方法10 构造函数，运用性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

方法10　构造函数，运用性质 1. 依据条件特征构造函数：仔细观察题目所给的条件，包括函数的表达 式、导数信息、不等式形式以及方程结构等，分析其中的规律和特点，从 而确定合适的函数模型进行构造.例如当出现函数与其导数的组合形式 时，考虑构造乘积或商的形式的函数；若不等式两边具有相似的结构，则 尝试构造一个新函数，使不等式两边成为该函数在不同点的取值. 2. 结合函数性质解决问题：根据构造函数的性质，对原问题进行求解.在 解不等式时，利用函数单调性将不等式转化为自变量的大小关系；在证明 不等式时，通过分析函数的最值或单调性来证明不等式成立；在处理方程 的根的问题时，将方程转化为函数的零点问题，借助函数的图象与性质， 判断零点的个数以及所在的区间. 高考专题辅导与测试·数学 【例】　（1）已知1＜m＜n＜2，a＝nm，b＝mn，c＝lognm，则a， b，c的大小关系是（　A　） A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. c＞a＞b D. c＞b＞a A 高考专题辅导与测试·数学 解析： 因为1＜m＜n＜2，所以y＝nx，y＝mx，y＝lognx在（0， ＋∞）上均单调递增，所以a＝nm＞n1＞1，b＝mn＞m1＞1，c＝lognm ＜lognn＝1，即a＞c，b＞c，对于a，b，构造函数f（x）＝ ，则f' （x）＝ ，易知当0＜x＜e时，f'（x）＞0，即此时函数f（x）单调 递增，则由f（m）＜f（n）得 ＜ ，所以nln m＜mln n，即ln mn＜ ln nm，因为y＝ln x在（0，＋∞）上单调递增，所以mn＜nm，综上a＞b ＞c.故选A. 高考专题辅导与测试·数学 （2）已知函数f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝ln x＋x－2，若∃x1∈R，x2 ＞0，使得f（x1）＝g（x2），则x1x2的最小值为 ⁠. 解析： ∵∃x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），∴ ＋x1－2＝ ln x2＋x2－2，即 ＋x1＝ln x2＋x2＝ ＋ln x2.令h（x）＝ex＋x， x∈R，则h'（x）＝ex＋1＞0，∴函数h（x）在R上是增函数，∴x1＝ln x2，即x2＝ ，∴x1x2＝x1· .令u（x）＝xex，x∈R，则u'（x）＝ （x＋1）ex，当x＜－1时，u（x）单调递减，当x＞－1时，u（x）单 调递增，可得x＝－1时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（－1）＝ － . － 高考专题辅导与测试·数学 【训练】　 1. 若eax－x≥0在x∈（0，＋∞）上恒成立，则实数a的最小值为 （　　） A. e B. 1 C. D. √ 高考专题辅导与测试·数学 解析： 　由eax≥x得ax≥ln x，所以a≥ 在x∈（0，＋∞）上恒成 立，构造y＝ ，可得y'＝ ，由y'＝ ＞0可得0＜x＜e，由y'＝ ＜0，可得x＞e，所以y＝ 在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞） 上单调递减，所以y＝ 在x＝e处取得最大值为 ＝ ，所以a≥ ，故 a的最小值为 .故选D. 高考专题辅导与测试·数学 2. 设a＝ －1，b＝ ，c＝1－ln ，则（　　） A. c＞a＞b B. a＞c＞b C. b＞a＞c D. b＞c＞a √ 高考专题辅导与测试·数学 解析： 　因为a＝ －1＞ －1＝ ，所以a＞b；因为函数y＝ln x 单调递增， ＞ ，所以ln ＜ln ，即ln ＜ ，则1－ln ＞ ，所以c＞ b；构造函数f（x）＝ex－1－2x＋1＋ln x，则f'（x）＝ex－1－2＋ ，令g （x）＝ex－1－2＋ ，则g'（x）＝ex－1－ ，显然g'（x）在[1，＋∞） 上单调递增，所以g'（x）≥g'（1）＝0，故f'（x）在[1，＋∞）上单调递 增，所以f'（x）≥f'（1）＝0，所以f（x）在[1，＋∞）上单调递增，从 而f ＞f（1）＝0，故有 －2× ＋1＋ln ＞0，整理得 －1＞1－ln ，所以a＞c，故a＞c＞b.故选B. 高考专题辅导与测试·数学 3. 已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f'（x），f（－3）＝0， 当x＞0时，f（x）＋xf'（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围 是（　　） A. （－∞，－3）∪（0，3） B. （－∞，－3）∪（－3，0） C. （－∞，－3）∪（3，＋∞） D. （－3，0）∪（3，＋∞） √ 高考专题辅导与测试·数学 解析： 　设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝x'f（x）＋xf'（x）＝f （x）＋xf'（x），由于当x＞0时，f（x）＋xf'（x）＜0，则当x＞0时， g'（x）＜0，g（x）在（0，＋∞）上单调递减，又f（x）为奇函数，f （x）＝－f（－x），则g（－x）＝（－x）f（－x）＝xf（x）＝g （x），则函数g（x）为偶函数，由偶函数性质可得函数g（x）在（－ ∞，0）上单调递增，又f（－3）＝0，则g（－3）＝g（3）＝0，当x＞0 时，由f（x）＜0，可得g（x）＜0，即g（x）＜g（3），解得x＞3； 当x＜0时，由f（x）＜0，可得g（x）＞0，即g（x）＞g（3），解得 －3＜x＜0；综上，不等式f（x）＜0的解集为（－3，0）∪（3，＋ ∞）.故选D. 高考专题辅导与测试·数学 4. 若函数f（x）对任意x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，则（　　） A. 3f（ln 5）＞5f（ln 3） B. 3f（ln 5）＝5f（ln 3） C. 3f（ln 5）＜5f（ln 3） D. 3f（ln 5）与5f（ln 3）的大小不确定 √ 解析： 　令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ，因为对任意 x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g'（x）＞0，即g（x）在R上单调递增. 又ln 3＜ln 5，所以g（ln 3）＜g（ln 5），即 ＜ ，所以5f （ln 3）＜3f（ln 5）.故选A. 高考专题辅导与测试·数学 5. 已知函数f（x）的导函数f'（x），当x∈ 时，f'（x） sin 2x＜ f（x）（1＋ cos 2x）成立，下列不等式一定成立的是（　　） A. f ＜ f B. f ＞ f C. f ＜ f D. f ＞ f √ 高考专题辅导与测试·数学 解析： 　f'（x） sin 2x＜f（x）（1＋ cos 2x）⇒f'（x） sin x－f（x） cos x＜0.令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ＜0，可 知g（x）在 上单调递减，所以g ＞g ，即 f ＞ f .故选B. 高考专题辅导与测试·数学 6. 定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（x）＋xf'（x）＝ ，f （1）＝1，则f（x）的零点是 ⁠. 解析：令F（x）＝xf（x）－ln x，则F'（x）＝f（x）＋xf'（x）－ ， 又f（x）＋xf'（x）＝ ，所以F'（x）＝ － ＝0，则函数F（x）为常 函数，又F（1）＝1×f（1）－ln 1＝1，所以F（x）＝xf（x）－ln x＝ 1，得f（x）＝ ，令f（x）＝0，解得x＝ . ​ 高考专题辅导与测试·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $