上分专题07 空间几何体的内切球与外接球问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

故连接球心与任意面中心，则连线长为3，且连线垂直该面，再连接 交线圆上一点与球心（即为球的半径），由勾股定理得球的半径为 32,则表面积为4m·(32)2=72m 7.[2m,4r]解析：如图，设△BDC的中心为O1,球0的半径为R,连 接0，D,0D,0B,0B,A0,则0，D=3x号m号=5,40，= √JAD2-D012=3.在Rt△001D中，R2=3+(3-R)2,解得R=2.因为 BD=3BE,所以DE=2.在△DE01中，O1E= √/3+4-2xw3×2xcs石=l,所以0B=√0，E2+007=2.过点E 作圆0的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆 的半径为r=√22-(2)2=2，最小面积为2π；当截面过球心时，截 面面积最大，最大面积为4π.所以截面圆面积的取值范围是 [2π，4r]. D B 上分专题07空间几何体的内切球与外接球问题 1.B解析：如图，△SAB是该圆锥的轴截面，H为线段AB的中点，O为 球0的球心，作0C1S,垂足为C,则in∠0sC=O%-弧， 因为△SMB为等边三角形，所以BS=2BH,OCB阻1 'OS BS 2' 所以OS=20C=4,所以SH=6.所以BS=2BH=45, 那么该圆锥的表面积为·(2)+×45X45=36 2.A解析：如图，设两球半径分别为R,r,球心01和02在正方体体对 角线AC上，过O1,O2分别作AD,BC的垂线，垂足分别为E,F 由图可得A01+0102+02C=AC,即3r+(r+R)+3R=√3(3+√3)， (3+1)(R+r)=3(3+1),所以R+r=3, 故两球体积之和为V=子(R+r)=子m(+R)(R2-+) 4π[(R+r)2-3rR]=4m[32-3R(3-R)]=4π(3R2-9R+9), 由二次函数性质可知，当且仅当R=1=时，V有最小值9元 (第2题) (第3题) 3.32m 3 解析：设正八面体内切球半径为R,给正八面体标出字母如图 所示，连接AC和BD交于点O,因为EA=EC,ED=EB,所以EO⊥AC, E0⊥BD.又AC和BD交于点O,AC,BDC平面ABCD,所以E0⊥平 面ABCD,所以O为正八面体的中心，所以O到八个面的距离相等，距 离即为内切球半径.设内切球与平面EBC切于点H,所以OH⊥平面 EBC,所以OH即为正八面体内切球半径，所以R=OH. 因为正八面体的棱长为4，所以EB=EC=BC=4,OB=OC=2√2，E0= 必修第二册·BS VE®-0原=2点，所以se=2C·√s-(分C-子× 4×√16-4=4W5,S△0Bc=4. 因为VE袋sec=VE发n-c所以兮×B0=了S×0n, 1 所以0H=26,即R26,所以正八面体内切球的表面积为 4nR2-32m 3 3 4. ·解析：设甲圆台的上底面圆的半径为T1,下底面圆的半径为R1, 可得R1+r1=2h,又由(R1-r1)2=(2h)2-h2=3h2,即R1-T1=3h,联 (R1+r1=2h, 7 立方程组 R1-T1=√3h, 可得+行=子，R1=,所以甲圆台 5 的体积为y=3π(+R+)·h=4mh3,设乙圆台的上底面圆 的半径为r2,下底面圆的半径为R2,可得R2+r2=3h, 又由(R2-T2)2=(3h)2-h2=8h2,即R2-T2=2W2h, 联立方程组 n可得聪-马，风n尺 (R2-r2=22h, 所以乙圆台的体积为么=弓（砖+R》·A= 1 2mh3, 所以甲、乙圆台的体积比为7 5.D解析：由题可知，长方体ABCD-A'B'CD'的体对角线AC'= √P+1P+()=3,放该长方体外接球的半径为，该长方体的外 接球表面积为4π× 32 =9π.故选D. 2 6.ABD解析：对于A,在△ABC中，由余弦定理 得BC2=1+1-2×1×1×cos 2π=3，即BC=5, 故A正确； 0 对于B,如图，设△ABC外接圆的圆心为O1, 连接OO1,则O01⊥底面ABC.又PA⊥底 B 0 面ABc,所以0，/PH由∠BC=,得月心 O,在△ABC外部，故球心0在三棱锥的外部，故B正确； 对于C,取线段PA的中点Q,连接OQ,因为PA是球O的一条弦，所 以001PA,所以四边形0,40为矩形，放00，=4AQ=7PA=1,即 球心O到底面ABC的距离为1，故C不正确； 对于D,设球O的半径为R,圆01的半径为r,由正弦定理得2r= sinLBAC=2,所以=L,进而R=√00+7=2，球0的表面积为 BC 4πR2=8π，故D正确. 7.D解析：因为组合体的外接球的体积为36π，设球的半径为R,所以 mR=36m,所以外接球的半径R=3.因为AB=3,所以球心0与正 4 六边形ABCDEF的中心重合，记正六边形A1B1C1D1E1F1的中心为 01,因为A1B1=A101=2,0A1=3,所以001=√32-22=√5，所 以A41=√(5)2+12=6. 8.A解析：因为SA=BC=5,SB=AC=√4I, SC=AB=√34，所以可将三棱锥S-ABC放置于 一个长方体中，如图所示，设长方体的长、宽、高 1a2+b2=41, 分别为a,b,c,则有 {a2+c2=25,整理得a2+ b2+c2=34, b2+c2=50,则该三棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以04+2=50=(22，解得及=。所以所求的外接球表面 12 积S=4mR2=4×T× 52 =50m.故选A. 2 黑白题112 9.A解析：由题意可知，多面体ABC-A1B1C1是棱长为√2的正方体切 去两个角得到的切割体，∴.多面体ABC-A1B1C1的外接球的直径为 万x=6,即半径为多面体BC-AB,G的外接球的表面 积为4mR2=4m ()-m 10.B解析：根据题意，作出图形，如图①所示，因为△PAC是以AC为 斜边的等腰直角三角形，所以△PAC的外心在AC中点，设为O2,设 △ABC的外心为O1.如图②，设BC中点为E,AO1=r1,因为AB= AB=AB=3,即r1= AC=6,所以01必在AE连线上，则21 in LBCA AE AC )因为两平面交线为AC,0,为平面ABC所在圆面的中心，所 0,0214C,0,0,=斤-40,2=5又因为二面角P-4C-B的平面角 2 的大小为120°，P02⊥AC,所以∠P0201=120°，∠00201=30°，所 001 以002= 0s30° =0,02×号=1，三棱锥P-ABC外接球半径R2= A0=(a,4(0,=(9)1三则三校维P-aC的外接 球表面积为S=4πR2=10π. B E 0, 0 A ① ⊙ 11.8π解析：将“阿基米德多面体”补全为正方体，如图所示， 不妨设AB,BB1的中点为E,F,由题知EF=√2，易知BE⊥BF,BE BF,可得BE=BF=1,所以正方体的棱长为2，该多面体的外接球即 为正方体ABCD-AB1C1D1的棱切球，所以棱切球的直径为该正方 体的面对角线，长度为22，因此该多面体的外接球的半径为、2，所 以其表面积为S=4π(2)2=8m D 12.625m 4 解析：因为AB⊥BC,AB=8,BC=6,所以AC=√AB2+BC= √82+62=10，所以Rt△ABC的外心为斜边AC的中点，且Rt△ABC 的外接圆的半径r=?4C=5.因为点P在底面的投影0为△ABC 的外心，所以PO⊥平面ABC,所以三棱锥外接球的球心在PO上， 设球心为G,外接球的半径为R,连接AG,则PG=AG,所以 (10-)245=,解得R=空，所以三被锥P-AC的外接球的表 西积s=如-如（名）广- 13.6(2-√3) 解析：如图，设球0的半径为R,:球0的体积为500 3T, 39=号R,解得R=5BC=3,∠BMC=150,设△ABC的外 接圆半径为，圆心为01根据正弦定理知，n150.2,即r=3, 参考答案 001=√0B2-01B区=√52-32=4.4D是球0的直径，0是AD 的中点，点D到平面ABC的距离为2001=8. 在△ABC中，根据余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC· cos∠BAC,即9=AB2+AC2+V3AB·AC≥2AB·AC+3AB·AC, .AB·AC≤9(2-√3)，当且仅当AB=AC时，等号成立， △ABC的面积SAc=之AB·AC,i血∠BAC≤子x9(2-月)× 子-子2-同)三装能4-8D体积输最大位P=弓×子（2 3 √3)×8=6(2-√3). D 上分专题08空间角与空间距离问题 1.B解析：连接A0,AE,如图所示.因为0，E分别为PQ,CQ的中点，所 以OE为△PCQ的中位线，所以OE=1. 因为EB为正三角形CBQ的中线，所以EB=√3因为OB是正方 形ABCD对角线的一半，所以OB=√2，所以EB2=OB2+OE2,所以 △0BE为直角三角形，即0B⊥0B,所以SAE0B·0B=因 2 为0g=6,所以点E到平面408的距离为0=子× 1 2-(a-号 设点A到平面OEB的距离为d,因为VA-OsB=Vg-OAB,所以 5d宁5o空所以x×所以 1 d=1. M -- (第1题) (第3题) 2.B解析：AO1⊥B01,∴，△AO1B为等腰直角三角形O2为AB的 中点，0,02=7AB=6 由于点Q为0102靠近01一端的三等分点，则有01Q=2,02Q=4 当P为圆弧的中点时，APLBP,则P=BP=5AB=6N2,易求得 2 三技锥Q-AP的体积V=写·0，Q,了·A.B即=了×4x号× 62x62=48,则QP=QB=√02B2+02Q=√62+4=2V13, 此时△80的面积3=子·阳·√0s-(罗-安62× √34=6√17，则由等体积法，设点A到平面BPQ的距离为d,有V= 号0，解得d24即点A到平面B0的距离为24回 17 17 √2 3.号解析：在正方体中作出正四面体0-A8C,作分别过C,0,A三个 顶点的互相平行的平面，如图， 由于相邻两平行平面间距离都相等，不妨求平面AESK与平面OMWQ 间的距离，其中M,N,E,S为正方体棱上的中点，过点E作EF⊥OM 于点F,则EF即为两平行平面间的距离. 黑白题113专题课堂 上分专题07 空间几何体的内切球与外接球问题 命题密钥 空间几何体的内切球与外接球是立体几何学习中的重要内容，不仅考查对于空间几何体结 构特征的理解，同时综合了空间位置关系的内容，要求学生具有一定的逻辑推理、数学建模、空 间想象及数据分析能力. 在高考中，多以选择题或填空题的形式出现，如2025年全国二卷第14题，偶尔也会在解 答题中作为一个小问出现，如2025年全国一卷第17题 考点觉醒 ●空间几何体的内切球 过旋转体的旋转轴作几何体的截面，截面图形内切 旋转体的内切球 轴截面法 圆即为内切球的大圆 多面体的内切球 等体积法 内切球球心与多面体各面构成的三棱锥的体积之和 与多面体体积相等 ●空间几何体的外接球 模型特点 解题方法 示意图 A 0 A C 1.直棱柱 外接球的球心为上、下底面 02 B 0 2.圆柱 外接圆圆心连线的中点 0 圆柱模型 外接球球心O位于过底面 条侧棱垂直于底 外接圆的圆心O1且与底面 面的棱锥的外接球 垂直的直线上，其中001为 侧棱长的一半 长方体 1.三条棱两两垂直补形成长方体，三棱锥与长 模型 2.三组对棱相等 方体外接球相同 记R为外接球半径，h为棱 1.圆锥 锥或圆锥的高，r为底面外 圆锥模型2.正棱锥 接圆半径，1为侧棱或母线 0 3.侧棱相等的棱锥 长度，且满足卫=2+h2,则 0 R2=(h-R)2+r2 16数学1必修第二册·BS 模型特点 解题方法 示意图 上、下底面分别补成对应的 1.圆台 外接圆，从而还原成圆台， 2.正棱台 圆台模型 然后作圆台的母线（或棱台 h 日M(中点) h-LM中点) 3.底面多边形有外 的侧棱)的垂直平分线与圆 接圆的棱台 02B 台的旋转轴的交点为球心 外接球球心为过两个三角 二面角 两个三角形拼在 形外心，且分别垂直这两个 模型 起 0, 面的直线的交点 实战演练 题组1空间几何体的内切球 分子结构为正八面体结构（正八面体是每个 1.*(2025·河南新乡高一期末)已知半径 面都是正三角形的八面体)，如图所示.若 为2的球0与某圆锥的底面和侧面均相切， 此正八面体的棱长为4，则它的内切球的表 且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥 面积为 的表面积为 ( A.24T B.36π C.18m D.30m 2.整(2025·山西太原高一月考)如图，在棱 4.(2025·山东济宁高一期中)已知圆台 长为3+√3的正方体内有两个球0,02相外 甲、乙有相同的内切球（与圆台的上、下底面 切，两球又分别与正方体内切，则两球体积 及侧面都相切的球叫圆台的内切球)，两圆 之和的最小值为 台的高为h,圆台的母线长分别为2h,3h,则 圆台甲与乙的体积之比为 题组2空间几何体的外接球 5.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，四 边形ABB'A'是边长为1的正方形，AD=√7， A.9π B.8T 则该长方体的外接球表面积是 C.12m D.6T 3.**(2025·黑龙江哈尔滨高一期中)六氟 化硫，化学式为SF。,在常压下是一种无色、 无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘 3π 9π A. 2 B. C.36π D.9π 性，在电气工业方面具有广泛用途.六氟化硫 黑白题·上分秘籍■17 6.禁（多选）(2025·湖南长沙高一月考)三 B,C1=√2，则多面体ABC-AB,C,的外接球 棱锥P-ABC的四个顶点都在球O上，且 的表面积为 () PA⊥底面ABC,PA=2AB=2AC=2,∠BAC= B.3 A.6m 则下列说法正确的是 C.8T D.4π A.BC=√/3 10.热(2025·广东佛山高一月考)在三棱锥 B.球心O在三棱锥的外部 P-ABC中，△PAC是以AC为斜边的等腰直 C.球心O到底面ABC的距离为2 角三角形，且CB=2√2，AB=AC=√6，二面 D.球O的表面积为8m 角P-AC-B的平面角的大小为120°，则三 7.整(2025·湖南长沙高三月考)天然钻石 棱锥P-ABC的外接球表面积为() 是在地球深部高压、高温条件下形成的一种 A.5⑩ 3 T B.10m 由碳元素组成的单质晶体，随着科技发展， 人工钻石也在不断涌现，目前已合成的有白 C.9m D.(4+23)T 钻、黄钻、绿钻及蓝钻.钻石常见外形有圆形、 11.禁(2025·山东济南高一月考)“阿基米 椭圆形、榄尖形、心形、梨形、方形、三角形 德多面体”也称半正多面体，是由边数不全 相同的正多边形围成的多面体，它体现了 等！现有一款雕琢后的钻石，其形状如图所 数学的对称美.如图是以正方体的各条棱的 示，可看作由正六棱台ABCDEF- 中点为顶点的多面体，这是一个有八个面 A,B1C,D,E,F,和正六棱锥P-ABCDEF组合 为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德 而成，其中A,B1=2,AB=3,若该组合体的外 多面体”，若该多面体的棱长为√2，则该多 接球存在，且外接球的体积为36π，则AA的 面体外接球的表面积为 长度为 A.1 B.√3 C.5 D.√6 (第11题) (第12题) 12.#(2025·湖北武汉高一期末)如图，三 (第7题) (第9题) 棱锥P-ABC中，AB⊥BC,点P在底面的投 8.在三棱锥S-ABC中，SA=BC=5, 影O为△ABC的外心，若AB=8,BC=6, OP=10,则三棱锥P-ABC的外接球的表面 SB=AC=√4I,SC=AB=√34，则该三棱锥的 积为 外接球表面积是 13.熱(2025·广东揭阳高一期末)已知A, A.50m B.100m C.150m D.200m BC,D四点都在体积为”。的球0的表 9.整(2025·福建泉州高一月考)如图，A41, 面上，若AD是球O的直径，且BC=3, BB,均垂直于平面ABC和平面AB,C1, ∠BAC=150°，则三棱锥A-BCD体积的最 ∠BAC=∠AB1C1=90°，AC=AB=AA1= 大值为 18 数学1必修第二册·BS