第二章 4 一元一次不等式组-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

元一次不等式组 某学校举办春季运动会，八（1)班承担制作彩旗的任务，计划用4天的 课余时间制作彩旗。如果每天比原计划多制作5面，那么所制作彩旗总量将 超过124面；如果每天比原计划少制作6面，那么所制作彩旗总量将不足96面。 设八(1)班原计划每天制作x面彩旗，你能列出哪些不等式？ 不等关系 不等关系 根据题意，可以得到不等式4(x+5)>124,4(x-6)<96,其中x所代 表的对象相同，因此：必须同时满足这两个不等式。把它们合在一起，就组成 一个一元一次不等式组 美似于方程组，用大括号把两个或画个以上一无元次不等式 合起来，组成一个一元一次不等式组 4(x+5)>124, (*) 4（x-6)<96 一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 一元一次不等式组（system of linear inequalities with one unknown)。 尝试·交流 (1)在习题2.1第9题中，如果要配制的饮料同时满足两个小题的条件， 那么你能列出一个不等式组吗？ (2)你能尝试找出符合上面一元一次不等式组(*)的未知数的值吗？与 同伴进行交流。 同时满是不等式组中的每一个不等式的解集 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不 等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫作解不等式组。 求不等式组的解集的速记口诀：同大取大，同小取小， 大小小大中间我，大大小小无解了。 例1 解不等式组： 2x-1>-x, ① 1 x<3。 ② 2 第二章不等式与不等式组 65 解：解不等式①，得 x> 解不等式②，得 x<6。 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图2-9所示。 利用数轴可以 直观地确定两 个不等式解集 01 12 3 4567 的公共部分 图2-9 解一元一次不等式组的步骤如下。 第一步：分别求出不等式组中各不 因此，原不等式组的解集为 等式的解集。 <x<6。 第二步：将各不等式的解集在数轴 3 上表示出来。 第三步：在数轴上我出各不等式的 解集的公共部分，这个公共部分就 例2 解不等式组： 是不等式组的解集。 5x-2>3（x+1), ① 3x-1≥7- -x。 ② 解：解不等式①，得 5 x> 解不等式②，得 x≥4。 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图2-10所示。 0 5 2 图2-10 因此，原不等式组的解集为 x≥4。 66教材笔记数学八年级下册BS 尝试·思考 是否存在实数x,使得x+3<5,且x-2>4？你能得到什么结论？ 之不存在。 随堂练习 1.解下列不等式组： 2x>1,1.(1)7<x<3 +1<2(x-1),(2)x>3。 (1) (2) 2 x-3<0; >+2 3 2.解答本节一开始提出的“制作彩旗”问题。2.26<x<30。 阅读·思考 一元一次不等式组的应用 在以前的学习中，我们曾经利用方程（组）解决了许多实际问题；在 本章我们又学习了用一元一次不等式解决一些实际问题。其实，用一元一 次不等式组也可以解决一些实际问题。》注意统一单位← 人的头发每天大约生长0.32mm。小红的头发现在大约有10cm长， 那么大约经过多长时间，她的头发才能生长为16cm到28cm? 分析与解：这个问题中的不等关系是 16cm≤小红若千天后的头发长度≤28cm。 小红的头发现在长度为10cm,每天大约生长0.32mm,如果设经过x 天小红的头发可以生长为16cm到28cm,那么经过x天她的头发长度为 (100+0.32x)mm。于是，可得 160≤100+0.32x≤280。 解这个不等式组，得187.5≤x≤562.5。 因此，大约需要188天到562天，小红的头发才能生长为16cm到 28 cmo 第二章 不等式与不等式组 67 习题2.4 >知识技能 1.解下列不等式组： (1)x-5<1, [2x-5>0, 2x>3:1(1)号<x<6。 (2) (2)x>40 3-x<-1; (3) ∫-2x≥0(3)x≤-号 +1>1, (4) 2 (4)x>1。 3x+5≤0； 7x-8<9x; 2x+5≤3(x+2), 0.2x>0.3x+1, (5) (5)-1≤x<3。 (6) 6)x<-10。 3 0.5x-1<0.2。 >数学理解 7 7 x> )x> 2 3x-7>x, 2.不等式3x7>x的解集、不等式2-5x<2x的解集与不等式组 2-5x<2x 的解集之间有什么关系？ 2.两个不等式的解集是各自独立的取值范围，而不等式组的解集是这两个不等式 的解集的公共部分。 x>3, ※3.已知一元一次不等式组 的解集为x>3,求a的取值范围。3.a≤3。 (x>a 4.小明、小华、小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组。 小明：它的所有解为非负数。：≥0 小华：其中一个不等式的解集为x≤8。 小刚：其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向。 请你试着写出符合上述条件的不等式组，并解这个不等式组。 4.了8-x≥0，（答来不唯一）解这个不等式组，得0≤x≤8。 >问题解决 (x≥0。 ※5.一台装载机每小时可装载石料50t。一堆石料的质量为1800t到2200t,那 么这台装载机大约要用多长时间才能将这堆石料装完？ 5.36h至44h 6.已知两根木条的长分别为3dm,7dm,现再选一根木条，用这三根木条围成 一个三角形木架，请写出所选木条的长度应满足的不等式组，并写出它的解 集。 6.略。 68教材笔记数学八年级下册BS