6.4.1平面几何中的向量方法、6.4.2向量在物理中的应用举例 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.4.1- §6.4.2 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例 目录 题型1：利用向量证明线段垂直 3 题型2：利用向量证明线段平行 7 题型3：用向量解决线段的长度问题 11 题型4：用向量解决夹角问题 14 题型5：利用向量判断多边形形状 18 题型6：向量在物理中的应用 23 知识点一：向量在平面几何中的应用 1. 常见应用形式 (1) 证明线段相等 或或 。 (2) 证明直线或线段平行 或 (3) 证明三点共线 三点共线存在实数使得或或 (4) 证明线段垂直（证明四边形是矩形或正方形，证明三角形是等） 或。 (5) 求解与夹角有关的问题 可通过或求解。 (6) 求线段的长度或线段长度的关系 ①线段长度：利用图形特点选择基底，向向量的数量积进行转化，用公式 求解；或建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解；或利用公式求解。 ②线段长度的关系：用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理求解线段比例关系，或通过建立坐标系，设定端点坐标，利用向量的坐标表示求解线段关系。 2. 用向量法解决平面几何问题的两种思想 (1) 几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． (2) 坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 3. 求解向量在平面几何中的应用问题的三部曲 (1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。 (2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系。 (3) 将运算结果“翻译”成几何关系。 知识点二：平面向量在物理中的应用 1. 明确用向量研究物理问题的相关知识 (1) 向量与力 向量是既有方向又有大小的量，它们可以有共同作用点也可以没有共同作用点，而力的三要素是大小，方向和作用点，所以利用向量知识解决力的问题时，通常要把向量平移到同一作用点上。 (2) 向量与速度、加速度及位移 (3) 速度、加速度及位移的合成与分解，实际上就是向量的加减法运算。用向量解决速度、加速度及位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助坐标来运算。 (4) 向量与功、动量 力做的功实际上是力和位移两个向量的数量积，； 动量实际上是数乘向量。 2. 用向量法解决物理学中相关问题的步骤 第一步：将物理问题转化成数学问题； 第二步：建立以向量为主体的数学模型； 第三步：求出数学模型的解； 第四步：回归到物理现象中，用已经获取的数值去解释相应的物理现象。 题型1：利用向量证明线段垂直 【例1.1.】 在中，分别为边上的点，且.设.    (1)用表示； (2)用向量的方法证明：. 【答案】(1). (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、用向量证明线段垂直、向量的线性运算的几何应用 【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可求解； （2）由（1）得，根据平面向量的数量积运算即可证明. 【详解】（1）因为， . （2）由且， 得， 所以. 【例1.2.】 已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】以为原点建系，设，利用求出，求证即可. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 设，则，. 因为是的中点，所以. 又，即，即， 解得，即， ，， ， ，即. 【例1.3.】 已知四边形中，，，试用向量方法证明它的两条对角线互相垂直． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】先得出平分，进而得出，再计算即可. 【详解】证明：由题意知，所以平分， 因为，所以存在实数使得， 因为，所以，所以，所以四边形的两条对角线互相垂直． 【例1.4.】 如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】用向量证明线段垂直、用基底表示向量、垂直关系的向量表示 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【例1.5.】 在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的__________心． 【答案】垂 【难度】0.65 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】根据得到，然后得到，同理即可得到点H为的垂心． 【详解】因为， 所以，所以， 同理，，则点H为的垂心． 故答案为：垂. 题型2：利用向量证明线段平行 【例2.1.】 如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】利用平面向量的线性运算，选择用表示，结合向量的共线定理证明即可. 【详解】分别为中点，，， ； ，可设， ，又，， . 【例2.2.】 如图所示，已知直角梯形，，，过点C作于点E，M为的中点，用向量的方法证明： (1)； (2)D，M，B三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，然后根据向量平行的坐标表示证明即可. （2）根据向量的关系证明三点共线. 【详解】（1）证明：以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 令，则，． 因为，而， 所以四边形为正方形． 所以可求得各点坐标分别为，，，，． 因为， ， 所以，所以，即． （2）因为M为的中点，所以， 所以， ． 所以，所以． 又与共点于M，所以D，M，B三点共线． 【例2.3.】 在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、用基底表示向量 【分析】（1）依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）用，表示向量、，从而得到，即可得证. 【详解】（1）根据题意可作出下图    ∵，∴，∴， ∴. （2）因为，所以， 所以， 由，所以， 所以， 所以，所以， 所以. 【例2.4.】 如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：．    【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据已知有，，结合，得，再由，即得，即得证. 【详解】由题设，且是的角平分线，则，， 由，所以， 由和分别是和的中点，则， ，所以， 所以，即． 【例2.5.】 如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、用基底表示向量 【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可； （2）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、相等向量的定义进行证明即可. 【详解】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即； （2）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即，因此， 显然有，不共线， 因此且， 所以四边形是平行四边形. 题型3：用向量解决线段的长度问题 【例3.1.】 在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、已知数量积求模、用向量解决线段的长度问题 【分析】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【详解】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 【例3.2.】 在中，点在边上，且．点满足．若，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、已知数量积求模 【分析】利用平面向量的线性运算结合数量积公式计算即可. 【详解】由题意可知 ， 所以 ， 所以， 故选：A． 【例3.3.】 在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用向量解决线段的长度问题、数量积的运算律、用向量证明线段垂直 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 【例3.4.】 在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、用向量解决线段的长度问题 【分析】利用菱形的特点建立平面直角坐标系，再写出点的坐标，最后利用数量积的坐标运算即可求出答案. 【详解】由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，   为菱形，设菱形的边长为，又， ，，，， 是的中点，，， ，即， 菱形的边长为， 故答案为：. 题型4：用向量解决夹角问题 【例4.1.】 已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦值为______________ 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用向量解决夹角问题 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 【例4.2.】 正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用向量解决夹角问题、向量夹角的坐标表示 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 【例4.3.】 如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、用向量解决夹角问题 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：    依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 【例4.4.】 已知H为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用向量解决夹角问题、平面向量基本定理的应用 【分析】，，利用、得，，解得， 再利用平方共线可得答案. 【详解】依题意，，同理． 由H为△ABC的垂心，得，即， 可知，即．同理有， 即，可知， 即，解得， ，又， 所以． 故选：C． 题型5：利用向量判断多边形形状 【例5.1.】 在中，若，则一定为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】根据向量数量积运算的运算律化简得到，由此可得结论. 【详解】由得：， ，为直角三角形. 故选：B. 【例5.2.】 已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】由三角形重心、外心性质得到是三角形的重心、外心，从而得到三角形为等边三角形. 【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心， 所以三角形是等边三角形. 故选：D. 【例5.3.】 是所在平面内一点，满足，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】由已知条件可得出，等式两边平方可得出，即可得出结论. 【详解】因为， 由可得， 可得，整理可得，， 所以，为直角三角形. 故选：C. 【例5.4.】 在四边形中，若，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】平行向量（共线向量）、向量在几何中的其他应用 【分析】根据向量共线即可判断. 【详解】四边形ABCD中，若， 则，且， 所以四边形是梯形. 故选：B 【例5.5.】 已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 【例5.6.】 ，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律、向量加法法则的几何应用 【分析】对化简可得，对化简变形可得，从而可判断出三角形的形状. 【详解】由题知，所以，即． 因为，所以，即， 所以． 又因为，所以， 所以，即， 两边同时平方并展开化简可得，即，所以． 综上可知，的形状是等腰直角三角形． 故选：A． 【例5.7.】 已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、向量在几何中的其他应用 【分析】利用平面向量数量积的运算性质得出，推导出，即可得出结论. 【详解】因为 ， 即，故， 所以为等腰三角形. 故选：B. 【例5.8.】 已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量在几何中的其他应用、用向量证明线段垂直、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】由中位线定理可得四边形为平行四边形，结合已知以及，化简整理得，即，进一步即可得解. 【详解】    由题意结合中位线定理可得，， 所以，即四边形为平行四边形. ， ， ， ， ，即，即， 所以，又，所以， 同理由中位线定理可得，所以， 故四边形为矩形. 故选：C. 题型6：向量在物理中的应用 【例6.1.】 一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】功、动量的计算 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得对物体所做的功. 【详解】由题意可得， 又因为，所以对物体所做的功为. 故选：A. 【例6.2.】 一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m.已知，方向为北偏东30°，，方向为北偏东60°，，方向为北偏西30°，这三个力的合力所做的功为______J. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】功、动量的计算 【分析】先建立平面直角坐标系，分别得出三个力，，的坐标，计算其合力的坐标，同时得出位移的坐标表示，用数量积计算合力所做的功即可. 【详解】以三个力的作用点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示. 由已知可得，，. ∴. 又位移， 所以. 故这三个力的合力所做的功为. 故答案是：. 【例6.3.】 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】速度、位移的合成 【分析】作出示意图，将船速分解到沿河岸方向和垂直于河岸方向，与水流速度对比即可得到合速度(实际速度)． 【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．    设为渡口在对岸对应的点，则， 在中，∵，∴， ∴E和重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 故选：A. 【例6.4.】 已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】力的合成 【分析】先利用合力求出，再利用向量夹角公式可得答案. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：C. 【例6.5.】 （多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】力的合成 【分析】根据向量的平行四边形法则，由可知平行四边形法则为菱形，再逐一可验证求解. 【详解】 因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确； 根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误； 当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确； 若，则，与矛盾，所以，故D错误； 故选：AC. 【例6.6.】 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西． 【难度】0.66 【知识点】向量加法法则的几何应用、速度、位移的合成 【分析】（1）根据向量的加法公式可得顺流时实际速度最大，逆流时实际速度最小； （2）利用平面向量的平行四边形法则作出图形分析可得结论. 【详解】（1）小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为； 小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为，此时小船是静止的． （2）如图所示， 设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度，表示小船在静水中的速度． 设，由题意可得，，则， 因为，所以四边形为菱形． 所以，为等边三角形． 在中，，而，所以， 所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.4.1- §6.4.2 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例 目录 题型1：利用向量证明线段垂直 3 题型2：利用向量证明线段平行 4 题型3：用向量解决线段的长度问题 5 题型4：用向量解决夹角问题 6 题型5：利用向量判断多边形形状 7 题型6：向量在物理中的应用 8 知识点一：向量在平面几何中的应用 1. 常见应用形式 (1) 证明线段相等 或或 。 (2) 证明直线或线段平行 或 (3) 证明三点共线 三点共线存在实数使得或或 (4) 证明线段垂直（证明四边形是矩形或正方形，证明三角形是等） 或。 (5) 求解与夹角有关的问题 可通过或求解。 (6) 求线段的长度或线段长度的关系 ①线段长度：利用图形特点选择基底，向向量的数量积进行转化，用公式 求解；或建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解；或利用公式求解。 ②线段长度的关系：用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理求解线段比例关系，或通过建立坐标系，设定端点坐标，利用向量的坐标表示求解线段关系。 2. 用向量法解决平面几何问题的两种思想 (1) 几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． (2) 坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 3. 求解向量在平面几何中的应用问题的三部曲 (1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。 (2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系。 (3) 将运算结果“翻译”成几何关系。 知识点二：平面向量在物理中的应用 1. 明确用向量研究物理问题的相关知识 (1) 向量与力 向量是既有方向又有大小的量，它们可以有共同作用点也可以没有共同作用点，而力的三要素是大小，方向和作用点，所以利用向量知识解决力的问题时，通常要把向量平移到同一作用点上。 (2) 向量与速度、加速度及位移 (3) 速度、加速度及位移的合成与分解，实际上就是向量的加减法运算。用向量解决速度、加速度及位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助坐标来运算。 (4) 向量与功、动量 力做的功实际上是力和位移两个向量的数量积，； 动量实际上是数乘向量。 2. 用向量法解决物理学中相关问题的步骤 第一步：将物理问题转化成数学问题； 第二步：建立以向量为主体的数学模型； 第三步：求出数学模型的解； 第四步：回归到物理现象中，用已经获取的数值去解释相应的物理现象。 题型1：利用向量证明线段垂直 【例1.1.】 在中，分别为边上的点，且.设.    (1)用表示； (2)用向量的方法证明：. 【例1.2.】 已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 【例1.3.】 已知四边形中，，，试用向量方法证明它的两条对角线互相垂直． 【例1.4.】 如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【例1.5.】 在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的__________心． 题型2：利用向量证明线段平行 【例2.1.】 如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    【例2.2.】 如图所示，已知直角梯形，，，过点C作于点E，M为的中点，用向量的方法证明： (1)； (2)D，M，B三点共线． 【例2.3.】 在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 【例2.4.】 如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：．    【例2.5.】 如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 题型3：用向量解决线段的长度问题 【例3.1.】 在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【例3.2.】 在中，点在边上，且．点满足．若，，则（    ） A． B． C． D．3 【例3.3.】 在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【例3.4.】 在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为________. 题型4：用向量解决夹角问题 【例4.1.】 已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦值为______________ 【例4.2.】 正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为________. 【例4.3.】 如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【例4.4.】 已知H为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 题型5：利用向量判断多边形形状 【例5.1.】 在中，若，则一定为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【例5.2.】 已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【例5.3.】 是所在平面内一点，满足，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【例5.4.】 在四边形中，若，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【例5.5.】 已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【例5.6.】 ，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 【例5.7.】 已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【例5.8.】 已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 题型6：向量在物理中的应用 【例6.1.】 一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 【例6.2.】 一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m.已知，方向为北偏东30°，，方向为北偏东60°，，方向为北偏西30°，这三个力的合力所做的功为______J. 【例6.3.】 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【例6.4.】 已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【例6.5.】 （多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 【例6.6.】 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $