第七章 数列（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块下册》（高教版2023修订版）（原卷版）

编写说明：本套【浙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的考点梳理卷，主要梳理和考查了数列的概念与通项公式、等差等比数列的通项公式、性质、前n项和公式、等比数列的定义、等差等比数列综合问题、数列的递推关系、数列求和——分组求和法、数列求和——错位相减法等常见考点。 第七章 数列 考点一 数列的概念与通项公式 1 考点二 数列的通项公式 2 考点三 等差数列的定义 3 考点四 等差数列的通项公式 4 考点五 等差数列的性质 4 考点六 等差数列的前项和公式 5 考点七 等比数列的定义 6 考点八 等比数列的通项公式 7 考点九 等比数列的性质 7 考点十 等比数列的前项和公式 8 考点十一 等差等比数列综合问题 9 考点十二 数列的递推关系 10 考点十三 数列求和——分组求和法 11 考点十四 数列求和——错位相减法 11 考点十五 数列求和——裂项相消法 12 考点一 数列的概念与通项公式 1. 下列关于数列的说法正确的是（ ） A. 数列 1,2,3 与数列 3,2,1 是同一数列 B. 数列中的数可以重复 C. 数列 0,1,2,3, …的通项公式一定是 D. 数列可以看成是定义域为正整数集的函数 【答案】B 【分析】本题考查了数列的基本概念，包括数列的定义、数列与函数的关系以及通项公式等。 【解析】选项A，数列具有有序性，数列 1,2,3 与数列 3,2,1 顺序不同，不是同一数列，A 错误；选项B，数列中的数可以重复，例如常数列，B 正确； 选项C，数列 0,1,2,3, …的通项公式可以是，但不是一定，可能还有其他形式，C 错误； 选项D，数列可以看成是定义域为正整数集或它的有限子集的函数，D 错误。所以答案选 B。 2. 已知数列为，则数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了根据数列的前几项归纳数列的通项公式，需要观察数列各项的符号、分子、分母的规律。 【解析】先看符号，奇数项为负，偶数项为正，可用来调节符号；再看分母，依次是，可表示为；最后看分子，，，，，，，可表示为。所以数列的一个通项公式是，答案选 A。 考点二 数列的通项公式 3. 已知数列的通项公式为，则是该数列的第（ ）项。 A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查根据数列的通项公式求指定项对应的项数。 【解析】令，即。对于一元二次方程，其中，，，根据求根公式，解得或。因为，所以舍去，故是该数列的第项，答案选B。 4. 已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. 4 【答案】C 【分析】本题考查了根据数列的通项公式求数列的最值，可将通项公式看作关于的二次函数，利用二次函数的性质求解。 【解析】可看作二次函数，其对称轴为。因为，且，，所以当或时，取得最小值，答案选 C。 考点三 等差数列的定义 5. 数列是（ ） A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 【答案】A 【分析】本题考查等差数列的定义，判断一个数列是否为等差数列，只需看从第二项起，每一项与它的前一项的差是否为同一个常数。 【解析】设该数列为，则，，，，，。（），即从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于，是同一个常数，所以该数列是首项为，公差为的等差数列，答案选A。 6. 已知数列满足，该数列（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 【答案】C 【分析】本题根据等差数列的定义来判断数列是否为等差数列，需看相邻两项的差是否为常数。 【解析】因为，是变化的，不是一个固定的常数。例如当时，；当时，，，不满足等差数列定义中“从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数”这一条件，也不满足等比数列定义，所以数列既不是等差数列也不是等比数列，答案选C。 考点四 等差数列的通项公式 7. 在等差数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查等差数列通项公式的直接应用，等差数列的通项公式为。 【解析】已知，，，根据等差数列通项公式，可得，答案选C。 8. 在等差数列中，，，则和分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】本题考查利用等差数列的通项公式建立方程组求解首项和公差。 【解析】等差数列的通项公式为，则，。 因为，，所以可得方程组 $$$a_{1}+2d = 5\\a_{1}+6d = 13$$ a_{1}+6d = 13a_{1}+2d = 5$得： ，即，解得。 将代入，得，即，解得。 所以，，答案选A。 考点五 等差数列的性质 9. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查等差数列的性质：若（，，，），则，在等差数列中。 【解析】因为是等差数列，根据等差数列的性质，，所以。 已知，即，解得，答案选C。 10. 在等差数列中，，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【分析】本题先利用等差数列的性质求出，再结合已知条件求出公差，进而得到通项公式。 【解析】因为是等差数列，所以。 已知，即，解得。 又，则，所以。 设等差数列的公差为，则，，所以，即，，解得。 当时，，根据通项公式。 当时，，根据通项公式。 所以数列的通项公式为或，答案选C。 考点六 等差数列的前项和公式 11. 已知等差数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查等差数列前项和公式的应用。 【解析】已知，，，根据等差数列前项和公式，可得，答案选B。 12. 在等差数列中，为其前项和，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查等差数列前项和公式与等差数列性质的综合应用，，且。 【解析】等差数列前项和公式，则。 因为在等差数列中，所以。 已知，即，解得，答案选B。 考点七 等比数列的定义 13. 数列是（ ） A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 【答案】B 【分析】本题考查等比数列的定义，判断一个数列是否为等比数列，需看从第二项起，每一项与它的前一项的比是否为同一个常数。 【解析】设该数列为，则，，，，，。 （），即从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于，是同一个常数，所以该数列是首项为，公比为的等比数列，答案选B。 14. 已知数列满足，该数列（ ） A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 【答案】C 【分析】本题根据等比数列的定义来判断数列是否为等比数列，需看相邻两项的比值是否为常数。 【解析】仅由不能得出为常数。例如当时，，；当时，，，不满足等比数列定义中“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”这一条件，也不满足等差数列定义，所以数列既不是等差数列也不是等比数列，答案选C。 考点八 等比数列的通项公式 15. 在等比数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查等比数列通项公式的直接应用，等比数列的通项公式为。 【解析】已知，，，根据等比数列通项公式，可得，答案选B。 16. 在等比数列中，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查利用等比数列的通项公式建立方程组求解首项和公比，进而得到通项公式。 【解析】等比数列的通项公式为，则，。 因为，， 联立方程，q = 3=，答案选A。 考点九 等比数列的性质 17. 在等比数列中，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查等比数列的性质，在等比数列中，若，，，且，则，同时要注意等比数列奇数项符号相同这一特点。 【解析】因为在等比数列中，，所以。已知，，则，解得。又因为等比数列奇数项符号相同，，所以，故，答案选A。 18. 已知等比数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查等比数列的性质，在等比数列中，若，，，且，则，也可以利用等比数列相隔相同项数的项仍成等比数列这一性质来求解。 【解析】方法一：因为在等比数列中，，所以。已知，，则，解得。 方法二：由等比数列性质可知，，，也成等比数列，设公比为，则。所以。答案选B。 考点十 等比数列的前项和公式 19. 已知等比数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查等比数列前项和公式的应用。 【解析】已知，，，根据等比数列前项和公式，可得，答案选B。 20. 在等比数列中，，，则和分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】本题先根据等比数列前项和公式列出关于首项和公比的方程组，求解出和，再得到通项公式和前项和公式。 【解析】①判断公比是否为：若，则，，那么。 而，所以。 ②根据等比数列前项和公式列方程组：已知，。 用除以可得： ，根据平方差公式，，则，解得，所以。 ③求首项：将代入中，即，，，解得。 求和 ④求： 根据等比数列通项公式，将，代入可得。 ⑤求： 根据等比数列前项和公式，将，代入可得。 综上，，，答案选A。 考点十一 等差等比数列综合问题 21. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查等差数列通项公式以及等比中项性质的综合应用，先根据等比中项性质得到与的关系，再代入比值式子求解。 【解析】因为等差数列的公差，，所以，，，，。 又因为，，成等比数列，所以，即。 展开得，移项化简得，因为，两边同时除以得。 则，将代入得，答案选A。 22. 已知数列的前项和，则数列是（ ） A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 【答案】B 【分析】本题先根据数列前项和求出数列的通项公式，再根据等差数列和等比数列的定义判断数列类型。 【解析】当时，。 当时，。 当时，也满足，所以。 则（），满足等比数列定义中“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”这一条件，所以数列是首项为，公比为的等比数列，答案选B。 考点十二 数列的递推关系 23. 已知数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题可通过累加法，利用递推关系求出数列的某一项。 【解析】 由可得： 将以上式子相加得： 根据等差数列求和公式（这里，，项数为），可得。 所以，又因为，则。答案选C。 24. 已知数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题可直接将代入递推公式求出。 【解析】 已知，递推公式为，当时，，把代入可得。答案选B。 考点十三 数列求和——分组求和法 25. 数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题可将数列的每一项拆分为一个等差数列和一个等比数列的对应项相加，然后分别对这两个数列的前项求和，最后将结果相加。 【解析】 设数列的通项公式为，则前项和 对于，根据等差数列求和公式。 对于，根据等比数列求和公式。 所以。答案选B。 26. 数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先求出数列的前两项，再求和。 【解析】 先求数列的前两项： 则前项和。答案选B。 考点十四 数列求和——错位相减法 27. 数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题可先分别求出前两项的值，再求和。 【解析】 该数列的前两项分别为： 则前项和。答案选B。 28. 已知数列的通项公式，则其前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题可先分别求出前两项的值，再求和。 【解析】 当时，； 当时，。 则前项和。答案选B。 考点十五 数列求和——裂项相消法 29. 数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题可先将数列的通项公式进行裂项，然后求出前项和。 【解析】 已知。 则前项和 。答案选B。 30. 已知数列的通项公式，则其前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先对通项公式进行分母有理化，然后裂项相消求前项和。 【解析】 。 则前项和 。答案选B。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【浙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的考点梳理卷，主要梳理和考查了数列的概念与通项公式、等差等比数列的通项公式、性质、前n项和公式、等比数列的定义、等差等比数列综合问题、数列的递推关系、数列求和——分组求和法、数列求和——错位相减法等常见考点。 第七章 数列 目录 考点一 数列的概念与通项公式 1 考点二 数列的通项公式 2 考点三 等差数列的定义 2 考点四 等差数列的通项公式 2 考点五 等差数列的性质 3 考点六 等差数列的前项和公式 3 考点七 等比数列的定义 3 考点八 等比数列的通项公式 3 考点九 等比数列的性质 4 考点十 等比数列的前项和公式 4 考点十一 等差等比数列综合问题 4 考点十二 数列的递推关系 5 考点十三 数列求和——分组求和法 5 考点十四 数列求和——错位相减法 5 考点十五 数列求和——裂项相消法 5 考点一 数列的概念与通项公式 1. 下列关于数列的说法正确的是（ ） A. 数列 1,2,3 与数列 3,2,1 是同一数列 B. 数列中的数可以重复 C. 数列 0,1,2,3, …的通项公式一定是 D. 数列可以看成是定义域为正整数集的函数 2. 已知数列为，则数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 考点二 数列的通项公式 3. 已知数列的通项公式为，则是该数列的第（ ）项。 A. B. C. D. 4. 已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. 4 考点三 等差数列的定义 5. 数列是（ ） A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 6. 已知数列满足，该数列（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 考点四 等差数列的通项公式 7. 在等差数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在等差数列中，，，则和分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 考点五 等差数列的性质 9. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在等差数列中，，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. 或 D. 考点六 等差数列的前项和公式 11. 已知等差数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 在等差数列中，为其前项和，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 考点七 等比数列的定义 13. 数列是（ ） A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 14. 已知数列满足，该数列（ ） A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 考点八 等比数列的通项公式 15. 在等比数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 16. 在等比数列中，，，则为（ ） A. B. C. D. 考点九 等比数列的性质 17. 在等比数列中，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 18. 已知等比数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 考点十 等比数列的前项和公式 19. 已知等比数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 20. 在等比数列中，，，则和分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 考点十一 等差等比数列综合问题 21. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. D. 22. 已知数列的前项和，则数列是（ ） A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 考点十二 数列的递推关系 23. 已知数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 24. 已知数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 考点十三 数列求和——分组求和法 25. 数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 26. 数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 考点十四 数列求和——错位相减法 27. 数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 28. 已知数列的通项公式，则其前项和为（ ） A. B. C. D. 考点十五 数列求和——裂项相消法 29. 数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 30. 已知数列的通项公式，则其前项和为（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $