第1章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和及其性质-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

2.2等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和及其性质 白题 基础过关 限时：30min 题组1等差数列的前n项和公式 7.*已知等差数列{an}的公差d>0,则下列四 1.·(2025·河南郑州高二月考)已知等差数 个命题：①数列{an}是递增数列；②数列{Sn} 列{an}的前n项和为Sn,公差d=2,Sg=88,则 是递增数列；③数列} 是递增数列；④数列 as n A.10 B.12 C.14 D.16 (}是递增数列其中真命题的个数为( 2.(2025·江西萍乡高二期末)已知等差数 n 列{an}的前n项和为Sn,若S。=6(a6+5),则 A.1 B.2 C.3 D.4 公差d= 8.数列{an}为等差数列，它的前n项和 A.2 B.-2 C.3 D.-3 为Sn,若Sn=(n+2)2+入，则入= 3.(多选)(2025·河北廊坊高二期中)记S。 9.*(2025·广东惠州高二月考)设等差数列 为等差数列{an}的前n项和.已知Ss=0,a5= {an}的前n项和为Sn,a1=25,S1,=Sg.若 6,则 ( Sm=S4,则m的值为 A.a1=-6 B.a=3n-9 题组3等差数列前项和的性质 10.*(2025·福建福州高二期末)等差数列 C.S2=S4 D.S.=3n2-15n 2 {an}的前n项和为Sn,且S3=9,S6=36,则 4.*(2025·江西南昌高二月考)已知等差数 S,为 () 列{an}的项数为n(n≥6)，若该数列前3项的 A.45 B.81 C.90 D.162 和为3，最后三项的和为63，所有项的和为 11.*苏教教材变式已知一个等差数列的项数 110,则n的值为 ( 为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶 A.10 B.11 C.12 D.13 数项的和为261，则此数列的项数为( 5.(2025·山东泰安高二月考)已知Sn为等 A.15 B.17 C.19 D.21 差数列{an}的前n项和，且满足a4+a,+a1o= 12.*设等差数列{an}的前n项和为Sn.若 6,则S13= am=10,S2m-1=110,则正整数m= 题组2等差数列前项和公式的函数特征 13.*(2025·陕西渭南高二月考)在等差数 6.*（多选)在等差数列{an}中，a1>0,公差 d<0,Sn为其前n项和，对任意正整数n,若点 列a中，a,=1,其前n项和为S,若8 (n,Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条 曲线不可能是 6=2,则50= 14.*人B教材变式(2025·江西吉安高二月考) 月 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别 为Sn和Tn,且 .3n+5 n+7' 第一章黑白题09 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2025·河南鹤壁高二期末)设等差数列7.接（多选）(2025·河南郑州高二期末)在数 {an}的前n项和为Sn,若S4-a=21,a3=11, 列{an}中，a1=a,an+an1=3n+1,数列{an}的 则a10= 前n项和为S,则下列说法正确的是（) A.25 B.28 A.若a=2,则a4=8 C.29 D.32 B.{a2n}是等差数列 2.*(2025·江西景德镇高二月考)设Sn是等 C.20=300 差数列{a}的前n项和，若S3=15,Sg-S= D.若S31=748,则a=13 18,则S8= ( 8.*已知等差数列110,116,122，…，在区间 A.132 B.88 [450,600]上，该数列有 项，它们的 C.44 D.33 和为 3.*(2025·江苏南通海安中学高二月考) 9.*★（2025·江西南昌高二月考)在等差数列 设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3= {an}中，an=3n-31,记bn=1an1,则数列{bn} 4,S6=10,则a16+a17+a18= ( 的前30项和为 A.12 B.14 10.整已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 C.16 D.18 数列S,S6-S,S,-S6,…的前n项和为6n2+ 4.**(2025·河北沧州高二月考)已知Sn为等 3n,则a1o1= 差数列a,的前n项和，若-S,=1(m≥2， 11.整(2025·河南商丘高二期末)已知数列 an+1,n为奇数， 且meN),则1S, {a,的首项是1，a1= an+2,n为偶数. 2m-1 (1)证明：{an}的奇数项成等差数列； A.1 B.2 (2)求{an}的前n项和Sn C.-1 D.-2 5.(2025·广东广州高二月考)已知{an}为 等差数列，其前n项和为Sn,若S1=11,则下 列各式的值不能确定的是 ( A.as B.a2+a3+a13 S2S20 C.S1+S21 D.220 6.(2025·山西太原高二期中)已知等差数 列1a,的前n项和为S,且S=4a+3,。】 (n∈N*)是以1为公差的等差数列，则下列 结论正确的是 ( A.a5=10 B.a10=20 C.S10=55 D.S20=110 选择性必修第二册·BS黑白题103 04>0>0,01-0,了当n=1时，a1=b=4 24,即2、3， 1 1 3=4a-2,解得a=3 或=-号（舍 4-号，故a4a=号数列a是首项为号公 2 差为号的等差数列…0.=号 2n 9.(1)证明：因为a1=2a,+21,两边同除以21，得81=0+ 2*12n 1,所以兰1.即66=1.而分=1.所以16是 首项为1，公差为1的等差数列. (2)解：h(得，会=1+(a0x1=n敢a=a2 10.解：(1)由题可知：a1,a2,…,ao为公差为1的等差数列，故 a1o=a1+9=10,a1o,a1,…,aw为公差为d的等差数列，故 a20=a1o+10d=40,解得d=3. (2)由题可知：a1,a2,…,a为公差为1的等差数列，故 as=a1+(k-1)=k;ak,ak+1,…,a24为公差为d的等差数列，故 as=a+hd=k(1+d);ak,a+1,…,a为公差为d的等差数列， 故aat-1dd)=[(er）}了]≥.叉 为正整数，故>0，即a的最小值为子无 3 压轴挑战 （1)解：依题意，当a,=平时，则m,=0sa=co42 π√2 又 ()ra,<(at子) 3 .3 11 4m<a,<4m,所以a=年π又 4a=2m生{日}，所以a=?知行合题意同理， 9 汉子<a得a=或 9 4又{行}，所以-？符合愿意由 fπ5π 92,因为< sin aa=cos =cos2 19 a,,2e{任}所以，7符合题在 (2)证明：因为s血a=msa,所以sna=sin(牙a.) 或sna1=sm(牙+a)(不合道设，合)，所以a1=号 a,+2hm,keZ或a+1+2a,=m+2km,ke乙，即a1+a,= +2km,6eZ或a-n,=号+2hm,6ez因为(-）m<a,< (a+子)所以(n)<<(+),(） a<(+)所以(a)raa<(2+),- aa,<3m,所以a+a,=7+2m,neN或a1-a,=2或 neN,则a1+na=受+2(n+I)m=+2nm,aeN,所以 2 参考答案 at-(aa)-+2nm-(受+2nm）=2m,neN,所以 数列{ant1+an是公差为2r的等差数列. (3)解：由(2)知，数列{a+1+an是公差为2π的等差数列，所以 -(a2+a1)=2m→a,-a1=2m.又因为a1+0。=2+2 neN”,所以a,ta,-5又因为数列b,tn,为等差数列，所以 b,+a,+b3+a3=2(b2+a2),所以c0sω+a,+cos3w+a,+2m= 5π 2(c0s2w+2-a即4a,=3m+2c0s2w-(cosw+c0s30）.又 因为cosω+c0s3w=C0s /w+3w+w-3w）】 2 0）+o( w-30 2 =2 cos we0s2w,所以4a1=3T+2cos2w-2 cos wcos2w, 3π，1 1 d+2 cos 20-2 cos ocos 20. 四重难点拨 由ma-os:由话导公式可得ma-sn(0) 可得a1+a,=2 +2km,eZ或a-0.=+2hm,keZ.由条 51 3 +2n 件(a于)m<a,<(a+),即可得到a+a.=2 n∈N“,再利用等差数列的概念即可. 2.2等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和及其性质 白题 基础过关 1.B解析：由等差数列的前n项和公式得S=(2+ 7×2)=88,化简得4(2a,+14)=88,所以2a1+14=22,所以 a1=4,所以a5=a,+4d=4+4×2=12. 2.B解析：等差数列{an的前n项和为Sn,S。=6(a6+5),所 以6a,+634=6(a,+5+5,所以=55，则公差d=-2 .6×5 3.ABD解析：由题意得S,=5a,+10d=0,解得0-6，所以 (a5=a1+4d=6, d=3. an=a1+(n-1)d=3n-9,Sn= (a:+a.)n_3n2-15n,ABDE 2 2 确，S2=-9,S4=-6,C错误 4.A解析：设这个数列有n项，则a1+a2+a3=3,am-2+am-1+an= 63,因此3(a1+an)=3+63=66,即a1+an=22,则S。= n(a+a.）-1ln=110,解得n=10. 5.26解析：等差数列{an中，a+a,+a10=3a,=6,所以a,=2, 13(a+a2-13a,=13×2=26, 则S13 6.ABD解析：在等差数列{an}中，a,>0,公差d<0,Sn为其 前n项和=md号+(a号)点 (a8)在面线)=号+(a号）上：d0三次函数 的图象开口向下，故A,B不可能。对称轴为直线x= d 0,2 -d >0，.对称轴在y轴的右侧，故C可能，D不可能.故 选ABD. 黑白题05 四方法总结 等差数列前n项和的函数性质： 等差数列的前n项和公式为S.=m,+n(n- 2d,将它写成 2 关于a的多项式，可得s=+(a号)a,设A=号，B= a号上式可写成S=A+Bm的带式 当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时，Sn=0是关于n的常数 函数； 当A=0,B≠0（即d=0,a1≠0）时，Sn=Bn是关于n的正比 例函数（常数项为0的一次函数）； 当4≠0，B≠0即d≠0,4≠号)时，S,=An2+m是关于卫 的二次函数（常数项为0）. 7.B解析：①因为数列{an}是等差数列，所以an=a,+(n-1)d= d·n+(a,-d),因此可以把an看成关于n的一次函数，又d> 0,所以数列{}是递增数列，因此本命题是真命题；②因为 数列a,是等差数列，所以S,=nm,+2n(n-1)d= 2n2+ 2a1-d 2 n,因此可以把S。看成关于n的二次函数，而二次函数 的单调性与开口方向和对称轴有关，虽然d>0能确定开口方 向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列{S,}的单 调性，故本命题是假命题；③设=b,因为数列a,是等差 数列，所以an=a,+(n-1)d=d·n+(a,-d),因此数列 an n 的通项公式为6，==，- +d,显然当a1=d时，数列 是常数列，故本命题是假命题：④设=6，因为数列 n a是等类数到，所以及=m*宁4a-1d分，2 2n, 因此数列氵}的通项公式为c,= 。d2a1- n+- n n 2 2 一，所以可以 把c,看成关于n的一-次函数，而小0，所以数列⑧}是递 n 增数列，因此本命题是真命题故选B. 8.-4解析：设等差数列an}的首项为a1,公差为d,所 以3=m,+a=号(，-号)又8=(+2 d 入=n2+4n+4+入，所以4+入=0，解得入=-4. g.12解析：设等差数列1a,的公差为d,则S=号2+(a, 号加，所以5可看成=次隔数y=号，(a,号)，由二 次西数图象的对称性及S=8心=5可79-14 2 解得m=12. 10.B解析：等差数列an}的前n项和为Sn,则S3,S。 S,S,-S6成等差数列，所以2(S6-S)=S,+S,-S。,即2× (36-9)=9+S。-36,解得S。=81. 11.C解析：设等差数列的项数为2n-1,设所有的奇数项和 为s,则s=n(ata1) =na,,设所有的偶数项和为T,则 2 71(a,a-w-1)a,由T--26-9,解 2 Sn29010' 得n=10,项数2n-1=19. 选择性必修第二册·BS 12.6解析：因为a,是等差数列，所以51-tx(2m 2 1)=(2m-1)a=10(2m-1)=110,解得m=6. 13.100解析：因为数列a,是等差数列，则数列氵}也为 n) 等差数列，设其公差为出，则产8-2=2心，则”=L又因 86 =4=1，所以含=1+n-1=,所以S=心，所以 为心 S0=100. 解析：由等差数列性质得= 2ag_a1+a7= 6=2b。=6,+b 17(a1+an） 2 S173×17+5567 17(b,+b,)T,17+724-3 2 四方法总结 等差数列前n项和中常见的两个比例关系： 在等差数列10，}中，4，=0n1_（at0) 2 2 ·(2n-1)· 1 S2m-1 2m-12n-1 若{an},{bn}为等差数列，An为数列{an}的前n项和，Bn 为数列{b,的前n项和，则 an A2n-1 。B2n-l 黑题 应用提优 1.D解析：设等差数列a,的公差为d,则8n=3,+21=21,解 (a3=a1+2l=11, 得5，因此a.=3n+2,ao=32 (d=3, 2.C解析：根据S。是等差数列{an的前n项和，由等差数列 +3x3-D4=15,所以3+2d= 3×2 前n项和公式可得S,=3a,+ 2 15,化简可得a1=5-d.Sg-S,=a6+a,+ag,即a6+a,+as=3a+ 18d=18,化简可得a,+6d=6.将a1=5-d代入a,+6d=6中， 解得d=了将d=写代入a,=5-d,可得a=号可得3，=8x 24 248g-x写4 5 2 3.B解析：由等差数列的性质知，S,S6-S3,S,-S6,S2 S,S15-S12,S18-S15成等差数列，由S,=4,S6-S,=6,得该数 列首项为4，公差为2，所以a6+a1,+a18=S1g-S15=4+5× 2=14 (.书解析：由等差数列的性质可得{。}为等差数列，所以 。信s小2 2m-1 mm 5.C解析：对于A,S1= (a+am）=1la。=11,则a6=l,A不 2 符合题意；对于B,设等差数列an}的公差为d,a2+a+as=a6 41+a。-3d+a+7d=3,B不符合题意：对于D,=a,+)(n Dd则之2t+a+9a2(u+502.D不符合题 意；对于C,S,+S2,=a,+21a1+210d=22(a,+5d)+100d=22+1001, 而d值不确定，因此S,+S不确定，C符合题意 6.C解析：令{an}的公差为d,又S=4a+3,则 (a1+a5) 2 黑白题06 即5,8曲(}aeN)的公花为 1,且2.2=2，则2=2+(n-1）×1=n+1,所以S al a (n+1)a.又S.= an=na1,则a3=3a1=3→a1=1,故an=n,故a5=5,a0= 10,AB错：S.=n(m+1,则Sn=55,S=210,C对、D错 2 7.BD解析：对于A:当a=2时，a1=2,因为an+ant1=3n+1, 令n=1,得到a2=2;令n=2,得到a3=5;令n=3,得a4=5, 故A错误；对于B:因为an+an+1=3n+1,所以a1+an+2=3n+ 4,两式相减得a*2-an=3,令n=2k(k∈N),则a2+2-a24= 3,且a2=4-a为常数，所以{a2m是以4-a为首项，3为公差 的等差数列，故B正确：对于C:因为an+a+1=3n+l,得到 a1+a2=4,a3+a4=10,a5+a6=16,…,a19+a0=58,观察可得 a2-1+a2,=6i-2(i=1,2,3,…,10),所以S0=(a1+a2）+(a3+ a4)+(a5+a6）+…+(a1g+a20)=4+10+16+…+58= 10x(4+58）=310≠300，故C错误；对于D:因为a,+a,=7, 2 a4ta5=13,a6+a,=19,…,a0+a31=91,观察可得a2,+ar1= 6i+1(i=1,2,3,…,15),S31=a1+(a2+a3)+(a,+a5)+…+ (aa)=a+15x749D-748,解得a=13,故D正确 2 8.2513100解析：设所求等差数列为{a,{,由题意可知数列 {an}的首项为110，公差为116-110=6，则an=110+6(n-1)=6m+ 104.由450≤6m+104≤600，得58≤n≤82，n∈N°，所以该数列在 [450,60]上有25项，其和S=7(as+ne)×25=1310m 9.755解析：当n≤10时，a。<0,当n≥11时，an>0,故So= |a,l+la2l+la3l+…+la30|=-(a1+a2+a3+…+ao)+(a1+ 10(a1+a1o）,20(a+a0） a12+a13+…+a30）=- 2 2 10×(-28-1),20×(2+59) 2 =145+610=755. 10.135解析：设等差数列an}的公差为d,首项为a1,由题意 知数列S,S6-S3,S,-S6,…成等差数列，且公差d'= S6-S3-S3=a4+a5+a6-a1-a2-a3=9d,记数列S,S6-S3, S,-S。,…为c,,其前n项和为T,则T,=c,+n(ndr= 2 n2 +(92n.又因为数列s,。-S,5,-S。,…的前m项 d d' =6, 和为6n2+3n,所以2 d' 解得化2所以4=) 92=3, (c1=9, 6=S=3a+3d=9,解得a1=子，所以am=a+101= 4 5400=135.故答案为135. 33 四重难点拨 等差数列的性质： (1)项的性质：在等差数列{a}中， Da,=a.+(n-m)d(m,nEN),d=4.a n-m ②若mtn=ptq(m,n,p,9∈N*),则Am+ni=a,+ag (2)和的性质：在等差数列an}中，S。为其前n项和，则 ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(dn+da+1）； ②依次飞项和成等差数列，即S,S4-S,Sw-S4,…成等差 数列. 参考答案 11.(1)证明：若n为奇数，则n+1是偶数，n+2是奇数，所以 a1=an+1,an+2=(an+1)+2=an+3,即a+2-an=3,所以 {an}的奇数项是首项为a,=1,公差为3的等差数列. (2)解：当n=2k(k∈N*)时，Sn=S24=(a1+a3+a5+…+ a2k-1)+(a2+a4+a6+…+a2)=(a1+a3+a5+…+a2-1)+(a1+ 1+a3+1+a5+l++a2-1+1)=2(a1+a3+a5++a2-1)+k= 2a”]小4=s3x(份）°-c图为e a2-1+1=a,+3(k-1)+1=3k-1,所以当n=2k-1(k∈N) 时=1=3=3-3+1=x(）广-3x21 2 3 n2,n为偶数， 子+综上所述= 3 4 3 1 4n+4n为奇数 第2课时等差数列的前项和的综合应用 白题 基础过关 1 1.B解析：因为an= 11 n2+nn(n+1)nn+ ,所以S22s=a1+ 1.11 1 a2+…+a20ms=1- 2+23+…+202520261-2026 2025 2026 2.D解析：依题意，a。= 1 =n+1-√n,所以Sn=√2- √n+√n+1 1+√3-√2+…+√n+1-√n=√n+1-1,由Sn=√n+1-1=8,解 得n=80.故选D. (a,+d=11, 3. 解析：由已知得{ 2n+1 ,43=60 解得0=3故S, ld=8. 4n2-n 1 11入 n 4.B解析：由a,=4n-17得，当1≤n≤4，n∈N时，an<0,当 n≥5，n∈N*时，an>0,所以当Sn取得最小值时，n=4. 5.B解析：因为等差数列的前n项和为Sn,设等差数列为 an},由S,<0,得 (a,+a)_9x2a5=9a,<0,则a,<0, 2 2 由S。>0,得 0(a1+a1o) 2 =5(a5+a6）>0,则a5+a6>0,所以 a6>0,故d=a6-a5>0,则数列{an}的前5项为负数，从第 6项开始的项都是正数，因此当n=5时，S,最小. 6.AC解析：对于A,由S,<Sg=S,得ag=S-S,>0,a= S,-Sg=0,d=a,-ag=-ag<0,A正确；对于B,S1o-S,=ag+ag+ a1o=3ag=0,B错误；对于C,由选项A知，数列{an}是递减 等差数列，前8项都为正，第9项为0，从第10项起为负，因 此S。与S,是S。的最大值，C正确；对于D,S,= 17(a1+a17 -=17a=0,D错误 7.15解析：等差数列{an中，因为S=S0,所以10a,+ 21=20u,+3 10x9 +20x191,解得4=29 24,则S=m,xg-d- 2 2d因为 d<0,所以当S。取最大值时，n=15. 8.A解析：当n=1时，a1=3;当n≥2时，an=Sn-S-1=n2+2n- (n-1)2-2(n-1)=2n+1,又a,=3适合上式，所以a.=2n+1. 黑白题07