10.3 实际问题与二元一次方程组-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

10.3 实际向题与二元一次方程组 新知解读 前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些简 单的实际问题.本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题 Q探究1 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg;一周后又购 进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每头 大牛1天需饲料18~20kg,每头小牛1天需饲料7~8kg.你能通过计算检验 他的估计吗？ 一小设几个未知裁 列几个方程 分析：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg 根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组 30x+15y=675 注意：(1)方程两边表示的是同类量」 (2)同类量的单位要统一， (30+12)x+(15+5))y=940 解这个方程组，得 0 (X= 20 可以先独立分析问 V= 题中的数量关系，列出 这就是说，每头大牛1天约需饲料20 kg, 方程组，得出问题的解 答，再与同学交流 每头小牛1天约需饲料5kg.因此，饲养员李 大叔对大牛食量的估计较准，对小牛食量的估 计偏高 练习 1.为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯.A车间购买了3盏甲型 节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯 和4盏乙型节能灯，共花费88元.1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的 售价各是多少元？ >5元 >7元 第十章二元一次方程组 101 2.学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借 阅.第一次买了2套《西游记》和3套《水浒传》，共花费151元；第二 次买了4套《西游记》和2套《水浒传》，共花费178元.每套《西游记》 和《水浒传》的价格分别是多少元？每套《水浒传)的价格是31元」 2.每套《西游记》的价格是29元 3.某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量都基本没变，但支付的 餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由7020元上升为8520元，原 因是餐厨垃圾处理费的收费标准由240元：上调为300元化，建筑垃圾 清运费的收费标准由150元：上调为180元化.这家公司去年的餐厨垃圾 和建筑垃圾各有多少吨？ >8t ->34t Q探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2.现要把一块长 200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作 物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4？ 分析：如图10.3-1，一种划分方案为：甲、乙D 两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和长方形 EBCF. 此时设AE=xm,EB=ym,根据问题中涉及长A B x m >ym一 度、产量的相等关系，列得方程组 图10.3-1 x+=200 100x_3 100yx2=4 解这个方程组，得 120 80 过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分为 两块长方形土地.较大一块土地种植甲种作物，较小一块土地种植乙种 作物. 102教材笔记数学七年级下册RJ 练习 1.AM的长度是40m. 1.对于探究2中的问题，如果按照如图的方式划分土地，分别在长方形 DMNC和MABN土地中种植甲、乙两种作物，那么AM的长度是多少？ D 2x 3 2 M x+2y -3 4y (第1题) (第2题) >2x+3+2=2-3+4y=2x+(x+2y）+4y 2.如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式·为了使格子的各行、各列及 对角线上的三个数之和均相等，x,y各应取什么值？2.=-1，y=1. 3.某地为打造运河风光带，雇用A,B两个工程队共同完成一段长为 180m的河道的清理任务.已知A工程队每天清理12m,B工程队每天 清理8m,两个工程队工作天数之和为20天，A,B工程队分别清理了 多长的河道？3.A工程队清理了60m的河道，B工程队清理了120m的河道. Q探究3 )图形及标注的数据也是给出 已知条件的一种方式 如图10.3-2，丝 A 铁路120km 路纺织厂与A,B两地 公路10km 由公路、铁路相连.这 丝路纺织厂 家纺织厂从A地购进一 B 批长绒棉运回工厂，制 公路20km 铁路110km 成纺织面料运往B地. 已知长绒棉的进价为 图10.3-2 3.08万元化，纺织面料的出厂价为4.25万元化，公路运价为0.5元/（tkm), 铁路运价为0.2元/(tkm),且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路 运费16640元.那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的 价格)与运输费的和多多少元？ 分析：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关.设购买xt长绒棉， 制成yt纺织面料.根据题中数量关系填写表10.3-1. 第十章二元一次方程组 103 表10.3-1 xt长绒棉 yt纺织面料 合计 公路运费/元 5x 10y 5200 铁路运费/元 24x 22y 16640 价值/元 30800x 42500y 题目所求的是 为此需先解出x与y之制成的纺织 -742500v- (30800x+5200+16640) 面料裁量 由表10.3-1，列得方程组 购买的长缀棉裁量 5x+10y=5200 24x+22y=16640 解这个方程组，得 400 320 因此，这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1258160元 从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具.用方 程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应 进一步考虑它是否符合问题的实际意义· 练习 1.某运输公司有大小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运 货15.5t,5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t.3辆大货车与5辆 小货车一次可以运货多少吨？1.3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5t 2.七年级的地质兴趣小组到一座山顶 票种 票价/元 进行田野调查.上山之前，20名成 员各买了一张缆车票，共花费1180 往返 80 元，缆车票价如右表所示，他们购 单程 45 买了往返票和单程票各多少张？2.他们购买了往返票8张，单程票12张 3.甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在 两地之间进行骑行训练.如果他保持上坡的速度为30k/h,平路的速度 为40km/h,下坡的速度为50km/h,那么他从甲地骑到乙地需54min, 从乙地骑到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少千米？ 3.甲地到乙地全程是31km 104 教材笔记数学七年级下册RJ 习题10.3 复习巩固 1.解下列方程组： 31 3x-y=5, 3 =12 (1) (1) 12 (2) =1 5y-1=3x+5; 11 (2)-1 4 2.一个户外运动俱乐部的成员完成了两天的徒步运动.两天的徒步时间分别为 8h和10h,共走了98km,且第一天比第二天少走2km,这个俱乐部的成员 2.这个俱乐部的成员第一天和第二天徒步的平均 两天徒步的平均速度各是多少？速度分别为6kmh,5kmh 3.《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多 七客，一房九客一房空.李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？ 4.某港口码头使用A,B两种型号的机器人搬运货物.在24h内，3台A型机器 人和2台B型机器人共搬运货物450t,且每台A型机器人比B型机器人多搬 运货物25t,每台A型机器人和每台B型机器人24h的搬运量分别是多少？ 4.每台A型机器人和每合B型机器人24h的搬运量分别是100t,75t 综合运用 5.如图，学校规划在一块长18m、宽13m的长方形场地 ABCD上，分别设计与AD,AB平行的横向和纵向通道，其 余部分铺上草皮.如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、N 大小相同，其中一块草坪的两边AM:AN=8:9,那么通道 B 的宽是多少？5.设通道的宽为xm,草坪的边AM=8km (第5题) X= AW=9km.列方程组，得 24k+2x=18, 18k+x=13. 解得 k= 所以通道的宽是1m 6.一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数 量是展板的5倍.广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示 产品 展板 宣传册 横幅 时间h 0.2 0.5 利润/元 60 3.5 20 若制作三种产品共需25h,所获利润为975元，求这三种产品的总件数。 6.这三种产品的总件数为70】 第十章二元一次方程组 105 7.七年级书法兴趣小组到文具店购买A，B两种型号的毛笔，文具店的销售方 式是： (1)一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过 部分每支的价格比零售价低0.4元. (2)一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过 部分每支的价格比零售价低0.6元. 这个小组共有20名同学，若每人买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共需支付 325元；若每人买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共需支付309元.这家文具 店A,B型毛笔的零售价分别是多少？ 7.这家文具店A,B型毛笔的零售价分别是5元/支，6元/支」 拓广探索 8.一家超市的账日记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收人396元；另 一天，以同样的价格卖出同样的牙刷52支和牙膏28盒，收入518元.这个记 录是否有误？如果有误，请说明理由， 8.这个记录有误，理由略 9.编一道符合实际意义的应用题，使其中的未知数满足方程组 2x+3y=21, 3x+4y=29 与同学交流一下，并解决这个问题. 9.答案不唯一.小红去某超市买了2支自动笔和3个笔记本共花了21元： 小亮在该超市买了同样的自动笔3支，同样的笔记本4个共花了29元.求 该超市这种自动笔和笔记本的单价 解：设该超市这种自动笔的单价为x元，这种笔记本的单价为y元，由题意 2解 y=5 答：该超市这种自动笔的单价为3元，这种笔记本的单价为5元 106教材笔记数学七年级下册RJ