第5讲 数列的递推关系-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

第5讲　数列的递推关系 备考指南 求数列的通项公式是高考的重点内容，对于等差、等比数列的通项公式可直接利用公式求解，但也有些数列以递推关系给出，需要通过构造转化为等差或等比数列再求解，体现了化归与转化思想在数列中的应用.题型既有小题也有解答题，难度中等. 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 一 典例·讲解 典例精析 强技提能 二 课后·训练 巩固强化 综合测评 三 目录 / CONTENTS 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 目 录 1. 设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝（　　） A. 27 B. 81 C. 93 D. 243 √ 在处理Sn，an的式子时，依据为an＝ 解析： 　根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝ 3an＋1－3an，即an＋1＝3an，当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，所以 数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a4＝a1q3＝34＝81. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. 已知数列{an}满足a1＝3，an＝an－1＋2n－1（n≥2，n∈N*），则数列 {an}的通项公式an＝（　　） A. 2n B. 2n＋1 C. 2n＋1－1 D. 2n＋1 √ 形如an＋1－an＝f（n）的数列，利用累加法；形如 ＝f（n）的数列，利用累乘法. 解析： 　因为an－an－1＝2n－1（n≥2），所以an＝a1＋（a2－a1）＋ （a3－a2）＋…＋（an－1－an－2）＋（an－an－1）＝3＋2＋22＋…＋2n－2 ＋2n－1＝2＋ ＝2n＋1.当n＝1时上式也成立，故an＝2n＋1. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. 若数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公 式为 ⁠. 后一项与前一项成一次关系， 加常数后构成等比数列. an＝2n－1 解析：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2（an＋1），所以{an＋1}是首 项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 已知数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4 ＝ ⁠. 若an＋1＋an＝f（n）（一次函数）， 则隔项构成等差数列. 解析：由题得（an＋2＋an＋1）－（an＋1＋an）＝[2（n＋1）－3]－（2n －3）＝2，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝（a8－a6）＋（a6－a4）＝2＋2 ＝4. 4 高考专题辅导与测试·数学 目 录 典例·讲解 典例精析 强技提能 目 录 考点一　利用an与Sn的关系 【例1】　（1）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝ （n∈N*），则an＝（　　） A. n－1 B. n C. n＋1 D. n＋2 √ 解析： 　当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝ 　①，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝ 　②，①－②并整理可得an＝n＋1，代入a1＝2验证符 合，所以an＝n＋1. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－ ，且5an＋1＋Sn＋16＝0， 则an＝ ⁠. －4· 【通性通法】　利用an与Sn的关系求解问题的思路 （1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系 式，再求解； （2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式， 再求解. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：当n＝1时，5a2＋a1＋16＝0，∴a2＝－ ，由5an＋1＋Sn＋16＝0　 ①，得5an＋Sn－1＋16＝0（n≥2）　②，①－②得5an＋1＝4an （n≥2），∵a2＝－ ≠0，∴an≠0，∴ ＝ （n≥2），又 ＝ ， ∴{an}是首项为－ ，公比为 的等比数列，∴an＝－ · ＝－ 4· . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练1】　（1）（2025·浙江宁波三模）已知数列{an}中，a2＝1，记Sn 为{an}的前n项和，2Sn＝nan，则a2 025＝（　　） A. 2 023 B. 2 024 C. 2 025 D. 2 026 √ 解析： 　数列{an}满足2Sn＝nan，当n≥3时，可得2Sn－1＝（n－1）an －1，两式相减，可得2an＝nan－（n－1）an－1，即（n－2）an＝（n－ 1）an－1，所以 ＝ ，又由a2＝1，则a2 025＝a2× × ×…× ＝1× × ×…× ＝2 024.故选B. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），a1＝ ，an＋4Sn －1Sn＝0（n≥2），则下列命题正确的是（　　） A. Sn＝ B. an＝－ C. 数列{an}为递增数列 D. 数列 为递增数列 √ √ 【易错提醒】　由Sn与an的关系求an时，要对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，若符合，则数列的通项公式合写；若不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　∵an＋4Sn－1Sn＝0（n≥2），∴Sn－Sn－1＋4Sn－1Sn＝0 （n≥2），∵Sn≠0，∴ － ＝4（n≥2），因此数列 是以 ＝4 为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；∴ ＝4＋4（n －1）＝4n，∴Sn＝ ，即A正确；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝－ ，∴an＝ a1＞a2，即B、 C不正确. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 考点二　构造辅助数列 【例2】　（1）在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，则数列{an}的通 项公式an＝（　　） A. 3n B. 3n＋1 C. 3n＋2 D. 3n＋1 √ 【通性通法】　若数列{an}满足an＋1＝pan＋q（p≠0，1；q≠0），构造an＋1＋λ＝p（an＋λ）； 解析： 　由an＋1＝3an－4，设an＋1－λ＝3（an－λ），即an＋1＝3an－ 2λ，故2λ＝4，λ＝2，则an＋1－2＝3（an－2），又a1＝5，所以{an－ 2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，即an＝3n ＋2. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）（2025·广东广州模拟）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2n－ 1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝（　　） A. 3n B. 2n－1 C. 3n－2n－1 D. 3n＋2n－1 √ 若数列{an}满足an＋1＝pan＋f（n）（p≠0，1）：①构造an＋1＋g（n＋1）＝p[an＋g（n）]； ②若f（n）为指数型函数，即an＋1＝pan＋qn，等号两边同除以qn＋1，再求解； 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　法一　由a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*，可得an＋1＋2n＝3 （an＋2n－1），所以{an＋2n－1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以 an＋2n－1＝3n，则an＝3n－2n－1，n∈N*. 法二　an＋1＝3an＋2n－1两边同除以2n，得 ＝ · ＋ ，即 ＋1 ＝ ，而 ＋1＝3，于是数列 是首项为3，公比为 的 等比数列，因此 ＋1＝3× ，即an＝3n－2n－1. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练2】　（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ ，则a7 ＝ ⁠； 形如an＋1＝ （p，q≠0）的数列，等号两边取倒数构造等差数列求通项； ​ 解析：易知an≠0，由an＋1＝ ，得 ＝ ＋ ，所以 是首项为 1，公差为 的等差数列，所以 ＝ ＋（n－1）× ＝ ，an＝ ，所以a7＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）已知数列{an}满足a1＝1， ＝10an（an＞0），则an ＝ ⁠； 10× 形如an＋1＝p （p＞0，an＞0）的递归式，等号两边取对数有lg an＋1＝qlg an＋lg p，令bn＝lg an，则bn＋1＝qbn＋lg p，同上得bn，再求an. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：等式两边取以10为底的对数可得2lg an＋1＝lg an＋1，即lg an＋1－1＝ （lg an－1），所以数列{lg an－1}是以lg a1－1＝－1为首项， 为公比的等 比数列，所以lg an－1＝（－1）× ＝－ ，即lg an＝1－ ，即an＝10× . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝5，an＋2＝5an＋1－6an，则数列{an} 的通项公式为 ⁠. 解析：设an＋2＋λan＋1＝q（an＋1＋λan），即an＋2＝（q－λ）an＋1＋ qλan，又an＋2＝5an＋1－6an，所以 解得 或 an＝3n－2n 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法一　取λ＝－2，q＝3，则an＋1－2an＝3×3n－1＝3n，所以an＋1＝2an＋ 3n，两边同除以3n＋1得 ＝ · ＋ ，即 －1＝ （ －1），所以 数列 是以－ 为首项， 为公比的等比数列，即 －1＝－ × （ ）n－1＝－（ ）n，故an＝3n－2n.取λ＝－3，q＝2时，同理可得an ＝3n－2n. 法二　因为an＋2－2an＋1＝3（an＋1－2an），an＋2－3an＋1＝2（an＋1－ 3an），a2－2a1＝3，a2－3a1＝2，所以数列{an＋1－2an}是以3为首项，3 为公比的等比数列，{an＋1－3an}是以2为首项，2为公比的等比数列，即 an＋1－2an＝3n，an＋1－3an＝2n，联立解得an＝3n－2n. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 考点三　“不动点法”求型如an＋1＝ 的通项 【例3】　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，则数列{an}的通项公式 an＝（　　） A. － ＋3 B. － ＋2 C. D. ＋2 √ 【通性通法】　对于型如an＋1＝ （其中c≠0，ad－cb≠0）的递推式，求其通项可采用不动点法，即令x＝ ，得cx2＋（d－a）x－b＝0，方程的两个根分别为x1，x2： （1）若x1＝x2，则有 ＝ ＋p（p为参数），构造等差数列 求解； （2）若x1≠x2，则有 ＝q· （q为参数），构造等比数列 求解； （3）若一元二次方程无解，则数列{an}是周期数列. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　令x＝ ，即x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，令 ＝ ＋c，由a1＝1，得a2＝ ，解得c＝－1，所以数列 是以 ＝－1 为首项，以－1为公差的等差数列，所以 ＝－n，所以an＝－ ＋2. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练3】　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，试求数列{an}的通 项公式. 解：法一　由题意得an＋1＝ － ， 则an＋1－2＝ － －2＝ － ＝ × ， 由an＋1＝ － ，有an＋1－ ＝ － － ＝2－ ＝2× ， 由题意知an＋1≠ ，则 ＝ · ， 高考专题辅导与测试·数学 目 录 又 ＝－2，所以 是以－2为首项， 为公比的等比数列， 所以 ＝－2× ，则an＝2－ . 故数列{an}的通项公式为an＝2－ . 法二　根据an＋1＝ ，令x＝ ，得x1＝2，x2＝ ， 所以 是以－2为首项， 为公比的等比数列， 所以 ＝－2× ，则an＝2－ . 故数列{an}的通项公式为an＝2－ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 课后·训练 巩固强化 综合测评 （时间：60分钟，满分：91分） 目 录 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 1. （2025·山东潍坊二模）已知数列{an}满足an＋1＝ 若a1＝1，则a5＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为数列{an}满足an＋1＝ 且a1＝1，所 以a2＝3a1＋1＝3＋1＝4，a3＝ ＝ ＝2，a4＝ ＝ ＝1，a5＝3a4＋1＝3 ＋1＝4.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋3n，则a6＝（　　） A. 30 B. 31 C. 45 D. 46 √ 解析： 　由已知an＋1－an＝3n，∴a2－a1＝3，a3－a2＝6，…，a6－a5 ＝15，上述等式左右分别相加可得a6－a1＝3＋6＋9＋12＋15＝45，∴a6＝ 1＋45＝46.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. 已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2（n≥3），则a9＋ a10＝（　　） A. 47 B. 48 C. 49 D. 410 √ 解析： 　由题意a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2（n≥3），得an＋an－1 ＝4（an－1＋an－2），即 ＝4（n≥3），所以数列{an＋an＋1}是 等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 在正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2 ，则数列{an}的通项公式an＝ （　　） A. 2n－1 B. 2n－1 C. －1 D. √ 解析： 　取以2为底的对数，得到log2an＋1＝log2（2 ），log2an＋1＝ log22＋2log2an，log2an＋1＝1＋2log2an，设bn＝log2an，则有bn＋1＝1＋ 2bn，则bn＋1＋1＝2（bn＋1），所以{bn＋1}是以b1＋1＝1为首项，2为公 比的等比数列，所以bn＋1＝2n－1，所以bn＝2n－1－1，log2an＝2n－1－1， an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 5. （2025·山东临沂一模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋nan＝1， 则满足Sn＞0.99时，n的最小值为（　　） A. 49 B. 50 C. 99 D. 100 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为Sn＋nan＝1，所以a1＝ ，当n≥2时，Sn＋nan＝Sn－1＋ （n－1）an－1＝1，所以（n＋1）an＝（n－1）an－1，即 ＝ ，此 时an＝ × × ×…× × ×a1＝ × × ×…× × × × ＝ ，n＝1时也满足该式，故an＝ ，Sn＝1－ nan＝1－ ，由Sn＝1－ ＞0.99，解得n＞99，故所求为100.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 6. （2025·江苏宿迁二模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n， 则（　　） A. 9a7＞8a8 B. 9a7＜8a8 C. 9S7＞7a8 D. 9S7＜7a8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n，当n＝1时， 则a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2且n∈N*时，由Sn＝2an－2n可得 Sn－1＝2an－1－2n－1，上述两式作差可得an＝2an－2an－1－2n－1，整理可得 an－2an－1＝2n－1，等式an－2an－1＝2n－1两边同时除以2n－1，可得 － ＝1，所以数列 是以 ＝2为首项，1为公差的等差数列，所以 ＝2＋n－1＝n＋1，所以an＝（n＋1）·2n－1，对于A、B选项，9a7＝ 9×8×26＝9×29，8a8＝8×9×27＝9×210，则9a7＜8a8，A错，B对；Sn ＝2an－2n＝（n＋1）·2n－2n＝n·2n，对于C、D选项，9S7＝9×7×27＝ 63×27，7a8＝7×9×27＝63×27，所以9S7＝7a8，C、D都错.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 7. 记Sn为首项为2的数列{an}的前n项和，已知an－anan＋1＝1，则 （　　） A. 2a2＝1 B. a4＝3 C. a2 025＋1＝0 D. 2S2 025＝2 023 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　由题意可得an＋1＝1－ ，可得下表： n 1 2 3 4 5 … an 2 ​ －1 2 ​ … 所以数列{an}为周期数列且最小正周期T＝3，2a2＝2× ＝1，故A正确； a4＝2，故B错误；由2 025÷3＝675，则a2 025＋1＝a3＋1＝0，故C正确； 2S2 025＝2×675×（a1＋a2＋a3）＝2 025，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 8. （2025·重庆一模）已知数列{an}满足a1＝1，an＝an＋1（1＋3an）， n∈N*，则下列说法正确的是（　　） A. 数列 是等差数列 B. an＝3n－2 C. 若a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ ，则n＝16 D. a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　A正确，由an＝an＋1（1＋3an），得 ＝ ＝ ＋3.又 ＝1，所以 是以1为首项，3为公差的等差数列；B错误，由对A的分 析，可得 ＝1＋3（n－1）＝3n－2，所以an＝ ；C正确，由对B的 分析，可得anan＋1＝ · ＝ ，所以a1a2＋a2a3＋…＋ anan＋1＝ （1－ ＋ － ＋…＋ － ）＝ （1－ ）＝ .由 ＝ ，解得n＝16；D错误，a2＝ ，a1＋a2＝1＋ ＝ ，但当n＝2 时， ＝5≠ .故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 三、填空题（每小题5分，共10分） 9. （2025·浙江温州一模）已知正项数列{an}满足 ＋ ＋…＋ ＋ ＝ ，且a1＝a3，则a2 024＝ ⁠. 6 069 解析：因为{an}为正项数列且 ＋ ＋…＋ ＋ ＝ 　①， 所以 ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＝ 　②，②－①得 ＋ － ＝0，即an＋2－an＋1＝3，所以{an}是以a2为首项， 3为公差的等差数列，令n＝1可得 ＋ ＝ ，又a1＝a3，a3＝a2＋3， 所以 ＋ ＝ ，解得a2＝3或a2＝－4（舍去），a2 024＝a2＋2 022×3＝3＋2 022×3＝6 069. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 10. （2025·福建漳州一模）已知数列{an}，{bn}满足： an－bn＋1＋3bn＋n＝0，bn－an＋1＋3an＋2n－1＝0，若a1＝2，b1＝1， 则bn＝ ⁠. 解析：由题意可得an＋3bn＋n＝bn＋1，bn＋3an＋2n－1＝an＋1，则an＋1 ＋bn＋1＋n＋1＝4（an＋bn＋n），an＋1－bn＋1＋n＋1＝2（an－bn＋ n），又a1＋b1＋1＝4，a1－b1＋1＝2，则数列{an＋bn＋n}是以4为首 项，4为公比的等比数列，数列{an－bn＋n}是以2为首项，2为公比的等比 数列，所以an＋bn＋n＝4n　①，an－bn＋n＝2n　②，①②联立得2bn＝ 4n－2n，所以bn＝22n－1－2n－1. 22n－1－2n－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 四、解答题（共28分） 11. （13分）在数列{an}中，已知a1＝1， ＝ ＋2n－1. （1）求a2，a3； 解： 由题意知 ＝ ＋1＝4，∴a2＝ ， ∵ ＝ ＋3＝15，∴a3＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）证明： 是等比数列； 解： 证明：由 ＝ ＋2n－1，整理得 ＋n＋1＝3 ， 又 ＋1＝2，∴ 是首项为2，公比为3的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）求数列 的前n项和Tn. 解： 由（2）可知 ＋n＝2×3n－1，∴ ＝2×3n－1－n， ∴Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝2×（1＋3＋32＋…＋3n－1）－（1＋2＋3 ＋…＋n）＝2× － ＝3n－1－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 12. （15分）（2025·浙江宁波一模）已知数列{an}为等差数列，且满足 a2n＝2an＋1（n∈N*）. （1）若a1＝1，求{an}的前n项和Sn； 解：当n＝1时，由a2n＝2an＋1，得a2＝2a1＋1，由a1＝1，得a2＝3， 所以等差数列{an}的公差为a2－a1＝2， 即通项公式an＝1＋（n－1）·2＝2n－1， 所以前n项和Sn＝ ＝ ＝n2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若数列{bn}满足 － ＝ ，且数列{an·bn}的前n项和Tn＝（3n－ 4）·2n＋1＋8，求数列{bn}的通项公式. 解： 当n＝1时，a1b1＝T1＝（3－4）×22＋8＝4，可得b1＝ ， 当n≥2时，anbn＝Tn－Tn－1＝[（3n－4）·2n＋1＋8]－[（3n－7）·2n＋ 8]＝3n·2n＋1－2n＋3－3n·2n＋7·2n＝2n（6n－8－3n＋7）＝2n（3n－1）， 将n＝1代入上式，则a1b1＝2×（3－1）＝4＝T1， 综上所述，anbn＝2n（3n－1），n∈N*. a2b2＝22×（3×2－1）＝20，可得b2＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 又a2＝2a1＋1，则b2＝ ， 由方程 － ＝ ，可得 （2a1＋1）－ a1＝ ，解得a1＝2， 所以a2＝2a1＋1＝5，则等差数列{an}的公差为3，所以an＝3n－1， 由anbn＝2n（3n－1），则bn＝2n， 故数列{bn}的通项公式为bn＝2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【高考新风向】（13题5分，14题6分，共11分） 13. 〔创新定义〕已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝ 2，若[x]表示不超过x的最大整数（例如[1.6]＝1，[－1.6]＝－2），则 ＋ ＋…＋ ＝（　　） A. 2 022 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　由题设，（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝2，a2－a1＝4，故 {an＋1－an}是首项为4，公差为2的等差数列，则an＋1－an＝2n＋2，则 （an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＝an－a1＝2[n＋（n－ 1）＋…＋3＋2]＝（n＋2）（n－1）（n≥2），所以an＝n（n＋1）， 故 ＝1＋ .又n∈N*，当n＝1时， ＝2，当n≥2时， ＝1，所以 ＋ ＋…＋ ＝2 025. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 14. 〔创新考法〕〔多选〕如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的 《详解九章算法》中，被后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个 球，第二层有3个球，第三层有6个球……设第n层有an个球，从上往下n 层球的总个数为Sn，记bn＝（－1）n·（an＋1－an），则下列结论正确的 是（　　） A. an＋1－an＝n＋1 B. b1＋b2＋…＋b20＝20 C. Sn－Sn－1＝ ，n≥2 D. 的最大值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n（n≥2），所以 an＋1－an＝n＋1，故A正确；因为bn＝（－1）n（an＋1－an）＝（－1）n （n＋1），所以b1＋b2＋…＋b20＝－2＋3－4＋5－…－20＋21＝10，故B 不正确；因为a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n （n≥2），所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝ （n≥2），经检验a1＝ 1也满足该式，故an＝ ，当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝ ， 故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 ＝ ＝ ， － ＝ － ＝ ，所以当n＝1时， ＞ ，当n＝2时， ＝ ， 当n≥3时， ＜ ，所以当n＝2或n＝3时， 取得最大值 ，故D 正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $