专题12 分式方程实际应用的三种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级下册

专题12 分式方程实际应用的三种考法 类型一、行程问题 1．长河耀星汉，万马聚狮城，沧州大运河第三届新春灯会将于2026年2月7日至3月8日在园博园举行，佳佳和珍珍相约先去沧州运河博物馆参观，再去园博园看灯会，7号下午2点两人同时从家出发，分别骑自行车到博物馆门口汇合，已知佳佳家和珍珍家到博物馆的距离分别为和． (1)若佳佳每分钟比珍珍每分钟多行，结果同时到达，求佳佳和珍珍的速度分别是多少米/分钟? (2)两人参观博物馆后，同时从博物馆出发去园博园东门，若珍珍骑车速度为千米/时，佳佳骑车速度为千米/时；其中，请判断谁先到达园博园，并说明理由． 2．甲、乙两辆汽车从地出发沿同一公路开往距离地的地，甲车的平均行驶速度是，乙车的平均行驶速度比甲车的平均行驶速度多． (1)若甲车和乙车同时出发，甲车到达B地用时_____，乙车到达B地用时_____，甲车用时是乙车用时的_____倍； (2)若甲车先行，乙车再出发，结果两车同时到达B地．求甲车的平均行驶速度； (3)若甲车和乙车同时出发，甲车行驶了（）后发现遗漏了行李，立即原速返回A地，取得行李后立即掉头以原来平均行驶速度的1.2倍赶往B地（取行李、掉头的时间均忽略不计），结果两车同时到达B地．则甲车的平均行驶速度是_____．（用含的代数式表示）． 3．2026年1月11日，厦门马拉松赛热烈开跑，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是一场文明与城市精神的“双向奔赴”．马拉松线上赛分为5大项目、、、半程马拉松、全程马拉松．小安准备和校田径队的队员桐桐分别参加和的线上赛． (1)若训练过程中，小安跑完的平均速度与桐桐跑完的平均速度相等，且小安所用时间比桐桐少18分钟．小安跑完需要多少分钟？ (2)经过一段时间的训练，两人的速度都有一定提升，设小安跑完用时y分钟．最终桐桐跑完用时比小安跑完多分钟，且．两人谁的平均速度快？请说明理由． 4．李强和张明是登山爱好者，周末两人相约去攀登一座高的山，两人同时开始登山，李强平均登高速度是张明的1.5倍，他比张明早到达顶峰．两人的平均登高速度各是多少？ 设张明平均登高速度是． (1)用含的代数式填表： 路程 平均登高速度 时间 张明 480 李强 480 (2)列出方程并完成本题解答． (3)如果山高为，李强平均登高速度是张明的倍，并比张明早到达顶峰，则张明的平均登高速度是_____，李强的平均登高速度是_____． 5．【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2） 如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 类型二、工程问题 1．为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 2．根据背景素材，探索解决问题： 如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河（如图）．不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3442万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.6万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 3．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 4．在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 5．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为．     (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动实践基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 类型三、经济问题 1．载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． (1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 2.随县是中国现代香菇产业起源地，是闻名海内外的“中国香菇之乡”“中国花菇之乡”，其所产香菇肉质厚实、香味浓郁，同时出产的黑木耳也口感脆嫩、品质优良，均为广受欢迎的农特产品． 素材1：某特产店计划用元购进随县香菇和木耳进行销售。已知香菇的进价比木耳的进价高元/千克，用元购进的香菇数量和用元购进的木耳数量一样多． 素材2：根据该特产店所定的售价，每千克木耳的利润是每千克香菇利润的倍．同样获得元的利润，需要出售的香菇数量比需要出售的木耳数量多千克． 问题解决 (1)确定进价：分别求出香菇和木耳每千克的进价． (2)确定利润：分别求出香菇和木耳每千克的利润． (3)确定购进方案：要使总利润不低于元，则最多能购进香菇多少千克？ 3．下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多4元，用400元购进甲种商品和用240元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=4      (1)解法一所列方程中的x表示________，解法二所列方程中的x表示________．（填序号） A．甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元     C．甲种商品购进x件 (2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价． (3)若商店计划用不超过288元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？ 4．甲、乙两个商店在同一平台按相同的价格购进了同一品牌的调味品，已知甲商店用1260元购进的调味品数量比乙商店用1500元购进的数量少16瓶． (1)求这种调味品每瓶的价格． (2)过了一段时间，这种调味品的价格降到了m元/瓶（），两个商店计划再次购买这种调味品，甲、乙两个商店购买的总费用均与上次相同，设甲、乙两个商店两次购买这种调味品的平均价格分别为和，请比较和的大小． 5．“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； (1)若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 (2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ (3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 分式方程实际应用的三种考法 类型一、行程问题 1．长河耀星汉，万马聚狮城，沧州大运河第三届新春灯会将于2026年2月7日至3月8日在园博园举行，佳佳和珍珍相约先去沧州运河博物馆参观，再去园博园看灯会，7号下午2点两人同时从家出发，分别骑自行车到博物馆门口汇合，已知佳佳家和珍珍家到博物馆的距离分别为和． (1)若佳佳每分钟比珍珍每分钟多行，结果同时到达，求佳佳和珍珍的速度分别是多少米/分钟? (2)两人参观博物馆后，同时从博物馆出发去园博园东门，若珍珍骑车速度为千米/时，佳佳骑车速度为千米/时；其中，请判断谁先到达园博园，并说明理由． 【答案】(1)佳佳的速度是米/分钟，珍珍的速度是米/分钟 (2)珍珍先到达园博园 【分析】（1）本题属于行程问题，利用两人同时到达即行驶时间相等的等量关系建立分式方程求解，需注意单位统一及分式方程的检验． （2）本题通过因式分解化简两人的速度表达式，设路程为正数，计算两人行驶时间的差，结合的条件判断差的正负，从而确定谁的行驶时间更短，进而判断谁先到达． 【详解】（1）解： 将路程单位统一，， ， 设珍珍的速度为米/分钟，则佳佳的速度为米/分钟 根据两人行驶时间相等，列方程 得 解得 ， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 则佳佳的速度为米/分钟， 答：佳佳的速度是米/分钟，珍珍的速度是米/分钟． （2）解： 设博物馆到园博园东门的路程为，其中 珍珍的骑车速度为千米/时， 珍珍的行驶时间 ， 佳佳的行驶时间 ， ， 因为，， 所以，， ， 因此，即 ， 答：珍珍先到达园博园． 2．甲、乙两辆汽车从地出发沿同一公路开往距离地的地，甲车的平均行驶速度是，乙车的平均行驶速度比甲车的平均行驶速度多． (1)若甲车和乙车同时出发，甲车到达B地用时_____，乙车到达B地用时_____，甲车用时是乙车用时的_____倍； (2)若甲车先行，乙车再出发，结果两车同时到达B地．求甲车的平均行驶速度； (3)若甲车和乙车同时出发，甲车行驶了（）后发现遗漏了行李，立即原速返回A地，取得行李后立即掉头以原来平均行驶速度的1.2倍赶往B地（取行李、掉头的时间均忽略不计），结果两车同时到达B地．则甲车的平均行驶速度是_____．（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，， (2)甲车的平均行驶速度； (3) 【分析】本题考查列代数式，分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得到乙车的平均行驶速度为，利用时间路程速度即可解答； （2）根据两车同时到达B地，列出分式方程求解即可； （3）由题意得甲车所用时间为，乙车所用时间为，根据两车同时到达B地，列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得到乙车的平均行驶速度为， 则甲车到达B地用时，乙车到达B地用时， 甲车用时是乙车用时的（倍）； 故答案为：，，； （2）解：由题意得，，即， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：甲车的平均行驶速度是； （3）解：由题意得甲车所用时间为：，乙车所用时间为：， 则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，即甲车的平均行驶速度是． 故答案为：． 3．2026年1月11日，厦门马拉松赛热烈开跑，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是一场文明与城市精神的“双向奔赴”．马拉松线上赛分为5大项目、、、半程马拉松、全程马拉松．小安准备和校田径队的队员桐桐分别参加和的线上赛． (1)若训练过程中，小安跑完的平均速度与桐桐跑完的平均速度相等，且小安所用时间比桐桐少18分钟．小安跑完需要多少分钟？ (2)经过一段时间的训练，两人的速度都有一定提升，设小安跑完用时y分钟．最终桐桐跑完用时比小安跑完多分钟，且．两人谁的平均速度快？请说明理由． 【答案】(1) (2)小安的平均速度快 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式运算的实际应用． （1）设小安跑完需要x分钟，根据“小安跑完的平均速度与桐桐跑完的平均速度相等”，列出方程，即可求解； （2）根据题意可得到小安的平均速度为，桐桐的平均速度为，再利用作差法解答即可． 【详解】（1）解：设小安跑完需要x分钟，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 答：小安跑完需要分钟； （2）解：小安的平均速度为，桐桐的平均速度为， ∵， ∴小安的平均速度为，桐桐的平均速度为， ∵，， ∴， ∴， 即小安的平均速度快． 4．李强和张明是登山爱好者，周末两人相约去攀登一座高的山，两人同时开始登山，李强平均登高速度是张明的1.5倍，他比张明早到达顶峰．两人的平均登高速度各是多少？ 设张明平均登高速度是． (1)用含的代数式填表： 路程 平均登高速度 时间 张明 480 李强 480 (2)列出方程并完成本题解答． (3)如果山高为，李强平均登高速度是张明的倍，并比张明早到达顶峰，则张明的平均登高速度是_____，李强的平均登高速度是_____． 【答案】(1)见解析 (2)，张明的平均登高速度是，李强的平均登高速度是 (3)， 【分析】本题考查分式方程的应用，列代数式，根据题意设定适当的未知数并列出正确的分式方程求解是解题关键． （1）根据题意列式填表即可； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）设张明的平均登高速度是，则李强的平均登高速度是，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：用含的代数式填表： 路程 平均登高速度 时间 张明 480 李强 480 （2）解：设张明平均登高速度是，则李强平均登高速度是， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴张明的平均登高速度是，李强的平均登高速度是； （3）解：设张明的平均登高速度是，则李强的平均登高速度是， 根据题意得，， 解得， ∴ ∴张明的平均登高速度是，李强的平均登高速度是． 5．【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 【答案】（1）①：第一组平均攀登速度为第二组为；②：第二组的平均攀登速度为 ；（2）第二组先到达顶峰 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式的混合运算： （1）①通过设未知数列方程求解；②通过时间差公式推导； （2）通过计算总时间并比较大小判断 【详解】解：（1）①设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 即 解得 答：第一组平均攀登速度为，第二组为 ②设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 解得 所以第二组的平均攀登速度为 解：（2）第一组总时间 第二组总时间 ∵ ， ∴，且, ,， ∴，即 ∴第二组先到达顶峰 答：第二组先到达顶峰 类型二、工程问题 1．为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积 (2)48000元 【分析】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用： （1）设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据题意列分式方程求解； （2）设甲工程队先做了天，用表示合作天数，根据单独完成和合作完成的效率列方程，求出甲队单独的时间，进而求解． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积， 则甲队每天能完成平方米的绿化改造面积， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲队每天能完成平方米． 答：甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积． （2）解：设甲工程队先做了天， 则甲乙合作了天， 则， 解得：， 完成这项绿化改造任务总共需要施工费用：元． 答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用48000元． 2．根据背景素材，探索解决问题： 如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河（如图）．不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3442万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.6万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 【答案】任务1：甲工程队每天改造河道的长度为100米，乙工程队每天改造河道的长度为125米； 任务2：最多可安排乙工程队工作70天． 【分析】本题考查分式方程与实际问题．包含两个任务，任务1通过设定甲工程队每天改造长度为未知数，利用乙与甲的效率关系及单独完成天数的差值建立方程，求解两队每天改造长度；任务2依据总费用限制，结合两队工作效率表示出各自工作天数，建立不等式求解乙工程队最多工作天数． 【详解】解：（1）设甲工程队每天改造河道的长度为米，则乙工程队每天改造的长度为米．甲工程队单独完成改造所需天数为天，乙工程队单独完成改造所需天数为天． 根据“甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多天”，可列方程： 解得． 检验：是分式方程的解，且符合实际问题． 则乙工程队每天改造长度为米． 甲单独完成天数：天；乙单独完成天数：天；天数差天，符合题意． （2）设乙工程队工作天，则乙工程队改造的河道长度为米，剩余由甲工程队改造的长度为米． 甲工程队每天改造米，所以甲工程队工作天数为天． 甲工程队每天费用万元，乙工程队每天费用万元，总费用不超过万元，因此： 化简不等式： 合并同类项： 移项得： 解得：． 故最大为天． 答：任务1：甲工程队每天改造河道的长度为100米，乙工程队每天改造河道的长度为125米； 任务2：最多可安排乙工程队工作70天． 3．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 【答案】(1)30 (2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元 (3)70 【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出与，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出的最小值即可． 【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程， ∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天）， ∴， 解得，， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， 故乙队单独施工30天完成全部工程； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, ∴，解得，， 故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，则 ∵，∴， ∴，∴， ∵，且， ∴ ∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键． 4．在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 【答案】(1)A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元；(2)1 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，分式方程的工程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）（元）．设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元，根据题意列出分式方程求解，从而可求得A型口罩的单价； （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：，从而可得，同理可得，，从而可求得． 【详解】（1）解：（元）． 设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元． （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：， ∴， ∴，即． 同理，， ∴． 5．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为．     (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动实践基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘60千克的蔬菜，乙组每分钟采摘30千克的蔬菜 (2)的值为7或13 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，列方程求解即可； （2）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的n倍，可建立关于n的一元一次方程，解方程即可得出用含a的代数式表示的n的值，再结合“，a为整数，且n为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘60千克的蔬菜，乙组每分钟采摘30千克的蔬菜； （2）解：设扩建后的劳动实践基地面积是原来的倍（为正整数）， 根据题意可得：， 解得， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为7或13． 类型三、经济问题 1．载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． (1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元； (2)①；②购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元． 【分析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（元），根据同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式； ②再根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（元），根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， （元）， 答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元； （2）解：①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型个， 则； ②∵， ∴w随着a的增大而增大， ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半， ∴， 解得， 又a是非负整数， ∴当时，w最大，最大值为， 答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元． 2.随县是中国现代香菇产业起源地，是闻名海内外的“中国香菇之乡”“中国花菇之乡”，其所产香菇肉质厚实、香味浓郁，同时出产的黑木耳也口感脆嫩、品质优良，均为广受欢迎的农特产品． 素材1：某特产店计划用元购进随县香菇和木耳进行销售。已知香菇的进价比木耳的进价高元/千克，用元购进的香菇数量和用元购进的木耳数量一样多． 素材2：根据该特产店所定的售价，每千克木耳的利润是每千克香菇利润的倍．同样获得元的利润，需要出售的香菇数量比需要出售的木耳数量多千克． 问题解决 (1)确定进价：分别求出香菇和木耳每千克的进价． (2)确定利润：分别求出香菇和木耳每千克的利润． (3)确定购进方案：要使总利润不低于元，则最多能购进香菇多少千克？ 【答案】(1)香菇每千克的进价是元，木耳每千克的进价是元 (2)每千克香菇的利润是元，每千克木耳的利润是元 (3)最多购进香菇千克 【分析】本题考查了分式方程与实际问题、一元一次不等式与实际问题，关键是审明题意找到恰当的关系列方程或不等式； （1）根据用元购进的香菇数量和用元购进的木耳数量一样多列方程即可； （2）根据同样获得元的利润，需要出售的香菇数量比需要出售的木耳数量多千克列方程即可； （3）根据总利润不低于元列不等式即可. 【详解】（1）解：设每千克木耳的进价是元，则每千克香菇的进价是元， 由题意得：   ， 解得 ， 经检验：是原分式方程的解，符合题意， 香菇的进价：（元）， 答：香菇每千克的进价是元，木耳每千克的进价是元； （2）解：设每千克香菇的利润是元，则每千克木耳的利润是元， 由题意得， ， 解得 ， 经检验：是原分式方程的解，符合题意； 每千克木耳的利润是：（元）； 答：每千克香菇的利润是元，每千克木耳的利润是元； （3）解：设购进香菇千克，则购进木耳 千克， 由题意得：，   解得 ， ∴最多购进香菇千克． 3．下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多4元，用400元购进甲种商品和用240元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=4      (1)解法一所列方程中的x表示________，解法二所列方程中的x表示________．（填序号） A．甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元     C．甲种商品购进x件 (2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价． (3)若商店计划用不超过288元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？ 【答案】(1)A；C (2)①甲种商品的进价为10元/件，乙种商品的进价为6元/件；②甲种商品的进价为10元/件，乙种商品的进价为6元/件 (3)12件 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）根据两种解法列出的方程，解方程，即可求解； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过金购进甲、乙两种商品，求解a的范围，可得答案． 【详解】（1）解：由甲商品数量乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价乙商品进价可得：中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：A；C； （2）解：， ， ， ， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意； ， 答：甲种商品的进价为10元/件，乙种商品的进价为6元/件． ②，，， 解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意， 所以甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件， 答：甲种商品的进价为10元/件，乙种商品的进价为6元/件． （3）解：设甲商品购进a件，则乙商品购进件，由题意可得：， ∴， 答：至多购进甲种商品件． 4．甲、乙两个商店在同一平台按相同的价格购进了同一品牌的调味品，已知甲商店用1260元购进的调味品数量比乙商店用1500元购进的数量少16瓶． (1)求这种调味品每瓶的价格． (2)过了一段时间，这种调味品的价格降到了m元/瓶（），两个商店计划再次购买这种调味品，甲、乙两个商店购买的总费用均与上次相同，设甲、乙两个商店两次购买这种调味品的平均价格分别为和，请比较和的大小． 【答案】(1)15元；(2) 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解． （1）设这种调味品每瓶的价格为x元，根据题意可列方程为，求解并检验即可； （2）根据题意分别表示出两个商店两次购买的调味品数量，再分别求得和，最后比较大小，由此求解即可． 【详解】（1）解：设这种调味品每瓶的价格为x元， 依据题意得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：这种调味品每瓶的价格为15元； （2）甲商店两次购买的调味品的数量为，， 乙商店两次购买的调味品的数量为，， 所以． 5．“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； (1)若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 (2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ (3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 【答案】(1)乙：销售单价元/千克，质量千克；丙：销售单价元/千克，质量千克 (2)甲商品销售单价为5元/千克，乙商品销售单价为10元/千克，丙商品销售单价为15元/千克 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用以及代数式的最值问题，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程，同时正确分析代数式的最值情况． （1）根据单价、质量、总价的关系填写表格； （2）根据信息2列出分式方程求解三种商品的单价； （3）先分别表示出和，再分析的最大值． 【详解】（1）解：已知甲商品销售单价为元／千克，由信息1可知乙商品销售单价为元/千克，根据“质量总价单价”，乙商品质量为千克；丙商品销售单价是元／千克，丙商品质量为千克； （2）解：根据信息2“用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍”，可列方程：， 解得： 经检验，是原方程的解． 所以乙商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克； （3）解：提价后，甲商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克，乙商品单价为元/千克． 则， 令，则随增大而增大，的范围是．，当最大时，最大， 当时，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $