第五章 导数与函数的极值、最值讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦高二选修“导数与函数的极值、最值”核心知识点，系统梳理极值定义（极小值点、极大值点）、求法步骤（定义域分析、导数求解、列表判断单调性）及最值求法（极值与端点值比较），构建从概念到方法再到应用的完整学习支架。 资料通过四类题型（极值与最值关系、求解、参数问题、综合应用）设计，结合例题与变式题培养数学思维（逻辑推理）和数学语言（符号表达），课中辅助教师分层教学，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 高二选修 第5章导数及其应用 (三)导数与函数的极值、最值 知识梳理 知识点1：函数极值的定义 1,极小值点与极小值 若函数y=x)在点x=a的函数值孔a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，(a=0,而且在点x=a 附近的左侧fx)<Q,右侧fx≥Q,就把α叫做函数y三fx)的极小值点，a叫做函数y=x)的极小值. 2.极大值点与极大值 若函数y=x)在点x=b的函数值b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，b)=Q,而且在点x=b 附近的左侧f≥Q,右侧fx≤Q,就把b叫做函数y=x)的极大值点，b叫做函数y=x)的极大值. 3,极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值， 知识点2：函数极值的求法与步骤 1.求函数y=fx)的极值的方法 解方程x=0,当xo)=0时， (I)如果在o附近的左侧>0，右侧1<0，那么是极大值，记作y极大值=f（x0)； (2)如果在附近的左侧0，右侧@>0，那么)是极小值，记作Y极小值=f(x】。 2,求可导函数fx)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f(x): (2)求方程x)=0的根； (3)列表： (4)利用fx)与x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 知识点3：函数最值 一般地，如果在闭区间 上函数少=f() a,b] 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与 最小值. 第1页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 求函数的最大值与最小值的步骤： (1)求函数在(a,b)内的极值： (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b): (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 题型分析 题型一：函数的最值与极值的关系 例1.函数”=刊的导函数'=川的图象如图所示，则() A.-3是函数”=f八的极大值点 B.y在区间-3，上单调递增 3210 C.-1是函数》=的最小值点 D.y=f八在x=0处切线的斜率小于零 变式1.设函数x)在定义域R上可导，其导函数为f(x),若函数y=(1一x)fx)的图象如图所示，则下列结 论中一定成立的是() A.函数x)有极大值2)和极小值1) B.函数x)有极大值（一2）和极小值1) C.函数x)有极大值2)和极小值一2) D.函数x)有极大值一2)和极小值2) 题型二：求函数的极值和最值 例2.求下列函数的极值. 1)fx=x3-3x2-9x+5 2)f=r(x-列： 3)fx刘=x2-2nx 第2页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 变式2.设函数f)=r-6x+5.xeR (1)求函数()的单调区间和极值； 2)若函数少f 的图象与函数'=“的图象恰有三个不同的交点，求实数口的取值范围. (3)已知当X∈1，+切)时，fx≥k(X-1)恒成立，求实数k的取值范围。 题型三：由函数的极值或最值求参数 第3页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 例3.已知函数f(=r+mr2+(m+6)x+1 既存在极大值，又存在极小值，则实数m的取值范围是( A.（-1,2 B.（-0,-3U(6,+wj c.-3,6 D.（-0,-lU(2,+∞j 变式31.函数)=-a-c+a在=1处有极值10.则a,b的值为《) A.a=3,b=-3,或a=-4,b=11 B.a=-4,b=1,或a=4,b=11 C.a=-4,b=11 D.a=3,b=-3 变式3-2.若函数-2x+m2x-ac0sx没有极值，则实数。的取值范围是（） A.-1,1 [副 c[周n.B别 变式3-3.已知函数fm=na(a>0). x D求f刊的单调区间： (2)若()在L(其中e为自然对数的底数)上的最大值为1，求a的值. 第4页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 题型四：函数的单调性、极值和最值的综合问题 例4已知函数f)=2x-e+a心(aeR,e为白然对数的底数). (1)当a=2时，求f()的图象在x=0处的切线方程： (2)函数80=f)-e+m,对任意x∈[-川，不等式8)≥0日 成立，求实数m的取值范围. 第5页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 课后巩固 y=f'(x) 1.已知函数 的图象如图所示，那么下列结论正确的是（) A.(a)=0 B.w)没有极大值 C.x=b时，f)有极大值 D.x=c时，fx)有极小值 2函数f)=+ar2-2x+1在L,3到内存在极值点，则() 3 7 1 1 3.已知x=r+ar2+(a+6)x+1 有极大值和极小值，则的取值范围为() A.（-1,2) B.(-36) c.（-0,-lU(2,+∞) D.-o,-3U(6,+o) 4已知函数国-后 14 2ar-ba>0,b>0)的一个极值点为1？则。+方的最小值为() A.8 B.9 C.16 D.18 5.(多选题)函数的定义域为R,它的导函数”=四的部分图象如图所示，则下面结论正确的是 () A.在L2上函数为增函数 12\3 45x B.在3,5)上函数为增函数 C.在，3)上函数f有极大值 第6页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ D.=3是函数在区间L5上的极小值点 6.(多选题)设函数=(r-3引c,则() A.四有极大值，且有最大值 B.有极小值，且有最小值 C.若方程f)=a恰有一个实根，则a> D.若方程f八x)=a恰有三个实根，则0<a< e 7,若函数)了--3x-如的图像与，轴有三个不同的交点，则实数。的取值范国是一 8已知函数1-写-4+4 (1)求函数八的单调区间： (2)当r-3,6时，求函数f的值域。 第7页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 9已知函数f)=r2-x2-x-4 (1)求f)的极值： (2)若函数f()有且只有一个零点，试求实数a的取值范围. 10.已知函数)=alhx-+(2a-lr,其中a∈R 第8页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ (I)当a1时，求函数f 的单调区间： （)求函数)的极值： 第9页共9页将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 高二 选修 第5章 导数及其应用 （三）导数与函数的极值、最值 知识点1：函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点2：函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值，记作；； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值，记作。 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点3：函数最值 一般地，如果在闭区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． · 求函数的最大值与最小值的步骤： (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 题型一：函数的最值与极值的关系 例1.函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A．是函数的极大值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确；∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确.故选：B 变式1.设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f′(x)，若函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　D　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 题型二：求函数的极值和最值 例2.求下列函数的极值． （1）； （2）； （3）． 答案：分别对三个函数进行求导，分析其单调性，然后根据极值的概念即可求解. （1）∵，令，即，解得，． 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x 3 ＋ 0 0 ＋ 极大值 极小值 ∴由上表可知，函数的极大值为；函数的极小值为． （2），令，即，解得，，，当x变化时，与的变化情况如下表所示： x 0 3 5 ＋ 0 ＋ 0 0 ＋ 无极值 极大值 极小值 由上表可知的极大值为；的极小值为． （3）由题意，，，令，得或(舍去)，当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，从而函数有极小值，无极大值． 变式2.设函数，. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围． (3)已知当时，恒成立，求实数的取值范围。 （1）见解析(2) . 【详解】(1)由题意可得，，当时，或；当时，； 所以f(x)的单调递增区间为和；单调递减区间为，在处取得极大值，的极大值为；在处取得极小值，的极小值为. (2) 若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，结合(1)中的单调性以及极值点可知，，故实数a的取值范围. （3）当时，由f(x)≥k(x－1)，即，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)， 所以在(1，＋∞)上恒成立， 令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数， 所以g(x)>g(1)＝－3，所以所求k的取值范围是为(－∞，－3]. 题型三：由函数的极值或最值求参数 例3.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】∵，∴，∵函数既存在极大值，又存在极小值，∴导函数有两个不相等的变号零点，∴，即，解得或．∴实数的取值范围是，故选:B． 变式3-1.函数在处有极值10，则a，b的值为（ ） A．，，或， B．，，或， C．， D．， 因为，所以，由题意可得：，解得：或.当时，，在x=1的左右两侧正负相反，所以在处有极值，符合题意；当时，恒成立，所以在处无极值，应舍去；故选：C 变式3-2.若函数没有极值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，因为没有极值，所以或恒成立．设，则，因为，所以对任意恒成立，所以解得．故选：A. 变式3-4.已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在（其中e为自然对数的底数）上的最大值为1，求a的值． 【详解】（1）由题设知的定义域为， ，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减．（2）（i）当时，在上单调递增．所以得a无解．（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减．所以得（舍去）．（ⅲ）当时，在上单调递减．所以得，符合题意．综上：a的值为e． 题型四：函数的单调性、极值和最值的综合问题 例4.已知函数（，e为自然对数的底数）. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）函数，对任意，不等式成立，求实数m的取值范围. （1）；（2）.【详解】（1）当时，函数，可得，由，即切点坐标为，切线的斜率，所以的图象在处的切线方程为，即.（2）函数， 由，可得，又由任意，不等式成立得，任意，使得成立，令，，转化为当时，使得.则，，令，解得， 列表： x -1 0 1 - 0 + 极小值 所以是函数在上的极小值，也是最小值； 又由，，且，故，所以函数在上的最大值为，故，所以，实数m的取值范围是. 1.已知函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ） A． B．没有极大值 C．时，有极大值 D．时，有极小值 【详解】解：如图所示，设函数的图象在原点与之间的交点为． 由图象可知：.当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．可得：是函数的极小值点，是函数的极大值点，是函数的极小值点． 不是函数的极值点，不一定成立．且由图知，有极大值.故选：D． 2.函数在内存在极值点，则（ ） A． B． C．或 D．或 【详解】，，令，由于， 所以，在上递减，当时，；当时，. 由于函数在内存在极值点，所以.故选：B 3.已知有极大值和极小值，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 解析：由可得，因为有极大值和极小值， 所以有两个不相等的实数根，所以，即，解得：或，所以的取值范围为，故选：D. 4.已知函数的一个极值点为，则的最小值为（ ） A．8 B．9 C．16 D．18 【详解】由题设，，又一个极值点为，∴，即，又， ∴，当且仅当时等号成立.故选：D 5.（多选题）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ） A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点 【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC 6.（多选题）设函数，则（ ） A．有极大值，且有最大值 B．有极小值，且有最小值 C．若方程恰有一个实根，则 D．若方程恰有三个实根，则 【详解】由题意，得，∴当或时，，当时，，∴在和上单调递增，在上单调递减，∴有极大值，为，有极小值，为．又当时，恒成立，∴也是最小值．作出直线和的图象，如图所示，当或时，有一个实根，当时，有三个实根．故选：BD． 7.若函数的图像与轴有三个不同的交点，则实数的取值范围是___． 【详解】，所以当和时，，单调递增，当时，，单调递减，极大值，极小值，的图像与轴有三个不同的交点，所以，得 8.已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的值域. 答案：（1）单调递增区间（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间（−1，4）（2） （1）由函数得 ，令，解得x＜−1或x＞4，；令，解得−1＜x＜4，故函数f（x）的单调递增区间为（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间为（−1，4）；（2）由（1）可知，当x∈[−3，−1）时，，f（x）单调递增，当x∈（−1，4）时，，f（x）单调递减，当x∈（4，6]时，，f（x）单调递增，所以当x＝−1时，函数f（x）取得极大值f（−1）＝，当x＝4时，函数f（ x）取得极小值f（4）＝，又， 所以当x∈[−3，6]时，函数f（x）的值域为 9.已知函数. （1）求的极值； （2）若函数有且只有一个零点，试求实数的取值范围. （1）极大值是，极小值是；（2）. （1）解：由已知得， 令，得或，令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值是，极小值是；（2）由（1）知，若函数有且只有一个零点，则的极大值或的极小值，解得或，所以实数的取值范围为. 10.已知函数，其中. （Ⅰ）当a=1时，求函数的单调区间： （Ⅱ）求函数的极值； 答案：（Ⅰ）单调减区间为（1，+） ，增区间为（0,1）; （Ⅱ）见解析（Ⅲ）a>1 【详解】（Ⅰ）当a=1时,, f′（x）= 当f′（x）<0时，x>1; f′（x）>0时，0<x<1∴函数的单调减区间为（1，+） ，增区间为（0,1） （Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x），若a≤0，则f′（x）＜0，此时f（x）在（0，+∞）递减，无极值若a＞0，则由f′（x）＝0，解得：x＝a，当0＜x＜a时，f′（x）>0，当x＞a时，f′（x）<0，此时f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减；∴当x=a时，函数的极大值为f(a)=，无极小值 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $