第5章 2 复数的四则运算 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

电 §2阶段综合 于错题本 黑题 阶段强化 限时：40min 1.*复数z的实部与虚部互为相反数，且满 6.*(多选)已知ω=- 1 足+a=1+5i 2 21,复数：满足 1-i,a∈R,则复数：在复平面上对 1z-w1=1,则 应的点位于 ( A.I@l=1 B.w·o=1 A.第一象限 B.第二象限 C.1+w+w2=w3 D.Iz1的最大值为2 C.第三象限 D.第四象限 7.(多选)(2025·河南驻马店高一月考)已 2.*(多选)(2025·江苏苏州高一月考)已知 知复数a1=a1+bi,z2=a2+b2i(a,b,≠0，s= 复数a1,2均不为0，则下列等式不恒成立的是 1,2,i为虚数单位)，a,a2的共轭复数分别为 a1,2,定义运算a,⊙a2=a1a2+b,b,i,记任意复 A.21-22=z1-22 数z的实部为Re(z),虚部为lm(z),则下列说 B.1z1-221=1z1-z21 法正确的有( A.若a1⊙z2=z1,则2=1-i C.81·32=31·22 B.若a1,2在复平面内所对应的向量所成的 D.1z1·z21=1a1·221 夹角为锐角，则Re(z1⊙z2)+m(a,⊙z2)<0 3.*(2024·河南驻马店高一期末)设复数z C.2(a1⊙z2)·（a1⊙z2)≥[Re(z1⊙z2)+ 满足子1，则的最小值为 ( Im(a⊙a2)]2 1 B② D.z1a1a2≥[Re(z,⊙z2)+m(a,⊙a2)]2 4 8.**(2025·江苏无锡高一期中)定义运算 c D② a b 1-1 =ad-bc,则符合条件 =4+2i的 2 c d 4.**(多选)(2024·山东聊城高一月考)在复 复数z= 平面内，设0为坐标原点，复数z2,z对应的点 9.*i+2i2+3i3+.+20242024+ 分别为A,B,若OA⊥OB,则z可能是( 20252025= 10.**(2025·江苏镇江高一期末)已知复数z A.2i B.1-√3i 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁 C.√3+i D.3-i 四人对复数：的陈述如下（ⅰ为虚数单位）： 5.*（2025·福建三明高一月考)已知集 甲：z+z=2;乙：z-z=23i;丙：2·z=4;丁：二= ,则A的元素个数为 .在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个 A.1 B.2 C.3 D.4 人的陈述正确，则复数z= 第五章黑白题101 11.*(2025·山东临沂高一期中)已知复数：13.幸(2025·浙江杭州高一期中)类比高中 满足：√21z=4+2i-2z. 函数的定义，引人虚数单位i,自变量为复数 (1)求复数8： 的函数称之为复变函数.已知复变函数 (2)求++()++(1 fx)=(x-i)+ (x-)axeC且x≠i,n∈N 的值 (1)当n=1时，解关于x的方程：f(x+i)=1. (2)当n=2时， ①若1x-il=1,求f(x)的最小值 ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚 数x和实数M,使得f(x-5-11i)≥M恒 成立，求Ix的取值范围。 12.*(2025·黑龙江绥化高一期中)在复平 面内复数a1,2所对应的点为Z1,乙2,0为坐 标原点，i是虚数单位， (1)若1=4-3i,2=-5-4i,计算z2与 0Z.0Z: (2)设a1=a+bi,a2=c+di(a,b,c,d∈R),求 证：10Z,·0Z21≤1z21,并指出向量 0Z,0Z,满足什么条件时该不等式取 等号 必修第二册·BS黑白题1021=2,所以（台1-1=2公=-2<0，不符合题意：若则1 (z2=i, 女-2方所以(i=-2=20,符合题意，所以1=1=i所以 i、-i(1-)1i,所以复数的虚部为。 1+(1+)(1-i22 1+z2 4A解折：因为21ia7eR).所以22-1) (i,所以子，解得：=a1因为>1，所以a2-1>L,解得a< (x+y=2a, (y=a-1. -√2或a>√2. 5.ABD解析：因为(z-i)(z2-2i)=0,其三个不同的复数根为i,1+i,-1-i, 因为三个根的实部分别是0,1，-1，三个实部之和为0，故A正确； 因为三个根的虚部分别是1,1，-1，三个虚部之积为-1，故B正确； 根据模长定义，111+l2+1=√下+√+1卫+√(-1)2+(-1)7=1+ 2w2,故C错误 1343=i(1+i)(-1-i)=1-2=2,故D正确 6.13解析：设a=a+bi,a,b∈R,由实系数一元二次方程虚根成对定理可 得B=a=a-bi,由根与系数的关系可得a+B=2a=4,3=a2+b2=m,整理 得a=2,m=b2+4设，B,-1在复平面内对应的点分别为A(2,b),B(2, -b),C(-1,0),则C=(3,b),C=(3,-b),可知A,B关于x轴对称又复 平面内a,B,-1对应点构成直角三角形，则CA⊥CB,即C.C=9-b2= 0,解得62=9，所以m=62+4=13. 7.(1)解：由+=2，得2-2x+1=0, ()( 当a,=受时，=i al a 当经1-时8=i字 a2 a2 (2)证明：weM.,.存在meN,使得ω=z2m-l.于是对任意neN, w2-1=z2m-1)2m-1),由于(2m-1)(2n-1)是正奇数，w2-1∈M, ..M.CM. 压轴挑战 5解析：设01=a+bi,02=c+di(a,b,c,d∈R), 4 因为而1-02=01-02 ,所以(01-2)· (01-e2)=4,即[(a-c)-(b-d)i]· [(a-c)+(b-d)i]=4,化为(a-c)2+ (b-d)2=4,故01,02对应平面内距离为2 的点，如图中F,G 因为10-。∈{1,3}，所以a。与01,02对应点的距离为1或3，即构成 了点A,B,C,D,E共5个点，故k的最大值为5. §2阶段综合 黑题 阶段强化 1.B解析：z= 1+5i)(1+i) -a=-a-2+3i.因为复数z的实部与虚部互 (1-i)(1+i) 为相反数，所以-a-2+3=0,即a=1,所以z=-3+3i,所以复数z在复 平面上对应的点为(-3,3)，在第二象限故选B. 2.AC解析：设a1=a+bi,2=c+di(a,b,c,deR),则1=a-bi,2=c-di, 对于A中，1-2=(a-c)+(b-d)i,1-2=(a-c)+(d-b)i,所以1-a2 与12不能恒成立，所以A符合题意； 必修第二册·BS 对于B中，由1名1-21=√(a-c)2+(b-d)产，1云-2|= √(a-c)2+(d-b)产，所以11-1=11-21恒成立，所以B不符合 题意； 对于C中，由1·2=(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i,·z2= (a-bi)(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i,因为bc-ad与ad-bc不一定相 等，所以名1·2=云1·2不恒成立，符合题意； 对于D中，由1a1·21=√(ac+bd)2+(bc-ad)2,1云1·z21= √(ac+bd)2+(ad-bc)7,所以1a1·2=·2恒成立，所以D不符 合题意. 3.D解析设：=a+bi(a,beR),则E=a-(a,beR),则1后 atbi a-bi_(atbi)(1-i)+(a-bi)(1ti)=a+b=1,b=1-a, 1+i1-i (1+i)(1-i) 则1z1=√a2+b=√a2+(1-a)7=√2a2-2a+1= √2（行所以归的是小值为号故连D 4.ACD解析：设z=a+bi(a,beR),则z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,z=a-bi, 由复数，对应的点分别为A,B,则0=(a2-2,2ab),0成=(a,-b). 由0A⊥0B,则(a2-b2,2ab)·(a,-b)=0,即(a2-b2)a+2ab(-b)= a(a2-362)=0,所以得a=0或a2=3b2. 对比各选项可知，A满足a=0,C,D满足a2=3b2,选项B不符合题 意.故选ACD. 5.C解析：当n=1时，2=it=i-i=0;当n=2时，=2+ 21 1=-2当n=3时，2=的+3=1 i 三0：当n=4时，2=+在=14 1=2当=5时曰=计=ii=0,当n=6时=+=+ 1 2=-1-1=-2;当n=7时，z=7+7=3+ +3-i}=0,当a 8时==11=2 可知以上四种情况循环，故集合A={0,-2,2},A的元素个数为3.故 选C. 8.ABD解折：ol=√（)广+（停）尸=1，A正确： 因为w日则=号浮房以。…=（行+停） 13. (）=4+11o*21-+ 1,V3.1 √3. 2i=0,所以1+w+w2≠m3,C错误； 因为复数w在复平面内对应的点为 )则：-a11表示 复数：在复平面内对应的点在以（分，）为圆心，1为半径的圆 上，而|z表示复数z在复平面内对应的点到原点的距离，所以|z|的 最大做为√（号-（停+1-2.D正确 7.ACD解析：若21⊙a2=云1，则a1a2=a1,b1b2=-b1,解得2=1-i, 故A正确； 设a1对应的向量为m=(a1,b1),对应的向量为n=(a2,b2),m, n的夹角为a,若m·n=lml·In|cosa=a1a2+b1b2=Re(z1⊙z2)+ m(z1⊙z2)<0,则cosa<0,其所成角为钝角，故B错误； 2(1⊙z2)·(1⊙2)=2(aa吃+bb好)，原选项等价于2(aa+ bb号)≥(a1a2+h1b2)2,令a1a2=a,b1b2=b,则原式等价于2(a2+ b2)≥(a+b)2,整理得a2-2ab+b2≥0，所以原式恒成立，故C正确： 黑白题062 1212=(a+b好)(a吃+b)≥(a1a2+b1b2)2,当且仅当a1b2=a2b1 m·n ajaz+b 62 时，等号成立，由cosa=1mllm√a+×√G+ ≤1，两边平方， 整理得(a+b)(a+b号)≥(a1a2+b1b2)2,故D正确 83解标：由题意得！-*：4+2红设：+n7ER， 则+=(x+i)i+x+i=(x-y)+(x+y)i=4+2i,所以y4解得 (x+y=2, x=3,所以z=3-i (y=-1, 9.1012+1013i解析：2i2=-2,3i3=-3i,44=4,i+22+3i3+ 454=i-2-3i+4=2-2i,则55+6i5+77+8i8=2-2i,…,2021i201+ 2022i202+2023i2023+2024i2024=2-2i,故原式=506×(2-2i)+ 2025i=1012+1013i. 10.1+i解析：设z=a+bi(a>0,b>0),则z=a-bi,.z+z=2a,z-2= 26i,2=a2+62,豆2+8 4与号不可能同时成立，丙，丁不能同时正确 当=2i时，6=3>2-号不成立乙、丁不能同 时正确. 当甲、乙正确时：a=1,b=√3，则丙也正确，不合题意；当甲、丙正确 时：a=1,b=√3，则乙也正确，不合题意：当乙、丙正确时：b=√3，a= 1,则甲也正确，不合题意； ∴，甲、丁陈述正确，此时a=b=1,∴.z=1+i 11.解：(1)设z=a+bi(a,beR),由2Iz=4+2i-2z,可得√2√a2+b2= 4+2i-2a-2bi,即2√a2+b+2a-4+(2b-2)i=0,则 {+2a-4=00·解得{份1：或87（此时方①无唐 2b-2=0, b=1, 义，故舍去)，所以z=1+i. 2商可得后告-.因=0，则 1-i1-i(1-i)(1+i)2 =i+i2+i3+.+i2025=i 12.解：(1)因为1=4-3i,2=-5-4i,则12=(4-3i)(-5-4i)=-20- 16i+15i+12i2=-32-i. 又21(4，-3)，22(-5，-4)，所以0Z=(4,-3),0Z2=(-5,-4),所 以0Z.0Z2=4×(-5)+(-3)×(-4)=-8. (2)因为a1=a+bi,2=c+di(a,b,c,deR),所以z12=ac+adi+bci+ bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i,z2=(ac-bd)2+(ad+bc)2. 因为0Z=(a,b),0Z2=(c,d),所以0Z·0Z2=ac+bd, |0Z.0Z2|2=(ac+bd)2 因此1z12l2-|0Z.0Z2|2=(ac-bd)2+(ad+bc)2-(ac+bd)2= (ad+bc)2-4abcd=(ad-bc)2≥0， 所以0Z,·0Z2|≤lz12l,当且仅当ad=bc时取等号，此时向量 0Z,0Z满足0Z/oZ 13.解：(1)当n=1时)=-i计，则x+i)=x+ x-i 由+=1，整理得2-+1=0，则x=1± 2 (2)①令x-i=a+bi(a,beR且a2+b2≠0)，因为lx-il=1,所以a2+ b2=1. f(x)=(a+bi)2+ ()=(+2abi) =(a2-b2+ 2）*=(a2-6+2）+=(e2- a2-62-2abi (a2+b2)2 2abi)+(a2-b2-2abi)=2(a2-b2). 因为b2=1-a2,所以f(x)=2[a2-(1-a2)]=2(2a2-1) 因为0≤a2≤1，所以当a2=0时f(x)min=-2. ②当n=2时f代x-5-11i)=(x-5-12i)2+ (x-5-12i)21 参考答案 令x-5-12i=a+bi(a≠0且b≠0，a,b∈R),则f(x-5-11i)= 1 (a+bi)2+ =2-+2ai+a2-h2+2a =a2-b2+ (atbi)2 a2-62-2abi -62 a2-62 2-62)2+4a2a2 2abi+- (a2-b2)2+4a2b2 + 2ab 2ab- (a2-b2)2+4a26]i, 要使f(x-5-11i)≥M恒成立，所以2ab- a2+6)2=0,即a2+62=1, 2ab 所以|x-5-12il=1,即x对应点到点(5,12)的距离为1，故x对应点 在以(5,12)为圆心，1为半径的圆周上（不含横坐标为5，纵坐标为 12的点)，所以1x∈[12,14] §3复数的三角表示 3.1复数的三角表示式中3.2复数乘除运算的几何意义 白题 基础过关 1.A解-3i=25(之)-25(m7石+m7)） 所以辐角的主值为 6 2.ABD解析：因为r=人 ()+() =1,c0g0= 2,sin 0= √ 2 ,所以0=-子+2km,选项中ABD均符合。 3.A解折：由复数：的辐角主值为可设复数：=，(m行 曲智）子图为噬部务后，所以月 2=3,解得r=2,所 以z=-1+31,所以2=(-1+3i1)2=-2-231.故选A 4A解桥：因为1+i=(m子+im子）m0-0 cos (2-0)isin (20),(+i)cos 0-isin 0)= -(g)m(小 5.ABC解析：因为arg1=a,arg2=B,所以a∈[0,2m),B∈[0,2π) 而arg(a1·)e[0,2m),则当a+Be[0,2m)时，arg(a1·2)=a+B; 当a+Be[2m,4m)时，a+B-2me[0,2m),则ag(a1·z2)=a+B-2π； 当a+B=T时，2π-(a+B)=T=a+B,则arg(a1·2)=2m-(a+B). 6D解折：由题意，得当-1+5i时，=2,0=(-1)” (m)]°2"(s2m2） π） T 20m 3 32 7.-√2+2i解析：原式= am（-石)sn（-石) (g）( 8.D解析：向量AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到向量A心， .2c-4=(3BzA)·（cos60°+isin60°）.故选D. 6-√33+2W3 2 解析：因为菱形OABC在复平面的上半平面，且 2 黑白题063