第七章 数列（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知与分别求得，进而得解. 【详解】因为数列的前项和为， 当时，， 所以， 则. 故选：B. 2．在等差数列中，若，，则（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式可求. 【详解】等差数列中，若，， 则， ； 故选：B. 3．等差数列中，已知，则公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为是等差数列，， 所以，解得， 所以公差. 故选：B. 4．在正数等比数列中，若，，则该数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列通项公式求出公比和首项，代入等比数列前项和公式即可. 【详解】设等比数列的公比为， ∵，∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∴， 故选：B． 5．已知等比数列的通项公式为，则该数列的首项和公比q分别为（    ） A．2和2 B．2和3 C．6和 D．6和 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式求基本量即可得解. 【详解】因为等比数列的通项公式为， 所以，. 故选：B. 6．在等差数列中，如果，那么（     ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和公式可求. 【详解】因为， 有， 则； 故选：B. 7．数列中，，则此数列最大项的值是（    ） A． B．30 C．31 D．32 【答案】B 【分析】结合二次函数的性质，通过配方法即可求出最值. 【详解】， 所以当时，取得最大值， 又， 所以当或6时， 取最大值， 故选：B. 8．某个等比数列共有项，若前项之和为15，后项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为（    ） A．63 B．72 C．75 D．87 【答案】A 【分析】根据等比数列片段和性质进行运算. 【详解】由题意知，； 又， 解得； 所以； 故选：A. 9．在各项均为正数的等比数列中，若，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】A 【分析】由等比数列的性质结合对数的运算法则求解即可. 【详解】为等比数列，且各项均为正数， 由，可得， 所以. 故选：A. 10．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列前项和与通项的关系即可得解. 【详解】数列的前项和为， 当时，， 当时，， 经检验，时，也适合上式， 故数列的通项公式为. 故选：. 11．在等差数列 中，若 ，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列片段和的性质即可得解. 【详解】由等差数列的性质可知， 成等差数列， 且首项为1，公差为， 所以. 故选：A. 12．等差数列中，，则该数列前9项和（   ） A．27 B．49 C．54 D．108 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列下标和的性质，及等差数列前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，， 所以， 所以前9项和. 故选：C. 13．记等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列的通项公式和前项和即可得解. 【详解】设等差数列的公差为. 因为. 所以. 解得. 所以. . 故选:. 14．中国古代数学中有一个问题：从冬至之日起，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长之和是37.5尺，芒种的晷影长是4.5尺，则冬至的晷影长是（    ） A．9.5尺 B．10.5尺 C．12.5尺 D．15.5尺 【答案】D 【分析】根据题意即可求解出该数列的首项和公差，从而求得冬至的晷影长. 【详解】从冬至起，晷影长依次记为，，，， ，根据题意，有， 根据等差数列的性质，有，而，设数列的公差为d， 则有，解得，故冬至的晷影长为15.5尺，因此选项D正确． 故选：D. 15．已知等差数列中，为其前n项的和，，，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】先根据等差数列的前n项和公式求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求出即可. 【详解】由等差数列的前n项和公式得， ，解得； 由等差数列的通项公式可得， . 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若数列满足，，则______． 【答案】24 【分析】根据等比数列的定义，判定数列为等比数列，利用等比数列通项公式求解. 【详解】由题意可知，数列为首项为3，公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式，可得. 故答案为：24 17．若数列的前 项和 ，则 __________. 【答案】12 【分析】根据题意求出与的值即可求出的值. 【详解】由题意可知：，，， 故答案为：. 18．已知系列点都在直线上，若，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据点在直线上得到，进而确定的坐标； 【详解】因为系列点都在直线上， 所以， 又因为， 所以， ， ， , ， 则点的坐标是，即为. 故答案为： 19．若等差数列满足，则__________． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列的性质即可求得. 【详解】． 故答案为：. 20．在数列中，，则数列的通项公式为_________. 【答案】 【分析】利用倒数法证得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为， 易知，所以，则， 又，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，则. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在等差数列中，，.求： (1)该数列的通项公式； (2)求该数列的前项和的最大值，以及取得最大值时的值. 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值为 【分析】（1）由等差数列的通项公式，列出关于和的方程组，据此可得通项公式； （2）求出的表达式，由二次函数的性质可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ，解得， 所以； （2）由（1）知， 由于其对称轴为 当时，， 当时，， 所以当时，数列的前项和取最大值，最大值为. 22．数列的通项公式是. (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 【答案】(1) (2)是，第16项 【分析】（1）将代入通项公式即可； （2）将代入通项公式即可. 【详解】（1）数列的通项公式是． 这个数列的第4项是：． （2）令，即， 解得或（舍， 是这个数列的项，是第16项． 23．在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，可解出公差的值，再利用等差数列的通项公式与求和公式求解即可； （2）由（1）可得，利用裂项相消的方法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，解得：， 所以等差数列的通项公式为：， 等差数列的前项和为. （2）由（1）可得, 所以数列的前项和. 24．在等差数列中，是该数列的前项和，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据等差数列的性质联立方程组求得数列的首项和公差，再由等差数列通项公式即可解得； （2）根据第（1）问的结论求得数列的前项和公式，进而列出不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差为， 因为，即， 又因为，即， 联立方程组：， 解得：，， 所以通项公式为：． （2）因为，，， 所以前项和， 又因为，即， 解得：（舍）或， 所以最小正整数解为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，若，，则（   ） A． B．0 C．1 D．6 3．等差数列中，已知，则公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在正数等比数列中，若，，则该数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的通项公式为，则该数列的首项和公比q分别为（    ） A．2和2 B．2和3 C．6和 D．6和 6．在等差数列中，如果，那么（     ） A．24 B．12 C．6 D．3 7．数列中，，则此数列最大项的值是（    ） A． B．30 C．31 D．32 8．某个等比数列共有项，若前项之和为15，后项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为（    ） A．63 B．72 C．75 D．87 9．在各项均为正数的等比数列中，若，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．16 10．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 11．在等差数列 中，若 ，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 12．等差数列中，，则该数列前9项和（   ） A．27 B．49 C．54 D．108 13．记等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 14．中国古代数学中有一个问题：从冬至之日起，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长之和是37.5尺，芒种的晷影长是4.5尺，则冬至的晷影长是（    ） A．9.5尺 B．10.5尺 C．12.5尺 D．15.5尺 15．已知等差数列中，为其前n项的和，，，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若数列满足，，则______． 17．若数列的前 项和 ，则 __________. 18．已知系列点都在直线上，若，则点的坐标是___________． 19．若等差数列满足，则__________． 20．在数列中，，则数列的通项公式为_________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在等差数列中，，.求： (1)该数列的通项公式； (2)求该数列的前项和的最大值，以及取得最大值时的值. 22．数列的通项公式是. (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 23．在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若数列满足，求数列的前项和. 24．在等差数列中，是该数列的前项和，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $