上分专题06 利用导数运算法则巧构函数解题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

是ccn,c2,…,c11,c1中第1个小于c%的项， 故c,-c1≤cr1-cr:因为c,≥c1-1(2≤n≤m),所 以c1-c,≤1，所以c1-c1≤1，故cw-c1≤1，所 以c1-cn≤c1-c,=(c1-cn1）+(cnm1-c)+…+(cn-1-cn,）≤ (cn1-cn,)+(c21-cn2)++(cn,-1-cn,）≤1+1+1++1(s个 1),故c1-cnm≤s. 上分专题06利用导数运算法则巧构函数解题 1.B解析：令g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x>0,所以 g(x)在R上单调递增.又f2)=5,所以g(2)=f2)-22=1, 不等式f(x)>x2+1,即f(x)-x2>1,即g(x)>g(2),所以x>2, 即不等式f(x)>x2+1的解集为(2，+∞) 2AC解折：因为当0时'()+>0，令g()=) ,可得g()=时'()+0，所以8()在(0，+x)上单调 递增.因为f(1)=1,可得g(1)=f(1)-1=0.对于A,因为 g在(0，+)上单调递增，所以g(兮）<g(1),即 g(兮)（兮）<0，化简可得f(兮)<3，故A正确： 对于B,因为g()在(0，+)上单调递增，所以g(合) (),即s()f(行）<0，化简可得f()m,故 B错误；对于C,因为g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以 gge>g).即g（e)=e）-0,化简可得 flog2e)>ln2,故C正确；对于D,因为g(x)在(0，+∞)上单 调递增，所以gh3)>g(1),即gn3)=h3)方0，化 简可得fln3)>loge,故D错误 3.(3,+∞)解析：设g(x)=f(x)-x,则g(x)=∫'(x)-1>0恒 成立，故函数在R上单调递增f(1+x)+f(1-x)=0,则f(2)+ f(0)=0,即f(2)=2,故g(2)=f(2)-2=0.f(x-1)>x-1,即 g(x-1)>0,即g(x-1)>g(2),故x-1>2,解得x>3. 4.B解析：根据题意知f(x)f'(x),即f'(x)-f(x)>0,构造函 数6e)-,可得g(e)-®因为对(> e 0,所以(>0，所以：()在R上单测遂增，期204 f2025）,两边同乘e2m,即e(2024)<f2025) e202s 5.B解折：令8)-，则g()-可()2四，因为在 (0,+∞)上，xf'(x)-2fx)>0恒成立，可知g(x)在(0，+∞) 上圆为行)片所u:(兮）白 当2时，即<1，可得g()g(3)因为g)在 (0,+0)上单调递增，所以0<<2 6.D解析：因为(x2fx))'=2xf八x)+x2∫'(x)=x(2f(x)+ xf'(x),又xf'(x)+2fx)=e,所以(x2fx)'=xe,所以 选择性必修第二册·BS 当x>0时，(x2f(x)'=xe>0,所以函数x2f(x)在(0，+∞) 上单调递增.因为2<3，所以42)<93)，所以2）<3)， 9 4 B错误：因为2e,所以4机2)<e),所以2g,D正 e2 确；因为(x2f(x)'=[(x-1)e]',故x2fx)=(x-1)e*+C, 又(0，+，所以f=（-1)e+C,所以)= x2 -1)e+c,故[]'=-(e-C,所以 x2 [x1=（-+e-C,当c=0时，[x]>0,所以 x2 函数xfx)在(0，+∞)上单调递增.又e<e2,所以 oe.所以9巴，所以A不-定正，因为 e2 --ec所以型--C所以[]了 x2 x4 [a-1e+c]'-s-2e4c,设gx）=(g-2)2g-4C, x4 则g'(x)=(x2-2x)e,所以当x>2时，g'(x)>0,函数g(x)= (x-2)2e-4C在(2，+∞)上单调递增，所以若2<x≤3，则 g(x)≤g(3)=e3-4C,取C=10,可得当2<x≤3时，g(x)<0, 所以当c=0,2≤3时，]'0，函数在(2， x2 上单两递减所以巴，所以C不一定正确 四方法总结 构造法求解f代x)与f'(x)共存问题的求解策略： 对于不给出具体函数的解析式，只给出函数f(x)和∫'(x)满足 的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构 造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：f'(x)g(x)± f(x)g'(x)型；xf'(x)+nfx)型；入fx)f(x)(入为常数)型. 7.(1,+∞)解析：Hx∈R,2f(x)+f'(x)<0,构造F(x)= f(x)·e2-2,所以F'(x)=f'(x)·e2-2+f(x)·2e22= e2-2·[f'(x)+2f(x)]<0,所以F(x)在R上单调递减，且 F(1)=1)·e2=3,不等式<3可化为fx· e2-2<3,即F(x)<F(1),所以x>1,所以原不等式的解集为 (1,+∞). 8. () 解析：由题意，函数f(x)满足f'(x)cosx+ )）sit<0,令F(x)=f cos ,则F'（x)= f'(x)os+x)simx<0,函数F(r)=)是定义域 cos'x CoSx (受，受）内的单调递减函数，由于as00,则关于x的 不式（居）m可化为后】 即 6 P(石)，所以-<受且解得<受所 2 以不等式队s)2r(后)m的解集为（后，牙）} 9.[e,+∞)解析：因为f(2-lnt)-2≥f(lnt)-2lnt,所以 2-h)-(2-h)≥fn)-n,即f2-lh)-2(2- 黑白题60 n)2≥fh)-2()2设g()=)-2,g() f'(x)-x,当x∈(0，+0)时，恒有f'(x)<x,故x>0时， g(x)<0,所以g(x)在(0，+∞)上单调递减，g(-x)= o则是圆西数 则l2-lntl≤lntl,解得lnt≥l,即t≥e. 10.[-1,+0)解析：设g(x)=f八x)-3x2+x,定义域为R,因 对于任意实数x,都有f代x)=6x2-f代-x),由g(-x)+g(x)= f-x)-3x2-x+fx)-3x2+x=f(-x)+fx)-6x2=0,可得 g(-x)=-g(x),即函数g(x)为奇函数.又因当x∈ (-0,0)时，g'(x)=f'(x)-6x+1<0,可得g(x)在(-0,0) 上单调递减.又函数g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递 减.由f(m+2)≤f-m)+10m+10可得f(m+2)-3(m+2)2+ (m+2)≤f(-m)-3(-m)2+(-m),即g(m+2)≤g(-m), 由函数单调性可得m+2≥-m,解得m≥-1. 11.(-∞，-1)U(1,+∞）解析：令g(x)=efx),则 g'(x)=e[f(x)+f'(x)],当x≤0时，f'(x)+f(x)>0, 且e>0,∴.当x≤0时，g'(x)>0,即g(x)在(-∞，0]上单调 递增.由e2fx)+e2f'(x)+f-x)+f'(-x)=0,得e[fx)+ f'(x)]+e[f-x)+f'(-x)]=0,则g'(x)+g'(-x)=0, 即g(-x)=-g'(x),则g'(x)是奇函数，设c(x)=g(-x)- g(x),则c(0)=g(0)-g(0)=0,c'(x)= -g'(-x)-g'(x)=-[-g'(x)]-g'(x)=g'(x)-g'(x)=0, .c(x)是常数，得c(x)=c(0)=0,因此g(-x)-g(x)=0, 即g(-x)=g(x),故g(x)是偶函数.：g(x)在(-∞，0]上 单调递增，.g(x)在(0，+∞)上单调递减.：f(1)=0, ∴.g(1)=ef1)=0,g(-1)=g(1)=0,.当x<-1时，g(x)< 0;当-1<x<1时，g(x)>0;当x>1时，g(x)<0.又e>0, f(x)<0,即g(x)<0,则x<-1或x>1,.不等式/x)<0的 解集为(-∞，-1)U(1,+o). 上分专题07利用导数证明不等式 1.解：(1)设x-y+m=0与函数f(x)=lnx的图象相切于点 P(,o),因为(x)=,所以f'(x)=1=1.因为o>0, 所以=n,=0,所以点P到有维0， 小距离为d=11-0+11 =2. √2+(-1)7 (2)令()=)-g()=n+,e,所以()归 e时，h0,所以1。-1 单调造增，所以4(a(e)=h6e+=1+e(分c-小> 0,即f(x)>g(x),所以当x>e时，函数f(x)=lnx的图象在 8)=+图象的上方. 2.（)解：当a=3时)=h+至1，所以f"()=子 13 则)=2'=-2，则y=在点(11)处的切线 方程为y-2=-2×(x-1),即2x+y-4=0. (2)证明：由已知，x)的定义域为(0，+0)，f'(x)=1 是，当xe(a,+)时"()>0，则)在(a,+)上 单调递增；当xe(0,a)时f'(x)<0,则f(x)在(0，a)上单调 递减所以f()=(e)=ha,要证>号a,只需证 参考答案 ha心号六设g=h+名e0,.则g(e到 22a1 111-(x-1)<0在xe(0,1)上恒成立，所以g(x) x22x22x2 在(0,1)上单调递减，所以当0<x<1时，g(x)>g(1)=0,即 n心分a所以当ae0,1)时e>分云 .a1 3.(1)解：由题意得f'(x)=e-a,当a≤0时，f'(x)>0在R上 恒成立，函数f(x)在R上单调递增；当a>0时，令 f'(x)=e-a=0,解得x=lna,当x<na时，f'(x)<0,函数 f(x)在(-o,lna)上单调递减，当x>lna时，f'(x)>0,函数 f(x)在(lna,+∞)上单调递增.综上所述，当a≤0时，f(x) 在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(-o,na)上单调递 减，在(lna,+o)上单调递增. （2)证明：由题意知e2-ax-1≥72在x≥0上成立，令 g)=e-ax1-2,即g()≥0在[0，+m)恒成立则 g'(x)=e*-a-x,令h(x)=e*-a-x,则h'(x)=e-1,当x≥0 时，e≥1，即h'(x)=e-1≥0，且仅当x=0时等号成立，所 以h(x)在[0，+o)上单调递增，则h(x)的最小值为 h(0)=e°-a=1-a.因为a<1,所以h(0)>0,即在[0，+∞) 上h(x)>0,则g'(x)>0,可得g(x)在[0，+o)上单调递增 在x=0处取得最小值，最小值g(0)=e°-1=0，即在 [0,+∞)上g(x)≥0，可知当a<1时，g(x)≥0在[0，+∞)恒 成立所以)≥之2 4.(1)解：当a=1时x)=nx-x,而f(1)=-1'(x)=1 x 令f'(x)>0,解得0<x<1,令f'(x)<0,解得x>1,故f(x)= lnx-x在(0,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减， 故f(x)nx=f1)=-1. (2)证明：由(1)得lnx-x≤-1，当且仅当x=1时取等号，令 =1t中a2aeN)则n(+是)≤是依次取a=2, 3a系球和可得h(宁)h(子)+h(中 11 11 11 .11.1， 1,11 …+ n-1 n 是)]小1，即(+空)x(1+草)xx(+)ke 5.(1)解f()文1了"(1)=0又1)=-1，则切线方程 为y=-1,当a=0时，显然满足条件，当a≠0时，ax2+(2a+ 3)x-1=-1的方程有两个相等的根，∴.4=(2a+3)2-0=0, a=-2 -3,综上，a=0或a=-) (2)证明：由于f'(x)= 1-1,>0,所以xe(0,1)时f'(x)> 0,f(x)单调递增，x∈(1，+∞)时，f'(x)<0,f代x)单调递减， f(x)=1)=-1.令g()=-2,g(x)-（x-19e x2 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(1，+∞) 白题61上分专题06 利用导数运算法则巧构函数解题 命题密钥 导数与不等式都是高考中的重点与难点，以导数为背景的抽象函数与不等式交汇问题是 热点问题，求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数，再利用导数的运算 法则确定所构造函数的单调性，最后由单调性研究不等式问题 导数问题由于其蕴含着丰富多彩的思想方法、题目综合性强、对学生数学思维要求高的 特点，导致很多学生对于导数题目望而却步，利用导数运算法则构造函数正是其中的一个难 点.构造函数是一种富有创造性的方法，它很好地体现了数学中函数与方程、转化与化归的思 想，渗透着猜想、试验、探索、概括、特殊化的数学研究手段，能有效培养逻辑推理、数学抽象、 数学运算、直观想象等数学核心素养， 这类题目的条件具有相似之处，题千中大多会出现同时有f(x)和f'(x)的代数式，根据 这一特征，可以准确地识别这类问题.想解决这一类问题，需要我们熟练掌握一些常见的函数 结构模型，尤其是利用导数的积商求导法则构造函数模型，基于这些模型，我们能更好地理解 问题、解决问题 考点觉醒 ·利用导数运算法则进行构造(C为常数) 和差运算法则 遇到f'(x)±g'(x) 构造y=g(x)±fx)+C 加法构造y=fx)g(x)+C 积商运算法则 遇到f'(x)g(x)±fx)g'(x) 减法构造y=+C g(x) ·利用函数积商求导法则的常见构造(C为常数) 求导法则 条件形式 构造形式 遇到f(x)+f'(x) 构造g(x)=ef(x)+C 两个函数积的求导法则 遇到nfx)+f'(x) 构造g(x)=ef(x)+C 遇到nf(x)+xf'(x) 构造g(x)=x"f(x)+C 遇到f'(x)-f(x) 构造g(x)=八 _+C 两个函数商的求导法则 遇到f'(x)-nf(x) 构造g(x)=八 -+C 遇到xf'(x)-nf(x) 构造g(x)=fx)+C 遇到条件含有三角函数时，就尝试构造g(x)=x)s+C,g(x)=八）C等形式 sin x 14 数学I选择性必修第二册·BS 实战演练 题组1利用函数和差求导法则构造函数 6.禁(2025·江苏扬州高二期中)设f'(x) 1.*(2025·江西宜春高二月考)已知f'(x)》 是函数f(x)定义在(0，+∞)上的导函数，满 是函数f(x)(x∈R)的导数，且Hx∈R, 足f'(x)+2f(x)=e,则下列不等式一定成 f'(x)>2x,f(2)=5,则不等式f(x)>x2+1的 立的是 () 解集为 ( A.Re)fe) B.f2)3) A.（-∞，2) B.(2,+∞) e e 9 4 C.(-∞，2) D.(2,+0) c.e)3) e2 D.2)e) 2.接（多选）(2025·湖南郴州高二月考)已 9 e21 4 知定义在(0，+)上的函数f(x)的导数为 7.禁(2025·四川达州高二期末)定义在R 上的函数fx),且f1)=3,对Hx∈R,2f(x)+ f'(x),若f1)=1,且f'(x)+2>0,则下列 式子中一定成立的是 <0,则不等式四、的解东 e2 Af兮)k3 Bf(》>m 是 8.幸(2025·湖南邵阳高二期末)已知函数 C.f(logze)>In 2 D.f(In 3)<logse 3.*(2025·福建莆田高二月考)已知函数 九)的定义域为(-77)，其导函数是 f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为 f'(x).有f'(x)cosx+f(x)sinx<0,则关于x f'(x).若对任意x∈R有f'(x)>1,f(1+x)+ 的不等式，3j(x)<2(石 cosx的解集 f(1-x)=0,且f(0)=-2,则不等式f(x-1)> x-1的解集为 为 题组2利用函数积商求导法则构造函数 题组3结合奇偶性构造函数 4.**(2025·山东威海高二月考)已知f(x) 9.**(2025·山东济南高二期中)已知定义 为定义在R上的可导函数，∫'(x)为其导函 在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),且 数，且f(x)<f'(x)恒成立，e是自然对数的 当x∈（0，+∞)时，恒有f'(x)<x.若有 底数，则 f(2-lnt)-2≥f(lnt)-2lnt,则实数t的取值 A.f(2024)<ef(2025) 范围为 B.ef(2024)<f(2025) 10.#(2025·重庆九龙坡区高二期中)设函 C.ef(2024)=f(2025) 数f(x)在R上存在导函数f'(x),对于任 D.ef(2024)>f(2025) 意实数x,都有f(x)=6x2-f(-x),当x∈ 5.**(2025·江西萍乡高二期末)已知函数 (-0,0)时，f'(x)-6x+1<0.若f(m+2)≤ fx)的定义域为(0，+∞)f'(x)为其导函数 f(-m)+10m+10,则m的取值范围 若寸)-2)>0恒成立，且f(2）=4 为 11.禁(2025·山东德州高二期末)已知定义 则不等式fx)<x2的解集为 在R上的函数y=fx),其导函数为f'(x), A.(0,1) 当x≤0时，f'(x)+f(x)>0,若e2“f(x)+ ef'(x)+f(-x)+f'(-x)=0,且f(1)=0, C.(+） D.(1,+0) 则不等式f(x)<0的解集为 黑白题·上分秘籍15