8.2.1 排列问题（教案）--北师大版《数学 拓展模块一下册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 下册》 第八章 排列组合 8.2.1 排列问题 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “排列问题”是排列组合章节的核心内容，核心知识点包括排列的定义、排列问题的有序性特征及基本分析思路，为后续学习排列数公式、排列组合综合应用等内容奠定了重要的概念与思想基础。教材以生活中的有序排列场景为逻辑主线，既衔接了学生对分步计数原理的认知，又深化了“有序性是排列问题核心特征”的计数思维，提升学生用有序思想解决实际计数问题的能力。 五、学情分析 多数学生已具备分步计数原理、简单枚举计数等基础知识，并且对生活中“按顺序完成一件事”的场景有明确认知，这为他们学习排列问题打下了基础。但如果只采用纯概念定义的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，还容易出现对“有序性”判断不清晰的问题。因此可以通过生活实例帮助学生掌握排列问题的相关知识，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握排列及排列问题的定义； 2.掌握排列问题的基本分析思路，规范描述排列的形成过程； 3.通过排列问题的探究与分析，深化对计数思想中 “有序性” 的理解，提升逻辑推理、数学建模的核心素养 七、教学重点 1.排列的定义； 2.掌握分析排列问题的步骤和方法。 八、教学难点 可以准确分析排列问题并计算排列数。 九、教学方法 案例法：通过案例来帮助学生理解排列问题的相关知识点，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对排列问题进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究排列问题，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 从2，3，4，5这4个数字中任意选取2个数字组成一个两位数，能组成哪些两位数？你能不能列出所有这些两位数？ 分析： 从2，3，4，5这4个数字中任意选取2个数字组成一个两位数，可以分两步完成： 第1步，确定十位上的数字，可以从2，3，4，5这4个数字中任意选取1个，有4种不同的选择； 第2步，确定个位上的数字，由于4个数字中已经选取了1个数字作为十位上的数字，所以仅剩下3个数字可供选取，有3种不同的选择. 根据分步计数原理，共可以组成个两位数。这些两位数为： 23，24，25； 32，34，35； 42，43，45； 52，53，54. 通过生活举例分析推导出新知识点：排列问题。 新知讲授 排列问题 我们把被选取的对象（如上面的2，3，4，5中的任何一个）叫作元素.那么上面的问题就是从4个不同的元素中任取2个元素，然后按照一定的顺序排成一列，求所有排列情况. 一般地，从个不同元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从个不同元素中任取个元素的一个排列. 例如，上面的“23”是一个排列，“32”也是一个排列，显然两者是不同的排列. 如果，那么从个不同元素中任取个元素的排列，叫作选排列. 如果，那么从个不同元素中任取个元素的排列，叫作全排列. 研究从个不同元素中任取个元素的所有排列的个数，这类计数问题叫作排列问题. 总结排列以及排列问题的定义。 案例分析 【例题】因对学生进行劳动教育的需要，某小学在操场边开辟了甲、乙、丙3块地分配给四年级3个班的学生种植花草，共有多少种不同的分配方案？ 【解析】把3个班分别记作1班、2班、3班，每一块地都有可能分配给其中的任意一个班。所有的分配方案如下 甲地——1班 乙地——2班 丙地——3班； 甲地——1班 乙地——3班 丙地——2班； 甲地——2班 乙地——1班 丙地——3班； 甲地——2班 乙地——3班 丙地——1班； 甲地——3班 乙地——1班 丙地——2班； 甲地——3班 乙地——2班 丙地——1班. 综上，共有6种不同的分配方案. 事实上，要完成分配可以分三个步骤进行： 第1步，分配甲地，可以分配给1班，可以分配给2班，也可以分配给3班，共有3种不同的分配方法； 第2步，分配乙地，因为一个班已经分配到甲地，所以，乙地只能分配给没有分到地的其他班，只有2种不同的分配方法； 第3步，分配丙地，因为两个班已经分配到地，所以只剩一个没有分到地的班，只有1种不同的分配方法. 根据分步计数原理得，即共有6种不同的分配方案. 【例题】数字0，2，7，8可以组成多少个没有重复数字的三位数？并写出所有的排列. 【解析】组成一个三位数可以分三个步骤进行： 第1步，确定百位上的数字，因为百位上的数字不能为0，所以，只能从2，7，8这3个数字中任意选取1个，有3种不同的选择； 第2步，确定十位上的数字，因为百位上的数字已确定，而各个位置上的数字不能重复，所以十位上的数字只能从余下的3个数字中任意选取1个，有3种不同的选择； 第3步，确定个位上的数字，因为百位、十位上的数字都已确定，而各个位置上的数字不能重复，所以个位上的数字只能从余下的2个数字中任意选取1个，有2种不同的选择. 根据分步计数原理得，即可以组成18个没有重复数字的三位数. 所有的排列为：207，208，270，278，280，287，702，708，720， 【例题】某中职学校安排3个班的学生到不同的企业进行为期一周的社会实践，每个班只去一家企业. 现学校联系了4家企业，它们都有足够的岗位提供社会实践，且每家企业最多接收一个班的学生实习，共有多少种不同的安排方法？ 【解析】完成这件事，可以分三个步骤进行： 第1步，安排第1个班的社会实践，这个班可以选择4家企业中的任何一家，共有4种不同的选择； 第2步，安排第2个班的社会实践，因为已经有一家企业接收了一个班的学生，所以，第2个班只能从余下的3家企业中选择一家，共有3种不同的选择； 第3步，安排第3个班的社会实践，因为已经有两家企业接收了两个班的学生，所以，第3个班只能从余下的2家企业中选择一家，共有2种不同的选择. 根据分步计数原理得，即共有24种不同的安排方法. 通过案例来帮助学生更好地理解排列以及排列问题的定义。 学以致用 【练习】（1）有5个不同的科研小课题，从中选3个安排高二年级的3个课外兴趣小组参加，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ （2）有5个不同的科研小课题，高二年级的3个课外兴趣小组报名参加，每组限报一个，共有多少种不同的报名方法？ 【解析】（1）从5个不同的课题中选出3个，安排课外兴趣小组来参加， 对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列． 因此，共有种不同的安排方法． （2）每个小组都可从5个不同的课题中选报一个， 因此第一小组有5个不同的课题可以选择，第二小组也有5个不同的课题可以选择， 第三小组仍然有5个不同的课题可以选择， 根据分步乘法计数原理，一共有种不同的报名方法． 【练习】10名学生参加数学预赛，前三名可以作为学校代表进行比赛，则最后的结果可能有几种？ 【解析】从个学生中有顺序地随机抽取个，由排列公式可知， 有种不同的抽取方式， 故最后的结果可能有种. 同学们，刚刚我们完成了排列问题相关知识点的学习，其实排列本质就是：有顺序的选择。只要和顺序、位置、排名、次序有关，全是排列问题。 现在请同学们想一想生活中哪些场景用到了排列？ 答案：在日常生活中，排队、密码、排名、排课、拍照、坐车…… 全是排列问题。例如手机号，数字顺序不同，就是完全不同的号码 。 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对排列以及排列问题的定义的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】某天上午有语文、数学、英语、体育四门课程，若体育课不能排在第一节，则不同的排课方法种数为（ ） A．36 B．24 C．18 D．4 【解析】先考虑体育的位置，再考虑其它三门课的排列情况，体育有3种排法， 剩下的3门课全排列，有种方法， 所以不同的排列方法有：种方法. 故选：C. 【练习2】下列问题属于排列问题的是（ ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算. A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 【解析】排列的定义是从个不同的元素中取出个元素，并按照一定顺序排成一列， ①中，选中的人有顺序地去种树和扫地，属于排列问题； ②中，选中的人都去扫地，不属于排列问题； ③中，选中的人都参加篮球队，不属于排列问题； ④中，选中的个数有顺序地作为底数和指数，属于排列问题， 故选：A. 【练习3】由数字1，3，4，7组成没有重复数字的四位数，则不同的四位数共有（ ） A．24种 B．6种 C．25种 D．26种 【解析】由数字1，3，4，7组成没有重复数字的四位数， 则不同的四位数共有． 故选：A. 【练习4】某学校高一年级有10个班级，现有4名学生需要分配到该年级去，每个班最多分配一人，则不同的分配方法有（ ） A．90种 B．210种 C．5040种 D．630种 【解析】由题可知，从10个班级中选4个分配4名学生， 不同的分配方法有种． 故选：C. 【练习5】等5名同学参加1千米赛跑测试，先后到达终点，则同学是以第二名的成绩到达的情况有（ ）种 A．120 B．60 C．30 D．24 【解析】等5名同学参加1千米赛跑测试，先后到达终点，则同学是以第二名的成绩到达的情况即为其余四个同学排列种. 故选：D. 【练习6】临近元旦三天假期，单位准备安排甲乙丙丁四人中的三人进行元旦假期值班，每天一人，每人最多安排一天，其中甲1月1日有事不能值班，恰好乙只有1月1日有时间可以安排值班，则不同的安排结果共有（ ） A．3种 B．4种 C．6种 D．10种 【解析】元旦三天假期值班安排有以下情形： 乙甲丙，乙甲丁，乙丙甲，乙丙丁，乙丁甲，乙丁丙，丙甲丁，丙丁甲，丁甲丙，丁丙甲，共10种． 故选：D． 【练习7】4名老师和4名学生进行一帮一结对帮学活动，则不同的结对方式有（ ） A．12种 B．16种 C．24种 D．28种 【解析】4名老师和4名学生进行一帮一结对帮学活动， 可先将4名学生固定，让4名老师去选择进行一帮一结对， 即对4名老师进行全排列，所以不同的结对方式有种. 故选：C. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 一般地，从个不同元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从个不同元素中任取个元素的一个排列. 如果，那么从个不同元素中任取个元素的排列，叫作选排列. 如果，那么从个不同元素中任取个元素的排列，叫作全排列. 研究从个不同元素中任取个元素的所有排列的个数，这类计数问题叫作排列问题. 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过生活实例引入排列的概念，多数学生能初步理解排列的定义，掌握解题思路。但在课堂检测中也发现：个别学生容易将无序的组合类问题误判为排列问题。因此在课后练习中，需增加相关析的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $