第七章 数列（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块下册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【浙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的单元测试卷，主要考查了数列的概念与通项公式、等差比数列的通项公式、性质、前n项和公式、等比数列的定义、等差等比数列综合问题、数列的递推关系、数列求和——分组求和法、数列求和——错位相减法等常见考点。 第七章 数列 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列－1，1，－1，1，…的一个通项公式是（　　） 　A．aₙ＝(－1)ⁿ　　B． 　　C．aₙ＝－(－1)ⁿ　D． 【答案】A 【分析】本题考查数列通项公式的识别与验证能力，核心是根据前若干项归纳规律，并代入检验首项是否吻合。 【解析】观察数列：第1项为－1，第2项为1，第3项为－1，第4项为1，…呈现“奇数项为负、偶数项为正”的交替规律。 逐项验证选项： A项：当n＝1时，a₁＝(－1)¹＝－1；n＝2时，a₂＝(－1)²＝1；n＝3时，a₃＝(－1)³＝－1；n＝4时，a₄＝(－1)⁴＝1，完全符合； B项：n＝1时，a₁＝(－1)²＝1≠－1，首项错误； C项：n＝1时，a₁＝－(－1)¹＝－(－1)＝1≠－1，首项错误； D项：n＝1时，a₁＝sin()＝1≠－1，首项错误。 故正确答案为A。 2．已知数列{aₙ}的通项公式为aₙ＝2n＋5，则这个数列（　　） 　　A．是公差为2的等差数列　　　B．是公差为5的等差数列 　　C．是首项为5的等差数列　　　D．是首项为n的等差数列 【答案】A 【分析】本题考查等差数列的定义及基本量辨析，需通过通项公式判断公差与首项，并排除概念混淆选项。 【解析】由aₙ＝2n＋5，得： 　　a₁＝2×1＋5＝7（首项为7，非5，故C、D错误）； 　　a₂＝2×2＋5＝9； 　　公差d＝a₂－a₁＝9－7＝2； 　　进一步验证：－aₙ＝[2(n＋1)＋5]－(2n＋5)＝2n＋7－2n－5＝2（常数），满足等差数列定义。故该数列是公差为2的等差数列。 3．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，则－89是它的第（　　）项 　　A．92　　　B．47　　　C．46　　　D．45 【答案】C 【分析】本题考查等差数列通项公式的逆向应用，即已知某一项的值，求其项数，需准确写出通项并解一元一次方程。 【解析】由数列1，－1，－3，－5，…得：首项a₁＝1，公差d＝－1－1＝－2。 等差数列通项公式：aₙ＝a₁＋(n－1)d＝1＋(n－1)(－2)＝1－2(n－1)＝3－2n。 令aₙ＝－89，即3－2n＝－89，移项得－2n＝－92，解得n＝46。 故－89是第46项，答案为C。 4．在等差数列{aₙ}中，已知a₁＝－3，d＝2，则a₅＝（　　） 　　A．5　　　B．7　　　C．－5　　　D．－7 【答案】A 【分析】本题考查等差数列通项公式的直接代入计算，属于基础应用题，需熟练掌握aₙ＝a₁＋(n－1)d。 【解析】代入公式：a₅＝a₁＋(5－1)d＝－3＋4×2＝－3＋8＝5。 故答案为A。 5．在等差数列{aₙ}中，已知a₅＝9，d＝2，则通项公式aₙ＝（　　） 　　A．2n－1　　　B．2n＋1　　　C．n＋4　　　D．2n＋9 【答案】A 【分析】本题考查利用已知项与公差反求首项，进而写出通项公式，重点在于公式的灵活变形与代入。 【解析】由aₙ＝a₁＋(n－1)d，代入n＝5得：a₅＝a₁＋4d＝a₁＋4×2＝a₁＋8。 又已知a₅＝9，故a₁＋8＝9，解得a₁＝1。 于是aₙ＝1＋(n－1)×2＝1＋2n－2＝2n－1。 验证：n＝5时，a₅＝2×5－1＝9，符合；n＝1时，a₁＝2×1－1＝1，正确。 故答案为A。 6．在等差数列{aₙ}中，已知a₄＋a₇＝16，则S10＝（　　） 　　A．80　　　B．100　　　C．120　　　D．160 【答案】A 【分析】本题考查等差数列前n项和公式与“下标和相等则对应项和相等”这一重要性质的综合运用，旨在简化计算。 【解析】由等差数列性质：若m＋n＝p＋q，则aₘ＋aₙ＝aₚ＋a_q。 因4＋7＝11，1＋10＝11，故a₄＋a₇＝a₁＋a₁₀＝16。 前10项和公式：S10＝＝16×5＝80。 故答案为A。 7．在等比数列{aₙ}中，已知a₁＝2，q＝－3，则a₃＝（　　） 　　A．－18　　　B．18　　　C．－54　　　D．54 【答案】B 【分析】本题考查等比数列通项公式的直接应用，关键在于正确理解指数位置（aₙ＝qn-1）及负数幂运算。 【解析】a₃＝a₁·q²＝2×(－3)²＝2×9＝18。故答案为B。 8．在等比数列{aₙ}中，已知a₁＝－8，a₄＝1，则公比q＝（　　） 　　A．2　　　B．－2　　　C．　　　D．－ 【答案】D 【分析】本题考查利用两项建立方程求公比，需熟练运用aₙ＝qn-1，并正确解三次方程。 【解析】由a₄＝a₁·q³，代入得：1＝－8·q³，即q³＝。 开立方得：q＝＝。 验证：q＝－时，a₂＝－8×－＝4，a₃＝4×－＝－2，a₄＝－2×(－)＝1，符合。 故答案为D。 9．已知三个数－4，G，－25成等比数列，则G＝（　　） 　　A．10　　　B．－10　　　C．　　　D．－ 【答案】B 【分析】本题考查等比中项的定义与应用，即若a，G，b成等比数列，则G²＝ab，同时需结合数列符号规律进行取舍。 【解析】由等比中项性质：G²＝(－4)×(－25)＝100，故G＝±10。答案为C。 10．等比数列的首项是－5，公比是－2，则它的第6项是（　　） 　　A．－160　　　B．160　　　C．90　　　D．－90 【答案】B 【分析】本题考查等比数列通项公式的计算，重点在于负数的奇次幂与偶次幂符号判断。 【解析】a₆＝a₁·q⁵＝(－5)×(－2)⁵。 先算(－2)⁵＝－32，再算(－5)×(－32)＝160。故答案为B。 11．在等差数列{aₙ}中，已知a₁＝－6，d＝3，则S₈＝（　　） 　　A．36　　　B．72　　　C．108　　　D．144 【答案】A 【分析】本题考查等差数列前n项和公式的两种形式的选用与计算。 【解析】法一（用首项与公差）：Sₙ＝na₁＋n(n－1)d／2， 　　S₈＝8×(－6)＋8×7×＝－48＋84＝36。 法二（用首末项）：先求a₈＝a₁＋7d＝－6＋21＝15， 　　S₈＝＝(－6＋15)×4＝9×4＝36。 故答案为A。 12．已知等比数列{aₙ}中，a₁＝3，q＝3，则a₇＝（　　） 　　A．2187　　　B．729　　　C．243　　　D．81 【答案】A 【分析】本题考查等比数列通项公式的指数运算，需准确计算3的幂次并乘以首项。 【解析】a₇＝a₁·q⁶＝3×3⁶＝3⁷。 3²＝9，3³＝27，3⁴＝81，3⁵＝243，3⁶＝729，3⁷＝2187。 故a₇＝2187，答案为A。 13．在等比数列{aₙ}中，已知a₂＝5，a₆＝405，则公比q为（　　） 　　A．3　　　B．±3　　　C．9　　　D．±9 【答案】B 【分析】本题考查利用两项之比消去首项求公比，需掌握＝，并注意偶次方根的双解性。 【解析】由a₆＝a₂·q⁴，代入得：405＝5·q⁴，即q⁴＝81。 ∵81＝3⁴＝(－3)⁴，∴q＝±3。 验证：若q＝3，a₂＝5，a₃＝15，a₄＝45，a₅＝135，a₆＝405，成立； 　　若q＝－3，a₂＝5，a₃＝－15，a₄＝45，a₅＝－135，a₆＝405，同样成立。 故q＝±3，答案为B。 14．等差数列{aₙ}中，a₁＝100，d＝－2，则S50＝（　　） 　　A．2550　　　B．2500　　　C．2450　　　D．2400 【答案】A 【分析】本题考查大项数前n项和的计算，需先求末项再代入求和公式，避免累加错误。 【解析】先求＝a₁＋(50－1)d＝100＋49×(－2)＝100－98＝2。 S₅₀＝(100＋2)×25＝102×25＝2550。故答案为A。 15．数列{aₙ}中，aₙ＝n²－4n－12，则这个数列从第（　　）项起各项为正数 　　A．5　　　B．6　　　C．7　　　D．8 【答案】C 【分析】本题考查二次函数型数列的符号判定，需解一元二次不等式，并结合正整数下标取最小解。 【解析】令aₙ＞0，即n²－4n－12＞0。 因式分解：(n－6)(n＋2)＞0。 解得：n＜－2 或 n＞6。 ∵n为正整数（n∈N*），故n＞6 ⇒ n≥7。 验证：n＝6时，a₆＝36－24－12＝0（非正数）；n＝7时，a₇＝49－28－12＝9＞0。 因此从第7项起各项为正数，答案为C。 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知等差数列{aₙ}满足a₁＝3，a₅＝19，则数列的公差d＝________。 【答案】4 【分析】本题考查利用等差数列通项公式建立方程求公差，属基本量计算。 【解析】由aₙ＝a₁＋(n－1)d，得a₅＝a₁＋4d。 代入：19＝3＋4d ⇒ 4d＝16 ⇒ d＝4。 17．在等差数列{aₙ}中，已知a₃＋a₈＝15，则a₅＋a₆＝________。 【答案】15 【分析】本题考查等差数列“下标和相等则项和相等”的性质，强调性质的直接应用。 【解析】∵3＋8＝5＋6＝11，∴由等差数列性质得a₃＋a₈＝a₅＋a₆＝15。 18．已知三个数x，6，x＋5成等比数列，则x＝________。 【答案】4或-9 【分析】本题考查等比中项的定义与方程求解，并需对解进行合理性检验。 【解析】由等比中项性质：6²＝x(x＋5)，即36＝x²＋5x。 整理得：x²＋5x－36＝0。 解得：x＝4或-9，故填4或-9。 19．等比数列{aₙ}中，a₁＝2，q＝3，则前5项和S₅＝________。 【答案】242 【分析】本题考查等比数列前n项和公式（q≠1）的应用，需注意公式的适用条件与符号处理。 【解析】Sₙ＝，q＝3≠1，适用。 S₅＝＝＝＝2×121＝242。 20．已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ＝n²＋n，则a10＝________。 【答案】20 【分析】本题考查由前n项和Sₙ求通项aₙ的公式（n≥2时，aₙ＝Sₙ－Sn-1），并注意首项单独验证。 【解析】当n≥2时，aₙ＝Sₙ－Sn-1＝(n²＋n)－[(n－1)²＋(n－1)] ＝(n²＋n)－(n²－2n＋1＋n－1)＝(n²＋n)－(n²－n)＝2n。 当n＝1时，a₁＝S₁＝1²＋1＝2，也满足a₁＝2×1＝2。 故通项为aₙ＝2n，a10＝2×10＝20。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．（10分）已知等差数列{aₙ}中，a₁＝4，a₄＝10。 　　（1）求数列{aₙ}的通项公式； 　　（2）求数列{aₙ}的前10项和S10。 【答案】（1）aₙ＝2n＋2；（2）S10＝130 【分析】本题综合考查等差数列基本量（公差、通项、前n项和）的求解，强调公式选用与分步计算的规范性。 【解析】 （1）设公差为d。由a₄＝a₁＋3d，得10＝4＋3d ⇒ 3d＝6 ⇒ d＝2。 故通项公式：aₙ＝a₁＋(n－1)d＝4＋(n－1)×2＝4＋2n－2＝2n＋2。 （2）法一：先求a10＝2×10＋2＝22， 　　　S10＝＝(4＋22)×5＝26×5＝130。 　　法二：S10＝10a₁＋10×9×=10×4＋45×2＝40＋90＝130。 22．（10分）在等比数列{aₙ}中，已知a₂＝6，a₅＝162。 　　（1）求数列{aₙ}的通项公式； 　　（2）求数列{aₙ}的前5项和S₅。 【答案】（1）aₙ＝2×；（2）S₅＝242 【分析】本题考查等比数列中由两项确定首项与公比，再求通项与前n项和，突出方程思想与公式整合。 【解析】 （1）设首项为a₁，公比为q。 　　由a₂＝a₁q＝6，a₅＝a₁q⁴＝162，两式相除：＝q³＝＝27 ⇒ q＝3。 　　代入a₁×3＝6 ⇒ a₁＝2。 　　故aₙ＝2×3^(n－1)。 （2）S₅＝＝2×＝2×＝2×121＝242。 23．（10分）已知等差数列{aₙ}中，a₃＝7，a₇＝15。 　　（1）求数列{aₙ}的通项公式； 　　（2）设bₙ＝aₙ＋2，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。 【答案】（1）aₙ＝2n＋1；（2）Tₙ＝n²＋4n 【分析】本题考查等差数列基本量求解及新数列构造后的求和，体现知识迁移能力。 【解析】 （1）设公差为d。由a₇＝a₃＋4d，得15＝7＋4d ⇒ 4d＝8 ⇒ d＝2。 　　又a₃＝a₁＋2d ⇒ 7＝a₁＋4 ⇒ a₁＝3。 　　故aₙ＝3＋(n－1)×2＝2n＋1。 （2）bₙ＝aₙ＋2＝2n＋1＋2＝2n＋3，即{bₙ}为首项b₁＝5、公差2的等差数列。 　　Tₙ＝＝＝＝n(n＋4)＝n²＋4n。 。 24．（10分）某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，计划从第二年起，每年比上一年增产10％。 　　（1）写出该产品前5年每年的产量（单位：件）； 　　（2）求该产品前5年的总产量（精确到1件）。 【答案】（1）1000，1100，1210，1331，1464；（2）6105件 【分析】本题考查等比数列在实际问题中的建模与应用 【解析】 （1）设第n年产量为aₙ，则a₁＝1000，q＝1.1，故aₙ＝1000×1.1^(n－1)。 　　a₁＝1000； 　　a₂＝1000×1.1＝1100； 　　a₃＝1100×1.1＝1210； 　　a₄＝1210×1.1＝1331； 　　a₅＝1331×1.1＝1464.1≈1464（四舍五入取整）。 （2）S₅＝a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＝1000＋1100＋1210＋1331＋1464＝6105（件）。 　　或用公式：S₅＝1000×(1－1.1⁵)／(1－1.1)＝1000×(1－1.61051)／(－0.1)＝1000×6.1051＝6105.1≈6105（件）。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【浙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的单元测试卷，主要考查了数列的概念与通项公式、等差比数列的通项公式、性质、前n项和公式、等比数列的定义、等差等比数列综合问题、数列的递推关系、数列求和——分组求和法、数列求和——错位相减法等常见考点。 第七章 数列 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列－1，1，－1，1，…的一个通项公式是（ ） A．aₙ＝(－1)ⁿ B． C．aₙ＝－(－1)ⁿ D． 2．已知数列{aₙ}的通项公式为aₙ＝2n＋5，则这个数列（ ） A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为5的等差数列 D．是首项为n的等差数列 3．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，则－89是它的第（ ）项 A．92 B．47 C．46 D．45 4．在等差数列{aₙ}中，已知a₁＝－3，d＝2，则a₅＝（ ） A．5 B．7 C．－5 D．－7 5．在等差数列{aₙ}中，已知a₅＝9，d＝2，则通项公式aₙ＝（ ） A．2n－1 B．2n＋1 C．n＋4 D．2n＋9 6．在等差数列{aₙ}中，已知a₄＋a₇＝16，则S10＝（ ） A．80 B．100 C．120 D．160 7．在等比数列{aₙ}中，已知a₁＝2，q＝－3，则a₃＝（ ） A．－18 B．18 C．－54 D．54 8．在等比数列{aₙ}中，已知a₁＝－8，a₄＝1，则公比q＝（ ） A．2 B．－2 C． D．- 9．已知三个数－4，G，－25成等比数列，则G＝（ ） A．10 B．－10 C． D．－ 10．等比数列的首项是－5，公比是－2，则它的第6项是（ ） A．－160 B．160 C．90 D．－90 11．在等差数列{aₙ}中，已知a₁＝－6，d＝3，则S₈＝（ ） A．36 B．72 C．108 D．144 12．已知等比数列{aₙ}中，a₁＝3，q＝3，则a₇＝（ ） A．2187 B．729 C．243 D．81 13．在等比数列{aₙ}中，已知a₂＝5，a₆＝405，则公比q为（ ） A．3 B．±3 C．9 D．±9 14．等差数列{aₙ}中，a₁＝100，d＝－2，则S50＝（ ） A．2550 B．2500 C．2450 D．2400 15．数列{aₙ}中，aₙ＝n²－4n－12，则这个数列从第（ ）项起各项为正数 A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知等差数列{aₙ}满足a₁＝3，a₅＝19，则数列的公差d＝________。 17．在等差数列{aₙ}中，已知a₃＋a₈＝15，则a₅＋a₆＝________。 18．已知三个数x，6，x＋5成等比数列，则x＝________。 19．等比数列{aₙ}中，a₁＝2，q＝3，则前5项和S₅＝________。 20．已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ＝n²＋n，则a10＝________。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．（10分）已知等差数列{aₙ}中，a₁＝4，a₄＝10。 （1）求数列{aₙ}的通项公式； （2）求数列{aₙ}的前10项和S10。 22．（10分）在等比数列{aₙ}中，已知a₂＝6，a₅＝162。 （1）求数列{aₙ}的通项公式； （2）求数列{aₙ}的前5项和S₅。 23．（10分）已知等差数列{aₙ}中，a₃＝7，a₇＝15。 （1）求数列{aₙ}的通项公式； （2）设bₙ＝aₙ＋2，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。 24．（10分）某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，计划从第二年起，每年比上一年增产10％。 （1）写出该产品前5年每年的产量（单位：件）； （2）求该产品前5年的总产量（精确到1件）。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $