1.3正弦型函数 - 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

1.3正弦型函数 一、知识梳理 （1） 周期函数的定义及周期的概念() 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数 . 非零常数T叫做这个函数的周期 .如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 . （2）．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 {x|x∈R} {x|x∈R} {x|x≠＋kπ，k∈Z} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} R 单调性 在[-＋2kπ， ＋2kπ]， k∈Z上递增； 在 [＋2kπ,＋2kπ]。 k∈Z上递减 在 [(2k－1)π，2kπ]　， k∈Z上递增； 在 [2kπ，(2k＋1)π]　， k∈Z上递减 在（-＋kπ， ＋kπ）， k∈Z上递增 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝ 2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 无最值 奇偶性 奇 偶 奇 最小正周期 2π 2π π （3）．五点作图法 函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是 ： (0,0) 、(,1) 、 (π，0) 、(,-1) 、 (2π，0) . 函数y＝cos x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是 ： (0,1) 、(,0) 、 (π，－1) 、(,0) 、 (2π，1) . （4）. 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 二、题型精练 题型1 正弦型函数-A对图像的影响 【典例】：函数的图像，可由函数的图像通过_____________得到。 【答案】横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍 【分析】由正弦型函数的图像变换求解析式即可. 【详解】由函数的图象，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍，得. 故答案为：横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍. 【典例2】：函数的图像，可由函数的图像通过_______________得到。 【答案】横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 【分析】由正弦型函数的图像变换求解析式即可. 【详解】由函数的图象，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，可得. 故答案为：横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 题型2 正弦型函数-最值 【典例1】：已知，振幅=_____,频率（角速度）______，初相=______，函数最大值为______，最小值为_______； 【答案】3 2 3 -3 【分析】根据正弦型函数的表达式即可. 【详解】由正弦型函数的表达式可知:，最大值为|A|=3,最小值-|A|=-3 故答案为：3 2 3 -3. 【典例2】：已知，振幅=_____,频率（角速度）______，初相=______，函数最大值为______，最小值为_______； 【答案】4 3 4 -4 【分析】根据正弦型函数的表达式即可. 【详解】由正弦型函数的表达式可知:，最大值为|A|=4,最小值-|A|=-4 故答案为：4 3 4 -4. 题型3 与周期的关系 【典例1】：函数的最小正周期T＝___________ 【答案】 【分析】利用周期公式，直接求解即可. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为：. 【典例2】：函数的最小正周期T＝___________ 【答案】 【分析】利用周期公式，直接求解即可. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为：. 题型4 初相位与平移 【典例1】：函数的图象如何平移得到函数的图象 （    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】先将原函数进行变形，再利用三角函数平移规律即可得解. 【详解】因为， 所以的图象向左平移个单位长度，就可得到的图象，故A正确；经检验，其他选项都错误. 故选：A. 【典例2】：函数的图象如何平移得到函数的图象 （    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】先将原函数进行变形，再利用三角函数平移规律即可得解. 【详解】因为， 所以的图象向右平移个单位长度，就可得到的图象，故C正确；经检验，其他选项都错误. 故选：C. 题型5 利用部分图像求解析式 【典例1】：函数的部分图像如图所示，则该函数的一个解析式为____________. 【答案】 【分析】根据函数图象得出,三角函数的图像得到，再根据周期公式得到的值. 【详解】因为,由题图可知，由三角函数的图像可知：， 所以，因为，所以，所以函数解析式为， 将代入得：，则，所以， 故 故答案为：. 【典例2】：已知函数的图像如图所示，则该函数的一个解析式为____________. 【答案】 【分析】根据函数图象得出,三角函数的图像得到，再根据周期公式得到的值. 【详解】因为,由题图可知，由三角函数的图像可知：， 所以，因为，所以，所以函数解析式为， 将代入得：，则，因为，所以， 故 故答案为：. 题型6 最值和最小正周期综合 【典例1】：求函数的最值和最小正周期. 【答案】最大值为2，最大值为-2周期：. 【分析】利用辅助角公式将函数转化为正弦型函数，再根据其性质求解即可. 【详解】由，得， 所以函数最大值为2，最大值为-2周期：. 【典例2】：求函数的最值和最小正周期. 【答案】最大值为5，最大值为-5周期：.. 【分析】利用辅助角公式将函数转化为正弦型函数，再根据其性质求解即可. 【详解】由，得， 所以函数最大值为5，最大值为-5周期：. 题型7 取得最值时x的值 【典例1】：求的最大值，并求出取的最大值时x的值 【答案】当时，函数取得最大值4 【分析】根据函数的最大值求出x的值即可计算. 【详解】由， 当，即时，函数取得最大值4， 所以答案为:当时，函数取得最大值4． 【典例2】：求的最小值，并求出取的最小值时x的值 【答案】当时，函数取得最小值-2 【分析】根据函数的最小值求出x的值即可计算. 【详解】由， 当，即时，函数取得最小值-2， 所以答案为:当时，函数取得最小值2． 题型8 三角化二次求最值 【典例1】：求的最大值 【答案】当时，函数取得最大值 【分析】利用换元法化简式子，再根据顶点坐标公式求函数的最大值. 【详解】令 原式=， 当，即. 所以答案为:当时，函数取得最大值． 题型9 单调区间 【典例1】：求函数的单调递减区间 【答案】 【分析】根据正弦型函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，函数， 解得. 所以函数的单调减区间是, 故答案为：. 三、知识检测 1.函数的图像，可由函数的图像通过______________得到。 【答案】横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍 【分析】由正弦型函数的图像变换求解析式即可. 【详解】由函数的图象，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍，得. 故答案为：横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍. 2.函数的图像，可由函数的图像通过_______________得到。 【答案】横坐标不变，纵坐标缩短为原来的3倍 【分析】由正弦型函数的图像变换求解析式即可. 【详解】由函数的图象，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的3倍，得. 故答案为：横坐标不变，纵坐标缩短为原来的3倍. 3.已知，振幅=_____,频率（角速度）______，初相=______，函数最大值为______，最小值为_______； 【答案】-5 3 5 -5 【分析】根据正弦型函数的表达式即可. 【详解】由正弦型函数的表达式可知:，最大值为|A|=5,最小值-|A|=-5 故答案为：-5 3 5 -5. 4.已知，振幅=_____,频率（角速度）______，初相=______，函数最大值为______，最小值为_______； 【答案】2 3 1 -3 【分析】根据正弦型函数的表达式即可. 【详解】由正弦型函数的表达式可知:，最大值为|A|+B=1,最小值-|A|+B=-3 故答案为：2 3 1 -3. 5.函数的最小正周期T＝___________ 【答案】 【分析】利用周期公式，直接求解即可. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为：. 6.函数的最小正周期T＝___________ 【答案】 【分析】利用周期公式，直接求解即可. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为：. 7.函数的图象如何平移得到函数的图象 （    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】先将原函数进行变形，再利用三角函数平移规律即可得解. 【详解】因为， 所以的图象向左平移个单位长度，就可得到的图象，故A正确；经检验，其他选项都错误. 故选：A. 8.函数的图象如何平移得到函数的图象 （    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】先将原函数进行变形，再利用三角函数平移规律即可得解. 【详解】因为， 所以的图象向左平移个单位长度，就可得到的图象，故A正确；经检验，其他选项都错误. 故选：A. 9.函数的部分图像如图所示，则该函数的一个解析式为____________. 【答案】 【分析】根据函数图象得出,三角函数的图像得到，再根据周期公式得到的值. 【详解】因为,由题图可知，由三角函数的图像可知：， 所以，因为，所以，所以函数解析式为， 将代入得：，则，所以， 故 故答案为：. 10.函数在同一周期内，当时有最大值2，当，时有最小值-2，则该函数的一个解析式为____________. 【答案】 【分析】根据最值得出,最值间距得到，再根据周期公式得到的值. 【详解】因为,由题意可知，， 所以，因为，所以，所以函数解析式为， 将代入得：，则，所以， 故 故答案为：. 11.求函数的最值和最小正周期. 【答案】最大值为1，最大值为-1周期：. 【分析】利用辅助角公式将函数转化为正弦型函数，再根据其性质求解即可. 【详解】由，得， 所以函数最大值为1，最大值为-1周期：. 12.求函数的最值和最小正周期. 【答案】最大值为，最大值为，周期：. 【分析】利用辅助角公式将函数转化为正弦型函数，再根据其性质求解即可. 【详解】由，得， 所以函数最大值为，最大值为，周期：. 13.求函数的最值和最小正周期. 【答案】最大值为5，最大值为-5周期：.. 【分析】利用辅助角公式将函数转化为正弦型函数，再根据其性质求解即可. 【详解】由，得， 所以函数最大值为5，最大值为-5周期：. 14.求函数的最值和最小正周期. 【答案】最大值为2，最大值为-2周期：.. 【分析】利用辅助角公式将函数转化为正弦型函数，再根据其性质求解即可. 【详解】由，得， 所以函数最大值为2，最大值为-2周期：. 15.求的最大值，并求出取的最大值时x的值 【答案】当时，函数取得最大值3 【分析】根据函数的最大值求出x的值即可计算. 【详解】由， 当，即时，函数取得最大值3， 所以答案为:当时，函数取得最大值3． 16.求的最大值，并求出取的最大值时x的值 【答案】当时，函数取得最大值4 【分析】根据函数的最大值求出x的值即可计算. 【详解】由， 当，即时，函数取得最大值4， 所以答案为:当时，函数取得最大值4． 17.求的最大值 【答案】当时，函数取得最大值 【分析】利用换元法化简式子，再根据顶点坐标公式求函数的最大值. 【详解】由 令 原式=，但 当，即. 所以答案为:当时，函数取得最大值． 18.求的最大值 【答案】当时，函数取得最小值 【分析】利用换元法化简式子，再根据顶点坐标公式求函数的最大值. 【详解】由 令 原式=，因为 所以当，即. 所以答案为:当时，函数取得最小值． 19.求函数的单调递增区间 【答案】 【分析】根据正弦型函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，函数， 解得. 所以函数的单调增区间是, 故答案为：. 20.求函数的单调增区间 【答案】 【分析】根据正弦型函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，函数， 解得. 所以函数的单调增区间是, 故答案为：. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3正弦型函数 一、知识梳理 （1） 周期函数的定义及周期的概念() 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数 . 非零常数T叫做这个函数的周期 .如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 . （2）．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 {x|x∈R} {x|x∈R} {x|x≠＋kπ，k∈Z} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} R 单调性 在[- ＋2kπ， ＋2kπ]， k∈Z上递增； 在 [＋2kπ,＋2kπ]。 k∈Z上递减 在 [(2k－1)π，2kπ]　， k∈Z上递增； 在 [2kπ，(2k＋1)π]　， k∈Z上递减 在（- ＋kπ， ＋kπ）， k∈Z上递增 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝－ ＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝ 2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 无最值 奇偶性 奇 偶 奇 最小正周期 2π 2π π （3）．五点作图法 函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是 ： (0,0) 、(,1) 、 (π，0) 、(,-1) 、 (2π，0) . 函数y＝cos x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是 ： (0,1) 、(,0) 、 (π，－1) 、(,0) 、 (2π，1) . （4）. 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 二、题型精练 题型1 正弦型函数-A对图像的影响 【典例】：函数的图像，可由函数的图像通过_____________得到。 【典例2】：函数的图像，可由函数的图像通过_______________得到。 题型2 正弦型函数-最值 【典例1】：已知，振幅=_____,频率（角速度）______，初相=______，函数最大值为______，最小值为_______； 【典例2】：已知，振幅=_____,频率（角速度）______，初相=______，函数最大值为______，最小值为_______； 题型3 与周期的关系 【典例1】：函数的最小正周期T＝___________ 【典例2】：函数的最小正周期T＝___________ 题型4 初相位与平移 【典例1】：函数的图象如何平移得到函数的图象 （    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【典例2】：函数的图象如何平移得到函数的图象 （    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 题型5 利用部分图像求解析式 【典例1】：函数的部分图像如图所示，则该函数的一个解析式为____________. 【典例2】：已知函数的图像如图所示，则该函数的一个解析式为____________. 题型6 最值和最小正周期综合 【典例1】：求函数的最值和最小正周期. 【典例2】：求函数的最值和最小正周期. 题型7 取得最值时x的值 【典例1】：求的最大值，并求出取的最大值时x的值 【典例2】：求的最小值，并求出取的最小值时x的值 题型8 三角化二次求最值 【典例1】：求的最大值 题型9 单调区间 【典例1】：求函数的单调递减区间 三、知识检测 1.函数的图像，可由函数的图像通过______________得到。 2.函数的图像，可由函数的图像通过_______________得到。 3.已知，振幅=_____,频率（角速度）______，初相=______，函数最大值为______，最小值为_______； 4.已知，振幅=_____,频率（角速度）______，初相=______，函数最大值为______，最小值为_______； 5.函数的最小正周期T＝___________ 6.函数的最小正周期T＝___________ 7.函数的图象如何平移得到函数的图象 （    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 8.函数的图象如何平移得到函数的图象 （    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 9.函数的部分图像如图所示，则该函数的一个解析式为____________. 10.函数在同一周期内，当时有最大值2，当，时有最小值-2，则该函数的一个解析式为____________. 11.求函数的最值和最小正周期. 12.求函数的最值和最小正周期. 13.求函数的最值和最小正周期. 14.求函数的最值和最小正周期. 15.求的最大值，并求出取的最大值时x的值 16.求的最大值，并求出取的最大值时x的值 17.求的最大值 18.求的最大值 19.求函数的单调递增区间 20.求函数的单调增区间 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $