10.3.1 频率的稳定性课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.3.1 频率的稳定性 课前请同学们准备： 1.两个一元硬币、纸、笔； 2.有条件的同学还可以准备电脑，打开一个空白的Excel文件. 问题1 抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A=“正面朝上是偶数”，则事件A发生的概率是多少？ 问题2 抛掷一枚质地不均匀的骰子，设事件B=“正面朝上是偶数”，则事件B发生的概率是多少？ 抛掷一枚图钉，求针尖朝上的概率；天气预报说明天多云转小雨，求明天早上下小雨的概率；等等. 这些都无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，因此我们需要寻找一种新的求概率的方法. 在初中，我们学习过通过大量重复试验，可以用频率估计概率. 那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？ 探究：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验,设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较.你发现了什么规律? 计算概率：把硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0,则这个试验的样本空间Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，A={(1,0)，(0,1)}, ∴P(A)= = 下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系. 第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率； 第二步：每4名同学为一组，相互 比较试验结果； 第三步：各组统计事件A发生的次数， 计算事件A发生的频率，将结果填入 表10.3-1中. 小组 序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率 1 100 2 100 3 100 … 合计 实施试验 表10.3-1 利用计算机模拟掷两枚硬币的试验,在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验， 得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)(如下表). 序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 216 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 用折线图表示频率的波动情况. 我们发现： （1）试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性． （2）从整体来看，频率在概率0.5附近波动．当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大． 大量试验表明: （1）在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性． （2）一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)． 我们称频率的这个性质为频率的稳定性． 因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 雅各布第一•伯努利(1654-1705)瑞士数学家,被公认为概率理论的先驱,他給出了著名的大数定律.大数定律阐述了随着试验次数的增加,频率稳定在概率附近. 结论 例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年，2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51. (1) 分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）； (2) 根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？ 分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率. (2)由于调查新生儿人数的样本非常大,根据频率的稳定性,上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度. 解：(1)2014年男婴出生频率为 0.537 2015年男婴出生频率为 0.532 由此估计，2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532. 因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论. 【对应练习】老师布置同学们完成这样的一个试验：“从一个装有大小、质地完全相同的1个红球和2个黄球的不透明袋子中任取1球”，分别做100、200、300、400、500次试验，统计红球出现的频率并画出折线图. 小明根据试验画出如右图所示折线图，你认为小明可信吗？ 解:由折线图看出频率在0.15-0.2之间。根据频率的稳定性，随着试验次数的增多，频率会逐渐稳定在概率附近,事实上，取到红球的概率为 ，与小明所给出的数据相差较大.因此，我们有理由怀疑小明. 例2 一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜. 判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等. 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次. 据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论?为什么? 解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7. 根据频率的稳定性，随着试验次数的增加,频率偏离概率很大的可能性会越来越小. 相对10次游戏,1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信 1000次时的频率离概率更近. 而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距, 所以有理由认为游戏是不公平的. 因此，应该支持甲对游戏公平性的判断. 问题2 抛掷一枚质地不均匀的骰子，设事件B=“正面朝上是偶数”，则事件B发生的概率是多少？ 某同学做了4组试验，试验结果如下表： 第一组 第二组 第三组 第四组 合计 总次数n 100 200 300 400 1000 B的次数m 63 151 221 289 724 B的频率 0.630 0.755 0.737 0.723 0.724 根据表中数据，你认为用哪个频率值估计事件B发生的概率更合理. 思考：气象工作者有时用概率预报天气,如某气象台预报“明天的降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具”.如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确.那么如何理解“降水概率是90%”?又该如何评价预报的结果是否准确呢? 降水的概率是气象专家根据气象条件和经验,经分析推断得到的.对“降水的概率为90%”比较合理的解释是:大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨. 只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性.如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨了,那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确. (1)频率的性质： (2)频率与概率的联系与区别： 随机性和稳定性．   频率 概率 区别 本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定． 是一个确定的数，是客观存在的，与每次的试验无关． 联系 随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近，所以当试验次数比较大时，我们常常用频率估计概率． $