微突破3 函数的构造问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

微突破3　函数的构造问题 备考指南 函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 一 典例·讲解 典例精析 强技提能 二 课后·训练 巩固强化 综合测评 三 目录 / CONTENTS 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 目 录 1. 已知a＝2ln － ，b＝2ln － ，c＝2ln － ，则（　　） A. a＜c＜b B. b＜a＜c C. a＜b＜c D. c＜b＜a 通过式子的结构特征，构造具体函数. √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　a＝2ln － ＝2ln（ ＋1）－ ，b＝2ln － ＝2ln（ ＋1）－ ，c＝2ln － ＝2ln（ ＋1）－ ，构造函数f（x）＝2ln（x＋1）－x （0＜x＜1），则f'（x）＝ －1＝ ，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f （x）在（0，1）上单调递增，所以f（ ）＜f（ ）＜f（ ），所以c＜ b＜a. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞0，且有f（3）＝ 3，则f（x）＞3e3－x的解集为（　　） A. （－∞，－3） B. （－3，1） C. （1，＋∞） D. （3，＋∞） 由f（x）＋f'（x），可构造 函数F（x）＝f（x）·ex. √ 解析： 　设F（x）＝f（x）·ex，则F'（x）＝f'（x）·ex＋f（x）·ex＝ ex[f（x）＋f'（x）]＞0，∴F（x）在R上单调递增.又f（3）＝3，则F （3）＝f（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等价于f（x）·ex＞3e3，即F （x）＞F（3），∴x＞3，即所求不等式的解集为（3，＋∞）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有xf' （x）－f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为 ⁠ ⁠. （－∞，－ 1）∪（1，＋∞） 由xf'（x）－f（x），可构造函数F（x）＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：设F（x）＝ ，则F'（x）＝ ，当x＜0时，xf'（x）－f（x）＞0，可 以推出当x＜0时，F'（x）＞0，F（x）在（－∞，0）上单调递增.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递增.根据f（1）＝0可得F（1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知f（x）＞0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f'（x），且当x∈（0， ＋∞）时，f'（x） sin x＋f（x） cos x＜0，若a＝ f（－ ），b＝－f （ ），则a与b的大小关系为 ⁠. a＜b 由f'（x） sin x＋f（x） cos x，可构造函数F（x）＝f（x）· sin x. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：设F（x）＝f（x）· sin x，则F'（x）＝f'（x） sin x＋f（x） cos x，∴x∈（0，＋∞）时，F'（x）＜0，即F（x）在（0，＋∞）上单调 递减，又f（x）为奇函数，∴F（x）为偶函数，∴F（－ ）＝F（ ） ＞F（ ），即f（－ ） sin （－ ）＞f（ ） sin ，即－ f（－ ）＞ f（ ），即 f（－ ）＜－f（ ），∴a＜b. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【思维建模】　函数构造问题的解题思路 高考专题辅导与测试·数学 目 录 典例·讲解 典例精析 强技提能 目 录 【例】　（1）定义在区间（0， ）上的函数f（x），f'（x）是其导函 数，恒有f（x）＞f'（x）tan x成立，则（　　） A. f（ ）＞ f（ ） B. f（1）＞2f（ ） sin 1 C. f（ ）＜f（ ） D. f（ ）＜f（ ） √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为x∈（0， ），所以 sin x＞0， cos x＞0.由f（x）＞f' （x）tan x，得f（x） cos x－f'（x） sin x＞0.设F（x）＝ ，则F' （x）＝ ＜0，所以F（x）在区间（0， ）上单调递 减，所以F（ ）＞F（ ），即 f（ ）＞ f（ ）.同理B、C、D错 误.故选A. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞1，f（1）＝ 4，则不等式exf（x）＞ex＋3e的解集为（　　） A. （－∞，0） B. （－∞，1） C. （0，＋∞） D. （1，＋∞） √ 【瓶颈突破】　由f（x）＋f'（x）＞1，得f（x）＋f'（x）－1＞0，可构造函数g（x）＝exf（x）－ex. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　设g（x）＝exf（x）－ex（x∈R），则g'（x）＝exf（x）＋ exf'（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1]，因为f（x）＋f'（x）＞1，所 以f（x）＋f'（x）－1＞0，又ex＞0，所以g'（x）＞0恒成立，所以g （x）在定义域R上单调递增.故原不等式可转化为exf（x）－ex＞3e，又f （1）＝4，所以g（1）＝ef（1）－e＝3e，所以g（x）＞g（1），所以 x＞1.故选D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）已知a＝4ln 3π，b＝3π，c＝4ln π3，则a，b，c的大小关系是 （　　） A. c＜b＜a B. b＜c＜a C. b＜a＜c D. a＜b＜c √ 【瓶颈突破】　由a＝4×πln 3，c＝4×3ln π，得 ＝πln 3， ＝3ln π，两边同除以3π，可构造函数f（x）＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为a＝4ln 3π＝4πln 3，b＝3π，c＝4ln π3＝4×3ln π，观察 a，c的式子结构特征，构造函数f（x）＝ ，则f'（x）＝ ，当x∈ （0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，＋∞）时，f' （x）＜0，f（x）单调递减，因为π＞3＞e，所以f（π）＜f（3），即 ＜ ，所以3ln π＜πln 3，即4×3ln π＜4πln 3，即c＜a；又ln π＞ln e ＝1，所以3π＜3×4＜4×3ln π，即b＜c，综上，b＜c＜a. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练】　（1）已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（　　） A. a＞0＞b B. a＞b＞0 C. b＞a＞0 D. b＞0＞a √ 解析： 　由10＝9m＞9，得m＞1.设f（x）＝xm－x－1，x＞1，则当m ＞1时，f'（x）＝mxm－1－1＞x1－1－1＝0，所以f（x）在（1，＋∞）上 单调递增，所以f（10）＞f（9）＝0＞f（8），即a＞0＞b. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）已知函数f（x）的定义域为[0，＋∞），导函数为f'（x），若f' （x）＜ 恒成立，则（　　） A. f（2）＞f（3） B. 2f（1）＞f（3） C. f（5）＞2f（2） D. 3f（5）＞f（1） √ 【瓶颈突破】　由a＝4×πln 3，c＝4×3ln π，得 ＝πln 3， ＝3ln π，两边同除以3π，可构造函数f（x）＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 因为f'（x）＜ ，x≥0，所以（x＋1）f'（x）－f（x） ＜0，构造函数g（x）＝ ，x≥0，则g'（x）＝ ＜0，所以g（x）在定义域上是减函数，从而g （1）＞g（2）＞g（3）＞g（5），即 ＞ ＞ ＞ .所以4f（2）＞3f（3），2f（1）＞f（3），2f（2）＞f（5）， 3f（1）＞f（5）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）偶函数f（x）的定义域为（－ ， ），其导函数为f'（x），若对 任意的x∈［0， ），有f'（x） cos x＜f（x） sin x成立，则关于x的不 等式2f（x） cos x＜f（ ）的解集为 　　（－ ，－ ）∪（ ， ⁠. （－ ，－ ）∪（ ， ） 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：令g（x）＝f（x） cos x，x∈（－ ， ），∴g（－x）＝f（－ x） cos （－x）＝f（x） cos x＝g（x），∴g（x）为偶函数，又g' （x）＝f'（x） cos x－f（x） sin x，∴当x∈［0， ）时，g'（x）＜ 0，即g（x）在［0， ）上单调递减，又g（x）为偶函数，∴g（x）在 （－ ，0］上单调递增，不等式2f（x） cos x＜f（ ）可化为f（x） cos x＜f（ ） cos ，即g（x）＜g（ ），则 解得－ ＜x ＜－ 或 ＜x＜ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 课后·训练 巩固强化 综合测评 （时间：30分钟，满分：46分） 目 录 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 1. （2025·福建厦门期末）定义在R上的函数f（x），其导函数为f' （x），若xf'（x）＋f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（　　） A. 3f（2）＜2f（3） B. 3f（2）＞2f（3） C. 2f（2）＜3f（3） D. 2f（2）＞3f（3） 解析： 　构造函数g（x）＝x·f（x），因为xf'（x）＋f（x）＜0，所 以g'（x）＝f（x）＋xf'（x）＜0，即g（x）为减函数，所以3f（3）＜ 2f（2）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. （2025·福建福州模拟）已知a＝ ln ，b＝ln 2，c＝－ ，则（　　） A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. b＞c＞a D. c＞a＞b √ 解析： 　因为b＝ln 2＞0，而a＝ ln ＜0，c＜0，所以b最大，构造函 数f（x）＝xln x（x＞0），因为f'（x）＝ln x＋1（x＞0），当0＜x＜ 时，f'（x）＜0，当x＞ 时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0， ）上单调 递减，在（ ，＋∞）上单调递增，又因为a＝f（ ），c＝f（ ），所 以f（ ）＞f（ ），即a＞c，故b＞a＞c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. （2025·福建泉州期末）已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）＝ ， 且f（x）＋f'（x）＜0，则不等式f（x＋1）＞ 的解集是（　　） A. （2，＋∞） B. （－∞，2） C. （0，＋∞） D. （－∞，0） √ 解析： 　令g（x）＝exf（x），则g'（x）＝ex[f（x）＋f'（x）]＜0， 所以g（x）在R上单调递减，因为g（1）＝e1f（1）＝1，所以不等式f （x＋1）＞ 可变形为ex＋1f（x＋1）＞1，即g（x＋1）＞g（1），所 以x＋1＜1，即x＜0，所以不等式f（x＋1）＞ 的解集为（－∞， 0）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. （2025·湖南长沙期中）已知函数f（x）的定义域为R，设f（x）的导 函数是f'（x），且f（x）·f'（x）＋x＞0恒成立，则（　　） A. f（1）＜f（－1） B. f（1）＞f（－1） C. ｜f（1）｜＞｜f（－1）｜ D. ｜f（1）｜＜｜f（－1）｜ √ 解析： 　设g（x）＝f2（x）＋x2，则g'（x）＝2f（x）·f'（x）＋2x＞ 0，故y＝g（x）在定义域上是增函数，于是g（1）＞g（－1）即f2 （1）＋1＞f2（－1）＋1，即有f2（1）＞f2（－1），故得｜f（1）｜＞｜ f（－1）｜.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 5. （2025·广东广州模拟）已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），其导 函数为f'（x），若xf'（x）－1＜0，f（e）＝2，则关于x的不等式f （ex）＜x＋1的解集为（　　） A. （0，1） B. （0，e） C. （1，＋∞） D. （e，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　令函数g（x）＝f（x）－ln x，x＞0，则g'（x）＝f'（x）－ ＝ ＜0，因此函数g（x）在定义域（0，＋∞）上是减函数，g （e）＝f（e）－ln e＝1，因此f（ex）＜x＋1⇔f（ex）－x＜1⇔g （ex）＜g（e），即ex＞e，解得x＞1，所以不等式f（ex）＜x＋1的解 集为（1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 6. 若函数f（x）的导数f'（x）＝x－ sin x，f（x）的最小值为0，则函数 y＝f（x）－ cos x的零点为（　　） A. 0 B. ± C. ±2 D. 2kπ（k∈Z） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为函数f（x）的导数f'（x）＝x－ sin x，所以f（x）＝ x2 ＋ cos x＋c，c为常数，设g（x）＝f'（x）＝x－ sin x，则g'（x）＝1－ cos x≥0恒成立，g（x）在R上单调递增，又g（0）＝0，所以当x∈（－ ∞，0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）在（－∞，0）上单 调递减，当x∈（0，＋∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，所以f（x） 在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）在x＝0处取得最小值，即f（x） min＝f（0）＝1＋c＝0，故c＝－1，所以f（x）＝ x2＋ cos x－1，故y＝ f（x）－ cos x＝ x2－1，令 x2－1＝0，解得x＝± ，函数y＝f（x） － cos x的零点为± . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 二、多项选择题（6分） 7. 已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若f（x）满足（x－ 1）[f'（x）－f（x）]＞0，f（2－x）＝f（x）e2－2x，则下列判断正确 的是（　　） A. f（1）＜ef（0） B. f（2）＞e2f（0） C. f（3）＞e3f（0） D. f（4）＜e4f（0） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　设F（x）＝ ，则F'（x）＝ ＝ ，∵函数f（x）满足（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，当x ＞1时，f'（x）－f（x）＞0，∴F'（x）＞0，∴F（x）在（1，＋∞） 上单调递增；当x＜1时，f'（x）－f（x）＜0，∴F'（x）＜0，∴F （x）在（－∞，1）上单调递减，又由f（2－x）＝f（x）e2－ 2x⇔ ＝ ⇔F（2－x）＝F（x），∴F（x）关于直线x＝ 1对称，从而F（1）＜F（0）＝F（2）＜F（3）＜F（4），由F（1） ＜F（0），∴ ＜ ，∴f（1）＜ef（0），故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 由F（0）＝F（2），∴ ＝ ，∴f（2）＝e2f（0），故B错 误；由F（0）＜F（3），∴ ＜ ，∴f（3）＞e3f（0），故 C正确；由F（0）＜F（4），∴ ＜ ，∴f（4）＞e4f（0）， 故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 三、填空题（每小题5分，共10分） 8. （2025·山东潍坊模拟）已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函 数是f'（x）.若f'（x） sin x－f（x） cos x＞0恒成立，则关于x的不等式f （x）＜2f（ ） sin x的解集为 　　　（0， ）　　. （0， ） 解析：令F（x）＝ ，则F'（x）＝ ＞0，所以 F（x）在定义域内是增函数.所以关于x的不等式f（x）＜2f（ ）· sin x，可化为 ＜ ，即F（x）＜F（ ）.因为0＜x＜π，所以0 ＜x＜ ，即不等式f（x）＜2f（ ） sin x的解集为（0， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 9. 已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0， 当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围 是 ⁠. 解析：构造F（x）＝ ，则F'（x）＝ ，当x＞0 时，xf'（x）－2f（x）＜0，F'（x）＜0，则F（x）在（0，＋∞）上单 调递减.因为y＝f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，所以y＝F（x）为偶 函数，所以F（x）在（－∞，0）上单调递增.根据f（－1）＝0可得F （－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图 象可知f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1）. （－1，0）∪（0，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $