20.2 勾股定理的逆定理及其应用+图说数学史 数学瑰宝——勾股定理-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

20.2勾股定理的度定理及具应用 新知解读 由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平 方.反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方， 那么这个三角形是不是直角三角形呢？ 图20.2-1给出了确定直角的一种方法：把一根长 绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结 间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成 1) (13) (12) 一个三角形，其中一个角便是直角. (2) (11) (10) 上述方法意味着，如果围成三角形的三边长分别 (3) (9) 为3,4,5，它们满足关系“32+42=52”，那么围成 (5)(6)(7)(8) 的三角形是直角三角形.一般地，满足两条边长的平 图20.2-1 方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角 形呢？ ⑧观察 画一画，如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,它们满足 关系“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4cm,7.5cm,8.5cm,再试一试.注意：a2+b2=c2只是一种常用的表达形式， 并非所有情况下都表示斜边.在运用勾股定 理的逆定理时，应先确定最长边，而不是直 由上面的尝试，我们猜想： 接套用a2+b2=c2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 这个猜想就是勾股定理的逆命题，下面证明这个猜想· 如图20.2-2(1)，已知△ABC的三边长分别为a,b,c,满足a2+b=c2.求 证△ABC是直角三角形. 直接证明△ABC是直角三角形比较困难，回顾已经学过的知识，可以作一个 两条直角边长分别为a,b的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角 34教材笔记数学八年级下册RJ 形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形. B B' 0 (1) (2) 图20.2-2 如图20.2-2(2)，作一个Rt△A'B'C',使B'C'=a,A'C'=b,∠C'=90°.根 据勾股定理，AB2=B'C2+A'C2=a2+b2.因为a2+b2=c2,所以AB'=c.在△ABC 和△A'B'C'中，BC=a=B'C',AC=b=A'C,AB=c=AB',所以△ABC≌△AB'C (SSS).因此∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形 这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理.这个定理 叫作勾股定理的逆定理.它是判定直角三角形的一个依据这实平整为从车 例1判断由线段a,b,c组成的三角形是不是 0 直角三角形： 像8,15,17这样， 能够成为直角三角形三 (1)a=8,b=15,c=17; 最长边← 直角三角形的性质定理 条边长的三个正整数， (2)a=14,6=13c=15.个直角三角形的判定定理 称为勾股数。 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角 形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方 和是否等于最大边长的平方. 常见的勾股数有： (1)3,4,5;（2)5,12,13; 解：(1)因为82+152=64+225=289，(3)6,8,10；(4)7,24,25； (5)8,15,17；（6)9,12,15； 17=289, (7)9,40,41. 所以82+152=172. 根据勾股定理的逆定理，由线段a,b,c组成的 0 三角形是直角三角形， 对于例1（2)，如 果这个三角形是直角三 (2)因为14+132=196+169=365， 角形，那么根据勾股定 152=225, 理应有a2+b=c2.事 所以14+132≠152 实上，上式不成立.因 此，这个三角形不是直 根据勾股定理，由线段a,b,c组成的三角形不 角三角形. 是直角三角形. 第二十章勾股定理 35 练习 >注意不要默认为c是最长边 1.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a=4,b=5,c=6;3不是 (2)a=2.5,b=0.7,c=2.4;是 (3)a=36=子，c=3:不是 (4)a=1,b=2,c=3.是 2.如图，以△ABC的三边为直径，分别画三个半圆， 三个半圆的面积分别为S1,S2,S.若S1+S2=S3, 判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由 (第2题) 2.由S,+S,=S,得日mAB+日mBC2=gπAC,即AB+BC2=AC,报据勾 股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形 利用勾股定理的逆定理，可以解决一些实际问题， 例21如图20.2-3，港口P位于东西方向的海 AN 岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港 口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航 行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它 们离开港口1.5h后分别位于点Q,R处，且相距 30 n mile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海 图20.2-3 天”号沿什么方向航行？ 分析：在图20.2-3中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出 两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了 解：根据题意， PQ=16×1.5=24, PR=12×1.5=18, QR=30. 由边长的裁量关系， 判定直角三角形 因为242+182=302，即PQ2+PR=QR2,所以∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号 沿西北方向航行. 36教材笔记数学八年级下册RJ 可以综合运用勾股定理及其逆定理解决问题· 例31如图20.2-4，在四边形ABCD中，AB= D 5,BC=3,AD=号，DC=号.如果AC1BC,判 B 断AC与AD是否也垂直，并说明理由. 图20.2-4 分析：若能求出AC的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD是不 是直角三角形，从而判断AC是否垂直于AD. 解：因为AC⊥BC,所以∠ACB=90°.利用边的关系判定直角三角形的步骤： (1)我：我出三角形三边中的最长边 在Rt△ABC中， (2)算：计算其他两边的平方和与最 AC2=AB2-BC2=52-32=16 长边的平方. (3)判：若两者相等，则这个三角形 所以AC=4. 是直角三角形，否则不是· 在△ACD中， 4C+A02=4+(停)P=19,cD2=(号)2=12， 所以AC2+AD=CD2. 因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD. 练习 1.A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B 地的什么方向？1.C地在B地的正北方向. 5km 13km B 12 km (第1题) (第3题) 2.高师傅有5根长度（单位：dm)分别为a=6,b=8,c=10,d=24, =26的钢条，准备选3根焊接一个直角三角形钢架.请你帮高师傅找出 所有可能的钢条组合.2.所有可能的钢条组合有：6,8,10；10,24,26. 3.如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B= 90°.求四边形ABCD的面积. 3.36提示：先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出 △ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可 第二十章勾股定理 3> 习题20.21 复习巩固 1.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a=9,b=40,c=41;是 (2)a=41,b=4,c=5;是 (3)a=吾，b=1,c=年：是. 3 （4)a=40,b=50,c=60.不是. 2.已知三条线段的长分别为6,10，x,以这三条线段为边，恰好可以构成一个 直角三角形，求x.2.8或234. 因未明确长为x的边是直角 >边还是斜边，故需分类过诊 3.刘伟先向东走了80m,然后换了一个方向走了60m,再换第三个方向走于 100m,此时恰好回到原地.刘伟向哪个方向走了60m？请说明理由.C >刘伟走的路线恰好是一个三角形 100m 60m 3.如图，AB=80m,BC=BD=60m,AC=AD=100m.根 80m B 据802+60=1002，得∠ABC=∠ABD=90°，故刘伟向 正北方向或向正南方向走了60m. 100m 60m 综合运用 4.在△ABC中，AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12.求AC的长 4.BC边上的中线是AD,且BC=10,BD=DC=2×10=5.在△ABD中， BD2+AD2=52+122=169,AB2=132=169,BD2+AD=AB2,.△ABD是直角三角 形，且∠ADB=90°，∠ADC=180°-∠ADB=90°·在Rt△ADC中，由勾股定理， 得AC2=AD2+DC2=122+52=132,.AC=13,即AC的长是13 5.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点， 且CF=子CD.求证LAEF=90°. 5.设AB=4a,则BE=EC=2a,CF=a,DF=3a,AD=4a.在Rt△4BE中， AE2=AB2+BE2=（4a)2+（2a）2=20a2.同理，EF2=5a2,AF2=25a2, B ∴.AE2+EF2=AF2,.△AEF为直角三角形，且∠AEF=90° (第5题) 拓广探索 6.我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4,5k(k是正整数)也是一组 勾股数吗？一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck(k是正整 数)也是一组勾股数吗？女须是正整鬟 6(3k)2+(4h)2=252=(5k)2,.3,4,5k(k是正整数)也是一组勾殷数. :a,b,c是一组勾股数，a2+b2=c2,.（ak)2+(bk)2=a22+b2%2=（a2+b2)k2= c22=（ck)2,ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数. 38 教材笔记数学八年级下册RJ 女图说数学史 数学瑰宝一勾股定理 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的 一枚璀璨瑰宝.那么，这枚瑰宝从何而来？在众多古代数学文明中都可觅得其 踪迹 《周髀算经》中记载了勾股定理，商高指出了 “勾三股四弦五”这一勾股定理的特殊形式，陈子 测日的方法“若求邪至日者，以日下为勾，日高为 股.勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”是对 勾股定理一般形式的明确表述， 约公元前1700年 的古巴比伦泥版上， 记载了多组由楔形文 字表示的勾股数. 商高（约公元前11世纪) 《原本》第一卷的 命题47即勾股定理： 在直角三角形中，直 在古印度的《测绳 角所对边上的正方形 的法规》中，记载着勾股 面积等于两直角边上 定理与几组勾股数，这些 的正方形面积之和.命 知识用于建造施工时确定 题48是勾股定理的逆 直角，勾股定理在其中的 定理，欧几里得对这 表述为：以矩形对角线为 两个定理都进行了严 边的正方形面积，等于分 《原本》阿拉伯文译本 格的证明. 别以矩形两邻边为边的正 方形面积之和. 第二十章 勾股定理 39 在各大古代数学文明中熠熠生辉的勾股定理，因其巧妙地将“数”与 “形”关联在一起，从而为数学的发展提供了动力. 在我国古代数学发 古希腊时期，数学家 展的历程中，勾股定理 证明了边长为1的正方形的 具有很强的应用性·如 对角线不能表示为两个整数 用于计算圆周率的割圆 2 的比，证明过程中就用到了 术，其理论基础都包括 勾股定理，这为人类更好地 勾股定理· 认识数学，促进数学的发展 提供了机遇. 勾 弦 勾股定理是 0 中国古代数学发 展的一个出发点 第一次使用勾股定理 小弦 小股 小勾 吴文俊 第二次使用勾股定理 (1919-2017) 在平面解析几何中，通过勾股定理得到任意两 YA B(xB,yB) 点A,B之间的距离d=(x-)2+（yg-yA)严， YB-YA 勾股定理成为解析几何发展中必不可少的基础性工 具.而在定义一些更高维度空间中两点间的距离时， xBXA目 A(xA,yA) 也常使用勾股定理或其变形作为一种重要的刻画距 离的方式. 勾股定理的发现离不开人的思考，更离不开人们对数学真理的追求.勾 股定理这一数学瑰宝，既是存在于客观世界中的数学真理，也是在人类智慧 “浇灌”下，数学领域中绽放出的一朵思维之花 40 教材笔记数学八年级下册RJ