23.2 一次函数的图象和性质+ 信息技术应用 探究函数的图象和性质-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

23.2 一次函数的图象和性质 新知解读 为了更好地借助函数认识运动变化现象，需要研究函数的性质，函数的性质 能更好地刻画运动变化现象的变化规律.在函数性质的研究中，函数图象由于其 直观性，经常扮演着重要的角色. →体现“从特殊到一般”的归纳思想 我们从特殊的一次函数一正比例函数开始，利用图象研究其性质. 例1分别画出下列正比例函数的图象： (1)y=2x,y=3x5 (2)y=-1.5x,y=-4x. 解： (1)函数y=2x中的自变量x可为任意实数.表23.2-1是y与x的几 组对应值. 为了描点更方便、准确，一般选 表23.2-1 取横、纵坐标都是整戴的点下 2 -2 0 2 2 -4 -2 0 2 4 如图23.2-1，在平面直角坐标系中描出以表23.2-1中的值为坐标的点.将这 些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线.它就是函数y=2x 的图象。“描点法” 用同样的方法，可以得到函数y=了x的图象（图232-1）.它也是一条经过 原点和第三、第一象限的直线· 画正比例函数y=x（k≠0) 个y=2x. 的图象的一般步骤如下 3 (1)列表： 0 1 2 0 -3-2-1 123x (2)描点：在平面直角坐标 12 系内描出点（0,0)，(1，k). -3 (3)连线：过点（0,0)， -4 (1,k)画直线 图23.2-1 第二十三章一次函数117 (2)函数y=-1.5x中的自变量x可为任意实数.表23.2-2是y与x的几组 对应值 表23.2-2 -2 0 1 2 3 1.5 0 -1.5 -3 如图23.2-2，在平面直角坐标系中描出以表23.2-2中的值为坐标的点.将 这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线.它就是函数 y=-1.5x的图象. 用同样的方法，可以得到函数y=-4x的图象（图23.2-2).它也是一条经过 原点和第二、第四象限的直线. Y=-4x y 正比例函数y=x（k≠0)的图 4 象中，阳越大，直线y=x越靠 近y轴；阳越小，直线y=x越 对于正比例函数y=x（k≠0)， 靠近x轴. k的符号、函数图象所经过的象 y=-1.5x" 限、函裁的增减性这三者，知道 任意一个即可推出另外两个，即 -2-10 k>0 -3 y 随x 图象经过 的增大 第三、第 图23.2-2 而增大 一象限 以上4个函数的图象都是经过原点的直线，其中 k<0 函数y=2x和y=了x的图象经过第三、第一象限，从 随x 图象经过 左向右上升；函数y=-1.5x和y=-4x的图象经过第 的增大 第二、第 和藏小 四象限 二、第四象限，从左向右下降· 一般地，正比例函数y=x（k是常数， k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为 由正比例函数的解 直线y=kx.当k>0时，直线y=x经过第三、第一 析式，你能说明它的函 数值y随自变量x的增 象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当 大而增大（或减小）的 k<0时，直线y=x经过第二、第四象限，从左向 道理吗？ 右下降，即y随x的增大而减小. 正比例函数的增减性由比例系数飞的符号决定，可简记为“正升，负降” 118教材笔记数学八年级下册RJ 思考 由正比例函数的图象是一条直线，你能想到画正比例函数图象的简单方 法吗？ 》“两点法” 因为两点确定一条直线，而正比例函数y=x(k≠0)的图象又是经过原 点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图 象.一般地，这一点可以取点（1，k)这个特殊点. 练习 1.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： A （2)图象略.提示： (2)y=-6x.过原点和点(1，-6) 作直线 2.若，点（2，m)和，点（-3，n)都在函数y=kx(k<0)的图象上，试比较 m,n的大小.2.m<n. y随x的增大而减小 下面，我们研究一般的一次函数的图象和性质 例2画出函数y=-3x与y=-3x+1的图象. 解：函数y=-3x与y=-3x+1中的自变量x可为任意实数.列表表示几组 对应值（计算并填写表23.2-3中空格). 一次函数y=x+b的图象是过点（0 b)且和正比例函数y=x的图象平 表23.2-3 行或重合的一条直线 2 -1 -0.5 0 0.5 1 y=-3x 3 1.5 0 -1.5 -3 y=-3x+1 4 2.5 1 -0.5 -2 描点、连线，画出函数y=-3x与y=-3x+1的图象（图23.2-3). 一次函数图象的平移规律如下 (1)直线y=x+b 向上平移m(m>0)个 y=-3x 单位长度 直线y=kx+b+m. 向下平移m(m>0)个 (2)直线y=x+b →直线y=x+b-m. 单位长度 -2- (3)直线y=x+b 向左平移m(m>0)个 直线y=k(x+m)+b. 单位长度 -3x+1 (4)直线y=x+b 向右平移m(m>0)个直线y=k(x-m)+b, 单位长度 图23.2-3 平移规律可简记为：上加下减，左加右减： 第二十三章一次函数119 Q探究 比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，填写你的观察结果： 这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同.函数 y=-3x的图象经过原点，函数y=-3x+1的图象与y轴交于点(0,1)，即 它可以看作由直线y=-3x向上平移1个单位长度而得到. 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？ 联系上面结果，考虑一次函数y=x+b(飞≠0)的图象是什么形状，它 与直线y=x(k≠0)有什么关系. 比较一次函数y=x+b(k≠0)与正比例函数y=x(k≠0)的解析式， 容易得出： 次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=x平移Ibl个单位长度得 到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.一次函数y=x+b(k≠0) 的图象也是一条直线，我们称它为直线，=女+点的正花， 的图象重合 例31画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象 分析：由于一次函数的图象是直线，所以只要确定两个点就能画出它· 解：列表表示当x=0,x=1时两个函数的对应值（表23.2-4). 表23.2-4 两点法：由于两点确定一条直线，所以在平面 0 直角坐标系中画一次函数的图象时，可以先描 y=2x-1 出满足解析式的两点，再过这两点画直线，通 常我们选取直线y=x+b(≠0)与两坐标轴 y=-0.5x+1 0.5 的交点，即(0,6)与(-，0)两点. 过点（0，-1)与（1,1)画出直线y=2x-1;过点(0,1)与(1,0.5) 画出直线y=-0.5x+1（图23.2-4). g 2x-1 先画直线y=2x 与y=-0.5x,再分 y=-0.5x+11 1,1 别平移它们，也能 1,0.5) 得到直线y=2x-1 与y=-0.5x+1. 两点法与平移法作图的结果相同，但平移法需 图23.2-4 要先有一个函数（如y=k)的图象为基础 120 教材笔记数学八年级下册RJ Q探究 画出函数y=x+1,y=-x+1,y=2x+1,y=-2x+1的图象，观察这些直 线，总结它们从左向右上升或下降的规律. 由此联想：一次函数的解析式y=kx+b(k,b是常数，飞≠0)中，k的 正负对函数图象有什么影响？你能进而归纳一次函数的性质吗？ 由形到戴的认识是戴形结合的一种探 观察前面一次函数的图象，可以发现规律究方法，但不是难一的方法 0 当k>0时，直线y=x+b从左向右上升；当 我们先通过观察 k<0时，直线y=x+b从左向右下降 发现图象（形)的规 律，再根据这些规律 一般地，一次函数y=kx+b(k,b是常数， 得出关于变量数值大 k≠0)具有如下性质： 小的性质，这种数形 当k>0时，y随x的增大而增大： 结合的研究方法在数 学学习中很重要 当k<0时，y随x的增大而减小 k,b与一次函数y=x+b（飞，b是常数，k≠0)的图象的关系： (1)飞，b的符号决定直线所经过的象限.(2)飞的符号决定一次 练习 函数的增减性.（3)b的符号决定直线与y轴交点的位置. 1.直线y=2x-3与x轴交点坐标为2,0)，与y轴交点坐标为(0，-3) 经过第一、三、四象限，y随x的增大而 增大 2.分别在同一平面直角坐标系中画出（1)(2)中各函数的图象，并指出每 小题中三个函数的图象有什么关系. （1)y=x-1,y=x,y=x+1;2.(1)图象略，3条直线平行. (2)y=-7x-1,y=-x-1,y=-2x-1. （2)图象略，都是经 过点（0，-1)的直线 3.已知一次函数y=4x+7,当x>2时，利用函数的性质，求函数值y的取 值范围.3.y>15. 、.k=4>0,y随x的增大而增大 例41已知一次函数的图象过点（2，-4)与 g (-3,11)，求这个一次函数的解析式. 因为图象过(2， -4)与(-3,11)两 分析：求一次函数y=x+b的解析式，关键 ,点，所以这两点的坐标 是求出k,b的值.从已知条件可以列出关于k,b 必满足解析式· 的二元一次方程组，进而求出k,b 第二十三章一次函数121 设 解：设这个一次函数的解析式为y=x+b（k≠0). 因为y=x+b的图象过点(2，-4)与(-3,11)，所以 2k+b=-4,运用待定系数法求一次函数解析式的 列 一般步骤如下 -3k+b=11. (1)设：设出一次函数的解析式y= 解这个方程组，得 x+b(k≠0) (2)列：把两组x,y的值分别代入 k=-3, 解析式，列出关于飞，b的二元一次方 程组. b=2. (3)解：解方程组，求出k,b的值 (4)代：将求出的k,b的值代入所 设的函数解析式，即可得到所求的一 代← 次数解析式. 因此，这个一次函数的解析式为y=-3x+2. 像例4这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而 得出函数解析式的方法，叫作待定系数法. 由于一次函数y=x+b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需 要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数).解方程组后就能具体 写出一次函数的解析式 一次函数的解析式与图象之间可以互相转化 例3与例4从两方面说明： 函数解析式 选取 满足条件的两定点 画出 次函数的 y=hx +b 解出 (x1,y1)与（2，y2) 选取 图象直线 例51一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公 路，后一部分为普通公路.汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行 驶，汽车行驶的路程y（单位：km)与时间x（单位：h)之间的关系如图23.2-5 所示. (1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式； y/km 360 (2)记者出发后多长时间到达采访地？ 270 分析：问题中汽车行驶的速度不是固定不变的，它 180 与行驶的时间范围有关.当0≤x≤2时，汽车行驶的速 3.5 x/h 度较快；当x>2时，汽车行驶的速度较慢.因此，求函 图23.2-5 数解析式时应对0≤x≤2和x>2两个时段分别讨论. 122教材笔记数学八年级下册RJ 解：(1)当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分， 设函数的解析式为y=kx.因为它的图象过点A（2,180),所以180=2k1,解得 k1=90 因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y=90x. 当x>2时，函数图象是经过A,B两点的直线的一部分.我们求出直线AB 所对应的一次函数的解析式.设这个一次函数的解析式为y=k2x+b2,把点A,B 的坐标分别代人y=x+b2,得 2k2+b2=180, 一次函数的应用有两种类型： (1)已知一次函数解析式， 3.5k2+b2=270. 此情况直接应用一次函数的性 解这个方程组，得 质解决问题.（2)题千中只用 了语言、表格或图象描述一次 k2=60, 函裁时，应先求出解析式，进 而利用函数的性质解决问题. b2=60 因此，当x>2时，函数的解析式为y=60x+60. 综上，当0≤x≤2时，y=90x;当x>2时， y=60x+60. 由（2)的解答， 你能进一步确定（1) (2)由图象可知，当y=360时，x>2. 中函数的自变量的 由360=60x+60,解得x=5. 取值范围吗？ 因此，记者在出发5h后到达采访地. 练习 1.一个一次函数，当自变量x=1时，函数值y=5;当x=-1时，函数值y=1. 求这个一次函数的解析式.1.y=2x+3. 2.一个一次函数的图象经过，点(9,0)和（24,20)，求这个一次函数的解 析式.2y=等-12 3.一名旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经济 y1元个 180 舱机票.他所托运的行李的费用y(单位：元) 90 与行李的质量x(单位：kg)的关系如图所示. 这位旅客可免费托运的行李的最大质量是多少 0 2530 x/kg 千克？20kg 利用待定系数法，求得函数 解折式为y=18x-360 (第3题) 第二十三章 一次函数123 习题23.20 复习巩固 1.一列货车以90km/h的速度匀速前进.求它的行驶路程s（单位：km)关于行驶 时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象.1.s=90t(t≥0).图象略. 2.函数y=-5x的图象经过第二、四象限，经过点(0,0)与点(1，-5)， y随x的增大而减小. 3.分别画出下列函数的图象：3.图象路· （1)y=4x; (2)y=4x+1; (3)y=-4+1; (4)y=-4x-1. 4.如图，求图中直线所对应的函数解析式.4.y=2x+6. 5.一个一次函数的图象经过点（-4,9)和(6,4). 30x (1)求这个一次函数的解析式：5.(1)y=-7+7 (第4题) (2)画出这个一次函数的图象；(2)图象略. (3)判断点(2,5)是否在这个一次函数的图象上，并说明理由. (3)不在.把x=2代入y=- 2x+7,得y=6≠5，放点(2,5)不在这个一次函最的图象上. 综合运用 6.将一次函数y=-2x+1的图象向上平移2个单位长度，能得到哪个函数的图 象？向下平移3个单位长度呢？6.向上平移2个单位长度能得到函戴y=-2x+3的图象， 向下平移3个单位长度能得到函数y=-2x-2的图象 7.已知(-1.3，y1,（-3,y2),（2,y3)是直线y=-13x+b(b为常数)上的 三个点，试比较y1,2,3的大小.7.因为k=-13<0,所以y随x的增大而 减小.又-3<-1.3<2，所以y2>y1>y3 8.(1)当b>0时，函数y=x+b的图象经过哪几个象限？8.(1)第一、二、三象限. (2)当b<0时，函数y=-x+b的图象经过哪几个象限？(2)第二、三、四象限 (3)当k>0时，函数y=x+1的图象经过哪几个象限？(3)第一、二、三象限 (4)当k<0时，函数y=x+1的图象经过哪几个象限？（4)第一、二、四象限 9.某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费y元 90 标准.居民每月应缴水费y(单位：元)是用水量x 60 (单位：t)的函数，其图象如图所示 (1)分别求出当0≤x≤15和x>15时，y关于x的 函数解析式.9.（1)当0≤x≤15时，y=4x;当 0 1520xt x>15时，y=6x-30. (第9题) 124教材笔记数学八年级下册RJ (2)若某用户某月用水9t,应缴水费多少元？若某月缴水费102元，则这个 月用水多少吨？（2)36元，22t 拓广探索 →设y=k（x+b)（k≠0) 10.已知y与x+b成正比例关系，且当x=-3时，y=0;当x=2时，y=-10. (1)求y关于x的函数解析式；10.(1)y=-2x-6. (2)若-4<y<2,求x的取值范围.(2)-4<x<-1. ★信息技术应用 探究函数的图象和性质 在学习函数时，我们经常利用函数图象研究函数的性质.由解析式画函 数图象时，一般采用描点连线法.描出的点越多，画出的函数图象越准确.但 是，仅靠手工操作有时很难画出准确的图象，而信息技术工具（如GeoGebra、 几何画板、网络画板等计算机软件，图形计算器等)可以帮助我们又快又准 地画出函数图象，进而探究函数的性质.下面介绍一些例子· 例如，在绘制函数y=3x-2的图象时，可以利用一些信息技术工具的“设 定参数”及“制表”功能快速列出表格，并使用“绘制表中数据”的功能完 成描点，通过点的分布就可以大致看出图象的变化趋势（图1)· 0 c(-2.9,8.41 6 6 4 4 H=(A.B 2 表格风 246x B(2,4 -2 4 8 =4 -20 2 4 10 -12 0-2.9 x(x-3 -2 图1 图2 图3 一些信息技术工具还具有对点进行“追踪”的功能，利用这一功能绘制 函数图象时，可以先设定参数x,y及它们之间的关系，然后绘制点(x,y) 第二十三章一次函数125 并追踪它的轨迹，就能得到函数的大致图象.图2是利用这一功能绘制的函数 y=x2的图象 多数信息技术工具都具有直接根据函数解析式绘制图象的功能，只要在 “绘制新函数”中输入函数解析式，就可以直接得到函数的图象.图3是利用 这一功能绘制的函数y=x2（x-3)的图象. 通过观察函数图象，可以发现函数图象与函数性质之间的联系.例如： 函数的图象特征 函数的性质 从左向右曲线呈上升状态 y随x的增大而增大 从左向右曲线呈下降状态 y随x的增大而减小 曲线上的最高点是(a,b) 台 当x=a时，y有最大值b 曲线上的最低点是（a,b) → 当x=a时，y有最小值b →体现了信息技术与裁学教学的融合 此外，我们还可以在动态变化中探究函数 y 6 的性质.例如，为研究正比例函数y=x中飞 k1=7.26 5 的变化与图象的关系，我们可以利用信息技术 k2=74 工具绘制一条过原点的直线，并利用其“度量 斜率”功能度量并显示这条直线的斜率（即飞 k3=0.69 k4=0.22 值)·用鼠标拖动这条直线，使其绕原点旋转， -2-1 23456 ks∈0.3 可以发现飞的值也会随着直线的旋转而改变. k6=-0.8 在旋转的过程中（图4），可以发现： k7=-3.34 (1)直线经过第三、第一象限时，k>0; 8.28 (2)直线经过第二、第四象限时，k<0; (3)直线由经过第二、第四象限逆时针旋 图4 转到经过第三、第一象限的过程中，k的值随直线的旋转而不断增大· 你还能利用信息技术工具画出一些一次函数的图象，进而探究它的其他 性质吗？ 126 教材笔记数学八年级下册RJ