10.1 二元一次方程组的概念（分层作业）数学新教材人教版七年级下册

10.1 二元一次方程组的概念 知识点一 二元一次方程的定义 1．(24-25七下··吉林第二实验高新学校·期中)下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．(21-22七下·云南曲靖·期末)下列是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25七下第5章章末复习二元一次方程组-·)下列方程中是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．(23-24七下·浙江温州·期中)下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24七下·重庆/重庆/沙坪坝区·月考)下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 知识点二 二元一次方程的解 1．(24-25七下·山东潍坊·期中)下列哪一组x，y的值不是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 2．(22-23七下·北京汇文中学教育集团·期中)下列每对数值中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 3．是下面哪个二元一次方程的解（　　） A． B． C． D． 4．(23-24七下·黑龙江哈尔滨顺迈中学·月考)若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 5．(23-24七下·云南保山·期末)若是二元一次方程的一个解，则的值等于（　　） A． B． C．2 D．3 知识点三 二元一次方程组的判断 1．(25-26七上·黑龙江绥化明水县第二中学·期中)下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24七下·广西南宁青秀区天桃实验学校·期中)下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25七下·河北雄安新区·月考)下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 5．下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 6．(22-23七下·江苏徐州沛县·期末)观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 7．((23-24七下二元一次方程（组）-·)若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 知识点四 二元一次方程组解的判断 1．下列哪组的值是方程组的解？ ①        ②        ③        ④ 2．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 3．((23-24七下·山东淄博张店区第九中学（五四学制）·月考)在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 4．下列方程中，解为的二元一次方程是（    ） A． B． C． D． 5．((23-24七下湖南邵阳绥宁县第一中学·)已知二元一次方程组的解为，请问方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．(23-24七下·[名校联盟]江苏金坛茅麓中学·)写出一个解是的二元一次方程组： ． 7．(24-25七下·湖北孝感孝南区·期末)0．写出一个解为的二元一次方程组为 ． 8．(24-25七下·江苏扬州邗江区·期末)1．已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是 ． 表 表2 9．(24-25七下·四川乐山马边县·期中)2．写出一个以为解的二元一次方程组： ． 知识点五 已知方程组的解求参数 1．((23-24七下·四川成都龙泉驿区·期中)已知方程组的解为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·湖北襄阳第十二中学·月考)已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 3．小明在解关于的二元一次方程组时，解得，则△和★代表的数分别是(    ) A．、 B．、 C．、 D．、 4．((23-24七下·黑龙江绥化望奎县·期末)已知是的解，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．(23-24七下·江西景德镇乐平·期末)方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 6若是方程的一个解，则 ． 7．(25-26七·3.4第3课时用加减法解·)小亮在解方程组时，发现解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，其中★ ． 知识点一 已知二元一次方程组求参数 1．((23-24七下·重庆/重庆/沙坪坝区·月考)已知是关于、的二元一次方程，则 ． 2．(24-25七下·北京昌平一中中滩学校·月考)若方程是关于的二元一次方程，则 ． 3．(23-24七下·四川南充高坪中学·期中)已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 4．(23-24七下·辽宁本溪第十二中学教育集团·期中)已知是方程组的解，则的值为 ． 5．(24-25七下·浙江温州实验中学·期中)如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是 ． 6．(24-25七下·江苏徐州沛县五中联盟学区·期末)若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是 ． 知识点二 新定义问题 1．(21-22七下·广东汕头濠江区·期末)已知都是实数，设点，且满足，我们称点为“梦之点”． (1)判断点是否为“梦之点”； (2)若点是“梦之点”，请判断点在第几象限，并说明理由． 2．(24-25七下·江苏无锡宜兴外国语学校·月考)我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：(是正整数，且)，在的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定，，例如12可以分解成或，因为，所以是最佳分解，所以． (1)如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数，对任意一个完全平方数，总有_________； (2)一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新两位正整数，求证：新两位正整数与原来的两位正整数所得的差是9的倍数． (3)如果一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为45，那么我们称这个数为“吉祥数”，请直接写出满足条件的“吉祥数”中的值________． 1．(23-24七下·福建厦门湖里中学·期中)阅读材料，完成下列问题： 材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如5353、3535都是“重叠数”． 材料二：将一位四位正整数M的百位和十位交换位置后得到四位数N，． (1)_______；_______； (2)试证明在意重叠数M的F（M）一定为10的倍数． (3)若一个“重叠数”），当t能被7整除时，求出满足条件的所有t值中，的最小值． 2．((23-24七下·福建厦门槟榔中学·期中)若一个四位数，其千位数字的5倍与后三位组成的数的和称为的“知行数”，记为，m的“知行数”的百位数字的5倍与后两位组成的数的和称为的“合一数”，记为， 例如：1234的“知行数”为． 1234的“合一数”为， (1)直接写出结果：_____，_____； (2)若一个千位数字为6，百位数字为，十位数字为4，个位数字为的四位数的“知行数”与“合一数”之和能被33整除，求该四位数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1 二元一次方程组的概念 知识点一 二元一次方程的定义 1．(24-25七下··吉林第二实验高新学校·期中)下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了二元一次方程的定义． 根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程）进行判断． 【分析】解：二元一次方程必须同时满足：①含有两个未知数；②未知数的次数都是1． 选项A：，只含一个未知数，不符合条件①； 选项B：，x的次数为2，不符合条件②； 选项C：，只含一个未知数，且次数为2，不符合条件①和②； 选项D：，含有两个未知数x和y，且次数均为1，符合定义； 故选：D． 2．(21-22七下·云南曲靖·期末)下列是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程）进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程，故是二元一次方程，故该选项符合题意； B、是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、含有两个未知数，但最高次数为2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D、含有三个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：A 3．(24-25七下第5章章末复习二元一次方程组-·)下列方程中是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程，进行判断即可． 【详解】解：A． 只含一个未知数，不符合条件，不是二元一次方程； B． 中，项 的次数为2，不符合次数为1的条件，不是二元一次方程； C． 含有两个未知数，且次数均为1，符合条件，是二元一次方程； D． 中，项 的次数为2，不符合次数为1的条件，不是二元一次方程． 故选C． 4．(23-24七下·浙江温州·期中)下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义进行判断． 【详解】解：A、该方程含有个未知数，故本选项不合题意； B、该方程中含有1个未知数，并且含有未知数最高次数是，故本选项不合题意； C、该方程分母含未知数，不是整式方程，故本选项不合题意； D、该方程中含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，属于二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 5．(23-24七下·重庆/重庆/沙坪坝区·月考)下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 根据定义依次判断即可． 【详解】解：A、方程中含有分式，不是整式方程，故此选项错误；   B、方程中含有3个未知数，不符合题意，故此选项错误；   C、含有2个未知数，整理后含未知数的次数的项的最高次数是2，不符合题意，故此选项错误；   D、符合二元一次方程定义，故此选项正确． 故选D． 知识点二 二元一次方程的解 1．(24-25七下·山东潍坊·期中)下列哪一组x，y的值不是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解需使方程左右两边相等，因此将每组、的值代入方程验证即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、当，时，，故A是方程的解，不符合题意； B、当，时，，故B是方程的解，不符合题意； C、当，时，，故C不是方程的解，符合题意； D、当，时，，故D是方程的解，不符合题意； 故选：C． 2．(22-23七下·北京汇文中学教育集团·期中)下列每对数值中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解，关键是理解二元一次方程的解的概念． 二元一次方程的解有无数个，将选项分别代入方程，使方程左右相等的解才是方程的解． 【详解】解：A．把代入方程得， ∴不是方程的解，不符合题意； B．把代入方程得 ∴不是方程的解，不符合题意； C．把代入方程得 ∴是方程的解，符合题意； D．把代入方程得 ∴不是方程的解，不符合题意； 故选C． 3．是下面哪个二元一次方程的解（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，使二元一次方程成立的未知数的值就是方程的解，据此把代入各个选项的方程，验证即可． 【详解】解：A、把代入方程，得左边右边， ∴是方程的解； B、把代入方程，得左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解； C、把代入方程，得左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解； D、把代入方程，得左边右边， ∴不是方程的解． 故选：A． 4．(23-24七下·黑龙江哈尔滨顺迈中学·月考)若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：， 故选：B． 5．(23-24七下·云南保山·期末)若是二元一次方程的一个解，则的值等于（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．根据二元一次方程的解的定义将代入即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴． 故选：D． 知识点三 二元一次方程组的判断 1．(25-26七上·黑龙江绥化明水县第二中学·期中)下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是紧扣“含两个未知数、方程为整式方程、未知数次数为1”的条件判断选项． 根据二元一次方程组的定义，依次判断各选项的未知数个数、方程类型及未知数次数；A含三个未知数，B含分式与二次项，C含二次项，D符合定义． 【详解】解：A、方程组含x，y，z三个未知数，不符合“二元”要求，此选项不符合题意； B、不是整式方程，不符合整式的要求，此选项不符合题意； C、中未知数次数为2，不符合“一次”要求，此选项不符合题意； D、方程组含x，y两个未知数，方程均为整式方程且未知数次数为1，符合二元一次方程组定义，此选项符合题意； 故选：D． 2．(23-24七下·广西南宁青秀区天桃实验学校·期中)下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个一次方程组成，且含有两个未知数的整式方程叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：由二元一次方程组的定义可知，只有C选项中的方程组是二元一次方程组， 故选：C． 3．(24-25七下·河北雄安新区·月考)下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组，根据二元一次方程组的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程组的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、方程组含有三个未知数（、、），故不符合题意； B、方程组含有两个未知数（、），且每个方程均为一次方程，符合题意； C、第一个方程中的次数为2，不是一次方程，故不符合题意； D、第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不符合题意； 故选：B． 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A.方程组中第二个方程含，次数为，不是二元一次方程，不符合题意； B.方程组中第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； C.方程组中一共有个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D.方程组是二元一次方程组，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“二元一次方程组需满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键． 5．下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程组不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组中，方程不是整式方程，故原方程组不是二元一次方程组，不符合题意； C、方程组是二元一次方程组，符合题意； D、方程组中含有3个未知数，故原方程组不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 6．(22-23七下·江苏徐州沛县·期末)观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键． 7．((23-24七下二元一次方程（组）-·)若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 【答案】1 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 知识点四 二元一次方程组解的判断 1．下列哪组的值是方程组的解？ ①        ②        ③        ④ 【答案】③ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键；通过分别验证每组解代入二元一次方程组中，看方程组是否成立即可． 【详解】解：①把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ②把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ③把代入方程组得： ，， ∴是方程组的解； ④把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解． 2．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 3．((23-24七下·山东淄博张店区第九中学（五四学制）·月考)在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解．将代入各方程组，验证是否每个方程均成立，即可得出答案． 【详解】解：① 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； ② 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ③ 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ④ 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； 综上可知，解是的有①和④， 故选：C． 4．下列方程中，解为的二元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解．将代入方程，判断两边是否相等，相等则为方程的解． 【详解】解：A：∵， ∴不是方程的解； B：∵， ∴是该方程的解； C：∵， ∴不是方程的解； D：∵， ∴不是方程的解； 故选：B． 5．((23-24七下湖南邵阳绥宁县第一中学·)已知二元一次方程组的解为，请问方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组变形为，依此可得，从而求解． 【详解】解：方程组变形为， ∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得．   故选：B． 6．(23-24七下·[名校联盟]江苏金坛茅麓中学·)写出一个解是的二元一次方程组： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据题意写出两个解为的二元一次方程，并把这两个方程组成方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴符合题意的二元一次方程组可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 7．(24-25七下·湖北孝感孝南区·期末)0．写出一个解为的二元一次方程组为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 8．(24-25七下·江苏扬州邗江区·期末)1．已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是 ． 表 表2 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：由表可知，既是方程的解，又是方程的解， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 9．(24-25七下·四川乐山马边县·期中)2．写出一个以为解的二元一次方程组： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查构造二元一次方程组，根据二元一次方程组的解，进行构造即可． 【详解】解：由题意，可以构造的方程组为： ； 故答案为：（答案不唯一）． 知识点五 已知方程组的解求参数 1．((23-24七下·四川成都龙泉驿区·期中)已知方程组的解为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组解的定义及利用方程组的解求未知参数，解题的关键是理解方程组的解能使方程组中每个方程都成立，将解代入含未知参数的方程求解． 根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足其中每个方程，将代入含有的方程，得到关于的一元一次方程，求解该方程即可得到的值． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴该解满足方程， 将，代入 得：， 化简得：， 解得：， 故选：A． 2．(24-25七下·湖北襄阳第十二中学·月考)已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将代入方程组求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程组的一组解， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 3．小明在解关于的二元一次方程组时，解得，则△和★代表的数分别是(    ) A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，读懂题意准确计算是解题的关键．把代入①解得，把，代入②求解，即可得到答案． 【详解】解：， 把代入①得： ， ， ， 把，代入②得： ， 即和代表的数分别是，， 故选 ：D． 4．((23-24七下·黑龙江绥化望奎县·期末)已知是的解，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，求代数式的值， 先根据二元一次方程组的解求出a，b，再求出代数式的值即可. 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 所以. 故选：C. 5．(23-24七下·江西景德镇乐平·期末)方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解二元一次方程组的解的意义，代入法求解． 把代入先求出y，再代入求出■即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴代入, 得， 解得， 把代入， 得， ∴被■盖住的数分别是1，． 故选：A． 6若是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解．将代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．(25-26七·3.4第3课时用加减法解·)小亮在解方程组时，发现解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，其中★ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的未知数的值叫二元一次方程组的解． 将已知代入方程中，即可求解y的值． 【详解】解：把代入得：， 解得 故， 故答案为：． 知识点一 已知二元一次方程组求参数 1．((23-24七下·重庆/重庆/沙坪坝区·月考)已知是关于、的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义求出、的值后即可求解． 【详解】解：是关于、的二元一次方程， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程的定义，解一元一次方程，已知字母的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握二元一次方程的定义． 2．(24-25七下·北京昌平一中中滩学校·月考)若方程是关于的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据二元一次方程的定义，据此得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的二元一次方程， ∴， 解①得：， 解②得：， ∴， 故答案为：； 3．(23-24七下·四川南充高坪中学·期中)已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入方程组，得到关于的方程组，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 即：，解得：， ∴； 故答案为：． 4．(23-24七下·辽宁本溪第十二中学教育集团·期中)已知是方程组的解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】先根据方程组的解的定义，将已知解代入方程组，得到关于、的方程，进而求出、的值，最后代入计算．解题的关键在于利用方程组解的性质求出、．本题主要考查了方程组的解的定义以及求代数式的值．熟练掌握方程组的解是使方程组中每个方程都成立的未知数的值这一概念，能准确根据解求出、的值是解题的关键． 【详解】解：把代入方程组中， 得， 解得，得． 把，代入得 ． 故答案为：． 5．(24-25七下·浙江温州实验中学·期中)如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入方程中即可求出的值，继而求出被“”遮住的数． 【详解】解：把代入方程中，得， 把，代入方程中，得， 故答案为：． 6．(24-25七下·江苏徐州沛县五中联盟学区·期末)若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键．先把新方程组变形为：，再根据关于x，y的方程组的解是，由此可得：，进而得出答案． 【详解】解：把新方程组变形为：， 关于x，y的方程组的解是， ， 解得： 故答案为： 知识点二 新定义问题 1．(21-22七下·广东汕头濠江区·期末)已知都是实数，设点，且满足，我们称点为“梦之点”． (1)判断点是否为“梦之点”； (2)若点是“梦之点”，请判断点在第几象限，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)第三象限，理由见解析 【分析】（1）根据“梦之点”定义，结合点坐标列方程求出、，再验证是否成立． （2）依据“梦之点”定义，用表示、，代入列方程求出，得到点坐标，从而确定象限 ． 本题主要考查新定义“梦之点”与点的坐标、象限的综合应用，涉及方程求解，熟练掌握新定义的运用及通过方程确定未知数的值是解题关键． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ∴， ∴， ∴点是“梦之点”． （2）解：点在第三象限．理由如下： ∵点是“梦之点”， ∴， ∴， ∴代入有， 解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点在第三象限． 2．(24-25七下·江苏无锡宜兴外国语学校·月考)我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：(是正整数，且)，在的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定，，例如12可以分解成或，因为，所以是最佳分解，所以． (1)如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数，对任意一个完全平方数，总有_________； (2)一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新两位正整数，求证：新两位正整数与原来的两位正整数所得的差是9的倍数． (3)如果一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为45，那么我们称这个数为“吉祥数”，请直接写出满足条件的“吉祥数”中的值________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】本题考查因式分解的应用，整式的加减以及二元一次方程的解，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）如果一个正整数是另外一个正整数的平方，即，那么完全平方数的最佳分解为，因此， （2）设原两位数为，交换后的新两位数为．新两位数减去原两位数的差为： 因此，新两位数减去原两位数的差是的倍数． （3）设原两位数为，交换后的新两位数为．根据题意，有：化简得：即： 因此，满足条件的“吉祥数“为：，，，，进而求得． 【详解】（1）解：根据题意，如果一个正整数是完全平方数，那么可以表示为其中是一个正整数． 根据最佳分解的定义，的最佳分解为， 因此； 故答案为：． （2）证明：设一个两位正整数为，其中和都是正整数，且和的取值范围为，． 交换个位和十位上的数得到的新数为． 根据题意，新数与原数的差为 ． 因为和 都是正整数，且和的取值范围为，， 所以也是整数， 因此是的倍数． （3）解：设一个两位正整数为，其中和都是正整数， 且和的取值范围为，． 交换个位和十位上的数得到的新数为． 根据题意，新数减去原数等于， 即． 解得． 因此满足条件的吉祥数有，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：或或． 1．(23-24七下·福建厦门湖里中学·期中)阅读材料，完成下列问题： 材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如5353、3535都是“重叠数”． 材料二：将一位四位正整数M的百位和十位交换位置后得到四位数N，． (1)_______；_______； (2)试证明在意重叠数M的F（M）一定为10的倍数． (3)若一个“重叠数”），当t能被7整除时，求出满足条件的所有t值中，的最小值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】此题主要考查了新定义，整除问题，根据新定义表示要求的式子是解本题的关键． （1）直接利用新定义计算即可得出结论； （2）设任意“重叠数”的千位和十位数字为，百位和个位数字为，表示出即可； （3）把合并，再用、表示，最后计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：设任意“重叠数”的千位和十位数字为，百位和个位数字为， ， ， ， ∴任意重叠数的一定为 10 的倍数； （3）解：， ， ， 当能被 7 整除时，， ∴能被7整除， ∴能被7整除， ∴能被7整除， ∴， ，为整数， ∴时，，此时， 时，，此时， 时，，此时， 时，，此时， 综上所述，当能被7整除时，求出满足条件的所有值中，的最小值为． 2．((23-24七下·福建厦门槟榔中学·期中)若一个四位数，其千位数字的5倍与后三位组成的数的和称为的“知行数”，记为，m的“知行数”的百位数字的5倍与后两位组成的数的和称为的“合一数”，记为， 例如：1234的“知行数”为． 1234的“合一数”为， (1)直接写出结果：_____，_____； (2)若一个千位数字为6，百位数字为，十位数字为4，个位数字为的四位数的“知行数”与“合一数”之和能被33整除，求该四位数． 【答案】(1)573，98 (2)6942或6845或6748 【分析】本题考查了列代数式和整式的加减，解决本题的关键是根据题中的定义求出“知行数”和“合一数”. （1）根据“知行数”和“合一数”的定义计算解答即可； （2）这个四位数是，求出它的“知行数”和“合一数”，然后求出和，得到这个多项式是；根据题意得能被33整除，因为，，可得，即或，又由x、y为整数排除，因此，找出符合题意的x、y即可. 【详解】（1）解：， ， 故答案为：573，98． （2）解：由题意得， ∴， ， ∵四位数的“知行数”与“合一数”之和能被33整除， ∴ ， ∴能被33整除， ∵，， ∴， ∵x、y为整数， ∴或， ∴或， ∵为偶数，不可能为25， ∴， ∴， 此方程的整数解为，，， ∴或6845或6748． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $