精品解析：福建厦门大学附属科技中学2026届高三下学期数学3月限时训练数学试题

2025-2026学年（下）厦门大学附属科技中学高三3月限时训练 数学试题 时长：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合及交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：C． 2. 已知为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求解. 【详解】，虚部为－1 故选：A. 3. 已知等差数列的公差，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由条件及等差数列通项公式可得，进而再由基本不等式可得最小值. 【详解】由，所以，即，则， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故时，的最小值为. 故选：B 4. 若函数是奇函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，结合函数表达式建立方程求解的值. 【详解】是奇函数，为偶函数， 为奇函数， . 故选：D. 5. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 3或0 D. 4或1 【答案】C 【解析】 【分析】由的夹角均为和夹角均为，两类情况讨论，通过求模的平方即可求解. 【详解】当的夹角均为时， 则 ， ； 当的夹角均为时， 所以 综上或0； 故选：C 6. 已知圆与直线相交于两点，当最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程确定直线过定点，圆的圆心为，半径为.过圆心作交直线于点，分析可知，当重合时，取得最大值，此时取得最大值，从而取得最大值.由斜率公式及两垂直直线斜率乘积为可得的值. 【详解】，得. ，解得. 所以直线过定点. 由，得. 所以圆心的坐标为，圆的半径为. 过圆心作交直线于点，因为，所以. 所以当最小时，也最小. ，，且在上单调递减， 所以当最小时，最大. 显然，当，即重合时，取得最大值. 此时，直线的斜率为， 所以直线的斜率为，解得. 故选：A. 7. 已知四面体满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过空间直角坐标系法求解，利用坐标定位各顶点，再根据外接球心到各顶点距离相等的性质列方程求解. 【详解】由为等腰直角三角形（，），得， 由为等腰三角形（，），用余弦定理： 验证ABBD：，故， 又，，得平面； 建立空间直角坐标系，，（在轴，在轴），点：由几何关系，可以得，过点作轴的垂线，依据勾股定理自然可得； 设外接球心为，则， 由：， 由：， 由：， 化简得； 因此，球心，半径：， 故选：B 8. 若，则下列不等关系一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对已知等式进行恒等变形，通过构造函数，利用数形结合思想进行判断即可. 【详解】当时，显然不成立， 当时，由， 令，设， 在同一直角坐标系内画出三个函数的图象如下图所示： 由数形结合思想可知：只有选项C不可能， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.为分析两种疗法效果是否有差异，为对治疗情况进行检查，随机抽取了136名患儿， 得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈（） 治愈（） 甲（） 15 52 乙（） 6 63 附：常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得，则下列说法正确的是（ ） A. 以频率估计概率，有 B. 以频率估计概率，有 C. 若取，可以认为疗效与疗法独立 D. 若取，可以认为疗效与疗法独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由题设求出表格中各行各列总数，再由条件概率即可计算求解判断A、B；再由独立性检验思想即可分析判断C、D. 【详解】求出列联表如下： 疗法 疗效 总数 未治愈（） 治愈（） 甲（） 15 52 67 乙（） 6 63 69 总数 21 115 136 对于A项，由列联表以频率估计概率，有，故A正确； 对于B项，由列联表以频率估计概率，有，故B正确； 对于C项，零假设 ：认为疗效与疗法独立，由，所以若取小概率值，则零假设不成立，即认为疗效与疗法不独立，故C错误； 对于D项，零假设 ：认为疗效与疗法独立，由，所以若取小概率值，则零假设成立，即可以认为疗效与疗法独立，故D正确. 10. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，为的右焦点，点在上，且关于轴对称，其中点在第一象限．分别为线段的中点，点，为坐标原点，则（ ） A. 的方程为 B. C. 的最小值为 D. 的面积的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由离心率和长轴长列出等式求解即可判断，对于B，设的左焦点为，连接，结合椭圆的对称性即可判断，对于C，设，由两点间距离公式，结合二次函数即可判断，对于D，由，结合的范围，即可判断. 【详解】设的焦距为，由题意知解得，所以，所以的方程为，故A正确； 如图，设的左焦点为，连接，由的对称性知， 因为分别为线段的中点， 所以， 由椭圆的定义知，故B正确； 设，则，所以， 所以， 当时，，故C错误； ，而， 所以，即的面积的取值范围为，故D正确． 故选：ABD． 11. （多选）如图，三棱台中，是上一点，，平面，，，则（ ） A. 过点有四条直线与、所成角均为 B. 平面 C. 棱上存在点，使平面平面 D. 若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为，且长度的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的平分线绕点在过直线且与平面垂直的平面内旋转确定直线的位置判断A，求出与不垂直，判断B，过作交于点，由面面平行的判定定理证明面面平行后判断C，根据线面角定义确定点轨迹后求得最小值判断D． 【详解】选项A，由异面直线所成角的定义考察过点的直线，如图，直线是的平分线， 即， 在过直线且与平面垂直的平面内．把直线绕点旋转， 旋转过程中始终保持该直线与的夹角相等， 旋转到与平面垂直位置时，直线与的夹角为，因此中间必有一个位置，使得夹角为， 以为旋转中心，点向上移有一个位置，向下移也有一个位置，同样点 （如图，点在的反向延长线上）向上移有一个位置，向下移也有一个位置，共四个位置得四条直线， 由于夹角为，这四条直线不重合，再过作这四条直线的平行线，满足题意，故A正确， 选项B，因为平面，平面，所以， 因此是直角梯形，，则，但， 因此与不垂直，从而与平面不垂直，B错； 选项C，如下图，由，得， 又，即得， 所以， 又平面，平面，所以平面， 过作交于点，是平行四边形，， 点在线段上），同理可得平面， 又是平面内两相交直线，所以平面//平面，C正确； 选项D，因为平面，平面，所以，又， ，、平面，所以平面， 而平面，所以平面平面， 过作，垂足为，由面面垂直的性质定理得平面， 在直角梯形中，， 所以在直角中，，， 与平面所成角的正切值为，即， 所以， 因此点轨迹是以为圆心，为半径的圆在侧面内圆弧，的最小值为，D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题是个难点．确定轨迹的方法一种是利用空间直线与平面的平行或垂直关系得出动点所在的直线或平面满足的平行或垂直，从而得出轨迹，第二种利用空间角、距离的定义通过计算确定动点到某个定点的距离为定值（如本题），由平面几何知识得轨迹，该轨迹在平面内的部分即为所求（常常求的是在几何体某个面上的轨迹，因此要加范围限制）． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义结合题意列式计算即可求解. 【详解】， ， 由题意可得，解得. 故答案为：. 13. 函数（）的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，记，则________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用正弦（型）函数图象与性质，结合两角和的正切公式求解即可. 【详解】过作轴，如图所示： 由是图象的最高点，所以， 又，所以函数的最小正周期为2. 因为之间的距离为一个最小正周期的长度，所以. 设， 所以在直角与直角中有： ， 在中，，所以， 所以. 14. 已知（，），则________. 【答案】 【解析】 【分析】要得到项的系数，需从个括号中选取个括号取的系数，其余个括号取，然后将这些项相乘，最后计算所有可能的和. 【详解】由题可知即为项的系数，即是“从中任取两项乘积”的和， 设， 所以 ， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为的内角所对的边，且. （1）求； （2）已知是边的中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与两角和的正弦公式求解即可； （2）利用平面向量，余弦定理，以及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以． 【小问2详解】 因为，，所以， 因为是的中点，所以， 所以 ， 因为，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立．所以的最大值为． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点． （1）求证：平面； （2）试问在线段上是否存在一点，使得平面与底面所成夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 由题意可知， 侧面底面，侧面底面平面， 平面， 又平面，平面， 平面． （2）存在， 【解析】 【分析】(1)用线面垂直判定定理证明平面； (2)建立空间直角坐标系后用参数表示点，求出平面的法向量，结合底面法向量与二面角余弦值列方程，求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，分别取、的中点、，连接、、， 已知两两垂直，则以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系 由题意可知，， 设，则，又 所以， 设平面的法向量为，则， 代入数值可得， 不妨令，则，，故， 由题意可知，即为平面的法向量，则有， 所以，等号两边平方，化简后可得， 解得或（舍去），所以. 17. 2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； （3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）可应用二项分布求解3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）应用互斥事件的和事件的概率和条件概率求解即可； （3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为，分别求出，进而可得不同取值时的概率，列出分布列，求出期望即可. 【小问1详解】 记3人中通过第一轮的人数为， 由题意可知， 记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件， 则. 【小问2详解】 记随机选择小明、小华、小方的事件分别为，通过第二轮的事件记为， 则由题意可知， 则， 所以. 【小问3详解】 记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为， 则， ， ， 由相互独立可知， ， ， 所以的分布列是 0 1 2 3 则的数学期望是． 18. 已知双曲线 离心率为，为坐标原点，为左、右焦点，直线过右焦点与右支交于两点，当轴时，. （1）求双曲线的方程； （2）若动点在双曲线右支上，设的平分线分别与轴、轴交于点、，直线与双曲线左、右支分别交于、两点，如图所示： ①求实数的取值范围； ②求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据双曲线通径的长，离心率的公式以及之间的关系列方程组求解即可； （2）①由角平分线性质结合双曲线的定义可得，再利用得出的取值范围，解关于的不等式即可求解； ②直线与双曲线联立，根据①求出的范围，由，最后利用导数判断函数的单调性即可求出最大值. 【小问1详解】 设双曲线的焦距为，把代入双曲线方程可得， 由题意可知，解得，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）可知，由角平分线性质可得， 又 ，联立两式可得， 因为在双曲线右支上，所以且，即，所以，， 所以，解得，又 ，所以的取值范围为. ②由①可知；当时，，，此时直线的方程为， 即，令，得，直线的斜率最小，，且， 设，直线的方程为，则， 由消去得， 则，，， 由图可知， 令，， 因为，所以，在上单调递增，所以， 所以面积的最大值为. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，且，证明：． 【答案】（1）的单调递减区间是；单调递增区间是； （2） （3）由（2），， 又，可知， 因为函数在区间上单调递减，故， 令，， ，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令， ，， 设 ， 故单调递增，， 即单调递减，，即， 所以得证； 综上，． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调区间即可； （2）先构造函数，再求出导函数分和时，讨论函数单调性计算求解参数； （3）先由（2），再构造，再构造结合导数求出单调性即可证明；. 【小问1详解】 函数的定义域为，所以， 因为，所以． 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的单调递减区间是；单调递增区间是； 【小问2详解】 当时，，即， 设， 则， 令，则． 当时，，所以存在，使得当时，单调递增， 故当时，，即，不符合题意； 当时，，且当时，． 令， 则当时，因为，所以， 故当时，单调递减，此时， 所以当时，单调递减，即当时，，即 综上，a的取值范围是； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（下）厦门大学附属科技中学高三3月限时训练 数学试题 时长：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知等差数列的公差，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 若函数是奇函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 5. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 3或0 D. 4或1 6. 已知圆与直线相交于两点，当最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四面体满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则下列不等关系一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.为分析两种疗法效果是否有差异，为对治疗情况进行检查，随机抽取了136名患儿， 得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈（） 治愈（） 甲（） 15 52 乙（） 6 63 附：常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得，则下列说法正确的是（ ） A. 以频率估计概率，有 B. 以频率估计概率，有 C. 若取，可以认为疗效与疗法独立 D. 若取，可以认为疗效与疗法独立 10. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，为的右焦点，点在上，且关于轴对称，其中点在第一象限．分别为线段的中点，点，为坐标原点，则（ ） A. 的方程为 B. C. 的最小值为 D. 的面积的取值范围为 11. （多选）如图，三棱台中，是上一点，，平面，，，则（ ） A. 过点有四条直线与、所成角均为 B. 平面 C. 棱上存在点，使平面平面 D. 若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为，且长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 13. 函数（）的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，记，则________. 14. 已知（，），则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为的内角所对的边，且. （1）求； （2）已知是边的中点，求的最大值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点． （1）求证：平面； （2）试问在线段上是否存在一点，使得平面与底面所成夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 17. 2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； （3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 18. 已知双曲线 离心率为，为坐标原点，为左、右焦点，直线过右焦点与右支交于两点，当轴时，. （1）求双曲线的方程； （2）若动点在双曲线右支上，设的平分线分别与轴、轴交于点、，直线与双曲线左、右支分别交于、两点，如图所示： ①求实数的取值范围； ②求面积的最大值. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $