到，解得. 故选：A 5.（江西省部分学校2025-2026学年高三上学期1月测试）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由圆柱的体积公式，可得四片瓦需要的粘土量为 ， 所以800片瓦需要的粘土量为． 故选：D． 6.（湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高三下学期开学考）白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（    ）（单位：） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆台的体积即为该茶杯容量，如图，cm，cm， 过点分别作⊥，⊥于点， 则cm，cm， 其中圆台的高为cm， 故圆台体积为. 故选：D 7.（河南省郑州市2026届高三上学期第一次质量预测）在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为.已知储液罐外表面积为定值，当储液罐的体积取最大值时（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆柱的高为，则储液罐的表面积为，所以， 则由得，储液罐的体积为， 所以，所以函数在定义域上单调递增， 所以时，取最大值. 故选：C 8.（江苏省镇江市2025-2026学年高三上学期期中）如图，某圆柱完全在一个棱长为9的空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上，当该圆柱体积最大时，其底面半径为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】设圆柱的上、下底面圆心分别为，其中也是底面正的中心，正四面体的棱长为，， 在直角中，可得，且，设圆柱的底面圆的半径为，高为，由，可得，即，解得，则圆柱的体积为，其中，令，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，即圆柱的体积取得最大值.选：A. 9.（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））已知在四棱锥中，，，若，则四棱锥体积的最大值为 ． 【答案】 【解析】由条件可知，四点共圆，点在平面上的射影即为该圆的圆心， 并且为全等的等腰三角形． 设， 则． 由上可知，， 所以由余弦定理得，． 两式相减，得，所以． 两式相加，得，所以． 所以． 设圆的半径为， 则由正弦定理知，所以． 由条件，， 所以由勾股定理，，可知． 于是四棱锥的体积 设函数，其中， 求导得， 可知在时取最大值，所以 故，当时等号成立． 故答案为：. 10.（山东省济南市2026届高三第一次模拟考试）已知正方体的棱长为2，点均在某圆锥的侧面上，点均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为 . 【答案】 【解析】设圆锥底面半径为，高为，则， 过正方体的一组对棱作圆锥的截面，如图所示： 由题意可得：，， 正方体的棱长为2，则， 面对角线，所以， 由，可得，， 即，解得：， 所以圆锥的体积， 令，则， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以，时，圆锥的体积有最小值. 故答案为： 外接球、内切球问题 1.（湖北宜昌市2026届高三下学期3月调研考试）三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点在底面的投影为，因为， 所以点是的外心，则，且底面，球心在上， 由正弦定理得外接圆的直径径，解得半径， 即，则， 设，外接圆半径为，则， 则，且， 则，解得，则外接球半径， 则三棱锥外接球的表面积为. 2.(浙江省宁波市2026届高三第一学期期末考试)一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为_____. 【答案】 【解析】如图，正四棱锥，则平面， 因为平面，所以， 因为，所以，， 因为，所以在中，， 设外接球球心为，则必在直线上， 由可知，， 得，即外接球半径为， 故外接球的表面积为. 故答案为： 3.（安徽省合肥市2026届高三教学检测）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为 . 【答案】 【解析】设圆台的上下底面圆心分别为，球心为， 在上下底面圆周上分别取点为，连接，如图， 因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为， 所以，， 设，则，所以， 所以，解得，所以该球的半径， 所以该球的表面积. 故答案为：. 4.（九江市2026届第一次高考模拟统一考试）圆台的母线长为分别为上､下底面的直径，且.设四面体外接球的表面积为，圆台的表面积为，则（    ） （附：圆台的侧面积公式 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆台的上､下底面的半径分别为，母线， ， 由题意可知圆台的表面积为， 如图四面体的外接球即为圆台的外接球， 设外接球的球心为，半径为， 圆台的高， 设到上底面的距离为，到下底面的距离为 由外接球性质，， 则， ， 联立解得， 故， 即， 所以， 所以. 故选：C. 5.（2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）)已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为 . 【答案】 【解析】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 所以球与棱台的体积比为. 故答案为：. 6.（山东省烟台市2026届高三下学期高考诊断性测试）已知球的半径为1，三棱锥的顶点为，底面的三个顶点均在球的球面上，则当该三棱锥的体积最大时，其高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设过底面三点的截面小圆的半径为，则球心到截面小圆的距离， 又根据平面几何知识可知：在半径为的小圆中，内接正三角形面积最大， 且最大面积为， ∴此时该三棱锥的体积， 由， 当且仅当，即时，等号成立，所以该三棱锥的体积最大值为， 此时球心到截面小圆的距离， 即当该三棱锥的体积最大时，其高为． 7.(四川省成都市2026届高三上学期第一次诊断性检测)在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为 . 【答案】 【解析】 由底面，平面，则平面底面， 又侧面侧面，底面侧面，则侧面， 由底面，则，， 由侧面，则，故，即， 所以两两垂直，则三棱锥可补全为如下长方体， 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球为三棱锥的外接球， 所以球为上述长方体的外接球，则其表面积， 当且仅当时取等号，故球表面积的最小值为. 故答案为： 8.（2026届辽宁省重点高中协作体调研测试（二））已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围_________． 【答案】 【解析】由，因为均在半径为的球面上， 可将三棱锥放置于长方体中，如图， 设棱长分别为，则， 故长方体对角线平方为， 可设，， ， 考虑到是三角形边长，故，即 所以取值范围是． 故答案为： 9.（山东省名校考试联盟2026届高三下学期2月份核心素养评估）若正四面体的棱长为，则其外接球上一点到该正四面体四个面的距离之和的最大值为___________． 【答案】4 【解析】已知正四面体的外接球为球，因为其棱长为， 所以该正四面体的高为，球的半径为， 由对称性不妨令球上一点在面下方时取到最大， 所以， 所以， 则， 所以， 则距离和的最大值为， 所以，所以和的最大值为4． 故答案为：4. 10.(江苏省苏州市、南京市九校2025-2026学年高三上学期一轮复习学情联合调研) 过正四面体的一条棱作截面将其分为两个三棱锥，则这两个三棱锥外接球半径之比的范围是___________. 【答案】 【解析】如图，正四面体，过点作平面，且垂足为， 取线段的中点为，则三点共线， 以为原点，以平行于的直线为轴，以所在直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正四面体的棱长为， 则，，， 因为平面，平面，所以， 则， 则， 设过棱的平面与交于点，故可设， 设三棱锥的外接球半径为，球心坐标为， 三棱锥的外接球半径为，球心坐标为， 则 ， ， 解得，， ， 故， 若，则； 若，则， 因为在上单调递减，在上单调递减， 且当时，当时， 所以或， 则或， 则或， 综上可知，，故， 故这两个三棱锥外接球半径之比的范围是 故答案为： 空间点线面的位置关系 1.（吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正方体中，，所以异面直线与所成角为， 设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以， 则.故选C. 2.（山东潍坊市2026届2月高考模拟）如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图：连接，由为所在棱的中点，则， 故与所成的角的大小也为，即有, 设该正三棱柱棱长为，则， 则，故. 故选：C. 3.（广东省东莞市2025-2026学年上学期期末检测）过正方体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ） A. 6条 B. 8条 C. 12条 D. 16条 【答案】C 【解析】 由三角形的中位线易得平面， 易得平面平面， 所以平面内有6条， 平面关于平面对称的平面内有6条， 共有12条. 故选：C. 4.（吉林省长春市2026届高三质量监测（一））如图，在平行六面体中，若，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：，又因，， ∴， ∴，，， 故选：A. 5.（山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试）在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，因为为的中点，，， 所以. 所以. 因为，，，四点共面，所以， 得到，解得. 故选：A.    6.（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））已知平面与单位正方体相交得到一个六边形，若该六边形有3个内角是，则它的周长为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】设单位正方体为正方体，截面为六边形EFGHIJ． 因为这六点共面，而正方体的对面相平行， 所以有． 因此． 又由于六边形有3个内角是，所以其所有内角均为． 设，因为平面，而平面， ，所以，即三线共点，同理可得两点． 因为，所以，由勾股定理，可得， 同理，，． 进而，． 所以六边形的周长为． 故选：B 7.（杭州学军中学高三上学期期末）如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：根据题意，可知，则点符合“点在正方形内的一个动点，且满足”， 设的中点为， 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 根据题目条件可得，所以和全等， 所以，点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”， 故动点的轨迹肯定过点和点， 而到点到点的距离相等的点为线段的垂直平分面， 线段的垂直平分面与平面的交线是一直线， 所以的轨迹为线段， 故选：B 8.（浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价）已知正三棱台，，且侧面与底面的夹角的余弦值为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，取正中心，的中点为， 记，，交于点，作于， 则面，，，， 所以为侧面与底面的夹角， 可知， 设，，， 则，， 作于， 因为，，平面，， 所以平面，平面，故， 又，平面， 所以面，记与面的夹角为，如图， ，解得， 因为，， 所以，所以，所以. 故选：A. 9.（湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测）在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示， 要使点所在的截面为五边形，则截面与棱相交， 因为是的中点，所以， 因为，， 所以，所以， 在长方体中，，所以， 所以， 同理可得，即， 因为，所以，即，所以， 即实数的取值范围是. 故选：B. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年新高考第12题分类训练 立体几何基础 考点 3年考题 考情分析 立体几何基础 2025年新高考Ⅱ卷第14题 2024年新高考Ⅰ卷第5题 2024年新高考Ⅱ卷第7题 2023年新高考Ⅰ卷第14题 2023年新高考Ⅱ卷第14题 立体几何作为新高考数学的核心考查模块，会以选择、填空、解答等多种题型综合考查，其中填空难度比较低。纵观近 3 年新高考试题，立体几何基础需要熟练掌握表面积、体积公式，了解几何体结构。可以预测 2026 年新高考命题方向，将继续以多几何体为载体，结合截面动态分析、体积最值求解、空间角转化等创新形式体现，侧重考查空间想象与逻辑推理的综合素养。 1.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第14题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 2.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第7题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 4.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第14题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 5.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第14题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 1．多面体的结构特征 2．旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 3．平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图． 4．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和． 5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展 开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 6．柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积、侧面积计算 1.（辽宁省大连市2026年高三双基模拟考试）若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 ． 2.（湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末）已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为，则圆锥的侧面积为 A. B. C. D. 3.（四川省字节精准教育联盟高三第二阶段学情）已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，半球与圆柱的体积分别为，则当的值最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 几何体的体积计算 1.（福建省福州市2026届高三三月质量检测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，，为圆锥的母线，，且二面角为.若的面积等于，则圆锥的体积为______. 2.（湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三联考）正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3.(江苏省镇江市2026届高三第一学期零模)圆台的上底面半径为，下底面半径和母线长均为，则它的体积为 . 4.(江西省2026届高中毕业班二月诊断性)已知圆锥底面与圆台下底面半径相等，高相等.若圆台体积为圆锥体积的倍，则圆台上，下底面积的比值为（    ） A． B． C． D． 5.（江西省部分学校2025-2026学年高三上学期1月测试）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ） A. B. C. D. 6.（湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高三下学期开学考）白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（    ）（单位：） A． B． C． D． 7.（河南省郑州市2026届高三上学期第一次质量预测）在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为.已知储液罐外表面积为定值，当储液罐的体积取最大值时（    ） A． B． C． D． 8.（江苏省镇江市2025-2026学年高三上学期期中）如图，某圆柱完全在一个棱长为9的空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上，当该圆柱体积最大时，其底面半径为（    ） A． B．2 C． D．3 9.（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））已知在四棱锥中，，，若，则四棱锥体积的最大值为 ． 10.（山东省济南市2026届高三第一次模拟考试）已知正方体的棱长为2，点均在某圆锥的侧面上，点均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为 . 外接球、内切球问题 1.（湖北宜昌市2026届高三下学期3月调研考试）三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2.(浙江省宁波市2026届高三第一学期期末考试)一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为_____. 3.（安徽省合肥市2026届高三教学检测）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为 . 4.（九江市2026届第一次高考模拟统一考试）圆台的母线长为分别为上､下底面的直径，且.设四面体外接球的表面积为，圆台的表面积为，则（    ） （附：圆台的侧面积公式 A． B． C． D． 5.（2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）)已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为 . 6.（山东省烟台市2026届高三下学期高考诊断性测试）已知球的半径为1，三棱锥的顶点为，底面的三个顶点均在球的球面上，则当该三棱锥的体积最大时，其高为（   ） A． B． C． D． 7.(四川省成都市2026届高三上学期第一次诊断性检测)在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为 . 8.（2026届辽宁省重点高中协作体调研测试（二））已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围_________． 9.（山东省名校考试联盟2026届高三下学期2月份核心素养评估）若正四面体的棱长为，则其外接球上一点到该正四面体四个面的距离之和的最大值为___________． 10.(江苏省苏州市、南京市九校2025-2026学年高三上学期一轮复习学情联合调研) 过正四面体的一条棱作截面将其分为两个三棱锥，则这两个三棱锥外接球半径之比的范围是___________. 空间点线面的位置关系 1.（吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A． B． C． D． 2.（山东潍坊市2026届2月高考模拟）如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点， 设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 3.（广东省东莞市2025-2026学年上学期期末检测）过正方体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ） A. 6条 B. 8条 C. 12条 D. 16条 4.（吉林省长春市2026届高三质量监测（一））如图，在平行六面体中，若，则（    ）   A． B． C． D． 5.（山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试）在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D．    6.（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））已知平面与单位正方体相交得到一个六边形，若该六边形有3个内角是，则它的周长为（　　） A．3 B． C． D． 7.（杭州学军中学高三上学期期末）如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（ ） A. B. C. D. 8.（浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价）已知正三棱台，，且侧面与底面的夹角的余弦值为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9.（湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测）在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $