专题11 电磁感应与动量、能量、电路的综合（培优讲义）（全国通用）2026年高考物理二轮复习高效培优系列

专题11 电磁感应与动量、能量、电路的综合 目录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】电磁感应与电路、图像 【考点02】电磁感应与牛顿运动定律 【考点03】电磁感应与动量、能量 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】电磁感应与电路 【题型02】电磁感应与图像 【题型03】电磁感应与牛顿运动定律 【题型04】电磁感应与能量 【题型05】电磁感应与动量 【题型06】电磁感应与高科技 核心考向聚焦 主战场转移：电磁感应与电路、图像综合；电磁感应与牛顿运动定律、动量、能量综合；电磁感应与高科技综合。 核心价值：核心价值在于培养物理思维，掌握分析方法，提升解决复杂电磁感应及临界极值问题的科学推理与实践能力。 关键能力与思维瓶颈 关键能力：电路分析能力。运动、受力分析能力、动量、能量灵活应用能力。临界极值判断力。 培优瓶颈：尖子生的主要失分点并非“不懂”，而在于： 面对新情境时，无法快速、准确地将实际问题进行转化。电路结构误判；运动、受力不清；动量、能量不能灵活应用；临界极值分析难：难以准确界定临界状态，对极值出现的条件和原因分析不清。 命题前瞻与备考策略 预测：2026年高考中，电磁感应情境更复杂真实，融合跨学科与科技元素，强化创新迁移、图像信息分析考查。 策略：深挖高考压轴题命题逻辑，强化高端思维训练，提升创新题型解答能力，规范答题步骤，精准分配答题时间，注重跨模块知识综合运用。 ◇考点 01 电磁感应与电路、图像 一、电磁感应中的电路问题 1．电磁感应中的电源 (1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源． 电动势：E＝Blv或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻． (2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极． 2．分析电磁感应电路问题的基本思路 二、电磁感应中电荷量的计算 导出公式：q＝n 在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式＝及法拉第电磁感应定律＝n，得q＝Δt＝Δt＝Δt＝，即q＝n. 三、电磁感应中的图像问题 1．解题关键 弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键． 2．解题步骤 (1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像； (2)分析电磁感应的具体过程； (3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系； (4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式； (5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等； (6)画图像或判断图像． 3．常用方法 (1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，以及变化快慢，来排除错误选项． (2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断． ◇考点 02 电磁感应与牛顿运动定律 1．导体的两种运动状态 (1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态． 处理方法：根据平衡条件列式分析． (2)导体的非平衡状态——加速度不为零． 处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析． 2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤 ◇考点 03 电磁感应与动量、能量 一、电磁感应中的能量问题 1．电磁感应中的能量转化 2．求解焦耳热Q的三种方法 3．解题的一般步骤 (1)确定研究对象(导体棒或回路)； (2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化； (3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解． 二、动量定理在电磁感应中的应用 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解． 三、动量守恒定律在电磁感应中的应用 在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便． ◇题型 01 电磁感应与电路 典｜例｜精｜析 典例1（2025·黑龙江省齐齐哈尔市·三模）（多选）如图所示，两根间距为，电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角，导轨底端接入一阻值为的定值电阻，所在区域内存在磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上。在导轨上垂直于导轨放置一质量为、电阻为的金属杆ab，开始时使金属杆ab保持静止，某时刻开始给金属杆一个沿斜面向上的恒力，金属杆由静止开始运动了1.2m达到最大速度，重力加速度。金属杆从静止到运动1.2m的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 金属杆能获得的最大速度是3m/s B. 通过电阻R的电荷量是0.4C C. 电阻R产生的热量 D. 金属杆运动位移达1.2m时刻，两端的电势差 【答案】AB 【解析】A．对导体棒而言，当受力平衡时，设其速度最大，此时导体棒产生的电动势为 根据欧姆定律可知，电路中的电流 由平衡条件可得 联立代入数据解得 A正确； B．根据法拉第电磁感应定律可得电路中的平均电动势 平均感应电流 又因为 整理可得 B正确； C．根据能量守恒可得 解得 则电阻R产生的热量 C错误； D．当金属杆运动位移达1.2m时刻，此时金属杆产生的感应电动势 根据右手定则可知，感应电流的方向由，根据欧姆定律可知，导体棒ab端的电势差为 D错误。 故选AB。 典例2（2025·河北省沧州市·二模）如图所示，足够长的固定平行金属导轨A1B1B2A2与水平面的夹角θ=30°，导轨的右端接有开关S及阻值为R的电阻，导轨的间距为2L，导轨上的C1C2下方存在随空间交替变化的条形区域的匀强磁场，方向如图，磁感应强度大小均为B，每一条形磁场区域的宽度均为L。相同的金属棒MN和PQ用绝缘轻质杆D1D2固定在一起组成一个“工”字形工件。现闭合开关S并将“工”字形工件从C1C2的上方某一位置由静止释放，金属棒MN刚进入磁场时加速度变为零。已知金属棒MN和PQ的质量均为3m、电阻均为2R、长度均为2L，二者之间的间距为L，运动过程中两金属棒与导轨始终接触良好，不计金属棒与导轨之间的摩擦力，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。 （1）金属棒MN刚进入磁场时，求电阻R两端的电压； （2）求“工”字形工件由静止释放时，金属棒MN与C1C2之间的距离x1； （3）当金属棒PQ刚进入磁场时打开开关S并开始计时，经过时间t，“工”字形工件的加速度再次变为零，求此时金属棒PQ与C1C2之间的距离x2。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 金属棒MN刚进入磁场时加速度变为零，则可得 R两端的电压 解得 【小问2详解】 金属棒MN刚进入磁场时有， 工件从静止释放到金属棒MN刚进入磁场，由动能定理可得 解得 【小问3详解】 工件完全进入磁场后有， 工件受到的安培力 解得 工件再次加速度为零时，此时速度为v1，有 工件完全进入磁场后到再次加速度零，由动量定理可得 其中 解得 方｜法｜提｜练 找到电源：产生感应电动势的导体。 明确电源的正负极：电源内部，电流由负极流向正极。 区分路端电压和电动势。 灵活应用闭合电路欧姆定律。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·广东省广州市培正中学·三模）（多选）如图，水平金属圆环的半径为L，匀质导体棒OP的长度也为L，导体棒OP、电阻的阻值都为R0，电路中的其他电阻忽略不计。导体棒OP绕着它的一个端点O以大小为ω的角速度匀速转动，O点恰好为金属圆环的圆心，转动平面内有竖直向上的匀强磁场，导体棒OP转动过程中始终与金属圆环接触良好。对导体棒OP转动一周的过程，下列说法正确的是（　　） A. 电阻R1中的电流方向由a指向b B. 电阻R1两端的电压为 C. 电阻R1上产生的焦耳热为 D. 通过电阻R1的电流大小不断变化 【答案】BC 【解析】A．导体棒OP转动由右手定则可知，电源内部电流由O流向P，则P端为电源的正极，O端为电源的负极，则电阻R1中的电流方向由b指向a，故A错误； B．导体棒做匀速转动垂直切割磁感线，产生的是恒定的电动势，有 导体棒OP、电阻的阻值都为R0，则电阻R1两端的电压为 故B正确； C．导体棒OP转动一周产生的是恒定电流，电阻R1上产生的焦耳热为 故C正确； D．因电源的电动势恒定，则流过电阻的电流恒定不变，故D错误。 故选BC。 变式2（2025·广东省广州市培正中学·三模）如图甲为手机正在进行无线充电，无线充电原理图如图乙所示，充电器和手机各有一个线圈，充电器端的叫发射线圈（匝数为n1），手机端的叫接收线圈（匝数为n2），两线圈面积均为S，在△t内发射线圈产生磁场的磁感应强度增加量为△B。磁场可视为垂直穿过线圈。下列说法正确的是（　　） A. 手机端的接收线圈b点的电势低于a点 B. 手机端的接收线圈a和b间的电势差值为 C. 接收线圈和发射线圈是通过自感实现能量传递 D. 增加c、d间电流的变化率，接收线圈a和b间的电势差始终不变 【答案】B 【解析】A．由楞次定律得，手机端的接收线圈b点的电势高于a点，A错误； B．由法拉第电磁感应定律得：手机端的接收线圈a和b间的电势差值为 B正确； C．接收线圈和发射线圈是通过互感实现能量传递的，C错误； D．增加c、d间电流的变化率，将会使磁场的变化率增加，则接收线圈a和b间的电势差变大，D错误。 故选B。 变式3（2025·湖南省怀化市·二模）间距为的光滑平行金属直导轨，水平放置在磁感应强度大小为、方向垂直轨道平面向下的匀强磁场中。一质量为、电阻值为的金属棒静止垂直放在导轨之间，导轨右侧足够长，左侧如图所示，已知电源可提供大小恒为的直流电流，电阻，电容大小为（初始时刻不带电）。电路中各部分与导轨接触良好，导轨电阻不计且在运动过程中与始终与导轨垂直，开关的切换可在瞬间完成。 （1）当开关与电源接通时，棒中电流由流向，求此时棒的加速度大小和方向。 （2）当金属棒加速到时，开关瞬间与接通，此时金属棒内自由电子沿棒定向移动的速度为。经过一段时间，自由电子沿棒定向移动的速率变为，棒内定向移动的自由电子总数不变，求该段时间内一直在金属棒内运动的自由电子沿金属棒定向移动的距离。 （3）当金属棒速度为时，开关瞬间与接通，同时给金属棒一水平外力使其做匀速运动。某时刻外力的功率为定值电阻功率的3倍，求此时刻电容器两端电压及从开关接通到此时刻外力做的功。 【答案】（1），方向水平向右 （2） （3）， 【解析】 【小问1详解】 由题意电源能提供大小为I的恒定电流，当电流由M经棒流向N时，由牛顿第二定律得 解得 方向水平向右。 【小问2详解】 当开关与P接通时，有， 当电子沿杆定向移动速率变为时，有， 联立可得此时导体棒的速度 设该段时间内导体棒中的电子沿棒方向定向移动的平均速度为，则对导体棒由水平方向动量定理得 其中 联立可得 又因为 可得 【小问3详解】 当开关与Q接通时，由闭合电路欧姆定律得 当棒匀速运动时，设任意时刻电流为i，则外力为 由题意得 化简有 再代入闭合电路欧姆定律，得 变力F 做功为 而 则有 ◇题型 02 电磁感应与图像 典｜例｜精｜析 典例1（2025·广西南宁市·三模）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨PQ、MN与水平面的夹角为，间距为l，P、M间接有一定值电阻R，质量为m的金属棒垂直于导轨放置且接触良好，整个装置处于垂直导轨平面向上的磁感应强度为B的匀强磁场中。时刻，金属棒在沿导轨向上的恒力作用下，以初速度沿导轨向下运动，此时金属棒的安培力大小为，电阻R的电功率为。已知重力加速度为，导轨和金属棒电阻不计，若以初速度的方向为正方向，则金属棒的速度为v、安培力、流过金属棒横截面的电荷量为q、电阻R的电功率P随时间t变化的图像正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A．金属棒的安培力为 其中 解得： 时刻，根据右手定则，判断金属棒中的电流方向，根据左手定则判断金属棒所受安培力方向沿负方向，且 金属棒的合力为： 故金属棒先沿正方向减速运动，其加速度大小 可知逐渐减小；当金属棒速度减为零后，沿负方向加速运动，安培力反向，其加速度大小 继续减小，当时， 方向沿负方向，A正确； B．由上述分析的方向先沿负方向再沿正方向，B错误； C．金属棒先沿正方向减速运动，后沿负方向加速运动，加速到最大值后速度不变，根据右手定则判断回路的电流先沿逆时针，后沿顺时针方向，故流过属棒横截面的电荷量 可知图像的斜率先减小后增大，最终不变，C错误； D．电阻R的电功率 所以最终金属棒的电功率应该是时刻的4倍，D错误。 故选A。 典例2（2025·北京市北京师范大学第二附属中学·第二次统练）某同学利用电压传感器来研究电感线圈工作时的特点。图甲中三个灯泡完全相同，不考虑温度对灯泡电阻的影响。在闭合开关S的同时开始采集数据，当电路达到稳定状态后断开开关。图乙是由传感器得到的电压u随时间t变化的图像。不计电源内阻及电感线圈L的电阻。下列说法正确的是（　　） A. 开关S闭合瞬间，流经灯和的电流相等 B. 开关S闭合瞬间至断开前，流经灯的电流保持不变 C. 开关S断开瞬间，灯闪亮一下再熄灭 D. 根据题中信息，可以推算出图乙中与的比值 【答案】D 【解析】AB．开关S闭合瞬间，由于电感线圈的阻碍作用，灯D3逐渐变亮，通过灯D3的电流缓慢增加，待稳定后，流经灯和的电流相等；故从开关S闭合瞬间至断开前，流经灯的电流也是逐渐增加，A、B错误； C．开关S断开瞬间，由于电感线圈阻碍电流减小的作用，由电感线圈继续为灯和提供电流，又因为电路稳定的时候，流经灯和的电流相等，所以灯逐渐熄灭，C错误； D．开关S闭合瞬间，灯和串联，电压传感器所测电压为D2两端电压，由欧姆定律 电路稳定后，流过D3的电流为 开关S断开瞬间，电感线圈能够为和提供与之前等大电流，故其两端电压为 所以 故可以推算出图乙中与的比值，D正确。 故选D。 方｜法｜提｜练 碰到图像，首先看两轴，然后看斜率和截距。 还可以找普遍表达式。 还可以看面积。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·吉林省长春市·二模）如图，固定于水平面上的金属架处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒沿框架以速度向右做匀速运动。时，磁感应强度为，此时到达的位置恰好使构成一个边长为的正方形。为使棒中不产生感应电流，磁感应强度变化规律的图像为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】为使棒中不产生感应电流，即经过时间线圈的磁通量不变，有 可得 即磁感应强度与构成正比例函数关系。 故选D。 变式2（2025·河南省创新发展联盟·三模）如图所示，在空间中存在两个相邻的有界匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，其宽度均为L。正方形导体线框的对角线长也为，线框在外力作用下从图示位置沿垂直于磁场方向匀速经过磁场区域，若规定逆时针方向为感应电流的正方向，则能正确反映线圈经过磁场区域过程中产生的感应电流随时间变化的图像是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在过程中，线框右半部分进入左边磁场，有效切割长度随位移均匀增大，线圈在位置有效切割长度达到最大，电动势达到最大值，则有 ， 根据楞次定律可得电流方向为逆时针方向；在过程中，线框左半部分也进入左边磁场，有效切割长度随位移均匀减小，到位置时有效切割长度减小到零，电动势减小到零，感应电流为零，根据楞次定律可得电流方向为逆时针方向；在过程中，线框右半部分进入右方磁场，左半部分在左方磁场，两部分切割磁感线的有效切割长度都在增大，当到达位置时，有效切割长度都达到最大值，由楞次定律知两磁场中两部分感应电流（电动势）对线圈来说方向相同，都为顺时针方向，则有 ， 在过程中，有效切割长度随位移均匀减小，到位置时有效切割长度减小到零，电动势减小到零，感应电流为零，由楞次定律知感应电流方向为顺时针方向；在过程中，线框开始离开右方磁场，有效切割长度随位移均匀增大，线圈在位置有效切割长度达到最大，则有 ， 由楞次定律知感应电流方向为逆时针方向；在过程中，有效切割长度随位移均匀减小，到位置时有效切割长度减小到零，电动势减小到零，感应电流为零，由楞次定律知感应电流方向为逆时针方向。 故选A。 变式3（2025·北京市第三十五中学·三模）当磁场相对于导体运动时，会带动导体一起运动，这种作用称为“电磁驱动”。“电磁驱动”在生产生活中有着非常广泛的应用。 （1）如图1所示，两条相距L=1m的平行金属导轨位于同一水平面内，其左端接一阻值为的电阻。矩形匀强磁场区域的磁感应强度大小为、方向竖直向下，金属杆ab位于磁场区域内且静置在导轨上。若磁场区域以速度匀速向右运动，金属杆会在安培力的作用下运动起来。除外其它电阻不计。请判断金属杆中的感应电流方向，并计算金属杆初始时电流的大小。 （2）某种磁悬浮列车的驱动系统可简化为如下模型：固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xOy平面内，长为l的MN边平行于y轴，宽为d的NP边平行于x轴，如图2所示。列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B沿Ox方向按正弦规律分布，其空间周期为，最大值为，如图3所示，且金属框同一长边上各处的磁感应强度均相同。当整个磁场以速度v沿Ox方向匀速平移时，磁场对金属框的作用力充当驱动力，使列车沿Ox方向加速行驶。某时刻，列车速度为，MN边所在位置的磁感应强度恰为。设在短暂时间内，MN、PQ边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力。 a.若，求此刻列车的驱动力F的大小； b.为使列车在此刻能获得最大驱动力，请写出与d之间应满足的关系式，并计算最大驱动力的瞬时功率。 【答案】（1）电流由a到b，3A；（2）a. ；b. ； 【解析】（1）根据楞次定律和安培定则可知金属杆中的电流由a到b，金属杆初始时电流 （2）a.MN边所在位置的磁感应强度恰为，若，则PQ边所在位置的磁感应强度恰为0，此刻列车的驱动力 b.为使列车在此刻能获得最大驱动力，MN边和PQ边应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方，这会使得金属框受到的安培力最大，因此d应为的奇数倍即 最大驱动力的瞬时功率 ◇题型 03 电磁感应与牛顿运动定律 典｜例｜精｜析 典例1（2025·河南省创新发展联盟·三模）（多选）如图所示，间距为d的光滑导轨竖直固定在绝缘地面上，导轨顶端连接定值电阻R，质量为m、电阻忽略不计的金属杆垂直接触导轨，磁感应强度大小为B的匀强磁场与导轨所在的竖直面垂直，先让金属杆从静止开始下落，同时受到竖直向下的恒定的拉力F=mg的作用，重力加速度大小为g，金属杆在运动的过程中始终与垂直导轨垂直且接触良好，金属棒有足够大的下落空间，下列说法正确的是（ ） A. 金属杆的速度越来越小，加速度越来越大 B. 金属杆稳定时的速度为 C. 若金属杆从静止开始下落直到稳定时下落的高度为h，则产生的电能为 D. 在金属杆下落的高度为d的过程中，经过电阻R的电荷量为 【答案】CD 【解析】A．金属杆从静止开始下落，速度增大，感应电动势、感应电流增大，安培力增大，由 可知，合力减小，加速度减小，A项错误； B．金属杆从静止开始下落，设稳定时的速度为vm，则有 竖直方向由三力平衡可得 结合 综合解得 B项错误； C．若金属杆从静止开始下落直到稳定时下落的高度为h，根据功能关系可得生成的电能为 综合计算可得 C项正确； D．由 综合可得 在金属杆下降的高度为d的过程中 综合可得 D项正确 故选CD。 典例2（2025·黑龙江省名校协作体·一模）（多选）如图所示，足够长的光滑导轨平行固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，电阻不计，两导轨间存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。导体棒ab、cd放置在导轨上，其质量分别为m、2m，电阻均为R，长度均为L，用不可伸长的轻绳跨过光滑定滑轮将cd棒中点与质量为m的重物相连，绳与cd棒垂直且平行于桌面。t=0时刻将cd棒由静止释放，t1时刻ab棒的加速度刚好达到最大值。已知t1时刻之前重物未着地，两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A. 0~t1时间内通过ab棒的电流增大 B. t1时刻，两棒的加速度大小均为 C. t1时刻，两棒的加速度大小均为 D. t1时刻，两棒速度差的大小为 【答案】ABD 【解析】设运动过程ab棒的速度大小为，cd棒的速度大小为，以cd棒和重物为系统，根据牛顿第二定律可得加速度大小为 以ab棒为对象，根据牛顿第二定律可得加速度大小为 又 由于一开始，则cd棒速度增加得比ab棒的快，所以回路电流逐渐增大，cd棒的加速度逐渐减小，ab棒的加速度逐渐增大，当时，两棒速度增加一样快，回路电流保持不变，之后两棒做加速度相等的匀加速直线运动；根据以上分析可知，0~t1时间内通过ab棒的电流增大；t1时刻，两棒的加速度相等，则有 解得， 根据 可得t1时刻，两棒速度差的大小为 故选ABD。 方｜法｜提｜练 选择合适的受力体，画出受力图，灵活应用牛顿运动定律处理受力图。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·北京市海淀区·三模）如图，相距L＝1m、电阻不计的平行光滑长金属导轨固定在绝缘水平面上，两导轨左端间接有阻值R＝2Ω的电阻，导轨所在足够长区域内加上与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小B＝1T。现有电阻r＝1Ω，质量m＝1kg的导体棒ab垂直导轨放置且接触良好，当导体棒ab以速度v＝12m/s从边界MN进入磁场后。 （1）求棒ab刚进入磁场时的加速度大小； （2）棒ab进入磁场一段距离后，速度大小变为6m/s，求从进入磁场到此时的过程中电阻R产生的焦耳热为多少； （3）求棒ab最终停的位置。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）当导体棒进入磁场切割磁感线时，导体棒受安培力 由牛顿第二定律 解得 （2）对导体棒，由能量守恒得 两电阻热量之比 总热量为 联立得 （3）在导体棒运动的极短时间内，从t→时间内，由动量定理 即 解得 变式2（2025·福建省·二模）如图所示，导体棒、分别静置于水平固定的平行窄导轨和宽导轨上，导轨间距分别为、，导轨电阻不计，所在区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场，、棒的质量分别为，两导体棒总电阻为，棒与导轨间无摩擦，棒与导轨间的动摩擦因数。时刻，给导体棒一个大小为，方向水平向右的恒力作用，时棒刚要滑动，再过一段时间后回路中电流大小为且保持恒定。已知棒距宽导轨足够远，棒所在导轨足够长，导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： （1）时，棒中电流的大小和方向； （2）时间内，安培力对棒的冲量大小； （3）电流的大小。 【答案】（1）0.5A，由d指向c （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 当时，对棒受力分析，由平衡条件 解得棒中电流的大小 由右手定则可知，棒中电流方向为由d指向c； 【小问2详解】 时，ab棒产生的感应电动势为 由欧姆定律 代入数据解得 时间内，对ab棒受力分析，由动量定理 解得 【小问3详解】 稳定后，电路中电流一定，由欧姆定律得 再过时间，ab棒、cd棒的速度变化量分别为、，则由 联立可得 其中 则 由牛顿第二定律 代入数据解得 变式3（2024年河北卷第15题）如图，边长为的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴。间距为L、与水平面成角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒在水平面内绕O点以角速度匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒始终静止。棒在转动过程中，棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 （1）求棒所受安培力的最大值和最小值。 （2）锁定棒，推动棒下滑，撤去推力瞬间，棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于（1）问中安培力的最大值，求棒与导轨间的动摩擦因数。 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）当OA运动到正方形细框对角线瞬间，切割的有效长度最大，，此时感应电流最大，CD棒所受的安培力最大，根据法拉第电磁感应定律得 根据闭合电路欧姆定律得 故CD棒所受的安培力最大为 当OA运动到与细框一边平行时瞬间，切割的有效长度最短，感应电流最小，CD棒受到的安培力最小，得 故CD棒所受的安培力最小为 （2）当CD棒受到的安培力最小时根据平衡条件得 当CD棒受到的安培力最大时根据平衡条件得 联立解得 撤去推力瞬间，根据牛顿第二定律得 解得 ◇题型 04 电磁感应与能量 典｜例｜精｜析 典例1（2025·天津市耀华中学·二模）如图所示的装置为了探究导体棒在有磁场存在的斜面上的运动情况，MN、M'N'是两条相距为的足够长的光滑金属导轨，放置在倾角均为的对称斜面上，两导轨平滑连接，连接处水平，两导轨右侧接有阻值为的固定电阻，导轨电阻不计。左边斜面区域存在大小为，方向垂直于左边斜面向上的匀强磁场，右侧斜面区域没有磁场。质量为，电阻为的导体棒从左侧导轨足够高处自由释放，运动到底端时已匀速运动。运动过程中导体棒与轨道接触良好且始终与轨道垂直，。 （1）求导体棒第一次沿右侧斜面上滑最大高度； （2）若导体棒从最低点沿左侧斜面上滑的最大距离为，求该上滑过程的时间； （3）若从释放导体棒到导体棒最终静止的整个过程中，电阻上产生的热量为，求导体棒最初释放点的高度。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 导体棒从足够高处滑下，到导轨底部前已经匀速，根据平衡条件可得 其中 联立解得 根据动能定理可得 解得 【小问2详解】 导体棒以2m/s的速度向上运动，直到速度为0，这个过程中根据动量定理可得 其中 解得 【小问3详解】 最终导体棒都停在导轨的底部，整个过程中能量守恒，有 电阻R产生的热量为 解得 典例2（2025·东北三省四市教研联合体·二模）如图所示，圆弧导轨与水平导轨平滑相连，其末端GH处通过绝缘物质与倾斜金属导轨平滑连接，所有导轨间距均为，倾斜导轨与水平方向夹角为θ，倾斜导轨足够远处连接有电感为L的电感线圈。CD与EF间的导轨粗糙，宽度为d，其他导轨均可视为光滑。矩形ABCD区域、EFGH区域与倾斜导轨区域均存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为。金属棒b静止在EFGH区域，金属棒a在圆弧导轨上与水平导轨间高度差为h的位置由静止释放，最终恰好停在EF边界处，此时金属棒b恰能从GH处滑入倾斜导轨。金属棒a与CD、EF间的粗糙导轨的动摩擦因数为μ，金属棒a的电阻为R，金属导轨与金属棒b的电阻均不计，金属棒a、b的质量均为m，长度均为，重力加速度取g。求： （1）在金属棒a刚进入磁场瞬间，金属棒a的速度大小与金属棒b的加速度大小； （2）金属棒a在离开ABCD区域后产生的焦耳热Q； （3）金属棒b能沿倾斜导轨向下滑行的最大距离。（已知自感线圈的自感电动势，其自身的电阻为零） 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 a棒从圆弧轨道滑下，由机械能守恒的 解得金属棒a刚进入磁场瞬间，金属棒a的速度大小为 a棒进入磁场瞬间，产生电动势和电流分别为， 所以b棒所受的安培力为 由牛顿第二定律得 解得金属棒b的加速度大小 【小问2详解】 设金属棒a离开磁场ABCD区域时的速度为，此时金属棒b的速度为，金属棒a在CD、EF间做匀减速运动，可得 金属棒a穿越磁场ABCD区域中，a和b组成的系统满足动量守恒，则有 解得 此后，由能量关系可知，克服安培力做的功等于电路中产生的焦耳热，金属棒b此时的动能将全部转化为金属棒a的焦耳热，则有 【小问3详解】 金属棒b恰能滑入斜轨，则在斜轨上初速度为0开始下滑，因为b棒与线圈组成的回路，直流电阻为零，所以必须满足 可得 所以棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，则有 所以棒的运动方程为 可知金属棒做简谐运动，平衡位置时， 即 由简谐运动对称性可知，下滑最大距离为 方｜法｜提｜练 电流恒定时，一般利用焦耳定律计算焦耳热。 电流变化时，一般利用能量守恒求焦耳热。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025年安徽卷第15题）如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。 求： （1）第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； （2）第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； （3）从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 【答案】（1） （2） （3），n = 1，2，3，… 【解析】 【小问1详解】 第1根导体棒刚进入磁场时产生的感应电动势为E = BLv0 则此时回路的电流为 此时导体棒受到的安培力F安 = BIL 此时导体棒受安培力的功率 【小问2详解】 第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，根据动量定理有 其中 解得 【小问3详解】 由于每根导体棒均以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，则根据能量守恒，每根导体棒进入磁场后产生的总热量均为 第1根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第2根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第3根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第n根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 则从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量QR = QR1＋QR2＋QR3＋…＋QRn 通过分式分解和观察数列的“望远镜求和”性质，得出，n = 1，2，3，… 变式2（2025·福建省宁德市·三模）如图所示，质量分别为、的导体棒、静置在间距为的水平平行光滑导轨上，两导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，导体棒、在导轨间的电阻均为，棒到导轨最右端MN的距离为。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。现给棒一水平向右的初速度，当棒运动到导轨最右端MN时速度为，随即滑上足够长的光滑绝缘倾斜轨道。棒始终在导轨上运动且未与棒碰撞，感应电流产生的磁场及导轨的电阻均忽略不计。求： （1）棒开始运动时的加速度大小； （2）棒从开始运动到第一次出磁场产生的热量； （3）棒从开始运动到第一次出磁场的时间； （4）整个运动过程中棒做减速运动的总长度。 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 根据题意可知，棒开始运动时，棒切割磁感线，感应电动势为 感应电流为 对棒，由牛顿第二定律有 联立解得 【小问2详解】 棒开始运动到棒第一次出磁场过程，、棒组成系统动量守恒，则有 、棒组成系统产生的热量 其中棒产生的热量 解得 小问3详解】 设棒开始运动到棒第一次出磁场过程中所用的时间为，对于棒，由动量定理有 感应电流 感应电动势 且有， 这一过程，、棒组成系统动量守恒，故有 即 联立上式可得 【小问4详解】 导体棒滑上光滑绝缘轨道后以原速率返回，期间导体棒做匀速直线运动。棒返回后系统合动量水平向右，棒做减速运动，棒先向左减速后向右加速，以小于进磁场的速度再次滑上光滑绝缘轨道，此过程中，棒向左减速到零的距离小于。此后、棒重复该过程，每次棒向左减速距离逐渐减少，最终棒静止于水平导轨最右端MN处，此时棒速度也为零。从开始运动到最终静止，设棒减速运动位移为，由动量定理 感应电流 又有， 解得 变式3（2025·江西省·三模）如图所示，在xOy水平面内，固定着间距为d的足够长光滑金属导轨，右端与电容器相连，在处用长度可忽略的绝缘材料连接，紧靠连接点右侧垂直导轨放置一根质量为m的金属棒ab。在区域存在两个大小为、垂直导轨平面、方向相反的匀强磁场，磁场边界满足；在区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场。边长为d的正方形导线框质量也为m，边和边的电阻均为R，静置在导轨上，位于处。在外力作用下导线框沿x轴正方向以速度做匀速直线运动，当到达时撤去外力，导线框与金属棒ab发生弹性碰撞。不计其它电阻，电容器的储能公式。求： （1）导线框中感应电动势的最大值； （2）导线框边运动到的过程中流过导线框的总电量q； （3）整个过程中外力对导线框所做的功W； （4）电容器最终储存的能量。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）当运动到时，导线框中和都在垂直切磁感线且同向叠加，因此感应电动势最大 （2）导线框边在至区间运动过程中，只有边在切割，感应电动势的瞬时表达式 产生正弦交流电，等效于面积为S的线圈在匀强磁场中做匀速圆周运动，转动角速度 由感应电动势最大值 解得 至区间相当于绕圈转动角度，磁通量变化量 感应电动势的平均值 感应电流的平均值 流过导线框的总电量 （3）导线框边在至区间运动过程中，产生正弦交流电，感应电动势最大值为 则有效值 回路中产生的焦耳热 导线框边在至区间运动过程中，两边切割，感应电动势的瞬时表达式 同理，回路中产生的焦耳热 由功能关系可知，外力对导线框所做的功 （4）当到达瞬间撤去外力，导线框恰与金属棒ab发生弹性碰撞，设碰撞后瞬间导线框速度为，金属棒ab速度为，由动量守恒定律有 由能量守恒有 解得 ， 碰撞后导线框边停在绝缘位置，金属棒ab与电容器构成回路，金属棒ab对电容器充电，当电容器电压 金属棒ab稳定后做匀速直线运动。对金属棒ab动量定理有 根据 解得 因此，电容器最终存储的能量 ◇题型 05 电磁感应与动量 典｜例｜精｜析 典例1（2025·安徽省“皖南八校”·三模）（多选）如图所示，足够长的粗糙U型金属导轨NMQP固定，导轨宽度为L，导轨平面与水平面之间的夹角为37°，在导轨所在区域，一匀强磁场垂直于导轨平面向上，磁感应强度为B，QM之间接有阻值为R的电阻，导轨电阻不计。一质量为m，电阻为2R的金属棒ab放在导轨上，现给金属棒一个瞬时冲量，使其以初速度v0沿导轨平面向下开始滑行，棒与导轨之间的动摩擦因数为0.75，（上述字母均为已知量，sin37°=0.6）由以上条件，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A. 导体棒通过的位移为 B. 回路电流随导体棒通过的位移而均匀减小 C. 运动过程中ab两端的电压是MQ两端电压的2倍 D. 电阻R上产生的焦耳热等于 【答案】ABD 【解析】B．导体棒下滑过程中受到重力、支持力、安培力、摩擦力，由于导体棒与导轨之间的动摩擦因数，所以重力沿导轨平面向下的分力和摩擦力大小相等，即整个下滑过程中导体棒沿导轨平面方向只受安培力作用，沿导轨平面向上，阻碍导体棒下滑。设任意时刻导体棒的速度为，由动量定理可得 又， 联立解得 由此可知导体棒速度随位移均匀减小，回路电流 可知回路电流I也随位移均匀减小，故B正确； A．由B选项分析可知导体棒最终静止在导轨上，对整个过程由动量定理得 根据，，， 联立得 解得 故A正确； D．由B选项分析知整个下滑过程中，重力做功和克服摩擦力做功相等，根据能量守恒定律可知整个电路产生的焦耳热等于导体棒动能的减少量，即 根据 可得电阻上产生的焦耳热为 故D正确； C．导体棒下滑时切割磁感线，产生感应电动势，则导体棒等效为电源，其电阻等效为内阻，导体棒两端的电压即是路端电压，等于两端电压，故C错误。 故选ABD。 典例2（2025·河南省创新发展联盟·三模）如图所示，平行光滑金属导轨分别由一段圆弧和水平部分组成，水平部分固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，M、P间接有阻值为R的定值电阻，导轨水平部分在间有垂直导轨平面向上的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为，右侧有垂直导轨平面向下的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为，金属棒b垂直导轨放在导轨的之间，金属棒a在圆弧导轨上离水平面高处由静止释放，金属棒在导轨上运动过程中始终与导轨接触良好并与导轨垂直，两金属棒接入电路的电阻均为，质量均为，间的距离为，重力加速度为，金属棒a与b碰撞后粘在一起，最后金属棒a、b停在磁场Ⅱ区域内，求： （1）金属棒a通过磁场Ⅰ的过程中，通过定值电阻的电荷量； （2）金属棒a离开磁场Ⅰ时的速度大小； （3）从a棒开始运动到两杆运动停止过程中，产生的焦耳热Q。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）金属棒a通过磁场I的过程中，通过金属棒a的电量 根据法拉第电磁感应定律 根据闭合电路欧姆定律有 解得 则通过定值电阻的电量 （2）设金属棒a进入磁场I时的速度大小为，根据机械能守恒有 解得 金属棒a通过磁场I的过程中，根据动量定理有 即 解得 （3）设金属棒a与b碰撞后的共同速度为，根据动量守恒有 则该碰撞过程损失的机械能为 由于最后金属棒a与b静止，根据能量守恒定律，可知从a棒开始运动到两杆运动停止过程中，有 求得 方｜法｜提｜练 动生过程计算电荷量经常用动量定理。 双杆问题中，有时满足动量守恒定律。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·安徽省黄山市·二模）绝缘水平桌面上有一质量为的“”型金属框，框宽度为，ab间电阻为，两侧部分电阻不计且足够长。在竖直固定的绝缘挡板间放一根金属棒，挡板间隙略大于棒的直径，棒与金属框垂直且接触良好，金属棒接入电路部分的电阻为，不计一切摩擦。空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为，现给框水平向左、大小为的初速度，俯视图如图所示。则下列说法正确的是（　　） A. 开始时金属框的加速度大小为 B. 开始时挡板给导体棒的作用力大小为，方向水平向左 C. 金属框从开始运动到静止过程中通过金属棒的电荷量为 D. 金属框从开始运动到静止过程中金属棒上产生的热量为 【答案】C 【解析】 A．开始时金属框产生感应电动势大小为，感应电流沿顺时针方向，大小为 其所受安培力大小为 则加速度大小为 故A错误； B．开始时导体棒所受安培力方向向左，大小也为，但导体棒静止不动，受力平衡，则挡板给导体棒的作用力大小为，方向水平向右，故B错误； C．金属框从开始运动到静止，由动量定理，有 而金属框总位移 得 设总共用时为，则通过金属棒的电荷量为 故C正确； D．由能量守恒定律可知，金属框从开始运动到静止过程中，系统产生的总热量为 二者电阻相等，则金属棒上产生的热量为 故D错误。 故选C。 变式2（2025·河南省安阳市·三模）（多选）如图所示，水平面上有两条相距为l的足够长的固定光滑平行金属导轨，垂直于导轨的两虚线间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在磁场内导轨上相隔一定距离垂直导轨放置长度均为l的导体棒a和b。现让导体棒a、b以相同的速率同时沿导轨相向运动，导体棒b出磁场前加速度已经为0，导体棒a出磁场时速度为，a、b棒的质量分别为2m、m，电阻均为R。导轨电阻不计且导体棒与导轨接触良好。下列说法正确的是（　　） A. 导体棒b出磁场时的速度大小为 B. 整个过程流过导体棒b的电荷量为 C. 整个过程系统产生的焦耳热为 D. 整个过程两棒的最近距离为 【答案】CD 【解析】A．b出磁场时无加速度，说明a、b棒已经在磁场中共速了，根据动量守恒定律有 解得b出磁场时的速度大小，故A错误； B．a出磁场时的速度大小为，根据能量守恒定律则，有 解得，故C正确； C．b出磁场前的动量改变量为 动量改变量等于安培力的冲量，则有 解得 b出磁场后至a出磁场的过程，其动量改变量为 根据左手定则可判断此过程中电流流过b的方向与前面电流通过b的方向相同，同理有 解得 所以流过b的电荷量为，故B错误； C．a、b棒已经在磁场中共速，距离最近，并保持到b出磁场，之后a切割磁感线，产生感应电动势，形成感应电流，安培力使a减速，又有 解得，故D正确。 故选CD。 变式3（2025·辽宁省·三模）（多选）如图所示，光滑的水平金属导轨宽为且足够长，电阻不计，匀强磁场垂直导轨平面向上，磁感应强度为；导轨左端接有电容为的电容器，击穿电压足够大；质量为、电阻为的金属棒与导轨垂直且在运动过程中接触良好。若电容器开始不带电，给金属棒水平向右的初速度，闭合开关后，导体棒最终匀速运动速度为；若电容器开始带电量为，金属棒初速度为，闭合开关后，导体棒最终匀速运动速度为；则（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】AB．若电容器开始不带电，给金属棒水平向右的初速度，则导体棒最终匀速运动速度为时此时电容器两板间电压等于金属棒产生的感应电动势，即U=BLv1 整个过程中由动量定理 其中 解得 选项A错误，B正确； CD．若电容器开始带电量为Q，金属棒初速度为0，闭合开关后，电容器放电，金属棒向右加速运动，则当金属棒切割磁感线产生的电动势跟电容器两极板之间的电压相等时，金属棒中电流为零，此后金属棒将匀速运动下去；设闭合开关S后，电容器的放电时间为Δt，金属棒获得的速度为v2，由动量定理可得 其中 解得 选项C错误，D正确。 故选BD。 ◇题型 06 电磁感应与高科技 典｜例｜精｜析 典例1（2025·吉林省长春市·二模）“磁悬浮列车”是通过电磁力实现列车与轨道之间无接触的悬浮和导向，再利用直线电机产生的电磁力牵引列车运行。某实验小组设计简化模型如图（a）所示，若磁悬浮列车模型的总质量为，模型底部固定一与其绝缘的矩形金属线框，线框的总电阻为。用两根足够长、水平固定、间距为（和矩形线框的边长相等）的平行金属导轨、模拟列车行驶的轨道，导轨间存在垂直导轨平面的等间距的交替匀强磁场，相邻两匀强磁场的方向相反、磁感应强度大小均为，每个磁场宽度与矩形线框的边长相等，如图（b）所示。将列车模型放置于导轨上，当交替磁场以速度向右匀速运动时，列车模型受磁场力由静止开始运动，速度达到开始匀速运动，假定列车模型在运动过程中所受阻力恒定，不考虑磁场运动时产生的其他影响。 （1）求列车模型所受阻力的大小； （2）列车模型匀速运动后，某时刻磁场又以加速度向右做匀加速直线运动，再经时间列车模型也开始做匀加速直线运动。 ①分析求出列车模型匀加速运动加速度大小； ②若列车模型开始匀加速运动时的速度为，求时间内列车所受安培力做的功。 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【小问1详解】 设列车行驶速度为，线框中的感应电动势大小为 感应电流大小为 线框所受安培力大小为 当时，对列车根据平衡条件有 【小问2详解】 ①列车做匀加速运动时，根据牛顿第二定律 可知安培力恒定，根据线框所受安培力 可知，感应电动势恒定，线框相对磁场的速度恒定，则应满足线框的加速度大小为 ②磁场匀加速运动时间内，对列车根据动量定理有 即 其中时间内磁场位移为 可解得时间内列车位移 对列车根据动能定理有 可解得时间内列车所受安培力做功为 典例2（2025年江苏卷第15题）圆筒式磁力耦合器由内转子、外转子两部分组成。工作原理如图甲所示。内、外转子可绕中心轴转动。外转子半径为，由四个相同的单匝线圈紧密围成，每个线圈的电阻均为R，直边的长度均为L，与轴线平行。内转子半径为，由四个形状相同的永磁体组成，磁体产生径向磁场，线圈处的磁感应强度大小均为B。外转子始终以角速度匀速转动，某时刻线圈abcd的直边ab与cd处的磁场方向如图乙所示。 （1）若内转子固定，求ab边产生感应电动势的大小E； （2）若内转子固定，求外转子转动一周，线圈abcd产生的焦耳热Q； （3）若内转子不固定，外转子带动内转子匀速转动，此时线圈中感应电流为I，求线圈abcd中电流的周期T。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 根据题意可知，转动时的线速度为 则ab产生的感应电动势 【小问2详解】 根据题意，由图可知，若内转子固定，外转子转动过程中，、均切割磁感线，且产生的感应电流方向相反，则转动过程中感应电动势为 感应电流为 转子转动的周期为 则abcd转一圈产生的热量 【小问3详解】 结合图可知，转子转动电流方向改变，大小不变，若内转子不固定，跟着外转子一起转，且abcd中的电流为I，则感应电动势为 又有 解得 则电流改变方向的时间为 则电流的周期为 方｜法｜提｜练 注意物理模型的建立。 经常用到一些特殊的思维方法，如等效法。 变｜式｜巩｜固 变式1（2024年1月浙江卷第21题第1问）如图1所示，扫描隧道显微镜减振装置由绝缘减振平台和磁阻尼减振器组成。平台通过三根关于轴对称分布的相同轻杆悬挂在轻质弹簧的下端O，弹簧上端固定悬挂在点，三个相同的关于轴对称放置的减振器位于平台下方。如图2所示，每个减振器由通过绝缘轻杆固定在平台下表面的线圈和固定在桌面上能产生辐向磁场的铁磁体组成，辐向磁场分布关于线圈中心竖直轴对称，线圈所在处磁感应强度大小均为B。处于静止状态的平台受到外界微小扰动，线圈在磁场中做竖直方向的阻尼运动，其位移随时间变化的图像如图3所示。已知时速度为，方向向下，、时刻的振幅分别为，。平台和三个线圈的总质量为m，弹簧的劲度系数为k，每个线圈半径为r、电阻为R。当弹簧形变量为时，其弹性势能为。不计空气阻力，求 （1）平台静止时弹簧的伸长量； （2）时，每个线圈所受到安培力F的大小； （3）在时间内，每个线圈产生的焦耳热Q； （4）在时间内，弹簧弹力冲量的大小。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）平台静止时，穿过三个线圈的的磁通量不变，线圈中不产生感应电流，线圈不受到安培力作用，O点受力平衡，因此由胡克定律可知此时弹簧的伸长量 （2）在时速度为，设每个线圈的周长为L，由电磁感应定律可得线圈中产生的感应电流 每个线圈所受到安培力F的大小 （3）由减震器的作用平台上下不移动，由能量守恒定律可得平台在时间内，振动时能量的减少量为，由能量守恒定律 在时间内，振动时能量的减少转化为线圈的焦耳热，可知每个线圈产生的焦耳热 （4）取向上为正方向，全程由动量定理可得 其中 联立解得弹簧弹力冲量的大小为 变式2（2025·辽宁省葫芦岛市·二模）（多选）磁悬浮电梯是基于电磁学原理使电梯的轿厢悬停及上下运动的，如图甲所示，它主要由磁场和含有导线框的轿厢组成。其原理简化为：竖直面上相距为的两根绝缘平行直导轨，置于等距离分布的方向相反的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面，磁感应强度大小均为，每个磁场分布区间的长度都是，相间排列，如图乙所示。当这些磁场在竖直方向匀速平动时，跨在两导轨间的宽为、长为、总电阻为的导线框（固定在轿厢上）将受到安培力。当磁场平动速度为时，轿厢悬停；当磁场平动速度为时，轿厢最终竖直向上做匀速运动。重力加速度为，下列说法中正确的是（　　） A. 磁场平动的速度方向竖直向上 B. 磁场平动的速度方向竖直向下 C. 导线框和电梯轿厢的总质量为 D. 当磁场以速度平动时，轿厢最终速度 【答案】ACD 【解析】AB．依题意，轿厢悬停或者竖直向上做匀速运动时，均需要竖直向上的安培力，由楞次定律的“阻碍作用”可知，磁场相对轿厢的运动方向均为竖直向上，即速度v1和v2的方向都是竖直向上，故A正确，B错误； C．设导线框和电梯轿厢的总质量为m。轿厢悬停时，导线框中的电流大小为 又由平衡条件有mg=2BI1d 联立解得 ，故C正确； D．当磁场平动速度为v2时，线框向上运动，当其加速度为零时，达到最大速度，设轿厢向上能达到的最终速度为v，则有 又由平衡条件有mg=2BI2d 联立解得v=v2-v1，则D正确。 故选ACD。 变式3（2025·北京市北京大学附属中学·三模）某国产品牌的电动汽车配备了基于电容器的制动能量回收系统，它有效地增加了电动汽车的续航里程。其工作原理为踩下驱动踏板时电池给电动机供电，松开驱动踏板或踩下刹车时发电机工作回收能量。为进一步研究，某兴趣小组设计了如图甲所示的模型：右侧为直流发电机模型，在磁极与圆柱形铁芯之间形成辐射状的磁场，导线框的ab、dc边经过处的磁感应强度大小均为B，方向始终与两条边的运动方向垂直，剖面图如图乙所示。导线框的ab、dc边延长段可在两金属半圆环A、D内侧自由转动，且接触良好。金属半圆环D左侧接一单刀双掷开关：踩下驱动踏板，开关接通1，电池给导线框供电，导线框相当于电动机，所用电池的电动势为E，内阻为r；松开驱动踏板或踩下刹车，开关自动切换接通2，导线框相当于发电机，给电容器充电，所接电容器电容为C。导线框与圆柱形铁芯中心轴线重合，ab、dc边长度均为L，两边间距离为d0。导线框的ab、dc边质量均为m，其余部分导线质量不计，导线框的总电阻为R。初始时电容器不带电、导线框静止，电路其余部分的电阻不计，两金属半圆环和两磁极间的空隙忽略不计，不计一切摩擦和空气阻力。求： （1）踩下驱动踏板后，导线框刚启动时的电流I和ab边受到的安培力的大小F； （2）踩下驱动踏板后，导线框可达到的最大速度vm； （3）当导线框达到最大转动速度后松开驱动踏板，在一段时间后导线框将匀速转动，此时电容器C上储存的电场能E。 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由闭合电路欧姆定律，可得 ab边受到的安培力的大小为 【小问2详解】 依题意，有 当I=0时，转速达到最大，可得 【小问3详解】 导线框从最大速度减至v时稳定，对该过程应用动量定理，有 电路中流过的电量为 此时电容器所带电量为 解得 作U-q图像 由微元法可知图像下面积等于电容器储存的电能 联立，解得 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 电磁感应与动量、能量、电路的综合 目录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】电磁感应与电路、图像 【考点02】电磁感应与牛顿运动定律 【考点03】电磁感应与动量、能量 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】电磁感应与电路 【题型02】电磁感应与图像 【题型03】电磁感应与牛顿运动定律 【题型04】电磁感应与能量 【题型05】电磁感应与动量 【题型06】电磁感应与高科技 核心考向聚焦 主战场转移：电磁感应与电路、图像综合；电磁感应与牛顿运动定律、动量、能量综合；电磁感应与高科技综合。 核心价值：核心价值在于培养物理思维，掌握分析方法，提升解决复杂电磁感应及临界极值问题的科学推理与实践能力。 关键能力与思维瓶颈 关键能力：电路分析能力。运动、受力分析能力、动量、能量灵活应用能力。临界极值判断力。 培优瓶颈：尖子生的主要失分点并非“不懂”，而在于： 面对新情境时，无法快速、准确地将实际问题进行转化。电路结构误判；运动、受力不清；动量、能量不能灵活应用；临界极值分析难：难以准确界定临界状态，对极值出现的条件和原因分析不清。 命题前瞻与备考策略 预测：2026年高考中，电磁感应情境更复杂真实，融合跨学科与科技元素，强化创新迁移、图像信息分析考查。 策略：深挖高考压轴题命题逻辑，强化高端思维训练，提升创新题型解答能力，规范答题步骤，精准分配答题时间，注重跨模块知识综合运用。 ◇考点 01 电磁感应与电路、图像 一、电磁感应中的电路问题 1．电磁感应中的电源 (1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源． 电动势：E＝Blv或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻． (2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极． 2．分析电磁感应电路问题的基本思路 二、电磁感应中电荷量的计算 导出公式：q＝n 在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式＝及法拉第电磁感应定律＝n，得q＝Δt＝Δt＝Δt＝，即q＝n. 三、电磁感应中的图像问题 1．解题关键 弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键． 2．解题步骤 (1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像； (2)分析电磁感应的具体过程； (3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系； (4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式； (5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等； (6)画图像或判断图像． 3．常用方法 (1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，以及变化快慢，来排除错误选项． (2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断． ◇考点 02 电磁感应与牛顿运动定律 1．导体的两种运动状态 (1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态． 处理方法：根据平衡条件列式分析． (2)导体的非平衡状态——加速度不为零． 处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析． 2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤 ◇考点 03 电磁感应与动量、能量 一、电磁感应中的能量问题 1．电磁感应中的能量转化 2．求解焦耳热Q的三种方法 3．解题的一般步骤 (1)确定研究对象(导体棒或回路)； (2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化； (3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解． 二、动量定理在电磁感应中的应用 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解． 三、动量守恒定律在电磁感应中的应用 在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便． ◇题型 01 电磁感应与电路 典｜例｜精｜析 典例1（2025·黑龙江省齐齐哈尔市·三模）（多选）如图所示，两根间距为，电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角，导轨底端接入一阻值为的定值电阻，所在区域内存在磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上。在导轨上垂直于导轨放置一质量为、电阻为的金属杆ab，开始时使金属杆ab保持静止，某时刻开始给金属杆一个沿斜面向上的恒力，金属杆由静止开始运动了1.2m达到最大速度，重力加速度。金属杆从静止到运动1.2m的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 金属杆能获得的最大速度是3m/s B. 通过电阻R的电荷量是0.4C C. 电阻R产生的热量 D. 金属杆运动位移达1.2m时刻，两端的电势差 典例2（2025·河北省沧州市·二模）如图所示，足够长的固定平行金属导轨A1B1B2A2与水平面的夹角θ=30°，导轨的右端接有开关S及阻值为R的电阻，导轨的间距为2L，导轨上的C1C2下方存在随空间交替变化的条形区域的匀强磁场，方向如图，磁感应强度大小均为B，每一条形磁场区域的宽度均为L。相同的金属棒MN和PQ用绝缘轻质杆D1D2固定在一起组成一个“工”字形工件。现闭合开关S并将“工”字形工件从C1C2的上方某一位置由静止释放，金属棒MN刚进入磁场时加速度变为零。已知金属棒MN和PQ的质量均为3m、电阻均为2R、长度均为2L，二者之间的间距为L，运动过程中两金属棒与导轨始终接触良好，不计金属棒与导轨之间的摩擦力，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。 （1）金属棒MN刚进入磁场时，求电阻R两端的电压； （2）求“工”字形工件由静止释放时，金属棒MN与C1C2之间的距离x1； （3）当金属棒PQ刚进入磁场时打开开关S并开始计时，经过时间t，“工”字形工件的加速度再次变为零，求此时金属棒PQ与C1C2之间的距离x2。 方｜法｜提｜练 找到电源：产生感应电动势的导体。 明确电源的正负极：电源内部，电流由负极流向正极。 区分路端电压和电动势。 灵活应用闭合电路欧姆定律。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·广东省广州市培正中学·三模）（多选）如图，水平金属圆环的半径为L，匀质导体棒OP的长度也为L，导体棒OP、电阻的阻值都为R0，电路中的其他电阻忽略不计。导体棒OP绕着它的一个端点O以大小为ω的角速度匀速转动，O点恰好为金属圆环的圆心，转动平面内有竖直向上的匀强磁场，导体棒OP转动过程中始终与金属圆环接触良好。对导体棒OP转动一周的过程，下列说法正确的是（　　） A. 电阻R1中的电流方向由a指向b B. 电阻R1两端的电压为 C. 电阻R1上产生的焦耳热为 D. 通过电阻R1的电流大小不断变化 变式2（2025·广东省广州市培正中学·三模）如图甲为手机正在进行无线充电，无线充电原理图如图乙所示，充电器和手机各有一个线圈，充电器端的叫发射线圈（匝数为n1），手机端的叫接收线圈（匝数为n2），两线圈面积均为S，在△t内发射线圈产生磁场的磁感应强度增加量为△B。磁场可视为垂直穿过线圈。下列说法正确的是（　　） A. 手机端的接收线圈b点的电势低于a点 B. 手机端的接收线圈a和b间的电势差值为 C. 接收线圈和发射线圈是通过自感实现能量传递 D. 增加c、d间电流的变化率，接收线圈a和b间的电势差始终不变 变式3（2025·湖南省怀化市·二模）间距为的光滑平行金属直导轨，水平放置在磁感应强度大小为、方向垂直轨道平面向下的匀强磁场中。一质量为、电阻值为的金属棒静止垂直放在导轨之间，导轨右侧足够长，左侧如图所示，已知电源可提供大小恒为的直流电流，电阻，电容大小为（初始时刻不带电）。电路中各部分与导轨接触良好，导轨电阻不计且在运动过程中与始终与导轨垂直，开关的切换可在瞬间完成。 （1）当开关与电源接通时，棒中电流由流向，求此时棒的加速度大小和方向。 （2）当金属棒加速到时，开关瞬间与接通，此时金属棒内自由电子沿棒定向移动的速度为。经过一段时间，自由电子沿棒定向移动的速率变为，棒内定向移动的自由电子总数不变，求该段时间内一直在金属棒内运动的自由电子沿金属棒定向移动的距离。 （3）当金属棒速度为时，开关瞬间与接通，同时给金属棒一水平外力使其做匀速运动。某时刻外力的功率为定值电阻功率的3倍，求此时刻电容器两端电压及从开关接通到此时刻外力做的功。 ◇题型 02 电磁感应与图像 典｜例｜精｜析 典例1（2025·广西南宁市·三模）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨PQ、MN与水平面的夹角为，间距为l，P、M间接有一定值电阻R，质量为m的金属棒垂直于导轨放置且接触良好，整个装置处于垂直导轨平面向上的磁感应强度为B的匀强磁场中。时刻，金属棒在沿导轨向上的恒力作用下，以初速度沿导轨向下运动，此时金属棒的安培力大小为，电阻R的电功率为。已知重力加速度为，导轨和金属棒电阻不计，若以初速度的方向为正方向，则金属棒的速度为v、安培力、流过金属棒横截面的电荷量为q、电阻R的电功率P随时间t变化的图像正确的是（　　） A. B. C. D. 典例2（2025·北京市北京师范大学第二附属中学·第二次统练）某同学利用电压传感器来研究电感线圈工作时的特点。图甲中三个灯泡完全相同，不考虑温度对灯泡电阻的影响。在闭合开关S的同时开始采集数据，当电路达到稳定状态后断开开关。图乙是由传感器得到的电压u随时间t变化的图像。不计电源内阻及电感线圈L的电阻。下列说法正确的是（　　） A. 开关S闭合瞬间，流经灯和的电流相等 B. 开关S闭合瞬间至断开前，流经灯的电流保持不变 C. 开关S断开瞬间，灯闪亮一下再熄灭 D. 根据题中信息，可以推算出图乙中与的比值 方｜法｜提｜练 碰到图像，首先看两轴，然后看斜率和截距。 还可以找普遍表达式。 还可以看面积。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·吉林省长春市·二模）如图，固定于水平面上的金属架处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒沿框架以速度向右做匀速运动。时，磁感应强度为，此时到达的位置恰好使构成一个边长为的正方形。为使棒中不产生感应电流，磁感应强度变化规律的图像为（　　） A. B. C. D. 变式2（2025·河南省创新发展联盟·三模）如图所示，在空间中存在两个相邻的有界匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，其宽度均为L。正方形导体线框的对角线长也为，线框在外力作用下从图示位置沿垂直于磁场方向匀速经过磁场区域，若规定逆时针方向为感应电流的正方向，则能正确反映线圈经过磁场区域过程中产生的感应电流随时间变化的图像是（　　） A. B. C. D. 变式3（2025·北京市第三十五中学·三模）当磁场相对于导体运动时，会带动导体一起运动，这种作用称为“电磁驱动”。“电磁驱动”在生产生活中有着非常广泛的应用。 （1）如图1所示，两条相距L=1m的平行金属导轨位于同一水平面内，其左端接一阻值为的电阻。矩形匀强磁场区域的磁感应强度大小为、方向竖直向下，金属杆ab位于磁场区域内且静置在导轨上。若磁场区域以速度匀速向右运动，金属杆会在安培力的作用下运动起来。除外其它电阻不计。请判断金属杆中的感应电流方向，并计算金属杆初始时电流的大小。 （2）某种磁悬浮列车的驱动系统可简化为如下模型：固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xOy平面内，长为l的MN边平行于y轴，宽为d的NP边平行于x轴，如图2所示。列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B沿Ox方向按正弦规律分布，其空间周期为，最大值为，如图3所示，且金属框同一长边上各处的磁感应强度均相同。当整个磁场以速度v沿Ox方向匀速平移时，磁场对金属框的作用力充当驱动力，使列车沿Ox方向加速行驶。某时刻，列车速度为，MN边所在位置的磁感应强度恰为。设在短暂时间内，MN、PQ边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力。 a.若，求此刻列车的驱动力F的大小； b.为使列车在此刻能获得最大驱动力，请写出与d之间应满足的关系式，并计算最大驱动力的瞬时功率。 ◇题型 03 电磁感应与牛顿运动定律 典｜例｜精｜析 典例1（2025·河南省创新发展联盟·三模）（多选）如图所示，间距为d的光滑导轨竖直固定在绝缘地面上，导轨顶端连接定值电阻R，质量为m、电阻忽略不计的金属杆垂直接触导轨，磁感应强度大小为B的匀强磁场与导轨所在的竖直面垂直，先让金属杆从静止开始下落，同时受到竖直向下的恒定的拉力F=mg的作用，重力加速度大小为g，金属杆在运动的过程中始终与垂直导轨垂直且接触良好，金属棒有足够大的下落空间，下列说法正确的是（ ） A. 金属杆的速度越来越小，加速度越来越大 B. 金属杆稳定时的速度为 C. 若金属杆从静止开始下落直到稳定时下落的高度为h，则产生的电能为 D. 在金属杆下落的高度为d的过程中，经过电阻R的电荷量为 典例2（2025·黑龙江省名校协作体·一模）（多选）如图所示，足够长的光滑导轨平行固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，电阻不计，两导轨间存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。导体棒ab、cd放置在导轨上，其质量分别为m、2m，电阻均为R，长度均为L，用不可伸长的轻绳跨过光滑定滑轮将cd棒中点与质量为m的重物相连，绳与cd棒垂直且平行于桌面。t=0时刻将cd棒由静止释放，t1时刻ab棒的加速度刚好达到最大值。已知t1时刻之前重物未着地，两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A. 0~t1时间内通过ab棒的电流增大 B. t1时刻，两棒的加速度大小均为 C. t1时刻，两棒的加速度大小均为 D. t1时刻，两棒速度差的大小为 方｜法｜提｜练 选择合适的受力体，画出受力图，灵活应用牛顿运动定律处理受力图。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·北京市海淀区·三模）如图，相距L＝1m、电阻不计的平行光滑长金属导轨固定在绝缘水平面上，两导轨左端间接有阻值R＝2Ω的电阻，导轨所在足够长区域内加上与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小B＝1T。现有电阻r＝1Ω，质量m＝1kg的导体棒ab垂直导轨放置且接触良好，当导体棒ab以速度v＝12m/s从边界MN进入磁场后。 （1）求棒ab刚进入磁场时的加速度大小； （2）棒ab进入磁场一段距离后，速度大小变为6m/s，求从进入磁场到此时的过程中电阻R产生的焦耳热为多少； （3）求棒ab最终停的位置。 变式2（2025·福建省·二模）如图所示，导体棒、分别静置于水平固定的平行窄导轨和宽导轨上，导轨间距分别为、，导轨电阻不计，所在区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场，、棒的质量分别为，两导体棒总电阻为，棒与导轨间无摩擦，棒与导轨间的动摩擦因数。时刻，给导体棒一个大小为，方向水平向右的恒力作用，时棒刚要滑动，再过一段时间后回路中电流大小为且保持恒定。已知棒距宽导轨足够远，棒所在导轨足够长，导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： （1）时，棒中电流的大小和方向； （2）时间内，安培力对棒的冲量大小； （3）电流的大小。 变式3（2024年河北卷第15题）如图，边长为的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴。间距为L、与水平面成角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒在水平面内绕O点以角速度匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒始终静止。棒在转动过程中，棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 （1）求棒所受安培力的最大值和最小值。 （2）锁定棒，推动棒下滑，撤去推力瞬间，棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于（1）问中安培力的最大值，求棒与导轨间的动摩擦因数。 ◇题型 04 电磁感应与能量 典｜例｜精｜析 典例1（2025·天津市耀华中学·二模）如图所示的装置为了探究导体棒在有磁场存在的斜面上的运动情况，MN、M'N'是两条相距为的足够长的光滑金属导轨，放置在倾角均为的对称斜面上，两导轨平滑连接，连接处水平，两导轨右侧接有阻值为的固定电阻，导轨电阻不计。左边斜面区域存在大小为，方向垂直于左边斜面向上的匀强磁场，右侧斜面区域没有磁场。质量为，电阻为的导体棒从左侧导轨足够高处自由释放，运动到底端时已匀速运动。运动过程中导体棒与轨道接触良好且始终与轨道垂直，。 （1）求导体棒第一次沿右侧斜面上滑最大高度； （2）若导体棒从最低点沿左侧斜面上滑的最大距离为，求该上滑过程的时间； （3）若从释放导体棒到导体棒最终静止的整个过程中，电阻上产生的热量为，求导体棒最初释放点的高度。 典例2（2025·东北三省四市教研联合体·二模）如图所示，圆弧导轨与水平导轨平滑相连，其末端GH处通过绝缘物质与倾斜金属导轨平滑连接，所有导轨间距均为，倾斜导轨与水平方向夹角为θ，倾斜导轨足够远处连接有电感为L的电感线圈。CD与EF间的导轨粗糙，宽度为d，其他导轨均可视为光滑。矩形ABCD区域、EFGH区域与倾斜导轨区域均存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为。金属棒b静止在EFGH区域，金属棒a在圆弧导轨上与水平导轨间高度差为h的位置由静止释放，最终恰好停在EF边界处，此时金属棒b恰能从GH处滑入倾斜导轨。金属棒a与CD、EF间的粗糙导轨的动摩擦因数为μ，金属棒a的电阻为R，金属导轨与金属棒b的电阻均不计，金属棒a、b的质量均为m，长度均为，重力加速度取g。求： （1）在金属棒a刚进入磁场瞬间，金属棒a的速度大小与金属棒b的加速度大小； （2）金属棒a在离开ABCD区域后产生的焦耳热Q； （3）金属棒b能沿倾斜导轨向下滑行的最大距离。（已知自感线圈的自感电动势，其自身的电阻为零） 方｜法｜提｜练 电流恒定时，一般利用焦耳定律计算焦耳热。 电流变化时，一般利用能量守恒求焦耳热。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025年安徽卷第15题）如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。 求： （1）第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； （2）第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； （3）从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 变式2（2025·福建省宁德市·三模）如图所示，质量分别为、的导体棒、静置在间距为的水平平行光滑导轨上，两导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，导体棒、在导轨间的电阻均为，棒到导轨最右端MN的距离为。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。现给棒一水平向右的初速度，当棒运动到导轨最右端MN时速度为，随即滑上足够长的光滑绝缘倾斜轨道。棒始终在导轨上运动且未与棒碰撞，感应电流产生的磁场及导轨的电阻均忽略不计。求： （1）棒开始运动时的加速度大小； （2）棒从开始运动到第一次出磁场产生的热量； （3）棒从开始运动到第一次出磁场的时间； （4）整个运动过程中棒做减速运动的总长度。 变式3（2025·江西省·三模）如图所示，在xOy水平面内，固定着间距为d的足够长光滑金属导轨，右端与电容器相连，在处用长度可忽略的绝缘材料连接，紧靠连接点右侧垂直导轨放置一根质量为m的金属棒ab。在区域存在两个大小为、垂直导轨平面、方向相反的匀强磁场，磁场边界满足；在区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场。边长为d的正方形导线框质量也为m，边和边的电阻均为R，静置在导轨上，位于处。在外力作用下导线框沿x轴正方向以速度做匀速直线运动，当到达时撤去外力，导线框与金属棒ab发生弹性碰撞。不计其它电阻，电容器的储能公式。求： （1）导线框中感应电动势的最大值； （2）导线框边运动到的过程中流过导线框的总电量q； （3）整个过程中外力对导线框所做的功W； （4）电容器最终储存的能量。 ◇题型 05 电磁感应与动量 典｜例｜精｜析 典例1（2025·安徽省“皖南八校”·三模）（多选）如图所示，足够长的粗糙U型金属导轨NMQP固定，导轨宽度为L，导轨平面与水平面之间的夹角为37°，在导轨所在区域，一匀强磁场垂直于导轨平面向上，磁感应强度为B，QM之间接有阻值为R的电阻，导轨电阻不计。一质量为m，电阻为2R的金属棒ab放在导轨上，现给金属棒一个瞬时冲量，使其以初速度v0沿导轨平面向下开始滑行，棒与导轨之间的动摩擦因数为0.75，（上述字母均为已知量，sin37°=0.6）由以上条件，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A. 导体棒通过的位移为 B. 回路电流随导体棒通过的位移而均匀减小 C. 运动过程中ab两端的电压是MQ两端电压的2倍 D. 电阻R上产生的焦耳热等于 典例2（2025·河南省创新发展联盟·三模）如图所示，平行光滑金属导轨分别由一段圆弧和水平部分组成，水平部分固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，M、P间接有阻值为R的定值电阻，导轨水平部分在间有垂直导轨平面向上的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为，右侧有垂直导轨平面向下的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为，金属棒b垂直导轨放在导轨的之间，金属棒a在圆弧导轨上离水平面高处由静止释放，金属棒在导轨上运动过程中始终与导轨接触良好并与导轨垂直，两金属棒接入电路的电阻均为，质量均为，间的距离为，重力加速度为，金属棒a与b碰撞后粘在一起，最后金属棒a、b停在磁场Ⅱ区域内，求： （1）金属棒a通过磁场Ⅰ的过程中，通过定值电阻的电荷量； （2）金属棒a离开磁场Ⅰ时的速度大小； （3）从a棒开始运动到两杆运动停止过程中，产生的焦耳热Q。 方｜法｜提｜练 动生过程计算电荷量经常用动量定理。 双杆问题中，有时满足动量守恒定律。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·安徽省黄山市·二模）绝缘水平桌面上有一质量为的“”型金属框，框宽度为，ab间电阻为，两侧部分电阻不计且足够长。在竖直固定的绝缘挡板间放一根金属棒，挡板间隙略大于棒的直径，棒与金属框垂直且接触良好，金属棒接入电路部分的电阻为，不计一切摩擦。空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为，现给框水平向左、大小为的初速度，俯视图如图所示。则下列说法正确的是（　　） A. 开始时金属框的加速度大小为 B. 开始时挡板给导体棒的作用力大小为，方向水平向左 C. 金属框从开始运动到静止过程中通过金属棒的电荷量为 D. 金属框从开始运动到静止过程中金属棒上产生的热量为 变式2（2025·河南省安阳市·三模）（多选）如图所示，水平面上有两条相距为l的足够长的固定光滑平行金属导轨，垂直于导轨的两虚线间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在磁场内导轨上相隔一定距离垂直导轨放置长度均为l的导体棒a和b。现让导体棒a、b以相同的速率同时沿导轨相向运动，导体棒b出磁场前加速度已经为0，导体棒a出磁场时速度为，a、b棒的质量分别为2m、m，电阻均为R。导轨电阻不计且导体棒与导轨接触良好。下列说法正确的是（　　） A. 导体棒b出磁场时的速度大小为 B. 整个过程流过导体棒b的电荷量为 C. 整个过程系统产生的焦耳热为 D. 整个过程两棒的最近距离为 变式3（2025·辽宁省·三模）（多选）如图所示，光滑的水平金属导轨宽为且足够长，电阻不计，匀强磁场垂直导轨平面向上，磁感应强度为；导轨左端接有电容为的电容器，击穿电压足够大；质量为、电阻为的金属棒与导轨垂直且在运动过程中接触良好。若电容器开始不带电，给金属棒水平向右的初速度，闭合开关后，导体棒最终匀速运动速度为；若电容器开始带电量为，金属棒初速度为，闭合开关后，导体棒最终匀速运动速度为；则（　　） A. B. C. D. ◇题型 06 电磁感应与高科技 典｜例｜精｜析 典例1（2025·吉林省长春市·二模）“磁悬浮列车”是通过电磁力实现列车与轨道之间无接触的悬浮和导向，再利用直线电机产生的电磁力牵引列车运行。某实验小组设计简化模型如图（a）所示，若磁悬浮列车模型的总质量为，模型底部固定一与其绝缘的矩形金属线框，线框的总电阻为。用两根足够长、水平固定、间距为（和矩形线框的边长相等）的平行金属导轨、模拟列车行驶的轨道，导轨间存在垂直导轨平面的等间距的交替匀强磁场，相邻两匀强磁场的方向相反、磁感应强度大小均为，每个磁场宽度与矩形线框的边长相等，如图（b）所示。将列车模型放置于导轨上，当交替磁场以速度向右匀速运动时，列车模型受磁场力由静止开始运动，速度达到开始匀速运动，假定列车模型在运动过程中所受阻力恒定，不考虑磁场运动时产生的其他影响。 （1）求列车模型所受阻力的大小； （2）列车模型匀速运动后，某时刻磁场又以加速度向右做匀加速直线运动，再经时间列车模型也开始做匀加速直线运动。 ①分析求出列车模型匀加速运动加速度大小； ②若列车模型开始匀加速运动时的速度为，求时间内列车所受安培力做的功。 典例2（2025年江苏卷第15题）圆筒式磁力耦合器由内转子、外转子两部分组成。工作原理如图甲所示。内、外转子可绕中心轴转动。外转子半径为，由四个相同的单匝线圈紧密围成，每个线圈的电阻均为R，直边的长度均为L，与轴线平行。内转子半径为，由四个形状相同的永磁体组成，磁体产生径向磁场，线圈处的磁感应强度大小均为B。外转子始终以角速度匀速转动，某时刻线圈abcd的直边ab与cd处的磁场方向如图乙所示。 （1）若内转子固定，求ab边产生感应电动势的大小E； （2）若内转子固定，求外转子转动一周，线圈abcd产生的焦耳热Q； （3）若内转子不固定，外转子带动内转子匀速转动，此时线圈中感应电流为I，求线圈abcd中电流的周期T。 方｜法｜提｜练 注意物理模型的建立。 经常用到一些特殊的思维方法，如等效法。 变｜式｜巩｜固 变式1（2024年1月浙江卷第21题第1问）如图1所示，扫描隧道显微镜减振装置由绝缘减振平台和磁阻尼减振器组成。平台通过三根关于轴对称分布的相同轻杆悬挂在轻质弹簧的下端O，弹簧上端固定悬挂在点，三个相同的关于轴对称放置的减振器位于平台下方。如图2所示，每个减振器由通过绝缘轻杆固定在平台下表面的线圈和固定在桌面上能产生辐向磁场的铁磁体组成，辐向磁场分布关于线圈中心竖直轴对称，线圈所在处磁感应强度大小均为B。处于静止状态的平台受到外界微小扰动，线圈在磁场中做竖直方向的阻尼运动，其位移随时间变化的图像如图3所示。已知时速度为，方向向下，、时刻的振幅分别为，。平台和三个线圈的总质量为m，弹簧的劲度系数为k，每个线圈半径为r、电阻为R。当弹簧形变量为时，其弹性势能为。不计空气阻力，求 （1）平台静止时弹簧的伸长量； （2）时，每个线圈所受到安培力F的大小； （3）在时间内，每个线圈产生的焦耳热Q； （4）在时间内，弹簧弹力冲量的大小。 变式2（2025·辽宁省葫芦岛市·二模）（多选）磁悬浮电梯是基于电磁学原理使电梯的轿厢悬停及上下运动的，如图甲所示，它主要由磁场和含有导线框的轿厢组成。其原理简化为：竖直面上相距为的两根绝缘平行直导轨，置于等距离分布的方向相反的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面，磁感应强度大小均为，每个磁场分布区间的长度都是，相间排列，如图乙所示。当这些磁场在竖直方向匀速平动时，跨在两导轨间的宽为、长为、总电阻为的导线框（固定在轿厢上）将受到安培力。当磁场平动速度为时，轿厢悬停；当磁场平动速度为时，轿厢最终竖直向上做匀速运动。重力加速度为，下列说法中正确的是（　　） A. 磁场平动的速度方向竖直向上 B. 磁场平动的速度方向竖直向下 C. 导线框和电梯轿厢的总质量为 D. 当磁场以速度平动时，轿厢最终速度 变式3（2025·北京市北京大学附属中学·三模）某国产品牌的电动汽车配备了基于电容器的制动能量回收系统，它有效地增加了电动汽车的续航里程。其工作原理为踩下驱动踏板时电池给电动机供电，松开驱动踏板或踩下刹车时发电机工作回收能量。为进一步研究，某兴趣小组设计了如图甲所示的模型：右侧为直流发电机模型，在磁极与圆柱形铁芯之间形成辐射状的磁场，导线框的ab、dc边经过处的磁感应强度大小均为B，方向始终与两条边的运动方向垂直，剖面图如图乙所示。导线框的ab、dc边延长段可在两金属半圆环A、D内侧自由转动，且接触良好。金属半圆环D左侧接一单刀双掷开关：踩下驱动踏板，开关接通1，电池给导线框供电，导线框相当于电动机，所用电池的电动势为E，内阻为r；松开驱动踏板或踩下刹车，开关自动切换接通2，导线框相当于发电机，给电容器充电，所接电容器电容为C。导线框与圆柱形铁芯中心轴线重合，ab、dc边长度均为L，两边间距离为d0。导线框的ab、dc边质量均为m，其余部分导线质量不计，导线框的总电阻为R。初始时电容器不带电、导线框静止，电路其余部分的电阻不计，两金属半圆环和两磁极间的空隙忽略不计，不计一切摩擦和空气阻力。求： （1）踩下驱动踏板后，导线框刚启动时的电流I和ab边受到的安培力的大小F； （2）踩下驱动踏板后，导线框可达到的最大速度vm； （3）当导线框达到最大转动速度后松开驱动踏板，在一段时间后导线框将匀速转动，此时电容器C上储存的电场能E。 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $