专题06：解三角形中的取值范围【7个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高一数学下学期必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题06：解三角形中的取值范围】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求周长的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心目标：在给定条件下（如已知一边及对角、两边和等），求三角形周长的最值或取值范围 核心工具：正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角函数值域 约束条件：三角形三边关系、、，内角和为 解题方法 1.角化边：若已知一边及对角（如），用正弦定理，，将周长表示为 2.边化角：利用消元，将周长转化为单一角的三角函数（如的函数） 3.基本不等式：若已知两边和或积，用或放缩求最值 4.三角函数值域：化简三角函数后，结合角的范围求值域 名师点睛 已知一边及对角时，周长最值常出现在等腰三角形（）处 必须验证等号成立时是否满足三边关系，避免出现“退化三角形” 口诀：“已知一边对角，化角求值域；已知两边关系，用不等式放缩” （25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，.经典例题1例题 (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由余弦定理的边角关系，将化角为边求，再由正弦定理及求得，即可得； （2）由余弦定理、基本不等式有，进而可得周长的最大值. 【详解】（1）由，则， 所以， 由，而，即， 所以，而，故； （2）由（1）知，则，当且仅当时取等号， 所以，即时取等号， 所以周长的最大值为. （2026·浙江·模拟预测）已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且.经典例题2例题 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)钝角三角形 (2) 【分析】（1）根据余弦定理，可得，则，故C为钝角，可得△ABC为钝角三角形.或使用正弦定理对条件进行边化角，由两角和的正弦公式可得，从而得到△ABC为钝角三角形； （2）由正弦定理进行边角互化，可求得，从而得.由此可用表示，利用正弦定理将表示成的函数，根据正弦函数的最值，可求得的最大值，再求出，即可得到周长的最大值. 【详解】（1）因为，由余弦定理得，即. 故，所以，故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形. 另解：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 即，即， 因为，所以， 所以，故C为钝角， 所以为钝角三角形. （2）的外接圆半径为. 由题，由正弦定理， 得，即. 由（1）知C为钝角，所以. 又. 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4. 又， 所以的周长的最大值为. （2023·陕西西安·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为_____．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据已知等式结合余弦定理从而得角的大小，再根据正弦定理边化角，将三角形周长转换为正弦型函数，根据三角函数的性质求解取值范围即可. 【详解】因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，整理可得， 所以，因为，所以． 由正弦定理得，所以，， 所以的周长为 ， 因为，则，所以， 所以，即周长的取值范围为． 故答案为：． （24-25高一下·辽宁丹东·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是______.小试牛刀2 【答案】 【分析】由正弦定理边角互化结合余弦定理可得，则，然后由和差化积公式结合三角函数性质可得答案. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得, 则由余弦定理得，又，所以. 则. 因，则，由和差化积公式得： . 因，则，. 从而，则. 故答案为：. （24-25高一下·广东广州·期末）已知是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的周长的取值范围为__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】分为钝角，为钝角两种情况，结合余弦定理和三角形三边关系得到不等式，求出的取值范围，进而求出周长的取值范围. 【详解】显然，所以， 因为为钝角三角形，故为钝角，或为钝角， 当为钝角时，， 故，解得， 又，故，故，故， 此时的周长取值范围是，即， 当为钝角时，， 故，故， 又，故， 此时的周长取值范围是， 综上，的周长取值范围是， 故答案为： 【题型2：求面积的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心公式：，（海伦公式） 核心工具：正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角函数值域 约束条件：同周长问题，需满足三角形存在条件 解题方法 1.角化边：若已知角，则，只需用余弦定理或基本不等式求的最值 2.边化角：若已知两边及夹角，直接代入面积公式；若已知一边及对角，用正弦定理将表示为角的函数，再求值域 3.基本不等式：由余弦定理，结合，得，代入面积公式求最值 4.三角函数值域：将面积转化为或的函数，结合角的范围求值域 名师点睛 已知一边及对角时，面积最大值为，当时取到 面积问题本质是“求或或的最值”，再乘 注意为正，面积符号恒为正，范围只需关注大小 （25-26高一下·广西贵港·月考）中，.经典例题1例题 (1)求A； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理计算即可. （2）方法一：先根据余弦定理列出关于的关系式，然后根据基本不等式的性质计算即可；方法二：先根据正弦定理得到，然后根据正弦函数的性质求出结果即可. （3）根据余弦定理结合三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：，， ，. （2）[方法一]：由余弦定理得： ， 即.（当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]： 设，则，根据正弦定理可知， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 此时周长的最大值为. （3）由余弦定理得： ， 即.（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 面积的最大值为. （25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.经典例题2例题 (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，．小试牛刀1 (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在扇形中，圆心角等于60°，半径为2，在弧上有一动点（不与点，重合），过点引平行于的直线和交于点，设，求面积的最大值及此时的值．小试牛刀2 【答案】当时，的面积取得最大值，最大值为 【分析】根据求得和，进而在中利用正弦定理求得和，进而利用三角形面积公式表示出，利用两角和公式化简整理后，利用的范围确定三角形面积的最大值． 【详解】因为，所以，． 在中，由正弦定理，得， 即， 所以，． 所以 ，． 所以当时，的面积取得最大值，最大值为． （23-24高三下·贵州贵阳·月考）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．小试牛刀3 (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合两角差的余弦公式及三角形内角和定理化简，求解三角方程得出角A； （2）求面积的取值范围，先根据锐角三角形条件确定角B、角C的范围，再由正弦定理用角C表示边b，结合正切函数性质求出b的范围，最后代入面积公式得出结果. 【详解】（1）由和差公式和正弦定理可得： ， 即， 即， 即， 整理得到， 因为在中 ， 所以，即， 因为，所以， 所以，得到. （2）因为是锐角三角形，所以， 结合B为锐角，解得，同理可得， 由正弦定理， 可得， 因为，所以，所以， 又因为. 【题型3：求角的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心目标：求某内角（如）的取值范围或最值 核心工具：余弦定理（）、正弦定理、基本不等式、三角函数单调性 约束条件：，且满足三角形内角和与三边关系 解题方法 1.余弦定理+基本不等式：将表示为边的函数，用放缩，得到的范围，再由余弦函数单调性求的范围 2.正弦定理+三角函数值域：将角转化为边的关系，或用消元，转化为单一角的三角函数求值域 3.三边关系：由等不等式，推导边的比例关系，进而得到角的范围 名师点睛 角的最值与的最值相反：越大，越小；越小，越大 当时，角常取得最值（最大或最小），这是高频考点 注意钝角的余弦值为负，范围要包含情况 （25-26高三下·山东·月考）在中，内角的对边分别为，且．经典例题1例题 (1)若，求的值； (2)若均为锐角，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，构造齐次式可求答案； （2）根据和角公式得出，结合基本不等式可求答案. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，所以， 因为，所以，两边平方可得， 即，由，可得，解得或， 因为，故,所以. （2）因为，所以, 即， 整理得， 两边同除以，得. 即，且， ， 当且仅当时，即. 所以的最小值为. （2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知．经典例题2例题 (1)证明：； (2)求内角的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先由题意结合诱导公式得到，再由余弦定理角化边即可求证； （2）由（1）结合余弦定理和基本不等式求出的最小值即可由余弦函数性质得解. 【详解】（1）证明：因为， 所以由题得，即， 由余弦定理可得，所以． （2）由（1）知，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，， 所以内角的最大值为． （25-26高三上·浙江湖州·期末）在中，是线段上一点，且，，设．小试牛刀1 (1)求线段的长度（用表示）； (2)若，求的值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，求出，在中，利用余弦定理得，通过计算得到的值；     （2）在中，由正弦定理得，代入数值通过计算得到的值．     （3）在中，由正弦定理得，代入数值通过计算得到的值，利用基本不等式求出最大值.方法2：建立平面直角坐标系，由可知，点在以为直径的圆上，显然当直线与圆相切时，的最大值，此时可求出的值，利用同角关系式求出． 【详解】（1）在中，．     在中，由余弦定理得 因此. （2）在中，由正弦定理得，     即， 所以． （3）在中，由正弦定理得， 即， 即，     解得 当且仅当，即时，取到最大值.     方法2：以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系． 由可知，点在以为直径的圆上， 显然当直线与圆相切时，的最大值． 此时，故． （2025高三上·四川自贡·专题练习）在中，已知.小试牛刀2 (1)证明：为锐角； (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）利用三角形中，结合化简得到，再由和差公式得到，所以为锐角； （2）由于三角形中，再利用正切的和差公式得到 ，以及由（1）结论化简得到 结合前面两个结论，将式子变形 ，最后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）易得， 即原等式为， 两边展开得 =， 移项得， 因为， 在三角形中，，， ，即， 由进一步得，所以是锐角. （2）易得，即，                     ， 由（1）得即， ， 因为是锐角，， 当且仅当时等号成立，所以原式最小值为4. （25-26高三上·内蒙古·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.小试牛刀3 (1)若，，求的周长； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据正弦定理得，再根据余弦定理得，结合完全平方公式求得，即可求解. （2）结合，则，然后利用基本不等式求得，再根据角B的范围即可求解. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 又，所以， 由余弦定理得，又，，， 所以 所以， 即，解得，所以或（舍去）. 所以的周长为. （2）因为，所以由正弦定理得. ，当且仅当时，等号成立， 因为，所以，所以的最大值为. 【题型4：求边长的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心目标：求某边长（如）的取值范围或最值 核心工具：正弦定理、余弦定理、基本不等式、三边关系、三角函数值域 约束条件：三角形三边关系、内角范围 解题方法 1.正弦定理：若已知角，则，将表示为角的函数，求值域 2.余弦定理：将看作函数，用基本不等式或二次函数求最值 3.三边关系：由直接得到范围，或结合已知条件推导 4.参数化：设一边为变量，建立函数关系，求值域 名师点睛 已知两边及夹角时，边长范围可直接由余弦定理结合基本不等式得到 已知一边及对角时，边长范围常由三角函数值域得到，需注意角的范围 边长为正数，范围左端点大于0，右端点由三边关系或函数最值确定 （25-26高三上·福建福州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，.经典例题1例题 (1)若，，求的值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出，再在中用正弦定理求出，最后用二倍角公式计算 （2）利用三角形面积关系得到与、的关系，再结合余弦定理和基本不等式求最小值. 【详解】（1）由正弦定理，将化为， 整理得： 因为，所以，即. 由于，，得，则. 设，在中，由正弦定理， 代入、，得：. 因为是角平分线，，由二倍角公式：. （2）因为是角平分线，，. 由面积关系，得： 化简可得：即. 在中，由余弦定理，代入和， 得： 将代入上式： 整理得： 由基本不等式，得， 代入上式： 当且仅当时取等号，故的最小值为. （25-26高三上·湖北随州·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，且．经典例题2例题 (1)求； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换求角； （2）利用三角形面积公式和余弦定理结合基本不等式求的最小值. 【详解】（1）由已知及正弦定理得， 由，得，得， 由，得，得，得， 得，得； （2）由，得， 由余弦定理得， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，得．故的最小值为2 （2025高三·全国·专题练习）在中，，则的最大值是_____．小试牛刀1 【答案】 【分析】延长AM至D，使得，连接，证明，由推得，设，则得，利用余弦定理得到，根据基本不等式求得，即得的最大值. 【详解】 如图所示，延长AM至D，使得，连接， 因，且，则可得， 于是，，则，因，则. 设，则，. 在中，由余弦定理，， 即，即， 因，则得，当且仅当时等号成立， 则得，解得， 即当时，取得最大值. 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）在中，，，若为线段的中点，为线段的靠近点的三等分点，则线段长度的最大值为_____．小试牛刀2 【答案】 【分析】设，在与中，由，根据余弦定理得；由，在中由余弦定理可得，．设，则，代入，利用三角恒等变换可得的最大值，从而得到的最大值. 【详解】如图，设． 因为，为线段的中点，为线段的靠近点的三等分点， 所以在与中，由余弦定理得，，故． 另一方面，由，在中由余弦定理可得， ，整理得， 配方得． 设，则． 所以 ． 其中为锐角，． 所以当，即时，取最大值． 所以的最大值为． 注：此时． （25-26高三上·安徽合肥·月考）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则边上的高的取值范围是____________．小试牛刀3 【答案】 【分析】先用正弦定理把边化角，约去 后化简等式，得出，然后设 边上的高为，通过面积公式把 和边 联系起来，最后根据锐角三角形的条件确定角 C 的范围，再用正弦定理转化为边 的范围，最终得到高的取值范围 . 【详解】在中，由正弦定理，可得，由可得：，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为三角形ABC为锐角三角形，所以， 所以，在中，由正弦定理可得： ，即， 故有， 因为，所以，， 所以，所以， 又因为AC边上的高，所以． 故答案为： 【题型5：求边长的比值的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心目标：求边长比值（如、）的最值或范围 核心工具：正弦定理（角化边）、余弦定理（边化角）、基本不等式、分式函数值域 约束条件：三角形存在条件，内角范围 解题方法 1.正弦定理角化边：将比值转化为或，再用三角恒等变换化简为单一三角函数求值域 2.余弦定理边化角：将比值表示为边的函数，用基本不等式放缩求最值 3.分式函数值域：若为线性分式，可分离常数后求值域；若为二次分式，可判别式法或基本不等式 名师点睛 比值问题优先用正弦定理，将边的比值转化为角的正弦比值，简化计算 注意比值的定义域（边长为正，比值>0），避免出现负数或0 高频模型：常转化为，结合消元 （25-26高三上·广东东莞·期末）已知是锐角三角形，内角、、所对应的边分别为、、.若，则的最小值是____________．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，求得，且，根据为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以， 可得， 因为为锐角三角形，即、，故， 因为正弦函数在上单调递增，所以，即， 则， 由可得，所以， 所以 ， 故当时，取最小值. 故答案为：. （25-26高三上·福建龙岩·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知.经典例题2例题 （1）若，则___________； （2）的取值范围是___________. 【答案】 【分析】（1）根据三角恒等变换直接化简可得解； （2）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角函数与对勾函数性质可得解. 【详解】（1）由二倍角公式得， 而，得到， 可得，得到， 又，所以，所以， 又，所以； （2）由（1）知，， 在中，或， 即或，即或， 若，则，则无意义，所以， 故， 又，所以，所以， 所以 ， 令，则， 设，，由对勾函数的性质可得在上单调递减， 所以，即， 故答案为：，. （2025·浙江嘉兴·一模）记的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是__________．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用，结合余弦定理解出、的值，后续法一：利用正弦定理将转化为角C的函数，再结合辅助角公式化简为，进一步考虑的范围即可求解；法二：利用导数求解的单调性，结合角C的范围即可求解；法三：求出后，回代余弦定理等式再将化为含b、c的齐次分式，最后通过换元利用对角函数的单调性即可求解． 【详解】由余弦定理得，又， 所以，所以， 所以，即， 所以，又，所以. 方法一：由正弦定理得 ，其中，且， 又，所以， 又， 所以，所以的取值范围是． 方法二：，令，因为，而，所以，所以，在上单调递减，所以在单调递减，，，所以的取值范围是． 方法三：由余弦定理得，又， 所以，所以， 所以，即， 所以，又，所以， 所以，所以， 令得， 再令，则，所以 又因为在上单调递增，所以，所以，所以，所以的取值范围是． 故答案为：． （2026高一·全国·专题练习）设的内角，，所对的边分别为，，，记其面积为、周长为，，，则的最大值为______．小试牛刀2 【答案】 【分析】先由面积公式及正弦定理推出，再结合余弦定理和基本不等式得到，最后将面积比转化为关于a+c的函数，通过放缩求出最大值. 【详解】由，可得， 整理得，即， 由正弦定理可得，即， 又，所以，解得，又所以，， 所以，即， 所以， 因为，所以，所以， 因为， 于是有， 当且仅当时上式取等． 即的最大值为， 故答案为：. （23-24高一下·云南楚雄·月考）在中，，点在上且是的角平分线，且的面积为1，当最短时，________.小试牛刀3 【答案】/ 【分析】设利用三角形面积公式和等面积得到和，化简得，利用余弦定理和基本不等式，推得当时，取到最小值，此时，依题可得. 【详解】设，则，从而， 因为， 又，故得， 则， 在中，由余弦定理， ，当且仅当即时取等号， 所以当取到最小值时，，易得， 此时. 故答案为：. 【题型6：与不良结构有关的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心定义：“不良结构”指条件不足（如缺少一边或一角）、条件冗余或条件模糊的解三角形问题 核心思路：先补全结构（如用正弦/余弦定理建立方程），再转化为常规最值问题 常见场景：已知两边及其中一边的对角（SSA）、已知一边及两角和、已知边角混合式等 解题方法 1.先定结构：用正弦定理或余弦定理建立方程，求出未知边或角，补全三角形结构 2.再求最值：将问题转化为周长、面积、角、边长等常规最值问题 3.分类讨论：若SSA类型，需讨论解的个数（一解、两解、无解），再分别求范围 4.参数化：设未知边或角为参数，建立函数关系，求值域 名师点睛 不良结构问题的关键是“先定结构，再求最值”，不要直接求最值 SSA类型必须先判断解的个数，否则范围会出错 此类问题是高考难点，需熟练掌握正弦定理的多解判断 （24-25高一下·山西太原·月考）已知为锐角三角形，内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数并由单调性得，再利用正弦定理及三角恒等变换，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】令函数，函数在上都递增， 则函数在上递增，由，得， 即，由为锐角三角形，得，因此，， 由及正弦定理得，则，， 又，，则， 因此 ， 由，得，则， 所以的取值范围为. 故选：B （2025·陕西安康·模拟预测）如图，由一个等腰三角形与一个直角三角形拼接成一个平面四边形，且，，，则当的长最大时，的值为______.经典例题2例题 【答案】 【分析】设，由余弦定理，结合条件得，根据正弦定理求得，在中利用余弦定理求得，再利用辅助角公式结合两角和的正弦公式求得的长取最大值时即的值. 【详解】设， 在中，由余弦定理，得. 因为，所以. 由正弦定理，得，所以. 因为，所以. 在中，由余弦定理，得 ， 其中，，所以当时，， 所以. 综上，当的长最大时，的值为. 故答案为：. （24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为______.小试牛刀1 【答案】 【分析】结合正余弦定理将化为，再利用两角和差的正弦公式得，进而得，根据化切为弦及两角差的正弦公式得 ，最后根据正弦函数性质求解范围即可. 【详解】因为，由余弦定理得， 所以，即， 由正弦定理得， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，则，， 由，得，， 所以 ， 因为，所以． 故答案为：． （25-26高三上·山东东营·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为.小试牛刀2 (1)求； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）两边平方，结合题目条件，余弦定理和面积公式得到，因为为锐角，所以. （2）设，，则，在中和在中，由正弦定理联立得，因为，所以，求出的最小值. 【详解】（1）由，两边平方得，故， 所以的面积， 由余弦定理及， 得， 因为，所以，因为为锐角，所以. （2）设，，则， 在中，由正弦定理得， 因为， 所以， 则①， 在中，由正弦定理得， 则②， 由①②得，， 因为，所以，所以 所以，故的最小值为1. （25-26高三上·黑龙江·月考）在中，角是的内角，且.小试牛刀3 (1)求； (2)若为边BC的中点，且，，求的面积； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）运用和差角的正余弦公式以及三角形内角和的诱导公式，对原式进行化简，得到，即可得到； （2）由中线向量定理可得，两边平方后，代入，，，即可依次求得，再运用三角形面积公式即可得解； （3）法一：利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换对原式进行化简得到关于的二次函数，再利用换元法令，结合的取值范围求出的取值范围，即可求出函数的最大值； 法二：运用余弦定理进行化简，得到关于的二次函数，再利用正弦定理边化角及三角恒等变换将转化为，结合的取值范围求出的取值范围，即可求出函数的最大值. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 整理得， 又，所以， 所以，又，所以. （2）因为为边BC的中点，所以， 因为，，， 所以 ， 即，解得，即，所以. 所以，即的面积为. （3）法一：由正弦定理得 . 令，由知. 当时，； 当时，，此时. 综上，. 令，， 易知，故， 即当且仅当时，取得最大值0. 法二：由余弦定理得，则 . 由正弦定理得， 令，由知， 当时，；当时，， ，此时. 综上，. 令，， 易知，故， 即当且仅当时，取得最大值0. 【题型7：与角平分线中线有关的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心工具：角平分线长公式、中线长公式（阿波罗尼斯定理）、基本不等式、三角函数值域 角平分线长公式： 中线长公式： 解题方法 1.角平分线问题：将表示为或角的函数，用基本不等式（）或三角函数求最值 2.中线问题：将表示为的函数，用基本不等式（）或二次函数求最值 3.结合已知条件：若已知一边及对角，用正弦定理将表示为角的函数，再求最值 4.验证等号：确保等号成立时满足三角形存在条件 名师点睛 角平分线最值常出现在（等腰三角形）时，中线最值也常出现在等腰三角形 中线长公式是核心，必须熟练记忆和应用 此类问题常结合基本不等式，注意“一正二定三相等”的条件 （25-26高三上·江苏淮安·月考）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为_________．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据题意，利用三角形面积相等，推得，再利用“乘1”法和基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，因，则可得， 即，化简得， 因，则 ， 当且仅当时，即时，取等号， 故的最小值为. 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）已知在中，内角的对边分别为，且，且外接圆半径为1，则边上的中线的最大值为______.经典例题2例题 【答案】 【分析】由，利用正弦定理可得.再利用诱导公式、和差公式即可得出.由于外接圆半径为1，可得.再利用余弦定理、中线长定理、基本不等式即可得出的最大值为. 【详解】根据题意，由正弦定理得. 即. 整理得， 又，所以，即. ，，则，解得. 由正弦定理得，则. 由余弦定理可得，即. ，，即，当且仅当时取等号. 在，中，利用余弦定理及， 得，所以的最大值为. 故答案为： （24-25高一·全国·假期作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点E在上，是的平分线，则的取值范围为_______.小试牛刀1 【答案】 【分析】解法1：利用三角形角平分线的性质定理，结合Stewart公式，可求的取值范围； 解法2：结合三角形角平分线性质定理，以为基底表示向量，利用向量的数量积的运算求向量的模的取值范围即可； 解法3：利用张角定理表示出，可求的取值范围. 【详解】解法1：如图，由角平分线性质定理，， 设，，则，由，得：， 由Stewart公式，，故，因为，所以. 解法2：如图，设，，则， 故，，故，即. 解法3：设，则， 由张角定理，， 所以，因为，所以. 故答案为： （24-25高一下·重庆·月考）在中，角，，的对边分别是，，，且．设的中点为，且，则的取值范围为__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和与差的正弦公式及辅助角公式化简求得，再设，则，由正弦定理得到 ， 进而结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由， 根据正弦定理，可得， 即， 则， 因为，所以，则， 则，即， 又，所以， 设，则，， 根据正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 则， 故的取值范围为． 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为__________．小试牛刀3 【答案】 【分析】由余弦定理可得出，由已知可得，结合平面向量数量积的运算性质可得出，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得线段长的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理可得． 由平面向量数量积的定义可得， 在锐角中，点是线段的中点，则， 所以 ． 由及正弦定理，得，， 所以 ． 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，所以， 所以，所以． 所以线段的长的取值范围为． 故答案为：． 课后针对训练 一、多选题 1．（24-25高一下·湖北·期中）已知三个内角的对边分别为，且，则下列选项正确的是（    ） A．若，则边上高的最大值为 B．若，则周长的最小值为 C．若的角平分线长为，且，则 D．若是锐角三角形，且，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据题中条件，得.对于A，利用余弦定理和及基本不等式，得到，再由三角形面积公式即可求解；对于B，利用余弦定理和基本不等式结合，计算周长最值；对于C，利用分割计算三角形面积，得，结合条件可得，，再利用余弦定理计算得出边长；对于D，利用正弦定理、三角形内角和和辅助角公式，结合角的范围计算得出结果. 【详解】由，可得， 又，得到, 又，所以，即，又，所以； 对于选项A，时，由余弦定理得， 所以，所以边上的高，故选项A正确， 对于选项B，因为，则， 所以，得到， 所以，则周长，周长的最大值为，所以选项B错误； 对于选项C，由，得， 又，所以， 又，得到，则， 又， 所以，所以选项C正确； 对于选项D，由正弦定理知， ， 又是锐角三角形，所以，得到， 所以，则，所以，故选项D正确， 故选：ACD. 2．（24-25高二下·福建漳州·期末）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．△ABC的外接圆的面积2π C．△ABC的面积的最大值是 D．b＋c的取值范围是 【答案】CD 【分析】对于A项，由正弦定理边化角及和角公式求解即可；对于B项，由正弦定理及圆的面积公式求解即可；对于C项，由余弦定理及重要不等式可求得的最大值，结合三角形面积公式求解即可；对于D项，由正弦定理边化角可得，求此函数的值域即可. 【详解】对于A项，因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以，故A项错误． 对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 则的外接圆的面积是，故B项错误． 对于C项，由余弦定理可得，即①． 因为②，当且仅当时，等号成立， 所以由①②得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，则C项正确． 对于D项，由正弦定理可得， 则，， 所以 是锐角三角形，，所以， 所以，所以， 所以，即的取值范围是，故D项正确． 故选：CD. 3．（25-26高三上·河北石家庄·月考）如图，在四边形OACB中，为正三角形，设，，，则下列说法正确的有（   ）. A．当时，的面积最大 B． C．若，则 D．四边形面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】A利用面积公式结合正弦函数的性质可判断；B在中利用余弦定理即可；C利用，结合数量积的定义求出；D求出面积，利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质可求. 【详解】对于A，由题意可得，， 因，则当时，的面积最大，故A正确； 对于B，在中利用余弦定理可得，， 则由题意可得， ， 解得，故B错误； 对于C，，得， 因，则，故C正确； 对于D，因为正三角形，则， 则四边形面积为， 因，则， 则当，即时，四边形面积有最大值，最大值为， 故D正确. 故选：ACD 4．（2026·湖北随州·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，若，则（    ） A． B． C．的最大值为1 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】从面积条件出发，结合正弦定理、余弦定理及三角恒等变换，推导出边角关系，进而逐一验证各选项即可. 【详解】对于A，由题意得，即， 由正弦定理可得，即，故A正确． 对于B，因为，且，即， 则， 两边同时乘以2得， 即， 由正弦定理可得，故B正确； 对于C，，，因为， 则当时，取得最大值为1， 但是由，即，则， 此时，不满足题意，故C错误； 对于D，由余弦定理得，且， 则有， 所以， 其中，则可得的最大值为，故D正确． 5．（25-26高三上·山东济南·开学考试）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，且有两解，则的取值范围是 D．若，的平分线交于点，，则的最小值为9 【答案】BD 【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项，由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】选项A，因为，即， 所以有 整理可得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确. 选项C，如图，若有两解，则， 所以，则b的取值范围是，故C错误． 选项D，的平分线交于点，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式， 得，即，得， 得 ， 当且仅当，即时，取等号，故D正确. 故选：BD 6．（25-26高三上·山东·开学考试）在中，，，则（    ） A． B． C．周长的最大值为6 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理和两角和差的正弦公式化简即可判断A；利用正弦定理和余弦定理化简即可求出B；利用不等式判断C；利用判断D. 【详解】由正弦定理可化为， 则，故A正确； 由正弦定理可化为， 即，则， 因，则，故B错误； 因，则，得， 则，，等号成立时，故C正确； 因，则，得， 则，等号成立时，故D正确. 故选：ACD 7．（2026高一·全国·专题练习）（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，为的中点，且，则面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】对A，先由余弦定理得到，再用基本不等式求出AB⋅AC的最大值，最后代入面积公式判断面积最大值；对B，先由余弦定理和b+c=8得到与bc的关系，再用基本不等式求出bc的最大值，最后代入面积公式求最大值；对C，先由角平分线和正弦定理得到b=2c，再代入余弦定理表示，最后通过换元法求面积的最大值；对D，先设BM=x 得到BA=BC=2x，再由余弦定理求出，最后代入面积公式并通过配方求最大值. 【详解】对于A，由余弦定理可得， 即， 由基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，A错误； 对于B，由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为，B正确； 对于C，设，，则，， 在和中，分别运用正弦定理，得和． 因为，所以， 即，所以，由余弦定理可得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为3，C正确； 对于D，设，则， 在中，由余弦定理得， 解得，则， 所以 ， 所以当即时，，D正确． 故选：BCD． 8．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（   ） A． B．角A的取值范围为 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，利用二倍角公式及余弦定理化简可得，对于B，利用余弦定理，结合基本不等式求出的范围即可；对于C，根据，可得，结合，再建立不等式求解；对于D，根据积化和差，先化简，再代入利用正弦定理结合基本不等式求最值即可． 【详解】， 由正弦定理得， 即， ，故A错误； ， ，，故B正确； 由，则，令, 又，即， ，即， 解得，又， ； 同理，即， ，即， 解得（舍去）或， 综上，，故 所以， 故C正确； ， ，当时取等， 即的最大值为，故D正确． 9．（2025·四川绵阳·模拟预测）在中，是角的对应边，满足，，下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为1 C．若，则 D．的面积最大值为 【答案】BCD 【分析】先根据证明，A选项，结合勾股定理可求得等式右边是，从而得出判断；B选项，由，则为锐角，故对使用基本不等式进行处理即可求解；C选项，选项条件结合勾股定理，可得三边关系，从而得出三个正弦值进而求解；D选项，利用基本不等式求解. 【详解】先证明. 由题意，，得， 即，等式左右使用和差化积，积化和差公式， 得到， 由诱导公式可得，， 若，则，上式可转化成， 令，则可知矛盾，从而. 对于A，由于，根据勾股定理得，此时， 而右边为， 因左边右边，故A错误； 对于B，在中，由，则为锐角，. 由基本不等式得：， 所以，整理得：， 当且仅当，即，也即或时等号成立， 所以的最小值为1，B正确； 对于C，由，又，所以， 即，整理得：.， 代入得.. 所以，C正确； 对于D，， 由，由基本不等式，，即， 解得（负值舍去）， 又， 则， 当取得等号，D选项正确. 故选：BCD. 10．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）已知的内角的对边分别为，，且，则下列选项中正确的有（    ） A． B．面积的最大值为 C．的最大值为 D．角的平分线交于点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】结合题意并利用两角和的正切公式判断A，利用余弦定理结合重要不等式判断B，利用余弦定理结合基本不等式判断C，作出符合题意的图形，结合题意并利用换元法得到，最后利用导数并结合求解最大值即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 则， 可得，得到， 由两角和的正切公式得，即， 由诱导公式得，解得， 因为，所以，故A错误， 对于B，由余弦定理得， 而，可得，由重要不等式得， 当且仅当时取等，则，解得， 由三角形面积公式得， 得到面积的最大值为，故B正确， 对于C，由已知得， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 得到，则， 可得，解得，故C正确， 对于D，如图，作出符合题意的图形，设， 因为是的角平分线，所以， 由等面积公式得， 化简得，即， 由已知得，即， 可得， 令，则，而， 则在上单调递增，得到， 即的最大值为，故D正确. 故选：BCD 11．（25-26高三上·广东·开学考试）在中，，，D为边BC的中点，则（    ） A． B． C． D．最大时， 【答案】BCD 【分析】先将已知条件变形化简得，可得到，A选项利用三角形内角和即可判断；B选项利用可判断；C选项分别在和中利用余弦定理，再利用两边之和大于第三边即可求解；D选项，在中利用余弦定理，再借助基本不等式即可求解. 【详解】，， ，即， 整理得，， ，，即. 对于A选项，，，，， ，， ，，不能确定，故A错误； 对于B选项，，，故B正确； 对于C选项，设， 在中，，， 由余弦定理知，， 在中，，， 由余弦定理知，， ，整理得， 在三角形中，两边之和大于第三边，，， ，，故C正确； 对于D选项，在中， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，，， 的最大值为； 此时不妨设，则， 又，D为边BC的中点，则， ，， 为边BC的中点，， 又，则是边长为2的正三角形， ，故D正确. 故选：BCD. 12．（25-26高三上·重庆·月考）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M，，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（   ） A． B．△ABD的面积的最大值为 C．若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为 D．BD的最小值为 【答案】ACD 【分析】已知等式由正弦定理和三角恒等变换化简，求角判断选项A；由余弦定理和基本不等式得，再由求最小值判断选项B；由，利用向量的数量积和三角恒等变换化简得，△ABC为锐角三角形，有，结合正弦函数的性质求取值范围判断选项C；设，由余弦定理，利用辅助角公式和正弦函数的性质求最小值判断选项D. 【详解】对于A，已知，由正弦定理得， 即，得， 则有，得， 又由于，所以，故， 而，所以，选项A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得， 所以，所以，当且仅当时取等号， 由于， 所以的面积的最大值为，故选项B错误； 对于C，在中，由正弦定理得， ，， 由AC的中点为M，有， ， △ABC为锐角三角形，则，得， 当，有，所以， 有，故，选项C正确； 对于D，设，所以，在中由余弦定理， ， ，， 故当，即时， 取最小值，所以的最小值为，故D选项正确. 故选：ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题06：解三角形中的取值范围】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求周长的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心目标：在给定条件下（如已知一边及对角、两边和等），求三角形周长的最值或取值范围 核心工具：正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角函数值域 约束条件：三角形三边关系、、，内角和为 解题方法 1.角化边：若已知一边及对角（如），用正弦定理，，将周长表示为 2.边化角：利用消元，将周长转化为单一角的三角函数（如的函数） 3.基本不等式：若已知两边和或积，用或放缩求最值 4.三角函数值域：化简三角函数后，结合角的范围求值域 名师点睛 已知一边及对角时，周长最值常出现在等腰三角形（）处 必须验证等号成立时是否满足三边关系，避免出现“退化三角形” 口诀：“已知一边对角，化角求值域；已知两边关系，用不等式放缩” （25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，.经典例题1例题 (1)求c及C； (2)求周长的最大值. （2026·浙江·模拟预测）已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且.经典例题2例题 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. （2023·陕西西安·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为_____．小试牛刀1 （24-25高一下·辽宁丹东·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是______.小试牛刀2 （24-25高一下·广东广州·期末）已知是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的周长的取值范围为__________.小试牛刀3 【题型2：求面积的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心公式：，（海伦公式） 核心工具：正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角函数值域 约束条件：同周长问题，需满足三角形存在条件 解题方法 1.角化边：若已知角，则，只需用余弦定理或基本不等式求的最值 2.边化角：若已知两边及夹角，直接代入面积公式；若已知一边及对角，用正弦定理将表示为角的函数，再求值域 3.基本不等式：由余弦定理，结合，得，代入面积公式求最值 4.三角函数值域：将面积转化为或的函数，结合角的范围求值域 名师点睛 已知一边及对角时，面积最大值为，当时取到 面积问题本质是“求或或的最值”，再乘 注意为正，面积符号恒为正，范围只需关注大小 （25-26高一下·广西贵港·月考）中，.经典例题1例题 (1)求A； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求面积的最大值. （25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.经典例题2例题 (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，．小试牛刀1 (1)求的值； (2)求面积的取值范围． （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在扇形中，圆心角等于60°，半径为2，在弧上有一动点（不与点，重合），过点引平行于的直线和交于点，设，求面积的最大值及此时的值．小试牛刀2 （23-24高三下·贵州贵阳·月考）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．小试牛刀3 (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 【题型3：求角的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心目标：求某内角（如）的取值范围或最值 核心工具：余弦定理（）、正弦定理、基本不等式、三角函数单调性 约束条件：，且满足三角形内角和与三边关系 解题方法 1.余弦定理+基本不等式：将表示为边的函数，用放缩，得到的范围，再由余弦函数单调性求的范围 2.正弦定理+三角函数值域：将角转化为边的关系，或用消元，转化为单一角的三角函数求值域 3.三边关系：由等不等式，推导边的比例关系，进而得到角的范围 名师点睛 角的最值与的最值相反：越大，越小；越小，越大 当时，角常取得最值（最大或最小），这是高频考点 注意钝角的余弦值为负，范围要包含情况 （25-26高三下·山东·月考）在中，内角的对边分别为，且．经典例题1例题 (1)若，求的值； (2)若均为锐角，求的最小值． （2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知．经典例题2例题 (1)证明：； (2)求内角的最大值． （25-26高三上·浙江湖州·期末）在中，是线段上一点，且，，设．小试牛刀1 (1)求线段的长度（用表示）； (2)若，求的值； (3)求的最大值． （2025高三上·四川自贡·专题练习）在中，已知.小试牛刀2 (1)证明：为锐角； (2)求的最小值. （25-26高三上·内蒙古·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.小试牛刀3 (1)若，，求的周长； (2)求的最大值. 【题型4：求边长的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心目标：求某边长（如）的取值范围或最值 核心工具：正弦定理、余弦定理、基本不等式、三边关系、三角函数值域 约束条件：三角形三边关系、内角范围 解题方法 1.正弦定理：若已知角，则，将表示为角的函数，求值域 2.余弦定理：将看作函数，用基本不等式或二次函数求最值 3.三边关系：由直接得到范围，或结合已知条件推导 4.参数化：设一边为变量，建立函数关系，求值域 名师点睛 已知两边及夹角时，边长范围可直接由余弦定理结合基本不等式得到 已知一边及对角时，边长范围常由三角函数值域得到，需注意角的范围 边长为正数，范围左端点大于0，右端点由三边关系或函数最值确定 （25-26高三上·福建福州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，.经典例题1例题 (1)若，，求的值； (2)当时，求的最小值. （25-26高三上·湖北随州·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，且．经典例题2例题 (1)求； (2)若的面积为，求的最小值． （2025高三·全国·专题练习）在中，，则的最大值是_____．小试牛刀1 （2025高三·全国·专题练习）在中，，，若为线段的中点，为线段的靠近点的三等分点，则线段长度的最大值为_____．小试牛刀2 （25-26高三上·安徽合肥·月考）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则边上的高的取值范围是____________．小试牛刀3 【题型5：求边长的比值的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心目标：求边长比值（如、）的最值或范围 核心工具：正弦定理（角化边）、余弦定理（边化角）、基本不等式、分式函数值域 约束条件：三角形存在条件，内角范围 解题方法 1.正弦定理角化边：将比值转化为或，再用三角恒等变换化简为单一三角函数求值域 2.余弦定理边化角：将比值表示为边的函数，用基本不等式放缩求最值 3.分式函数值域：若为线性分式，可分离常数后求值域；若为二次分式，可判别式法或基本不等式 名师点睛 比值问题优先用正弦定理，将边的比值转化为角的正弦比值，简化计算 注意比值的定义域（边长为正，比值>0），避免出现负数或0 高频模型：常转化为，结合消元 （25-26高三上·广东东莞·期末）已知是锐角三角形，内角、、所对应的边分别为、、.若，则的最小值是____________．经典例题1例题 （25-26高三上·福建龙岩·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知.经典例题2例题 （1）若，则___________； （2）的取值范围是___________. （2025·浙江嘉兴·一模）记的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是__________．小试牛刀1 （2026高一·全国·专题练习）设的内角，，所对的边分别为，，，记其面积为、周长为，，，则的最大值为______．小试牛刀2 （23-24高一下·云南楚雄·月考）在中，，点在上且是的角平分线，且的面积为1，当最短时，________.小试牛刀3 【题型6：与不良结构有关的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心定义：“不良结构”指条件不足（如缺少一边或一角）、条件冗余或条件模糊的解三角形问题 核心思路：先补全结构（如用正弦/余弦定理建立方程），再转化为常规最值问题 常见场景：已知两边及其中一边的对角（SSA）、已知一边及两角和、已知边角混合式等 解题方法 1.先定结构：用正弦定理或余弦定理建立方程，求出未知边或角，补全三角形结构 2.再求最值：将问题转化为周长、面积、角、边长等常规最值问题 3.分类讨论：若SSA类型，需讨论解的个数（一解、两解、无解），再分别求范围 4.参数化：设未知边或角为参数，建立函数关系，求值域 名师点睛 不良结构问题的关键是“先定结构，再求最值”，不要直接求最值 SSA类型必须先判断解的个数，否则范围会出错 此类问题是高考难点，需熟练掌握正弦定理的多解判断 （24-25高一下·山西太原·月考）已知为锐角三角形，内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·陕西安康·模拟预测）如图，由一个等腰三角形与一个直角三角形拼接成一个平面四边形，且，，，则当的长最大时，的值为______.经典例题2例题 （24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为______.小试牛刀1 （25-26高三上·山东东营·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为.小试牛刀2 (1)求； (2)若，，求的最小值. （25-26高三上·黑龙江·月考）在中，角是的内角，且.小试牛刀3 (1)求； (2)若为边BC的中点，且，，求的面积； (3)求的最大值. 【题型7：与角平分线中线有关的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心工具：角平分线长公式、中线长公式（阿波罗尼斯定理）、基本不等式、三角函数值域 角平分线长公式： 中线长公式： 解题方法 1.角平分线问题：将表示为或角的函数，用基本不等式（）或三角函数求最值 2.中线问题：将表示为的函数，用基本不等式（）或二次函数求最值 3.结合已知条件：若已知一边及对角，用正弦定理将表示为角的函数，再求最值 4.验证等号：确保等号成立时满足三角形存在条件 名师点睛 角平分线最值常出现在（等腰三角形）时，中线最值也常出现在等腰三角形 中线长公式是核心，必须熟练记忆和应用 此类问题常结合基本不等式，注意“一正二定三相等”的条件 （25-26高三上·江苏淮安·月考）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为_________．经典例题1例题 （2025高三·全国·专题练习）已知在中，内角的对边分别为，且，且外接圆半径为1，则边上的中线的最大值为______.经典例题2例题 （24-25高一·全国·假期作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点E在上，是的平分线，则的取值范围为_______.小试牛刀1 （24-25高一下·重庆·月考）在中，角，，的对边分别是，，，且．设的中点为，且，则的取值范围为__________.小试牛刀2 （2025高三·全国·专题练习）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为__________．小试牛刀3 课后针对训练 一、多选题 1．（24-25高一下·湖北·期中）已知三个内角的对边分别为，且，则下列选项正确的是（    ） A．若，则边上高的最大值为 B．若，则周长的最小值为 C．若的角平分线长为，且，则 D．若是锐角三角形，且，则的取值范围是 2．（24-25高二下·福建漳州·期末）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．△ABC的外接圆的面积2π C．△ABC的面积的最大值是 D．b＋c的取值范围是 3．（25-26高三上·河北石家庄·月考）如图，在四边形OACB中，为正三角形，设，，，则下列说法正确的有（   ）. A．当时，的面积最大 B． C．若，则 D．四边形面积的最大值为 4．（2026·湖北随州·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，若，则（    ） A． B． C．的最大值为1 D．的最大值为 5．（25-26高三上·山东济南·开学考试）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，且有两解，则的取值范围是 D．若，的平分线交于点，，则的最小值为9 6．（25-26高三上·山东·开学考试）在中，，，则（    ） A． B． C．周长的最大值为6 D．面积的最大值为 7．（2026高一·全国·专题练习）（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，为的中点，且，则面积的最大值为 8．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（   ） A． B．角A的取值范围为 C．的取值范围为 D．的最大值为 9．（2025·四川绵阳·模拟预测）在中，是角的对应边，满足，，下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为1 C．若，则 D．的面积最大值为 10．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）已知的内角的对边分别为，，且，则下列选项中正确的有（    ） A． B．面积的最大值为 C．的最大值为 D．角的平分线交于点，则的最大值为 11．（25-26高三上·广东·开学考试）在中，，，D为边BC的中点，则（    ） A． B． C． D．最大时， 12．（25-26高三上·重庆·月考）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M，，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（   ） A． B．△ABD的面积的最大值为 C．若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为 D．BD的最小值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $