第七章 概率（复习讲义）数学新教材苏科版八年级下册

第七章 认识概率（复习讲义） 1.理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义，能准确区分生活与数学情境中的三类事件，掌握确定事件（必然+不可能）与随机事件的核心差异。 2.理解随机事件发生的可能性有大有小，理解概率的本质是度量随机事件发生可能性大小的数值，掌握概率的表示方法（用P(A)表示事件A发生的概率）。 3.通过重复试验，理解频率与概率的联系与区别，掌握用频率估计概率的方法，感受大量重复试验下频率趋于稳定的统计规律。 知识点 重点归纳 常见易错点 事件的分类 1.在一定条件下,有些事件我们事先能确定它一定不会发生,这样的事件是不可能事件； 2．在一定条件下,有些事件我们事先能确定它一定会发生,这样的事件是必然事件； 3.在一定条件下,很多事件我们事先不能确定会不会发生,这样的事件是随机事件。 4.不可能事件与必然事件都属于确定性事件。 确定性事件包括不可能事件与必然事件两种，也就是说谁要试验前能确定结果的事件都是确定性事件。 概率 1.概率：把用于度量一个随机事件发生的可能性大小的数值,称为这个事件发生的概率；如果用字母A表示一个事件,那么P(A)表示事件A 发生的概率 . 2.通常规定,必然事件A 发生的概率是 1,记作 P(A) =1 ; 不可能事件A 发生的概率是 0 ,记作 P(A) =0 ; 随机事件A 发生的概率P(A)是 0 和 1 之间的数。 概率是表示一件事情发生可能性大小的一个数值，是一个比值，是没有单位的一个数值； 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，要牢记 频率与概率的关系 1.在多次重复试验中，事件发生的次数与总试验次数的比值。 2.在大量重复试验中,一个随机事件发生的频率在某一个常数附近摆动,并趋于稳定,我们把这种现象称为 频率的稳定性,并且用这个频率的稳定值作为该随机事件的概率 . 3.概率是对随机事件发生可能性大小的一种度量 .在大量重复试验中,随机事件发生的频率具有稳定性.实际生活中,能够进行大量重复试验的随机事件,可以通过频率估计概率 . 频率是一个试验数值，随着试验次数或者试验的条件不同而发生变化的，而当试验的次数达到一定程度时，频率会稳定在一个数值附近，这个数值就是概率，也就是说概率是一个理想化的结果。 题型一 随机事件的概念 【例1】下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】D 【分析】根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．太阳从东方升起一定发生，属于必然事件，A不符合题意； B．两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，B不符合题意； C．生肖共12种，13个人中一定至少有2人生肖相同，属于必然事件，C不符合题意； D．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，结果不确定，属于随机事件，D符合题意． 【变式1-1】下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为黑球 B．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为白球 C．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出1个球，恰有白球 D．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出2个球，恰有黑球 【答案】C 【分析】本题考查随机事件的定义，需依据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，对每个选项的事件类型进行判断． 【详解】解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， ∴对各选项逐一分析： A选项：袋子中只有黑球，随机摸出一个球必为黑球，属于必然事件，不符合题意； B选项：袋子中无白球，不可能摸出白球，属于不可能事件，不符合题意； C选项：袋子中有黑球和白球，随机摸出1个球，可能是白球也可能是黑球，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合题意； D选项：袋子中仅有1个白球，随机摸出2个球时，至少有1个黑球，即“恰有黑球”是一定发生的，属于必然事件，不符合题意； 故选：C 【变式1-2】下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类． 根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，判断各选项描述的事件类型即可． 【详解】解：A．旭日东升是必然会发生的自然现象，属于必然事件，不符合题意； B．萍水相逢指偶然相遇，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合题意； C．瓮中捉鳖是肯定能达成的事件，属于必然事件，不符合题意； D．天方夜谭指不可能发生的事情，属于不可能事件，不符合题意． 故选：B． 题型二 不可能事件的概念 【例2】下列事件中，属于不可能事件的（   ） A．抛掷一枚普通硬币出现正面向上 B．任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是0 C．做“剪刀、石头、布”的游戏，两人同时出相同的手势 D．从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、抛掷一枚普通硬币出现正面向上是随机事件，该选项不符合题意； B、任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是0是不可能事件，该选项符合题意； C、做“剪刀、石头、布”的游戏，两人同时出相同的手势是随机事件，该选项不符合题意； D、从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王是随机事件，该选项不符合题意． 故选：B． 【变式2-1】在下列事件中，不可能事件是（   ） A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B．任意画一个圆，它是轴对称图形 C．从只有红球的袋子中摸出黄球 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据不可能事件的定义，对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是可能发生的随机事件， 故A不符合题意； 任意画一个圆，它一定是轴对称图形，属于必然事件， 故B不符合题意； 袋子中只有红球，必然无法摸出黄球，该事件是不可能事件， 故C符合题意； 射击运动员射击一次，命中靶心是可能发生的随机事件， 故D不符合题意， 故选：C． 【变式2-2】下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．在一个装着白球和红球的袋中摸球，摸出红球 B．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 C．2026年除夕当天，绍兴的最高气温超过10℃ D．用长度为4cm，5cm，17cm的三根木棒作为三边搭一个三角形 【答案】D 【分析】本题考查不可能事件的定义，即一定条件下必然不会发生的事件，需结合各选项实际情况及相关知识判断．掌握不可能事件的定义是解题的关键． 【详解】解：A、袋中有白球和红球，摸出红球是有可能发生的，属于随机事件． B、受重力影响，抛掷的石块终将落下，属于必然事件． C、绍兴除夕最高气温超过10℃是有可能发生的，属于随机事件． D、根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边， ∵，，不满足三边关系， ∴用这三根木棒无法搭成三角形，该事件一定不会发生，属于不可能事件． 故选：D． 题型三 必然事件的概念 【例3】在一个不透明的盒子中装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外没有其他差别，现随机从盒子中摸出2个球，则下列事件属于必然事件的是（    ） A．摸出1个白球和1个黑球 B．摸出2个白球； C．至多摸出1个黑球 D．至少摸出1个黑球 【答案】D 【分析】本题主要考查必然事件的定义，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．结合盒子内球的数量，分析摸出2个球的所有可能情况来判断各事件类型即可． 【详解】解：∵盒子中装有1个白球和2个黑球，摸出2个球的所有可能为1白1黑、2黑 ∴A选项摸出1个白球和1个黑球是随机事件，不是必然事件； ∵盒子中仅有1个白球，无法摸出2个白球， ∴B选项摸出2个白球是不可能事件，不是必然事件； ∵存在摸出2个黑球的情况，此时摸出的黑球数量多于1个， ∴C选项至多摸出1个黑球是随机事件，不是必然事件； ∵摸出2个球时，最多只能有1个白球，因此至少会摸出1个黑球， ∴D选项至少摸出1个黑球是必然事件． 故选：D． 【变式3-1】下列事件是必然事件的是（    ） A．购买1张彩票，中奖 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．温度降到以下，纯净的水结冰 D．汽车累积行驶，从未出现故障 【答案】C 【分析】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、“购买1张彩票，中奖”是随机事件，故本选项不符合题意； B、“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件，故本选项不符合题意； C、“温度降到以下，纯净的水结冰”是必然事件，故本选项符合题意； D、“汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-2】下列事件： ①在一个标准大气压下，水加热到会沸腾；②篮球队员在罚球线上投篮一次，投中；③三角形中任意两边之和大于第三边；④经过有交通信号灯的路口，遇到红灯． 其中，必然事件有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查必然事件的定义、三角形三边的性质，需根据必然事件（一定发生的事件）的概念逐一判断每个事件的类型，统计必然事件的个数后选择对应选项即可． 【详解】∵必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件 ①在一个标准大气压下，水加热到会沸腾，这是符合规律的必然现象，属于必然事件； ②篮球队员在罚球线上投篮一次，投中，结果不确定，属于随机事件； ③三角形中任意两边之和大于第三边，这是三角形的基本性质，一定成立，属于必然事件； ④经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，结果不确定，属于随机事件； ∴必然事件有2个； 故选：C． 题型四 概率的意义的理解 【例4】某地的天气预报中说：“明天的降水概率是．”根据这个预报，下面第（    ） 种说法是正确的． A．明天这个地区的时间会下雨 B．明天这个地区的地方下雨 C．明天这个地区下雨的可能性不大 D．明天这个地区下雨的可能性是 【答案】D 【分析】本题考查降水概率的定义，降水概率表示某地区下雨的可能性大小，而非时间或区域的占比，据此判断各选项即可． 【详解】∵降水概率的含义是指某地区下雨的可能性大小． ∴选项中“的时间下雨”、选项中“的地方下雨”均错误． ∵的概率说明下雨可能性较大． ∴选项错误． ∵降水概率即表示明天该地区下雨的可能性是． ∴选项正确． 故选：D． 【变式4-1】下列说法正确的是（   ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C．一个事件发生的概率可能为200% D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 【答案】A 【分析】本题考查概率的基本概念，包括概率的含义、随机事件的独立性以及概率的取值范围．根据概率的意义进行解答即可． 【详解】解：∵ 概率表示事件发生的可能性，降水概率即指明天下雨的可能性是， ∴ A正确； ∵ 硬币抛掷是随机事件，出现反面的概率为，但实际次数不一定为50次， ∴ B错误； ∵ 概率的取值范围是到，不可能为， ∴ C错误； ∵ 彩票中奖是独立事件，中奖概率并不保证买100张一定中奖， ∴ D错误． 故选：A． 【变式4-2】盲盒，顾名思义，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶等，之所以叫盲盒，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己抽到了什么，具有随机性．这种诞生于日本的潮玩，最初名字叫 ，流行欧美后也开始被称作 ．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出6种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有百分之一的概率开出一种隐藏款玩偶，那么以下说法中正确的是（   ） A．若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买6个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买7个盲盒即可 C．若购买100个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 D．若购买8个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义逐一判断即可． 【详解】解：盲盒开出6种普通款的概率相同，开出隐藏款的概率为，所有抽取结果均为随机事件． 选项A：购买6个盲盒可能出现普通款重复的情况，无法保证集齐6种普通款，A错误； 选项B：购买7个盲盒可能出现重复的情况，无法保证集齐6种普通款，B错误； 选项C：是开出隐藏款的概率，购买100个盲盒是随机事件，并非必然会出现隐藏款，C错误； 选项D：共有6种普通款种隐藏款种不同玩偶，根据抽屉原理，将8个盲盒的结果归入7种类别中，，肯定会重复出现某款玩偶，D正确； 故选：D． 题型五 可能性大小的比较 【例5】下列事例中，可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．枯木生花 C．水中捞月 D．夕阳西下 【答案】C 【分析】本题考查对成语含义的理解及事件可能性的判断． 瓜熟蒂落和夕阳西下是自然规律，可能性高；枯木生花是随机事件，但水中捞月直接表示不可能，因此可能性最小． 【详解】解： A、瓜熟蒂落是必然事件，可能性大，不符合题意； B、枯木生花是随机事件，发生的可能性极小，不符合题意； C、水中捞月是不可能事件，可能性为零，符合题意； D、夕阳西下是必然事件，可能性大，不符合题意； 通过比较可得：可能性最小的是C． 故选：C． 【变式5-1】黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 【答案】D 【分析】本题主要考查可能性的大小．根据各种月饼数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种月饼的数量越多，拿出的可能性就越大． 【详解】解：由题意得，所有事件可能的结果数是， ∵豆沙月饼有4个，数量最多， ∴拿出的可能性最大的是豆沙月饼， 故选：D． 【变式5-2】从一副扑克牌中取出下面四张，将其背面朝上，然后从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是（   ） A．2 B．5 C．9 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据可能性大小的意义求解． 【详解】解：一副扑克牌中取出下面四张，9，2，5，5， 其中5有两张，9，2各一张， 从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是5， 故选：B． 题型六 用频率估计概率 【例6】学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（   ）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 【答案】C 【详解】解：∵随着累计抛掷次数增大，针尖朝上的频率在附近波动（精确到）， ∴估计“针尖朝上”的概率接近于，故C选项符合． 【变式6-1】如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近波动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，关键是大量反复试验下频率稳定值即概率；结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是． 故选：B． 【变式6-2】2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为_____．（精确到0.01） 【答案】0.50 【分析】本题考查了用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握在大量重复试验下，频率趋近于概率的规律 当试验次数很大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，由此计算即可． 【详解】解：根据试验获得的数据可知，随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.50左右， ∴可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为0.50 ． 故答案为：0.50 ． 基础巩固通关测 一、选择题 1．下列说法错误的是（   ） A．“任意画一个圆，它是中心对称图形”这一事件是必然事件 B．“一个实数的平方是负数”这一事件是不可能事件 C．“同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天”这一事件是随机事件 D．“在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾”这一事件是必然事件 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据各事件的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：圆是中心对称图形，任意画一个圆都满足这一性质，该事件是必然事件，故该选项不合题意； B：任意实数的平方都是非负数，不可能为负数，该事件是不可能事件，故该选项不合题意； C：一年最多有366天（闰年），367名学生中至少有两人生日在同一天是一定会发生的，该事件是必然事件，故该选项符合题意； D：在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾，该事件是必然事件，故该选项不合题意． 故选：C． 2．下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类． 根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，判断各选项描述的事件类型即可． 【详解】解：A．旭日东升是必然会发生的自然现象，属于必然事件，不符合题意； B．萍水相逢指偶然相遇，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合题意； C．瓮中捉鳖是肯定能达成的事件，属于必然事件，不符合题意； D．天方夜谭指不可能发生的事情，属于不可能事件，不符合题意． 故选：B． 3．若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．极大概率事件 D．极小概率事件 【答案】C 【分析】本题考查了事件的判断，理解题意是解决本题的关键． 根据地球表面人类居住面积占比极小的事实，陨石砸中人的概率极低，则“陨石没有砸中人”的概率极高，属于极大概率事件． 【详解】解：∵地球表面无人居住区域占绝大多数， ∴陨石砸中人的概率极小， ∴事件“陨石没有砸中人”是极大概率事件． 故选C． 4．一个不透明的盒子内装有个红球，个白球，它们除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，下列说法正确的是（   ）． A．一定摸到红球 B．一定摸到白球 C．摸到白球比摸到红球的可能性大 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类以及判断事件发生的可能性大小．熟练掌握事件的分类是解题的关键．根据事件的分类以及事件发生的可能性大小逐一进行判断即可． 【详解】解：A，因为盒子内装有个红球，个白球，不一定摸到红球，故不符合题意； B，因为盒子内装有个红球，个白球，不一定摸到白球，故不符合题意； C，因为摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，所以摸到白球比摸到红球的可能性大，故符合题意； D，因为摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，所以摸到白球比摸到红球的可能性大，故不符合题意； 故选：C． 5．掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（    ） A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件的可能性，掌握随机事件的结果具有不确定性，可能出现多种情况是解题的关键． 掷一枚质地均匀的硬币，每次结果是随机的，正面向上的次数可在0到10之间任意取值，据此判断每个选项中说法的确定性或可能性是否正确． 【详解】解：A、每2次必有1次正面向上，掷硬币结果随机，可能连续反面，故错误，不符合题意； B、可能有5次正面向上，正面向上次数可在0到10之间任意取值，5次是其中一种可能，故正确，符合题意； C、必有5次正面向上，正面次数是随机的，不一定恰好为5次，故错误，不符合题意； D、不可能有10次正面向上，虽然概率低，但掷硬币结果是随机的，10次正面向上有发生的可能，故错误，不符合题意． 故选：B． 6．下列说法正确的是（　　） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类与概率的意义，根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，结合概率的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A、中奖率为的奖券10张，仍有可能不中奖，“中奖”是随机事件，不是必然事件，故该选项不符合题意； B、200件产品中只有5件次品，任意抽取6件，最多有5件次品，因此至少1件正品一定发生，是必然事件，不是不可能事件，故该选项不符合题意； C、汽车累计行驶，可能从未出现故障，也可能出现故障，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故该选项符合题意； D、明天降水概率为，指明天降水的可能性为，不是的时间下雨，故该选项不符合题意； 故选：C 7．下列表述正确的是（    ） A．如果某一彩票的中奖概率是 ，那么买1000 张彩票就一定能中奖 B．购买一张彩票就中奖，是随机事件 C．已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在陆地上”比“落在海洋里”可能性更大 D．同学们都知道“石头、剪刀、布”的游戏，如果两个人做这种游戏，随机出手一次，两人获胜的概率不同 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义，事件的分类． 根据概率的意义，随机事件的定义判断即可． 【详解】解：选项A：中奖概率为，买1000张彩票不一定中奖，因为每次购买都是独立随机事件，A错误； 选项B：购买一张彩票中奖是不确定事件，属于随机事件，B正确； 选项C：陆地与海洋面积比为，故陨石落在陆地的概率为，陨石落在海洋的概率为，陨石落在海洋可能性更大，C错误； 选项D：“石头、剪刀、布”游戏中，两人随机出手，获胜概率均为，相等，D错误． 故选：B． 8．下列说法正确的是（   ） A．“通常加热到时，水沸腾”是随机事件 B．重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为．在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上 D．小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为．在接下来的投篮练习中，小东10次投篮可能投中3次 【答案】D 【分析】本题考查概率与事件的概念，A选项为必然事件，B选项频率与概率不符，C选项忽略独立性，D选项符合概率的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： A、水在标准大气压下加热到必然沸腾，是必然事件，不是随机事件，故A错误； B、盖面向上的频率为，但估计概率为，与频率不符，故B错误； C、抛掷硬币每次独立，第四次结果不确定，不一定是正面朝上，故C错误； D、概率0.4表示每次投篮投中的可能性，10次投篮可能投中3次，符合概率的随机性，故D正确； 故选：D． 9．在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，已知个球中有4个红球，若将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率如图所示，则的值约为（    ） A．20 B．16 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题利用了大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的概率计算公式列出方程．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，从而估计出概率，再根据概率公式列出方程求解． 【详解】解：由题意可得 ， 解得，． 经检验，是原方程的解， ∴的值约为16． 故选：B． 10．年世界羽联世界巡回赛总决赛于月日至日，在杭州奥体中心体育馆举行．赛事组对羽毛球进行抽检，统计合格羽毛球的个数，得到合格羽毛球的频数表如下： 抽取个数（个） 合格频数 合格频率 根据频率的稳定性，估计抽取个羽毛球合格的数量大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，理解频率的稳定性是解题关键． 据表可知随着抽取数量的增加，合格频率稳定在某个数值附近，该数值可作为合格概率，用总数量乘以合格概率可得到合格数量． 【详解】解：∵由表格可知，当抽取个数逐渐增大时，合格频率稳定在附近， ∴估计合格羽毛球的概率为， ∴抽取个羽毛球合格的数量大约是（个）． 故选：． 二、填空题 11．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【答案】随机 【分析】根据事件的分类方法，进行判断即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，得到的点数是奇数，可能发生也可能不发生，是随机事件． 12．把正面分别写有，，，，，的张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到的可能性最大的数字是____________． 【答案】 【分析】本题考查了可能性的大小判断，关键在于比较各数字在卡片中出现的次数，次数最多的数字被摸到的可能性最大．由题可知张卡片中，数字出现次，数字出现次，数字出现次，故摸到数字的可能性最大，据此即可解答． 【详解】解：卡片上的数字分别为，，，，，，其中数字出现次，数字出现次，数字出现次，因此数字出现的次数最多，故摸到数字的可能性最大，故答案为：． 13．小明在纸上写出数学期末考试日期的一组数字“20250105”，则这组数字中出现0的频率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数与频率之间的关系是解答本题的关键． 根据频率频数总次数，进行计算，得到答案． 【详解】解：序列“20250105”包含数字：2，0，2，5，0，1，0，5，共8个数字．其中“0”出现3次， 因此频率为． 故答案为． 14．在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近______．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了从图像获取信息． 根据概率曲线图作答即可． 【详解】解：由概率曲线图可知，40人时对应的概率为． 故答案为：． 15．赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为________．（结果精确到） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近．观察表格数据，喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值（频率）在附近波动，并趋于稳定，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：由表可知，当累计抽测学生数时，喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值为，且其他数值如、400、600时比值均为，表明频率稳定在附近，因此估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为． 故答案为：． 16．掷一枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，下列事件：①向上一面的点数为正数；②向上一面的点数是3的倍数；③向上一面的点数是偶数；④向上一面的点数是两位数．其中按发生的可能性从小到大的顺序排列为________________（填序号）． 【答案】④②③① 【分析】本题考查了概率的计算与可能性大小的比较，掌握计算各事件的概率，再根据概率大小判断可能性大小是解题的关键． 计算各事件发生的概率，比较大小即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，每个面出现的概率均为． 事件①：向上一面的点数为正数，是必然事件，概率为1； 事件②：向上一面的点数是3的倍数，有2种可能（点数为3和6），概率为； 事件③：向上一面的点数是偶数，有3种可能（点数为2，4，6），概率为； 事件④：向上一面的点数是两位数，不可能事件，概率为0． 因此，概率从小到大为0，，，1，对应事件顺序为④，②，③，①． 故答案为：④②③①． 三、解答题 17．请你根据下列要求，分别设计一个摸球游戏： (1)任意摸出1个球是黄球是不可能事件． (2)任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． (3)任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件：必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件；不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，掌握其定义是解题的关键． （1）根据不可能事件的含义设计游戏即可； （2）根据必然事件的含义设计游戏即可； （3）根据随机事件的含义设计游戏即可； 【详解】（1）解：在一个不透明的口袋中装有4个白球和2个黑球，每个球除颜色外其他全部相同，从中任意摸出1个球是黄球是不可能事件．（答案不唯一） （2）解：在一个不透明的口袋中装有1个黄球和1个白球，每个球除颜色外其他全部相同，任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． （3）解：在一个不透明的口袋中装有4个黄球和2个白球，任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件．（答案不唯一） 18．（1）图①是一个飞镖靶，其中最里面的圆内部是分区，中间的圆环是分区，最外面的圆环是分区（由小到大三个圆半径的比是）．向飞镖靶掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得几分的可能性最大？得几分的可能性最小？为什么？ （2）请设计一个不同于图①的飞镖靶，靶上有个得分区域，分别是分、分、分．要求任意掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得分的可能性最小，得分的可能性最大（要求设计两种方案，画在图②和图③上）． 【答案】（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小．因为分所在的圆环面积最大，分所在的圆面积最小．（2）见解析 【分析】本题考查了可能性的大小，解题的关键是数形结合． （1）设三个圆的半径分别为、、，分别求出三个分区的面积，再比较面积的大小，即可求解； （2）只要保证分的区域面积最小，分的区域面积最大即可． 【详解】解：（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小，理由如下： 由小到大三个圆半径的比是， 设三个圆的半径分别为、、， 分区的面积为， 分区的面积为：， 分区的面积为：， ， 得分的可能性最大，得分的可能性最小； （2）如图即为所求． 19．为促进学生全面有个性的发展，某校开设了内容丰富的社团活动，如“三味蔬屋”“鲁班传人”“花式编织”等，大受同学们的欢迎，李亮参加了“三味蔬屋”社团，该社团准备种植一批油麦菜，他与社团几个成员经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 80 120 200 300 400 500 600 发芽种子数量（粒） 74 112 189 284 380 474 571 种子发芽率（精确到） (1)根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到． (2)社团成员在农场播种2000粒该批油麦菜种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 【答案】(1) (2)大约能有1900粒种子发芽 【分析】本题考查了，用频率估计概率，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近，由此即可得解； （2）用2000乘以①中得到的发芽率即可得解． 【详解】（1）解：根据表中数据，当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近， 所以估计这批油麦菜种子的发芽率为； （2）解：（粒）， 故大约能有粒种子发芽． 20．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有______个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是______（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【答案】(1)0.25 (2)5 (3)①④ 【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． （1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数=球的总数×得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在0.67附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为0.67者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25； 故答案为：0.25； （2）解：根据题意得：（个）， 所以，盒子里白球有5个； （3）解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． 能力提升进阶练 一、选择题 1．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 B．多边形的外角和为 C．太阳从东边升起 D．在一个装满红球的袋中，摸出黑球 【答案】A 【分析】根据定义，必然事件是一定条件下一定发生的事件，不可能事件是一定条件下一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．任意抛一枚均匀的硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，该事件可能发生也可能不发生，是随机事件，符合题意； B．任意多边形的外角和为，是必然事件，不符合题意； C．太阳从东边升起是一定发生的，是必然事件，不符合题意； D．在装满红球的袋中摸出黑球是一定不会发生的，是不可能事件，不符合题意． 2．下列事件中，属于不可能事件的（   ） A．抛掷一枚普通硬币出现正面向上 B．任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是0 C．做“剪刀、石头、布”的游戏，两人同时出相同的手势 D．从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、抛掷一枚普通硬币出现正面向上是随机事件，该选项不符合题意； B、任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是0是不可能事件，该选项符合题意； C、做“剪刀、石头、布”的游戏，两人同时出相同的手势是随机事件，该选项不符合题意； D、从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王是随机事件，该选项不符合题意． 故选：B． 3．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件和概率公式，分别根据随机事件的定义和概率公式逐一判断即可．正确运用概率公式计算是解题的关键． 【详解】解：A、小明爸爸遇到红灯是随机事件，故不符合题意； B、小明爸爸遇到黄灯是随机事件，故不符合题意； C、小明爸爸遇到黄灯的概率最小，故符合题意； D、小明爸爸遇到红灯的概率小于他遇到绿灯的概率，故不符合题意； 故选：C． 4．彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【分析】根据等可能事件的意义解答即可． 【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 5．下列说法正确的是（   ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C．一个事件发生的概率可能为200% D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 【答案】A 【分析】本题考查概率的基本概念，包括概率的含义、随机事件的独立性以及概率的取值范围．根据概率的意义进行解答即可． 【详解】解：∵ 概率表示事件发生的可能性，降水概率即指明天下雨的可能性是， ∴ A正确； ∵ 硬币抛掷是随机事件，出现反面的概率为，但实际次数不一定为50次， ∴ B错误； ∵ 概率的取值范围是到，不可能为， ∴ C错误； ∵ 彩票中奖是独立事件，中奖概率并不保证买100张一定中奖， ∴ D错误． 故选：A． 6．一个布袋中装有7个红球，2个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，被摸到的可能性最大的球是（    ） A．红球 B．黑球 C．白球 D．黄球 【答案】A 【分析】根据布袋哪个颜色的球最多即可判断． 【详解】解：∵红球最多， ∴被摸到的可能性最大． 故选：A． 7．投掷一枚硬币次，“正面朝上”的有次，则“正面朝上”的频率为（　　） A．54 B．46 C．0.54 D．0.46 【答案】D 【分析】本题主要考查了求频率，根据频率等于频数除以总数进行求解即可． 由频率是频数与总次数的比值，代入求值即可． 【详解】解：∵总投掷次数为100次，“正面朝上”频数为46次， ∴频率为， 故选D． 8．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 9．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图所示为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机投点，经过大量重复试验发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 10．数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球，和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（    ） A．黑球 B．白球 C．黄球 D．红球 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解，掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有： （个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 黄球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在左右， ∴该种球的颜色最有可能是黄球， 故选：C． 二、填空题 11．“打开电视机，正在播放新闻”是____________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 【答案】随机 【分析】本题考查了随机事件，正确理解随机事件的意义是解题的关键． 根据事件的定义，打开电视机时正在播放新闻可能发生也可能不发生，因此是随机事件． 【详解】解：随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．“打开电视机，正在播放新闻”有可能发生，也有可能不发生，因为电视机可能播放新闻或其他节目，所以这是一个随机事件． 故答案为：随机． 12．袋子里有15个红球和20个白球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出______球的可能性大． 【答案】 白 【分析】本题主要考查了可能性的大小，根据数量多则可能性大，即可解答． 【详解】解：袋中有红球15个，白球20个， ∵， ∴摸出白球的可能性大． 故答案为：白． 13．抛掷一枚质地均匀的硬币，前面100次抛掷有53次正面朝上，第101次抛掷正面朝上的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了概率的定义．根据概率的意义可知，每一次正面朝上的概率都为，据此即可求解． 【详解】解：每一次正面朝上的概率都为， 第101次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是． 故答案为：． 14．在一个不透明的袋中，只有白、红颜色的球，这些球除颜色外完全相同，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则随机摸出一个白球的概率是______． 【答案】 【分析】因为所有事件的概率之和为，所以随机摸白球的概率为减去摸红球的概率即可． 【详解】∵随机摸红球的概率为； ∴随机摸出一个白球的概率为：； 故答案为：． 15．八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 16．某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖．活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验、将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 投中的次数 12 27 49 60 70 88 250 510 1000 2500 投中的频率 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为___________．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据大量重复试验中频率稳定于概率的原理，取投掷次数较大时的稳定频率作为概率的估计值． 本题考查了频率估计概率，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：由频率分布表可知，当投掷次数较大时，如，频率为；，频率为；，频率为；，频率为， 投中的频率稳定在附近， 因此估计投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为． 故答案为：． 三、解答题 17．在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． (1)当n为何值时，这个事件不可能发生？ (2)当n为何值时，这个事件必然发生？ 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】本题考查了事件的分类，理解必然事件的定义是解题的关键． （1）这个事件不可能发生，摸球数小于个，即可求解； （2）这个事件必然发生，摸球数大于个，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 当或时，不可能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件不可能发生； （2）解：由题意得 当或或时，一定能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件必然发生． 18．盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸到一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出摸球方案： (1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； (3)“摸到两个黄球”是随机事件； (4)“摸到两个黄球”是确定事件． 【答案】(1)盒中装有红球2个、黄球8个（答案不唯一）； (2)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）； (3)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）； (4)盒中装有红球9个、黄球1个（答案不唯一）． 【分析】（1）要使“摸出的3个球都是红球”是不可能事件，只要盒子中的红球数不足3个即可； （2）要使“摸出红球”是必然事件，只要盒子中的黄球数最多为2个，则摸三次，必然会摸到红球； （3）要使“摸出2个黄球”是随机事件，即可能摸出2个黄球，也可能摸不出2个黄球，则黄球最少有2个，才能保证摸出2个黄球，但是最多有8个，否则一定可以摸出2个黄球； （4）确定事件包含不可能事件和必然事件，要使“摸出2个黄球”是必然事件，即一定可以摸出2个黄球，要使“摸出2个黄球”是不可能事件，即一定摸不出2个黄球． 【详解】（1）解：盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件； （2）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件； （3）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件； （4）解：盒中装有红球9个、黄球1个，则“摸到两个黄球”是不可能事件，属于确定事件． 19．某工厂接到一批8000块电池的订单量，在电池生产的过程中，质检员会在一段时间内先后对多个批次的电池进行抽检，目的是估计电池的合格率，及时调整生产的数量和进度，满足客户需求．下表是质检员对某一批电池抽检过程中的数据统计． 抽检电池的数量m 1000 1500 2000 2500 3000 3500 合格电池的数量n 982 1464 1956 2452 2940 3430 电池合格率 0.982 0.976 0.978 0.981 0.980 0.980 (1)根据表格数据，估计该工厂生产电池的合格率约为多少（精确到0.01）？ (2)结合你的估计，帮助工厂计算，至少需要生产多少块电池才能完成这批订单？ 【答案】(1)0.98 (2)8164块 【分析】（1）解题思路是观察抽检数据中电池合格率的变化，取其稳定的数值作为这批电池的合格率估计值； （2）解题思路是用订单所需的合格电池数量除以估计的合格率，得到需要生产的电池数量． 【详解】（1）解：观察表格中电池合格率的数据，随着抽检数量增加，合格率逐渐稳定在0.98附近， 故估计这一批电池的合格率约为0.98． （2）解：设至少需要生产块电池， 则应满足， 解得 ， 由于电池数量需为整数， 故至少取8164． 20．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了 名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 【答案】(1) (2)补全条形统计图，见解析；阅读部分圆心角是 (3) 【分析】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息． （1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【详解】（1）爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 故答案为：100； （2）∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示，    阅读部分圆心角是， 故答案为：； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比为， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 认识概率（复习讲义） 1.理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义，能准确区分生活与数学情境中的三类事件，掌握确定事件（必然+不可能）与随机事件的核心差异。 2.理解随机事件发生的可能性有大有小，理解概率的本质是度量随机事件发生可能性大小的数值，掌握概率的表示方法（用P(A)表示事件A发生的概率）。 3.通过重复试验，理解频率与概率的联系与区别，掌握用频率估计概率的方法，感受大量重复试验下频率趋于稳定的统计规律。 知识点 重点归纳 常见易错点 事件的分类 1.在一定条件下,有些事件我们事先能确定它一定 ,这 样的事件是不可能事件； 2．在一定条件下,有些事件我们事先能确定它一定 ,这样 的事件是必然事件； 3.在一定条件下,很多事件我们事先 ,这 样的事件是随机事件。 4. 与 都属于确定性事件。 确定性事件包括不可能事件与必然事件两种，也就是说谁要试验前能确定结果的事件都是确定性事件。 概率 1.概率：把用于度量一个 发生的可能性大小的数值,称为这个事件发生的概率；如果用字母A表示一个事件,那么 表示事件A 发生的概率 . 2.通常规定,必然事件A 发生的概率是 ,记作 ; 不可能事件A 发生的概率是 ,记作 ; 随机事件A 发生的概率P(A)是 和 之间的数。 概率是表示一件事情发生可能性大小的一个数值，是一个比值，是没有单位的一个数值； 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，要牢记 频率与概率的关系 1.在多次重复试验中， 与 的比值。 2.在大量重复试验中,一个随机事件发生的频率在某一个常数附近摆动,并趋于 ,我们把这种现象称为 ,并且用这个频率的稳定值作为该随机事件的 . 3.概率是对随机事件发生 的一种度量 .在大量 试验中,随机事件发生的频率具有 .实际生活中,能够进行大量重复试验的随机事件,可以通过 估计概率 . 频率是一个试验数值，随着试验次数或者试验的条件不同而发生变化的，而当试验的次数达到一定程度时，频率会稳定在一个数值附近，这个数值就是概率，也就是说概率是一个理想化的结果。 题型一 随机事件的概念 【例1】下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【变式1-1】下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为黑球 B．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为白球 C．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出1个球，恰有白球 D．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出2个球，恰有黑球 【变式1-2】下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 题型二 不可能事件的概念 【例2】下列事件中，属于不可能事件的（   ） A．抛掷一枚普通硬币出现正面向上 B．任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是0 C．做“剪刀、石头、布”的游戏，两人同时出相同的手势 D．从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王 【变式2-1】在下列事件中，不可能事件是（   ） A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B．任意画一个圆，它是轴对称图形 C．从只有红球的袋子中摸出黄球 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【变式2-2】下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．在一个装着白球和红球的袋中摸球，摸出红球 B．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 C．2026年除夕当天，绍兴的最高气温超过10℃ D．用长度为4cm，5cm，17cm的三根木棒作为三边搭一个三角形 题型三 必然事件的概念 【例3】在一个不透明的盒子中装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外没有其他差别，现随机从盒子中摸出2个球，则下列事件属于必然事件的是（    ） A．摸出1个白球和1个黑球 B．摸出2个白球； C．至多摸出1个黑球 D．至少摸出1个黑球 【变式3-1】下列事件是必然事件的是（    ） A．购买1张彩票，中奖 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．温度降到以下，纯净的水结冰 D．汽车累积行驶，从未出现故障 【变式3-2】下列事件： ①在一个标准大气压下，水加热到会沸腾；②篮球队员在罚球线上投篮一次，投中；③三角形中任意两边之和大于第三边；④经过有交通信号灯的路口，遇到红灯． 其中，必然事件有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型四 概率的意义的理解 【例4】某地的天气预报中说：“明天的降水概率是．”根据这个预报，下面第（    ） 种说法是正确的． A．明天这个地区的时间会下雨 B．明天这个地区的地方下雨 C．明天这个地区下雨的可能性不大 D．明天这个地区下雨的可能性是 【变式4-1】下列说法正确的是（   ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C．一个事件发生的概率可能为200% D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 【变式4-2】盲盒，顾名思义，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶等，之所以叫盲盒，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己抽到了什么，具有随机性．这种诞生于日本的潮玩，最初名字叫 ，流行欧美后也开始被称作 ．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出6种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有百分之一的概率开出一种隐藏款玩偶，那么以下说法中正确的是（   ） A．若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买6个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买7个盲盒即可 C．若购买100个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 D．若购买8个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 题型五 可能性大小的比较 【例5】下列事例中，可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．枯木生花 C．水中捞月 D．夕阳西下 【变式5-1】黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 【变式5-2】从一副扑克牌中取出下面四张，将其背面朝上，然后从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是（   ） A．2 B．5 C．9 D．无法确定 题型六 用频率估计概率 【例6】学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（   ）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 【变式6-1】如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近波动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为_____．（精确到0.01） 基础巩固通关测 一、选择题 1．下列说法错误的是（   ） A．“任意画一个圆，它是中心对称图形”这一事件是必然事件 B．“一个实数的平方是负数”这一事件是不可能事件 C．“同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天”这一事件是随机事件 D．“在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾”这一事件是必然事件 2．下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 3．若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．极大概率事件 D．极小概率事件 4．一个不透明的盒子内装有个红球，个白球，它们除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，下列说法正确的是（   ）． A．一定摸到红球 B．一定摸到白球 C．摸到白球比摸到红球的可能性大 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 5．掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（    ） A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上 6．下列说法正确的是（　　） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 7．下列表述正确的是（    ） A．如果某一彩票的中奖概率是 ，那么买1000 张彩票就一定能中奖 B．购买一张彩票就中奖，是随机事件 C．已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在陆地上”比“落在海洋里”可能性更大 D．同学们都知道“石头、剪刀、布”的游戏，如果两个人做这种游戏，随机出手一次，两人获胜的概率不同 8．下列说法正确的是（   ） A．“通常加热到时，水沸腾”是随机事件 B．重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为．在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上 D．小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为．在接下来的投篮练习中，小东10次投篮可能投中3次 9．在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，已知个球中有4个红球，若将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率如图所示，则的值约为（    ） A．20 B．16 C．10 D．8 10．年世界羽联世界巡回赛总决赛于月日至日，在杭州奥体中心体育馆举行．赛事组对羽毛球进行抽检，统计合格羽毛球的个数，得到合格羽毛球的频数表如下： 抽取个数（个） 合格频数 合格频率 根据频率的稳定性，估计抽取个羽毛球合格的数量大约是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 12．把正面分别写有，，，，，的张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到的可能性最大的数字是____________． 13．小明在纸上写出数学期末考试日期的一组数字“20250105”，则这组数字中出现0的频率是_____． 14．在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近______．（精确到） 15．赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为________．（结果精确到） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值 16．掷一枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，下列事件：①向上一面的点数为正数；②向上一面的点数是3的倍数；③向上一面的点数是偶数；④向上一面的点数是两位数．其中按发生的可能性从小到大的顺序排列为________________（填序号）． 三、解答题 17．请你根据下列要求，分别设计一个摸球游戏： (1)任意摸出1个球是黄球是不可能事件． (2)任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． (3)任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件． 18．（1）图①是一个飞镖靶，其中最里面的圆内部是分区，中间的圆环是分区，最外面的圆环是分区（由小到大三个圆半径的比是）．向飞镖靶掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得几分的可能性最大？得几分的可能性最小？为什么？ （2）请设计一个不同于图①的飞镖靶，靶上有个得分区域，分别是分、分、分．要求任意掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得分的可能性最小，得分的可能性最大（要求设计两种方案，画在图②和图③上）． 19．为促进学生全面有个性的发展，某校开设了内容丰富的社团活动，如“三味蔬屋”“鲁班传人”“花式编织”等，大受同学们的欢迎，李亮参加了“三味蔬屋”社团，该社团准备种植一批油麦菜，他与社团几个成员经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 80 120 200 300 400 500 600 发芽种子数量（粒） 74 112 189 284 380 474 571 种子发芽率（精确到） (1)根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到． (2)社团成员在农场播种2000粒该批油麦菜种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 20．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有______个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是______（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 能力提升进阶练 一、选择题 1．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 B．多边形的外角和为 C．太阳从东边升起 D．在一个装满红球的袋中，摸出黑球 2．下列事件中，属于不可能事件的（   ） A．抛掷一枚普通硬币出现正面向上 B．任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是0 C．做“剪刀、石头、布”的游戏，两人同时出相同的手势 D．从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王 3．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 4．彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 5．下列说法正确的是（   ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C．一个事件发生的概率可能为200% D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 6．一个布袋中装有7个红球，2个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，被摸到的可能性最大的球是（    ） A．红球 B．黑球 C．白球 D．黄球 7．投掷一枚硬币次，“正面朝上”的有次，则“正面朝上”的频率为（　　） A．54 B．46 C．0.54 D．0.46 8．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 9．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图所示为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机投点，经过大量重复试验发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A． B． C． D． 10．数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球，和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（    ） A．黑球 B．白球 C．黄球 D．红球 二、填空题 11．“打开电视机，正在播放新闻”是____________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 12．袋子里有15个红球和20个白球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出______球的可能性大． 13．抛掷一枚质地均匀的硬币，前面100次抛掷有53次正面朝上，第101次抛掷正面朝上的概率是______． 14．在一个不透明的袋中，只有白、红颜色的球，这些球除颜色外完全相同，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则随机摸出一个白球的概率是______． 15．八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 16．某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖．活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验、将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 投中的次数 12 27 49 60 70 88 250 510 1000 2500 投中的频率 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为___________．（结果精确到） 三、解答题 17．在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． (1)当n为何值时，这个事件不可能发生？ (2)当n为何值时，这个事件必然发生？ 18．盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸到一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出摸球方案： (1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； (3)“摸到两个黄球”是随机事件； (4)“摸到两个黄球”是确定事件． 19．某工厂接到一批8000块电池的订单量，在电池生产的过程中，质检员会在一段时间内先后对多个批次的电池进行抽检，目的是估计电池的合格率，及时调整生产的数量和进度，满足客户需求．下表是质检员对某一批电池抽检过程中的数据统计． 抽检电池的数量m 1000 1500 2000 2500 3000 3500 合格电池的数量n 982 1464 1956 2452 2940 3430 电池合格率 0.982 0.976 0.978 0.981 0.980 0.980 (1)根据表格数据，估计该工厂生产电池的合格率约为多少（精确到0.01）？ (2)结合你的估计，帮助工厂计算，至少需要生产多少块电池才能完成这批订单？ 20．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了 名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $