1.2二倍角公式1 - 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 1.2二倍角公式1 一、知识梳理 2tana (1)二倍角公式：sin2a=2 sina cosa:tan2a= 1-tan2a cos 2a cos2a-sin2a 2 cos2 a-1=1-2sin2a (2)二倍角公式的变形 1.半角公式：c0s2a=1+c0s2a. 2 ;sin'a =1-cos2a 2 2.升幂公式：1+c0s2a=2cos2u;l-c0s2a=2sin2a 二、题型精练 题型1正弦二倍角-套用1 【奥树1已知sna-手ue号m)求2a 4 【典例21：已知cosa=-12, 13,ce(π， 3弧)，求sn2a 2 题型2正弦二倍角公式-逆用1 【典例1】：计算：2sin15°cos15 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 【典例2】：计算：sin67.5°cos67.5 【典例31：计算：log2sinT+1og,cos 12 2 题型3正弦二倍角公式-套用2 【典例1】：已知0<a<π，3sin2a=sina,则cos等于() 1 A B. c.-1 6 6 【典例2：己知cos2o=sin2a,则tan等于() A.2 B. c.1 3 题型4正弦二倍角公式-逆用2 【典例1】：化简：cos20°cos40°cos80° 【典例2】：化简：4 sin a cos a cos2a 题型5正余弦加减1 【典例l】:若sina+cosa= ,则sin2a= 3 1 【典例2：若sinx-cosa=二三，则sin2a= 3 题型6正余弦加减1 【典例1已知sincos=,且0<a<T，求sma+cosa的值 1 4 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 【典例2小：已知sin2a=三，且o是第三象限角，求sina+cosa的值 3 三、知识检测 3 L,已知sima=?a∈)，求n20 2已灯6or-a)=月ae受2，求油2a 3.计算：2sin22.5°cos22.5° 4.计算：2sin15°sin75o 5.已知sin2a8 sina 5 则cosa等于（) 4 A B、4 c.3 5 5 D、3 5 6.己知sin2a:sina=12:7,则coso等于 7若sin2a+cos2a= 3'则sm4a= 8若sinx-cosx=m,则sin2x= 1 9.已知sina cosa=- '且a∈（写），求omsa-ma的催 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 10.若△ABC的内角A满足sin2A= 2 ，求sinA+cosA的值 3 π π.2π4π 1.化简：sin7cos7cos 7 cos π2π 4π 12.化简：cos5cos coS- 9 9 9 sin20°cos20° 13.求值： c0s50° ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 1.2二倍角公式1 一、知识梳理 2tan a (1)二倍角公式：sin2a=2 sina cosa:tan2a= 1-tan2a cos 2a cos2a-sin2a 2 cos2 a-1=1-2sin2a (2)二倍角公式的变形 1.半角公式：c0s2a=1+cos2a 2 ;sina=1-cos2a 2 2.升幂公式：1+cos2a=2cos2a;1-cos2a=2sin2a 二、题型精练 题型1正弦二倍角-套用1 【头例1已知sinu=子ae兮小，求血2a 4 【答案】 4 25 【分析】根据题意，结合倍角公式，即可求解 4 【详解】因为sina= 乞m),所以cosa=-V1-sin'a=- 43、24 所以sin2a=2 sin a cosa=2× 5(= 25 24 故答案为： 25 12 【典例2】：已知cosa= ，0∈（π 13 3沉)，求sm2a ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 SAI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【答案】120 169 【分析】根据题意，结合倍角公式，即可求解 12 【详解】因为cosa= 5 ，a∈(，3S,所以sina=V1-cos2a= 13 13 5. 12、120 所以sin2a=2 sin=2x(3×(16)-169 故答案为： 120 169 题型2正弦二倍角公式-逆用1 【典例1】：计算：2sin15°cos15 【路 【分析】利用正弦二倍角公式可求 【详解】2sin15°cosl5°=sin30°= 1 故答案为： 【典例2】：计算：sin67.5°cos67.5° 【答案】② 【分析】利用正弦二倍角公式可求 【详解】sin67.5°cos67.5° 2咖135=}2、V5 224 故答案为： 2 4 【典例3】：计算：log2si +log,co 12 12 【答案】-2 【分析】利用正弦二倍角公式可求 log,sin+log:coslog,sincos 12 1 12 【详解】 12 1 =log226 1.L-1og4 2 故答案为：-2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型3正弦二倍角公式-套用2 【典例1】：已知0<<π，3sin2a=sina,则coso等于() A、1 C、 D 3 6 【答案】D 【分析】根据题意，结合倍角公式，即可求解 【详解】因为sin2a=2 sin a cos a,所以3(2 sin a cosa)=sina,得6cosa=1 1 所以coSa= 6 故答案为：D 【典例2】：己知cos2a=sin2a,则tana等于() 1 1 A.2 c.1 2 93 【答案】B 【分析】根据题意，结合倍角公式，即可求解 【详解】因为cos2u=sin2a,所以cos2u=2 sin a cosa→cosa=2sin, sin a sina 1 所以tano= cosa 2sina 2 故答案为：B 题型4正弦二倍角公式-逆用2 【典例1】：化简：cos20°c0s40°c0s80 【答案】1 8 【分析】由二倍角的正余弦公式结合诱导公式进行化简即可得解 【详解】原式2sin20°c0s20°c0s40°c0s80°_2sin20°c0s20°c0os40°c0s80° 2sin20° 2sin20° 2sin40°cos40°cos80°2sin80°cos80°sin160°1 2×2sin20° 2×2×2sin20°8sin20°8 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 故答案为：1 8 【典例2】：化简：4 sin a cos a cos2a 【答案】sin4a 【分析】由二倍角的正余弦公式进行化简即可得解 【详解】原式2×2 sin a cos a cos2a=2×sin2acos2a=sin4a 故答案为：sin4a 题型5正余弦加减1 【典例1】：若sina+cos= 则sin2a= 3 2 【答案】 3 【分析】首先将等式两边同时平方，再由二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方关系 化简求值即可 【详解】已知sin a+cosa= 3 ,则(sina+cosa)2=(3)2 2 sin2a+2sin a cosa +cos2a= 所以sin2o= 3 则有1+sin2a=3 3 故答案为： 3 【典例2：若sinx-coso= 3’则sin2a= 【答案】 9 【分析】首先将等式两边同时平方，再由二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方关系 化简求值即可 【详解】已知sina-cosa= 则(sina-cosa}=( 即sina-2 sin+cosa=g,则有1-sin2a=g,所以sin2a= 8 9 故答案为： 8 9 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型6正余弦加减1 【典例1：己知sin a cos= 4,且0<a< 2 ,求sina+cosa的值 【答案】V6 2 【分析】首先将等式两边同时平方，再由二倍角公式和同角三角函数的平方关系化简求 值即可 1 【详解】已知sin4且0<a<)所以sn0>0.cosa>0 所以sina+cosa>0, 因为 13 (sin a +cosa )2=sin2 a +2sin a cos a cos2a =1+2sin a cos a =1+2x 421 3V6 所以sina+cosa 2 故答案为： 6 2 1 【典例2】：已知sin2a 3 且o是第三象限角，求sina+cosa的值 【答案】 2V5 3 【分析】首先将等式两边同时平方，再由二倍角公式和同角三角函数的平方关系化简求 值即可 【详解】已知 1,且0心是第三象限角，所以 sin 2a =2sin a cosa 3 sina<0.cosa <0. 所以sina+cosa<0, 因为 14 (sin a cos a)2=sin2a cos2a +2sin a cos a =1+sin 2a=1+=- 33 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 所以 4 2W5 sina +cosa= 3 故答案为： 25 3 三、知识检测 3 已知sina=”a∈（兮刀，求咖2b 5 【答案】一 24 25 【分析】根据题意，结合倍角公式，即可求解 3 雅解】因为sina,aEπ，所以cosa=-1-sin。定 5 5 3 4、24 所以sin2a=2 sin a cosa=2×-×(-)=- 5 5 25 24 故答案为： 25 2.已知cos(π-m)=-, 令，o∈，2元)，求sin2 【答案】-4V2 9 【分析】根据题意，结合倍角公式，即可求解 【详解1因为cos(r-a)三3，aE(32π) 1 所以cos(π-)=-Cosa= 3故cosa= 1 3 又因为simQ=-V-cos'a=-2V2 3 所以sin2a=2 siaa=2x(_2V2)x1.-42 3 3 9 故答案为： 42 3.计算：2sim22.5°c0s22.5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【答案】② 2 【分析】利用正弦二倍角公式可求 【详解】2sin22.5°cos22.5°=sin45°= 岭 故答案为： 2 4.计算：2sin15°sin75 【和时 【分析】利用正弦二倍角公式可求 【详解】2sin15°sin75=2sin15°cos15°=sin30°=2 1 故答案为： 2 5.已知sin2a8 ,则coso等于() sin a 5 4 4 A 3 B.- C. 5 D- 5 5 5 【答案】A 【分析】根据题意，结合倍角公式，即可求解 【详解】因为sin2a-8 ,所以2 sina cos =2cosa= P sina 5 sina 5 4 所以c0Sa= 5 故答案为：A 6.已知sin2a:sina=12:7,则cosa等于 【灯9 【分析】根据题意，结合倍角公式，即可求解 【详解】因为sm2a:sma=12:7,所以2 sins=12 →2c0s0= 2 sina 7 6 所以cos= 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 故答案为： 6 1 7.若sin2a+cos2a=- 则sin4a= 3 【答案】 8 【分析】首先将等式两边同时平方，再由二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方关系 化简求值即可 【详解】已知sin2a+cos2a= 3, 则(6sim2a+cos2a2=(}, 8 即sin24a+2sin2 a cos2a+cos22a=二，则有1+sin4a=。,所以sin2a= 9 0 做答案为=。 8.若sinx-cosx=m,则sin2x= 【答案】1-m 【分析】首先将等式两边同时平方，再由二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方关系 化简求值即可 【详解】已知sinx-cosx=m,则(sinx-cosx)2=m2, 即1-sin2x=m2,则有sin2x=1-m2 故答案为：1-m2 9.已知sin a cosa=- '且ae ,π)，求cosa-sina的值 2 【答案】 V35 【分析】首先将等式两边同时平方，再由二倍角公式和同角三角函数的平方关系化简求 值即可 详解】知sio0=5且ae(兮n,所以su>0,cosa<0 所以cosa-sina<0,因为 (cosa-sina)2=sin2a+cos2a-2sin a cosa=1-2sin a cosa=1-2x(-)= ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 所以cos0-sina= 7√35 5 故答案为： 35 10.若△ABC的内角A满足sin2A= ,求sinA+cosA的值 3 【答案】⑤ 3 【分析】首先将等式两边同时平方，再由二倍角公式和同角三角函数的平方关系化简求 值即可 【详解】已知0<A<π，sinA>0,2 sin Acos A= 2≥0，所以c0sA>0 所以sinA+cosA>0, (sin 4+cos )=sin+cos+2sin 4cos4=1+sin 24=1+5 33 所以sina+cosa 3_√15 V3-3 故答案为： 15 3 π 4π 11.化简： 2 sin-cos-cos7cos > > 【答案】 (-sin Z) 【分析】由二倍角的正余弦公式结合诱导公式进行化简即可得解 【详解】原式 π 。2π4π 2sincos cos- 2sin 2π2π 4π cos- 7 7 7c0s1 7 7 07 2×2 4π 2sin 4π .8π sin -sin 7 7 1 个 (-sin 2×2×2 88 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 9 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO d zhijiao.xkw.com 故答案为： 1 兀) (-sin 8 7 12.化简：cos 2π.4π 9 9 9 【答案】 8 【分析】由二倍角的正余弦公式结合诱导公式进行化简即可得解 【详解】原式= 2sin coscos2 2元4π 2sin π 2 An -coS- cos -cos 9 9 9 9 9 9 π 2sin 9 2×2sinr 2sin 4π 。4π 8π cos- sin 9 9 91 2×2×2sin .π8 8sin 故答案为： 8 13.求值： sin20°cos20° c0s50° 【答案】 1-2 【分析】由二倍角的正余弦公式结合诱导公式进行化简即可得解 【详解】原式-2sin20°c0s20° sin40°1 2c0s50° 2c0s50°2 故答案为： 10 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究：