上分专题03 平面向量中的最值或取值范围问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

专题课堂@ 上分专题03 平面向量中的最值或取值范围问题 命题密钥 平面向量中的范围、最值问题是热，点问题，也是难，点问题，此类问题综合性强，体现了知 识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、 向量夹角、系数的范围等.在高考中多以选择题或填空题的形式出现，如2025年北京卷第 10题，考查模的取值范围，2023年全国乙卷的第12题，考查数量积的取值范围. 考点觉醒 ●基础知识 题型分类 系数问题、数量积问题、向量模的问题、夹角问题 利用向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函 数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题 常见题型 及方法 解题思路 利用向量的几何意义，将问题转化为平面几何中的 最值问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断 代数法：基底法、坐标法 构造法 几何法：投影法、 极化恒等式、等和线 ·极化恒等式与等和线 公式 a·b=4a+bP-(a-b] 极化恒 等式 在△ABC中 AB·AC=|A-BCM为BC的中点) 平面内一组基底0A,OB及任一向量0P,OP=A0A+u0BA,u∈R) 定义 若点P在直线AB或平行于AB的直线上，则A+=k(定值)，反之 也成立.直线AB及与AB平行的直线称为等和线 等和线 ①等和线为直线AB→k=1; 结论 ②等和线在点O和直线AB之间→k∈(0,1)； ③直线AB在点O和等和线之间←台k∈(1，+∞) 06 数学1必修第二册·BS 实战演练 题组1系数问题 题组2 数量积问题 1.*(2025·浙江嘉兴高一期中)在△ABC 5.#(2025·广东深圳高一期中)已知P是 中，点D在BC上，且满足1BD1=BC1,点 边长为2的正八边形ABCDEFGH内的一点， O为其中心，则OE·AP+OB·AP的取值范围 E为AD上任意一点，若实数x,y满足BE= 是 ( xBA+yBC,则上+2的最小值为 ( A.(-22,4+22) B.(-4,4+22) x Y C.（-2,4) D.(-4,4) A.22B.43 C.4+23D.9+4√2 6.幸(2025·江苏常州高一期中)“四叶回旋 2.(2025·湖北武汉高一期末)如图， 镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的 OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运 图形，如图所示，AB=2,CD=1,∠A=45°.点 P在线段AB与线段BL上运动，则Ei·F 动，且0示=ai+10店，则A的取值范围是 的取值范围为 a.o,3) B ( A.[-4,6] B.[0,6] C.[0,8] D.[4,8] 7.禁（多选）(2025·辽宁沈阳高一月考)如 3.热(2025·黑龙江绥化高一月考)已知 图，AB是直线I同侧的两个定点，由线段AB △4BC中，AB=3,AC=4,∠BC-1是 的中点M向直线l作垂线，垂足为N,定点 C,D,E在直线1上，点P是直线1上的一个 ∠BAC的平分线上一点，且AI=√3.若△ABC 动点，则命题正确的有 ( ) 内（不包含边界）的一点D满足ID=xAB+ 记，则实数的取值范围是 c(42) D.(o,4) A.A.B配有最小值 4.(2025·湖南怀化高一期末)已知0为 B.AP·BP有最大值 △ABC的外心，满足A0=mAB+nAC,若m+n C.AC.BCAD·BD D.直线l上有且只有一点F(不与，点E重 的最大值为子，则cs小= 合)使得AF.BF=AE.BE 黑白题·上分秘籍07 8.禁(2025·陕西西安高一月考)如图，在12.禁(2025·四川资阳高一月考)已知， △ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM b,e是平面向量，其中e是单位向量，若非 的中点.设AB=a,A元=b,若∠BAC= 6 零向量a与e的夹角是牙，向量b满足 △ABC的面积为√3，则当1BC1= b2-8e·b+15=0,则1a-b1的最小值 是 时，A·AN取得最小值， 题组4夹角问题 13.**(2025·福建厦门高一期末)已知向量 a,b满足Ia+b1=21a-bl,则sin(a,b〉的最 B N M 大值为 题组3向量模的问题 13 3 9.禁(2025·江苏南京高一期中)若a,b,c B. 5 均为单位向量，且a·b=0,（a-c)· 2 4 (b-c)≤0，则1a+b-c1的最大值为( C.2 0.5 A.2-1 B.1 14.#(2025·广东广州高一月考)已知向量 C.√2 D.2 a,b满足a=(t,22-t),1b1=1,且(a-b)1 b,则a,b的夹角的最小值为 (） 10.禁(2025·河北承德高一期中)如图，已 知圆0的半径为13，PQ和MW是圆0的两 A.π 6 条动弦，若1P1=10,1M1=24,则|PM+ Q|的最大值是 n 15.热(2025·福建莆田高一月考)已知在 △ABC所在平面内，BD=2AB,E,F分别为 线段AC,AD的中点，直线EF与BC相交于 点G,若DG⊥BC,则 () A.17 B.20 C.34 D.48 A,当1AC1=41AB时，(cos∠BAC)n=号 11.热（多选）(2025·重庆一中高一月考)已 4 知平面向量a,b满足|a|=2,1b1=1,a⊥ B.当1AC1=41ABI时，(cos∠BAC)mn= 5 (a-4b),则下列说法正确的是() C.当1AC1=31ABI时，(cos LBAC)mn=5 A.Ia-tb1(t∈R)的最小值为3 B.若%+”1，则ma+nb的最大值为的 D当1AC=31ABI时，(c0s L BAC)。=号 C.若向量c满足(c-a,c-2b)=30°，则1c16.禁(2025·江苏南通高一月考)已知0A+ 的最大值是2√3+2 0B与0C为相反向量，若10A1=2,10B1+ D.若向量c满足〈c-a,c-2b)=30°，则1cI 1OC1=4,则OA,OB夹角的余弦的最小值 的最小值是2 为 08 数学1必修第二册·BSaOi+bO成+c0元=0，a.Oi+b.(Oi+A)+c·(Oi+A花)=0，即 (a+b+c)Oi+bA店+cA花=0，A市=6A店+cA花= a+b+c a+b+c (座琴)你衣，人ar三点关镜，即0在c的 平分线上.同理可得O在其他两角的平分线上，∴.O是△ABC的 内心 5.62解析：如图，过点D作DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于 点F,则市=}花+：店=店+市，所以花=花即花=子武。 正破因此瓷}0把因为=8所以4C=24A 3F-子因此=所以=+应”-（衣， 4 子）小·（衣应）。d+。+花.应=2 由此得AD=62. R (第5题) (第6题) 6.1-3解析：如图所示，以A为坐标原点，店，亡所在的方向为 2 x轴，y轴建立平面直角坐标系. 设△ABC的内切圆的半径为r,则之r(1+2+3)=2×1×,5,解得 400.1.o11,）=( 婚-），时(1,0向在向威上的没影时： IB威12 1-√3 2·威-5威 1 2 7.C解析：设BC的中点是0，A衣-A=(A心+A)·(A花-A)= 2Ad.B元=2AM.B武，即(Ad-Ai)·Bt=Md.B武=0，所以Md⊥ B武，所以动点M在线段BC的中垂线上，故动点M的轨迹必通过 △ABC的外心. 8.B解析：如图，因为O是△ABC的外心，点D 为AC的中点，所以D0⊥AC.设AC边上的高为 BH,则BH∥OD,设i=入Oi,则B丽=-AmA成+ 子An花=Am+子Am(成-威)=子Am威+ 4 4 子m成又4，H,C三点共线，故子m+ 子m=1,即Am=1,所以扇=-店+子花，1扇1 √（√应衣破d-√4而 故5c=子1花11成1=号1花1·√46= g64-=g-(-32)2432,因此当2= 32,即1A衣=4反时，SA0的最大值为令×32=4 9.B解析：因为Pi.P=Pi·P心，则p·P-Pi·P元=0，所以P· (P-P元)=0，所以P.C店=0，所以PA⊥CB,同理可得PB⊥AC, PC⊥AB,故点P是△ABC的垂心. 必修第二册·BS 10.B解析：由A市=0市-01，设10币1=t,≥0，则A市.0币=0-0. 亦-1议m晋r-经-()冬所以当-是时 市.0取得的最小值为g 1 1,-区解析H是△ABC的垂心，耐上B成，成.成=成， 11 (武-)=0.瓜.=成.同理可得丽.元=成.，故 i.=i.成=武.i4+5丽+6成=0,4+ 5成.戒+6成.庇=0成.戒=4成2.同理可求得成. 11 42 成=-丽P,esLB= 成.成 成廊1麻，s上MB- 威席子诚 A1à.cos上4B-1,即cos<AB=22 11 上分专题3平面向量中的最值或取值范围问题 1.D解析：B应=xB+yB武=xB+4yB励，由A,E,D三点共线可得x+ 4y=1,且20,20，所以上+2=(+2）（x+4)=9++2≥ x y \x y x y 9+2n￥y 、42x0+42.当且仅当=，即x=7y=42时 龙y 14 等号成立 M D D 0 (第1题) (第2题) 2D解析：如图，由于0亦-号成+A,在01的反向延长线上取点 C,使得0C-号0A,过c作CE/0B,分别交OM和AB的延长线于点 DB,则CD弓0B,CB=号0B,要使得点P落在指定区域内，则点P 应落在DE上当点P在点D处时，亦：-号成}，当点P在点 E处时，亦：i+子应所以A的取值范围是（兮号） 心.A解析：设=A店-酒，j=A二，则11=1,1=1，且》- LBAC=60°，所以(i+)2=1+1+2×1×1×cos60°=3=A7,即A= 号花因为市店+分花-动-市=店+}花一市 恋市，所以动：}衣+花=(+写)）店 子花，由等有线性质得0+了解得了心品 1 4. 解析：如图，延长A0交BC于点D,设动=k砧，则市=公店+ ?花因为D在BC上，所以公+公-=1，即k=m+n,所以长的最大值 为？设△ABC外接圆的半径为R,所以看=可，R,当最 IADI R+IODI 大，即00最小，0D1Bc时，取最大值，所以R方即 号此时△ABC是等腰三角形，∠BOD=号∠B0C=∠A,所以 黑白题106 cosA=c0s∠B0D=0D-1 R 3 0 B--T (第4题) (第5题) 5.A解析：由正八边形的对称性可知0成，A巾+0成.市=-0.市 0市.A市=市.(0成-0)=A市.A店，易知正八边形的每个内角为 (8-2)×180°=135，设市与花的夹角为0，则市.店=1市1· 8 1A1cos日，所以当1A市1cos日最大时，A市.A应取得最大值；当 |A1cos最小时，A市·A取得最小值如图，过点C作CT垂直AB的 延长线于点T,过点H作HS垂直BA的延长线于点S,可知当P在线 段CD上时，IAP1cos0取得最大值，IAP1cos0=AB+BCcos45°=2+ √2，此时A市.A店=(2+√2)×2=4+22.当P在线段GH上时， 1AP1cos取得最小值，此时1A1cos0=AHcos135°=-√2，此时A A店=(-√2)x2=-22,故A币.A的取值范围为(-22,4+22). 6.C解析：如图，以C为原点建立平面直角坐标系，易知A(-2,1), B(0,1),F(0,-1),E(-1,-2),H(1,0),L(1,2) 当点P在线段AB上运动，设P(x,1),其 中-2≤x≤0，所以Ei=(2,2),F币=(x,2), 则E扇.F市=2x+4.因为-2≤x≤0，所以E7· F币∈[0,4].当点P在线段BL上运动，设 P(x,y)(0≤x≤1)，则B脉=(x,y-1),屁= (1,1),且B∥B,则x=y-1,故P(x,x+1) (0≤x≤1,1≤y≤2)，F币=(x,x+2),则Ei· F=4x+4.因为0≤x≤1，所以E.Fe[4,8],综上，Ei.F的取 值范围为[0,8]. 7.ACD解析：对于A,B,因为点M为AB的中点，所以A市.B=Pi· 成=(P成+)·（成+）=-恋，其中迹为定值，所以 A正.B驴的取值范围由1P1的大小决定又点P为直线L上一动点， 所以当PM⊥l时，P取到最小值，无最大值，故市.B有最小值， 无最大值，则A正确，B错误； 对于c,花.=d.市=(C成+)·(C成+)=- 市.励=.成=（成+·（成+成）=萨-冬应，所以 A花.B武-A市.励=C-D亦.由题图可知C办-D办>0，所以A花. BC>A·B,故C正确； 对于D,若(A应+E)·(B成+E)=A正.B成+(A正+B配)·E亦+E放= A应.B成+2M呢.E+E的=A应.葩，则2M应.E亦+E产=0，所以 1E=-21M应1cos(M应，E,所以cos(M应，E<0.因为点F在直线 1上，所以这样的点F只有一个，所以D正确. 8.2解析M是边BC的中点，N是线段BM的中点，因为矿=2（应+ 花=子ab)成破+，所以成应号成}应。 21 子（行应式）-在△4aC中，因为LG若所以 △C的面积为宁应x成x血名-1a1b1=5,所以 1a11=45,所以应.=(a+)·(a+b）令。2+ 参考答案 +a=a2+g1b12+×1a1b1x石≥ √xa61+x4a 2√8*8 =2x5x45+3=6.当且仅当 2 8 Ib1=√51a1=25时取等号，所以A·A的最小值为6，所以此 时4C=23,4B=2,∠BAC=石，所以BC2=Ac2+AB2-24C·AB: c0s =124-2x2x2x=4,所以威1=2 6 9.B解析：因为a,b,c均为单位向量，a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0，所 以a·b-(a+b)·c+c2≤0，所以(a+b)·c≥1，则1a+b-cl= √/1+1+1+2a·b-2(a+b)·c=√1+1+1-2(a+b)·c≤√3-2=1， 则Ia+b-cl的最大值为1. 10.C解析：如图，连接M0,OP,0Q,ON,作0E⊥PQ,0D⊥MN,垂足分 别为E,D,则E,D分别是QP,MW的中点.由勾股定理得OE= √132-52=12,0D=√132-122=5，PM+0i=0M-0+0成-00= (0M+0)-(0+0)=2(0i-0),故1PM+Q1=210-01≤ 2(101+101)=34.当0成，0币反向时等号成立，所以|P成+ 的最大值是34. H (第10题) (第11题) 11.ACD解析：对于A,由a⊥(a-4b),得a·(a-4b)=a2-4a·b=4- 4a·b=0,a·b=1,1a-tb1=√（a-b)7=√a2-2a·b+2b= √4-2+2=√(1-1)2+3.因此当t=1时，1a-b1取得最小值 √3，A正确： 对于B由受+兮1，得5+2=0则1a+b1 √(ma+nb)7=√m2a2+2mna·b+n2b=√4m2+2mn+n2≤ V4m+(m+n)+7=√5m2+2=v而.当且仅当m=n=±√元 7 时等号成立，B错误； 对于C,D,(c-a,c-2b〉=30°，a·b=2×1×cos(a,b〉=1，co8a,b〉= 子又0≤a,o)≤180则ab=60 作0A=a,02=2b,∠E0A=60°，0E=0A=2,以0为圆心，0A长为半 径作圆，如图. 当C是圆0的优弧ACE上的点时，即c=0C时，满足(c-a,c 2b〉=30°；再作O点关于直线AE的对称点H,以H为圆心，HA长为 半径作圆， 当C是圆H的优弧AC2E上的点时，即c=OC2时，也满足(c-a, c-2b〉=30°； 当C不是这两段优弧上的点时，都不满足∠ACE=30°，即不满足 (c-a,c-2b〉=30°. △OAE是等边三角形，因此1OH1=23,两圆半径都是2，由图可知 10C1即1c1的最小值是2，最大值是23+2，C,D正确. 12.25-1解析：由b2-8e·b+15=0得(b-3e)·(b-5e)=0,所以 (b-3e)⊥(b-5e).设0i=e,0i=a,0=b,0i=5e,0=3e,0i 4e,则Fi=0i-0i=b-3e,N店=0i-0成=b-5e,a-b=0i-0=B, 所以有F克.N=0,F店⊥N店，则FB⊥NB,所以点B的轨迹为以M 为圆心的圆. 如图，过点M作MA1⊥OA,垂足为A1,交圆于点B1,根据图象可得 出IA1B1I即为Ia-bI的最小值.在Rt△OA1M中，有OM=4, 黑白题107 LA0M=,所以有AM=0Ms血子=2万.又MB,=Mr=1,所以 IA1B1=A1M-MB1=22-1. 13.D解析：因为1a+b1=21a-b1,两边平方得a2+b2+2a·b=4(a2+ -2ab),整理得ab=0(1aP+1b1),os(a,6)=高 3 时君·2治号当豆议当aa时等号改立。 所似aa气小（传-专截血a的冠大位为号 14.C解析：因为(a-b)1b,所以(a-b)·b=0,a·b=b2,cos(a,b)= a·bb2 lallbllallbl lallal v22-421+8 又因为22-42t+8= 2[u-2)'+2]≥2[（5-2)+2]=4，所以0<am(a,6>≤号，所 以a,b的夹角的最小值为号 15.D解析：如图，设1AB1=c,AC1=b,A与Ad 的夹角∠BAC=&,因为Bi=2A店，所以Ad=A A成+B励=A成+2A应=3A成. 由于E,F分别为线段AC,AD的中点，则A花 }花，亦：}市=成因为B,GP三点 共线，所以存在实数A,使得=A应4(1-A0分，3应 2 又因为8，C,C三点共线所以分3》-1，解得A子，则成- 2 花+子那么成衣-市=（}花+子店-3店=4花 ?应，成-花-应 由于0G1Bc,所以成.成=（花-？应）·（成-） cos a=0. 1+4 92 4 62+9c2 由此可得cosa= 708,而9≥2v原g 10bc 10bc 2 2了当且仅当=9e2,即6=3c(6>0,e>0)时，等号成立，此 时=3，amL1G取得最小值子 16.-1解析：0元=-(Oi+0B),故101-1Oi1≤10元1=104+01≤ 10A1+101.因为101+10心1=4，所以10元1=4-101.又1041=2， 所以101-2≤4-101≤2+101，解得1≤101≤3.不妨设 102=t,t∈[1,3]，0A,0品夹角为0，则10元1=4-t,0元=-(0i+ 0B),两边平方得0心=0i2+2101·101cos0+02,即(4-t)2= 4+2x20s0+,解得cms0=3-2因为1e[1,3],所以cs0= 3-2e[-1,1,故oi,0夹角的余弦的最小值为-1。 必修第二册·BS 上分专题04三角恒等变换的综合应用 1.C解析：因为f(x)是在R上的奇函数，且在[0，+)上单调递增 所以fx)在(-0,0)上单调递增，即f(x)在R上单调递增，由 f(sin0+cos0+2sin0cos6)+f(1-m)≥0，得f(sin0+cos0+ 2 sin Ocos0)≥-f(1-m)=f(m-1),所以sin0+cos0+2 sin Ocos0≥m 1,令1=sa9ts0=sm(g+）[-反，E],则2xnas0=2- 1.所以r-3m-l,即m≤4u因为y=1=(+）广-在 [反，）上单河滋减，在（子]上单润滋指，所以当 1=子时，y=+:取得最小值-因为m≤P+:恒成立，所以 1 m≤-4 2.BC解析：fx)=cos4x+sin2x=cos2x(cos2x)+sin2x=(1- sin2x)(1-sin2x)+sin2x=1-2sin2x+sinx+sin2x=sinx-sin2x+1= sies(sin)+scon 4 2 1-“,了，所以刀-受-号是风)的最小正周期，则云不是 f(x)的一个最小正周期，A选项错误函数f(x)的定义域为R,关于 原点对称，所以f(-x)=cos4(-x)+sin2(-x)=cos4x+(-sinx)2= cos+x+sin2x=f(x),所以f(x)是偶函数，B选项正确.已知f(x)= 和日当：e(0子)时和e(0,a),根器复合系敌单调性 1 知，)日m4+了在(0，)上单词递减，C选项正瑰由于 )。 g cos 4x+ 所以4红=m,keZ,即直线经，keZ为) 7 图象的对称轴，所以直线x= 不是人x)图象的一条对称轴，D 8 选项错误 3.A解折：e)=2加(+号）(a-)so=aaa= √3 √a2+3sin(ox+p),其中tanp= ，因为对任意的1，均有 p(x)≤-p(x2)成立，所以f1)+f(x2）≤45成立，所以fx)的最 大值为25，所以√a2+3=23.又因为a>0,所以a=3,所以fx)= 25m(r+）因为0<m,所以a+后m+因为) 在(0，r)上存在唯一实数0使得f(x0)=-3,所以sin wx0+ 6 4[，)解标：)=（号-s)+血（如-石） 14 w a=5血or+oms如+a+1-2如(os+若）+a+1,所以 当如(ox+）=1时，x)取到最大值2a+1=2,解得a=-1,所 以)=2(or+）令=ur+g因为e[0,],所以e [石，紧+后]因为八)在区间[0，牙]上有2个零点，即 =2m在区间[石，+]上有2个零点，所以+石 [2π，3π)，解得we 「2234） 33 黑白题108