8.1.2 分步计数原理（教案）--北师大版《数学 拓展模块一下册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 下册》 第八章 排列组合 8.1.2 分步计数原理 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “分步计数原理”是排列组合章节的核心内容，核心知识点包括分步计数原理的定义及适用条件，为后续学习排列、组合及复杂计数问题奠定了关键的计数思想基础。教材以生活中的分步完成任务场景为逻辑主线，既衔接了学生对分类计数原理的认知，又深化了“分步递进、步步相依”的计数思维，提升学生用分步思想解决多步骤计数问题的能力。 五、学情分析 多数学生已具备分类计数原理、简单整数乘法运算等基础知识，并且对生活中“分步骤完成一件事” 的场景有明确认知，这为他们学习分步计数原理打下了基础。但如果只采用纯公式推导的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，还容易出现对“分步步骤不独立、步骤间逻辑混淆”导致重复或漏算的问题。因此可以通过生活实例帮助学生掌握分步计数原理，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握分步计数原理的定义； 2.能熟练运用分步计数原理解决简单的计数问题； 3.通过分步计数原理的探究与应用，深化对计数思想的理解，提升逻辑推理、数学建模的核心素养。七、教学重点 1.分步计数原理的定义； 2.分步计数原理的解题思路和步骤。 八、教学难点 可以熟练运用分步计数原理解决简单的计数问题。 九、教学方法 案例法：通过案例来帮助学生理解分步计数原理的相关知识点，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对分步计数原理知识点进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究分步计数原理的知识点，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 为推进教育精准扶贫政策实施，2019年，浙江杭州与贵州台江结对帮扶。支教老师准备从杭州坐高铁到凯里，再从凯里坐大巴车到台江。 大巴车可以提前预约，出发前台江为支教老师提供了3辆大巴车供选择。已知一天中从杭州到凯里的高铁有14个车次，那么，支教老师从杭州到台江有多少种不同的选择？ 分析： 在上述问题中，支教老师从杭州到台江不能直接到达，必须经过凯里。 从杭州到凯里有14个不同的车次可以选择，选择其中的任一车次后，支教老师都可以提前预约3辆大巴车的任意一辆从凯里到达台江。 所以，支教老师从杭州到台江共有（种）不同选择. 通过生活举例分析推导出新知识点：分步计数原理。 新知讲授 分步计数原理： 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 总结分类计数原理的定义。 案例分析 【例题】根据新时代劳动教育要求，某小学在课外活动时间开设了两类课程：一类是园艺类课程，共有盆景设计、草坪修剪等6门不同的课程；另一类是手工类课程，共有十字绣、布艺制作等7门不同的课程. 已知园艺类课程和手工类课程的时间不重复，小明要选报一门园艺类课程和一门手工类课程，他有多少种不同的选择？ 【解析】 小明要完成课程选报可分两步进行： 第1步，选报园艺类课程，可以从6门不同的课程中任选一门，共有6种不同的选择； 第2步，选报手工类课程，可以从7门不同的课程中任选一门，共有7种不同的选择. 以上两个步骤都完成，小明的课程选报才算完成. 所以，根据分步计数原理得， 即这个密码锁共含 个不同的数字组合. 【例题】一个密码锁共由5位数字组成，每一位上都有0，1，2，…，9这10个数字. 试问，这个密码锁共含多少个不同的数字组合？ 【解析】 密码锁由5位数字组成： 第1位，可以从0，1，2，…，9这10个数字中任意选取1个，有10种不同的选择； 第2位，可以从0，1，2，…，9这10个数字中任意选取1个，有10种不同的选择； …… 第5位，可以从0，1，2，…，9这10个数字中任意选取1个，有10种不同的选择. 以上5个步骤依次完成，5位数字才算组合完成. 所以，根据分步计数原理得，即这个密码锁共含 个不同的数字组合. 【例题】某中职学校有艺术类、人文类、技能类三类社团，其中艺术类社团有绘画、萨克斯等7个不同的社团，人文类社团有演讲、小说赏析等9个不同的社团，技能类社团有茶艺、网页制作等10个不同的社团.已知三大类社团的活动时间不冲突，小陈要参加两种不同类的社团各1个，有多少种不同的选择？ 【解析】 小陈参加社团可分三类来选择： 第1类，参加1个艺术类社团和1个人文类社团. 第1步，参加1个艺术类社团，可以从7个不同的社团中任选1个，共有7种不同的选择；第2步，参加1个人文类社团，可以从9个不同的社团中任选1个，共有9种不同的选择. 两个步骤都完成，小陈才算完成了选择. 所以，在这一类中他共有 种不同的选择. 第2类，参加1个艺术类社团和1个技能类社团，他共有种不同的选择. 第3类，参加1个人文类社团和1个技能类社团，他共有种不同的选择. 所以，根据分类计数原理和分步计数原理得，即小陈要参加两种不同类的社团各1个，共有223种不同的选择. 通过案例来帮助学生更好地理解分步计数原理。 学以致用 【练习】4名学生报名参加两项体育比赛，每名学生可参加的比赛数目不限，每项比赛参加的人数不限，共有多少种不同的报名结果？ 【解析】设两项体育比赛分别为项目、项目， 则每名学生都有种报名结果，即报名个项目，报名项目，报名项目，报名项目， 所以名同学共有种报名结果. 【练习】如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条.李明要从A村先到达B村，再经过C村，最后到达D村，共有多少条不同的线路可以选择? 【解析】李明从A村到B村的道路有3条， 从B村到C村的道路有2条， 从C村到D村的道路有3条. 因此整个行程共有条线路可选择. 现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有多少种？ 答案：由题，当C、 D区域的涂色相同时，有：种方法； 当C、 D区域的涂色不同时，有：4×3×2×1＝24种方法. 所以共有48种着色方法. 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对分步计数原理的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】用数字 1、2、3、4 组成两位数（数字不重复使用），不同的两位数共有（ ） A．4 种 B．8 种 C．12 种 D．16 种 【解析】组成两位数分两步：①选十位数字，有4种选择（1、2、3、4）； ②选个位数字，因数字不重复，需排除十位已选数字，有 3 种选择， 根据分步乘法原理，总两位数个数为种. 故选：C. 【练习2】广西有三个沿海旅游城市（北海、防城港、钦州），外地4名游客随机选择前往其中一个沿海旅游城市，有（ ）种不同选法． A． B． C． D．4 【解析】每名游客都有3种选择，4名游客的选择是相互独立的， 根据分步计数原理，总的不同选法为种． 故选：A. 【练习3】4位大学生准备暑期参加社区实践活动，现有3个社区可供他们选择，每位同学只能选择一个社区参加实践活动，则不同的选择方式共有（ ） A．6种 B．24种 C．64种 D．81种 【解析】每位同学从3个社区中任选一个社区，有3种不同的选法， 则4位同学共有种不同的选法． 故选：D． 【练习4】乒乓球国奥队某训练小组有3名男队员和4名女队员，现选拔男女各1名队员参加混双比赛，则不同的选法种数为（ ） A．7 B． C． D．12 【解析】因为有3名男队员，从中选1名男队员参加比赛，那么选男队员的方法数有3种， 有4名女队员，从中选1名女队员参加比赛，选女队员的方法数有4种， 根据分步乘法计数原理，选男队员是第一步，有3种方法；选女队员是第二步，有4种方法，所以总的选法种数为种. 故选：D． 【练习5】某人将一块空地划分为A、B、C、D、E五个区域，在这五个区域内分别种植芙蓉花、海棠花和鸡冠花三种花卉，要求每相邻两个区域种植不同的花卉，则不同的种植方案共有（ ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【解析】从区域开始逆时针方向进行布置； 第一安排区域有三种可能；第二安排区域有两种可能， 第三安排区域，区域区域已确定所以区域固定， 第四安排区域，区域区域已确定所以区域固定， 第五安排区域，区域区域已确定所以区域固定； 共有种可能； 故选：A. 【练习6】目前甲型流感肆虐我市，市某医院发热门诊有五项不同的工作需要医生参加，甲、乙两名医生都从这五项工作中任选了两项工作，其中恰有一项工作相同的参与方式有（ ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 【解析】根据分步乘法计数原理， 第一步，选择一项相同的工作，有5种选法； 第二步，甲医生选择剩下的一项工作，有4种选法； 第三步，乙医生选择除甲医生选择过的工作之外的一项工作，有3种选法， 所以恰有一项工作相同的参与方式有种. 故选：C. 【练习7】在含有8个节目的节目单中，若临时插入2个歌唱节目，且保持原来节目的顺序不变，则不同的插入方法有（ ） A．90种 B．80种 C．72种 D．56种 【解析】根据题意，在含有8个节目的节目单中，若临时插入2个歌唱节目，且保持原来节目的顺序不变，可分两步： 第一步：原有8个节目，中间和前后有9个空，则第一次插入一个节目有种情况， 第二步：插入一个节目后，节目中间和前后变成10个空，则第二次再插入一个节目有种情况， 则不同的插入方法有种， 故选：A. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 分步计数原理： 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 分步计数原理： 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过生活实例引入分步计数原理的概念，多数学生能初步理解分步计数原理的核心思想，掌握解题步骤。但在课堂检测中也发现：个别学生在确定分步顺序时容易出现混乱，导致计数时出现逻辑错误。因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $