培优专题14电磁感应中的动量问题 讲义-2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

高中物理人教版选择性必修二教案 第二章 电磁感应 培优专题14 电磁感应中的动量问题 学习目标 1. 对导体棒切割磁感线的变速运动，会将运动分割为微小时间段，应用动量定理列出相关方程，分析解决电磁感应的有关问题。 2. 会应用动量守恒定律分析解决电磁感应的有关问题。 能量提升1　动量定理在电磁感应中的应用 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解. （1）单棒＋水平导轨 情境示例1 水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来 求电荷量q －BLΔt＝0－mv0，q＝Δt，联立解得q＝ 求位移x －Δt＝0－mv0，x＝Δt＝ 应用技巧 初、末速度已知的变加速运动，在用动量定理列出的式子中q＝Δt，x＝Δt；若已知q或x也可求末速度或初速度 （2）单棒＋倾斜导轨 情境示例2 间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，当通过横截面的电荷量为q或下滑位移为x时，速度达到v 求运动时间 －BLΔt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，q＝Δt，－Δt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，x＝Δt 应用技巧 用动量定理求时间需有其他恒力参与.若已知运动时间，也可求q、x、v中的任一个物理量 【典例1】.[2023湖南]如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B.现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R.运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g. （1）先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v0； （2）在（1）问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a0； （3）在（2）问中，从棒b释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx. 答案　（1）v0＝　（2）a0＝2gsinθ　（3）v＝gt0sinθ＋　Δx＝ 解析　（1）棒a匀速运动时，对棒a受力分析，由平衡条件有 mgsinθ＝BI1L 由法拉第电磁感应定律有E1＝BLv0 由闭合电路欧姆定律有I1＝ 联立解得v0＝ （2）当棒a匀速运动时，由静止释放棒b，分析可知，棒b受到沿导轨向下的安培力，则释放棒b的瞬间，对棒b，由牛顿第二定律有 mgsinθ＋BI1L＝ma0 又BI1L＝mgsinθ 解得a0＝2gsinθ （3）释放棒b后，由于棒b中产生的感应电动势对于回路来说，与棒a中产生的感应电动势方向相反，所以两棒所受安培力均减小，对棒a，由动量定理有 （mgsinθ－BL）t0＝mv－mv0 对棒b，由动量定理有 （mgsinθ＋BL）t0＝mv 联立解得v＝gt0sinθ＋ 设棒a速度为vi时产生的感应电动势为Ei，则Ei＝BLvi 同理设棒b速度为vj时产生的感应电动势为Ej，则 Ej＝BLvj 棒中电流为I＝＝ 两棒所受安培力的大小均为F＝BIL＝ 对棒b，由动量定理有[mgsinθ＋]Δt＝mΔv 对方程两侧求和，即Σ[mgsinθ＋]Δt＝ΣmΔv 注意到ΣΔt＝t0，Σ（vi－vj）Δt＝Δx，ΣΔv＝v 解得Δx＝. 【典例2】.[2023北京]如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出.线框的边长小于磁场宽度.下列说法正确的是（　D　） A.线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向 B.线框出磁场的过程中做匀减速直线运动 C.线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等 D.线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 解析 线框进入磁场→线框右侧切割磁感线电流方向为逆时针方向，A错 线框进、出磁场的过程中，F安为阻力→v↓→F安↓→线框进、出磁场的过程均为加速度减小的减速运动，B错 线框进、出磁场的两过程中ΔΦ相同，q相同，D对 安培力的冲量I安＝Bl·ΔtI安＝Blq 线框进入磁场瞬间速度为v1，完全进入磁场速度为v2 线框离开磁场瞬间速度为v3 v1＋v2＞v2＋v3且v1－v2＝v2－v3，则Q1＞Q2，C错 一题多解　由楞次定律可知线框进磁场的过程中电流方向为逆时针方向，出磁场的过程中电流方向为顺时针方向，A错；对线框进行受力分析，线框在进、出磁场时会受到安培力的作用，安培力均为阻力，线框全部在磁场中时不受安培力的作用，故线框在进、出磁场的过程中会做减速运动，全部在磁场的过程中做匀速运动，又F安＝BIl，I＝，E＝Blv，则F安＝，故线框进、出磁场的过程中所受安培力在减小，做加速度减小的减速运动，B错；Q＝·l＝，且结合B项的分析可知＞，故线框在进磁场的过程中产生的热量大于在出磁场的过程中产生的热量，C错；结合公式q＝Δt、＝、＝Bl可得q＝，又线框进、出磁场过程中的位移Δt均为线框边长l，故线框进、出磁场过程中通过导线横截面的电荷量相等，D对. 答案 D 能力提升2　动量守恒定律在电磁感应中的应用 在双金属棒切割磁感线的系统中,双金属棒和导轨构成闭合回路,安培力为系统内力,如果两安培力等大反向,则系统受到的外力的合力为0,则满足动量守恒条件,运用动量守恒定律求解比较方便。这类问题可以从以下三个观点来分析: (1)力学观点:如果光滑轨道间距恒定,通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动,而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动,最终两金属棒以共同的速度匀速运动。 (2)动量观点:如果光滑导轨间距恒定,则两个金属棒的安培力大小相等、方向相反, 通常情况下系统的动量守恒。 (3)能量观点:其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。 【典例3】如图所示,两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻),由一段圆弧部分与一段无限长的水平部分组成,其水平部分加有竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B,导轨水平部分静止放置一金属棒cd,质量为2m,电阻为2r。另一质量为m、电阻为r的金属棒ab,从圆弧部分M处由静止释放滑至N处进入水平部分,棒与导轨始终垂直且接触良好,圆弧部分MN半径为R,所对圆心角为60°,重力加速度为g。求: (1)ab棒在N处进入磁场区时的速度和此时棒中的电流; (2)cd棒能达到的最大速度; (3)cd棒由静止到最大速度过程中,系统所能释放的热量。 答案　(1)　　(2)　(3)mgR 解析　(1)ab棒由M下滑到N的过程中机械能守恒,则mgR(1-cos 60°)=mv2 解得v= 进入磁场区瞬间,回路中产生的感应电流为 I==。 (2)ab棒在安培力作用下做减速运动,cd棒在安培力作用下做加速运动,当两棒达到相同速度v'时,电路中电流为零,安培力为零,cd棒达到最大速度。ab、cd两棒组成的系统动量守恒,由动量守恒定律得 mv=(2m+m)v' 解得v'=。 (3)由能量守恒定律知,系统释放的热量应等于系统机械能的减少量,则 Q=mv2-×(2m+m)v'2 解得Q=mgR 【典例4】[2023全国甲]如图，水平桌面上固定一光滑U形金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计.导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上.导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v0的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间极短.碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点.P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行.不计空气阻力.求 （1）金属棒P滑出导轨时的速度大小； （2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量； （3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间. 答案　（1）v0　（2）m　（3） 解析　（1）Q与P发生弹性碰撞，由动量守恒定律有 3mv0＝mvP＋3mvQ 由机械能守恒定律有 ×3m＝m＋×3m 联立解得vQ＝v0，vP＝v0 根据题述，P、Q落到地面上同一地点，结合平抛运动规律可知，金属棒P滑出导轨时的速度大小为 v'P＝vQ＝v0 （2）由能量守恒定律可得，金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量为 Q＝m－mv＝m （3）P在导轨上做变速运动，设速度大小为v时金属棒中产生的感应电动势大小为e，电流大小为i，在Δt时间内速度变化Δv，则由法拉第电磁感应定律有e＝Blv 由闭合电路欧姆定律有i＝ 金属棒P所受的安培力F＝Bil＝ 由动量定理有－FΔt＝mΔv 即－Δt＝mΔv 方程两侧求和得∑－Δt＝∑mΔv 即－∑vΔt＝m∑Δv 注意到∑vΔt＝x，∑Δv＝v'P－vP＝－v0 联立解得x＝ 对绝缘棒Q有x＝vQt 解得与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间为 t＝. 课后巩固训练 基础对点练 题组一　动量定理在电磁感应中的应用 1.(多选)(2025·云南保山高二期末)如图所示,在竖直平面内有两根相互平行、电阻忽略不计的光滑金属导轨(足够长),两平行金属导轨间的距离L=0.4 m,在导轨间接有阻值R=2.0 Ω的电阻,一根质量为m=0.4 kg的金属棒ab垂直导轨放置其上,金属棒的电阻r=1.0 Ω。整个装置处于垂直导轨所在平面的匀强磁场中,磁感应强度B=5 T、方向垂直于导轨所在平面向里。现让金属棒沿导轨由静止开始运动(金属棒始终与导轨良好接触),金属棒下滑高度为h=1.2 m时恰好能达到最大速度,重力加速度为g=10 m/s2。则(　　) A.金属棒由静止先匀加速运动、后匀速运动 B.金属棒能达到的最大速度为3 m/s C.金属棒由静止下滑1.2 m所用时间为0.8 s D.由静止开始到达到最大速度的过程中,通过电阻R的电荷量为0.8 C 答案　BD 解析　金属棒向下运动过程在竖直方向上受到竖直向下的重力和竖直向上的安培力,安培力从零开始不断增大,所以金属棒由静止开始做加速度减小的加速运动,当安培力与重力大小相等时,加速度为零,金属棒的速度达到最大值,之后金属棒做匀速运动,故A错误;由平衡条件有mg=I1LB,其中I1=,解得v1=3 m/s,故B正确;平均感应电动势为E==,平均电流为=,Q=·Δt,解得Q=0.8 C,故D正确;金属棒由静止下滑1.2 m过程中,根据动量定理可得mgt-LB·Δt=mv,其中Q=·Δt,联立解得t=0.7 s,故C错误。 2.(动量定理在电磁感应中的应用)如图所示,竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中,两根质量相同的导体棒a和b与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定a、释放b,当b的速度达到10 m/s时,再释放a,经过1 s后,a的速度达到12 m/s,g取10 m/s2,则此时b的速度大小为(　　) A.10 m/s B.12 m/s C.18 m/s D.8 m/s 答案　C 解析　当b棒先向下运动时,在a棒和b棒以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流,于是a棒受到向下的安培力,b棒受到向上的安培力,且二者大小相等,释放a棒后,经过时间t,分别以a棒和b棒为研究对象,根据动量定理,有(mg+F)t=mva,(mg-F)t=mvb-mv0,联立解得vb=18 m/s,故C正确。 3. (2025·黑龙江哈尔滨期末)在光滑的水平面上,有一个边长为L的正方形金属框,电阻为R,质量为m。金属框以速度v0向右匀速运动,进入MN右侧磁感应强度为B的匀强磁场区域,磁场方向垂直于金属框平面。从开始进入磁场到金属框的一半进入磁场的过程中(还未停止),下列说法正确的是(　　) A.金属框仍做匀速直线运动 B.最小速度为v0- C.金属框中产生的焦耳热为m D.通过金属框的电荷量为 答案　B 解析　金属框的一半进入磁场的过程中,通过金属框的磁通量增加,金属框中产生感应电流,金属框受安培力作用做减速运动,故A错误;金属框中产生感应电动势为E=BLv,感应电流大小为I=,安培力大小为F安=ILB=,由于金属框做减速运动,在金属框的一半进入磁场时速度最小,对金属框由动量定理得-F安t=mv-mv0,则-∑vt=mv-mv0,解得v=v0-,故B正确;金属框中产生的焦耳热等于金属框克服安培力所做的功,小于m,故C错误;通过金属框的电荷量为q=Δt,又=,=,解得q==,故D错误。 4. 如图所示,水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ,两导轨间距为L,导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻,导体杆ab质量为m、电阻也为R,并始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0,使杆向右运动,最终ab杆停止在导轨上。下列说法正确的是(　　) A.ab杆将做匀减速运动直到静止 B.ab杆速度减为时,ab杆加速度大小为 C.ab杆速度减为时,通过定值电阻的电荷量为 D.ab杆速度减为时,ab杆通过的位移为 答案　B 解析　ab杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培力,安培力大小为FA=,加速度大小为a==,由于速度减小,所以ab杆做加速度减小的减速运动直到静止,故A错误;当ab杆的速度为时,安培力大小为F=,所以加速度大小为a'==,故B正确;对ab杆,由动量定理得-LB·Δt=m-mv0,即BLq=mv0,解得q=,所以通过定值电阻的电荷量为,故C错误;由q==,解得ab杆通过的位移x==,故D错误。 5. 如图所示,长为d、质量为m的细金属杆ab,用长为L的细线悬挂后,恰好与水平光滑的平行金属导轨接触,平行金属导轨间距也为d,导轨平面处于竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中。闭合开关S后,细金属杆ab向右摆起,悬线的最大偏角为θ。重力加速度为g,则闭合开关的短时间内通过细金属杆ab的电荷量为(　　) A. 　 B. C. 　 D. 答案　C 解析　金属棒摆起过程由动能定理得mgL(1-cos θ)=mv2,合上开关的瞬间,由动量定理得F安Δt=mv,又有F安=IdB,q=IΔt,联立解得q=,A、B、D错误,C正确。 题组二　动量守恒定律在电磁感应中的应用 6. (2025·山东青岛高二期中)如图,水平面上有两条足够长的光滑平行导轨EF、GH,导轨间距为l,垂直于导轨平行地放有两根完全相同的金属杆a和b。已知两杆质量为m,导轨电阻不计,空间存在垂直轨道平面向上的匀强磁场B。开始时a、b两杆处于静止状态,现给b杆水平向右的初速度v0,在此后的整个过程中,下列说法正确的是(　　) A.两杆最终的速度大小相等,方向相反 B.两杆受到安培力的冲量相同 C.a杆产生的焦耳热为 D.通过b杆某横截面的电荷量为 答案　D 解析　两杆组成的系统动量守恒,则有mv0=2mv,解得v=,由此可知两杆最终的速度大小相等,方向相同,故A错误;两杆受到安培力大小相等,方向相反,则冲量方向不同,故B错误;根据能量守恒定律有Q=m-×2mv2,则a杆产生的焦耳热为Q'=Q=,故C错误;对b杆,根据动量定理有-lB·t=0-mv,其中q=t,解得q=,故D正确。 7.(多选)如图,方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨,两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上,t=0时,棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中,ab、cd始终与导轨垂直且接触良好,两者速度分别用v1、v2表示,回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是(　　) 答案　AC 解析　以两导体棒为研究对象,在导体棒运动过程中,两导体棒所受的安培力大小相等,方向相反,且不受其他水平外力作用,在水平方向两导体棒组成的系统动量守恒,对系统有mv0=2mv,解得两导体棒运动的末速度为v=v0,棒ab做变减速运动,棒cd做变加速运动,稳定时两导体棒的加速度为零,一起向右做匀速运动,选项A正确,B错误;ab棒和cd棒最后做匀速运动,棒与导轨组成的回路磁通量不变化,不会产生感应电流,选项C正确,D错误。 8.(多选)如图所示,两电阻可以忽略不计的平行金属长直导轨固定在水平面上,相距为L,另外两根长度为L、质量为m、电阻为R的相同导体棒垂直静置于导轨上,导体棒在长导轨上可以无摩擦地滑动,导轨间存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B,某时刻使导体棒a获得大小为v0、水平向右的初速度,同时使导体棒b获得大小为2v0、水平向右的初速度,下列结论正确的是(　　) A.该时刻回路中产生的感应电动势为3BLv0 B.该时刻导体棒a的加速度为 C.当导体棒a的速度大小为时,导体棒b的速度大小也是 D.运动过程中通过导体棒a的电荷量的最大值qm= 答案　BCD 解析　根据右手定则可知两根导体棒切割磁感线产生的感应电动势方向相反,故该时刻回路中产生的感应电动势E=BL·2v0-BLv0=BLv0,A错误;在该时刻,回路中的感应电流I==,导体棒a所受安培力大小F=ILB,根据牛顿第二定律F=ma,可得a=,B正确;由于两导体棒整体在水平方向动量守恒,当导体棒a的速度大小为时,根据动量守恒定律得m·2v0+mv0=m·+mv1,解得v1=,C正确;由上解析知v共=,对a由动量定理有Δt=mv共-mv0,而=LB,通过导体棒a的电荷量的最大值qm=Δt=,D正确。 9.(动量守恒定律在电磁感应中的应用)如图所示,两根光滑的导轨平行放置。导轨的水平部分放在绝缘水平面上,水平部分所在空间有竖直向上的磁场,磁感应强度为B。导轨的水平部分和倾斜部分由光滑圆弧连接。两根完全相同的金属棒ab和cd质量均为m,接入电路的电阻均为R,将cd置于导轨的水平部分与导轨垂直放置,将ab置于导轨的倾斜部分与导轨垂直放置,ab离水平面的高度为h,重力加速度为g,现将ab由静止释放,求: (1)cd棒最终的速度大小; (2)整个过程中产生的焦耳热Q。 答案　(1)　(2)mgh 解析　(1)ab棒滑下过程机械能守恒,有 mgh=m 解得v1= ab棒和cd棒组成的系统动量守恒,有 mv1=2mv2 解得v2=。 (2)整个过程中产生的焦耳热 Q=m-×2m=mgh。 2 综合提升练 10.(2025·北京东城高二期末)如图所示,PQ和MN是固定于水平面内的平行光滑金属轨道,轨道足够长,其电阻忽略不计。质量均为m的金属棒ab、cd放在轨道上,始终与轨道垂直且接触良好。两金属棒的长度恰好等于轨道的间距,它们与轨道形成闭合回路。整个装置处在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。使金属棒cd得到初速度v0的同时,金属棒ab由静止开始运动,考虑两金属棒之后的运动过程(经过足够长时间,不考虑空气阻力),以下说法正确的是(　　) A.ab棒受到的冲量大小为,方向向左 B.cd棒受到的冲量大小为,方向向左 C.金属棒ab、cd组成的系统动量变化量为mv0 D.整个回路产生的热量为m 答案　B 解析　金属棒ab、cd组成的系统所受的合外力为零,系统动量守恒,即以后的运动过程中系统动量变化量为零,选项C错误;两棒最终共速,设向右为正向,由动量守恒定律,则mv0=2mv,对ab棒由动量定理Iab=mv-0,解得Iab=mv0,方向向右;对cd棒由动量定理Icd=mv-mv0,解得Icd=-mv0,方向向左,选项B正确,A错误;由能量守恒定律知,整个回路产生的热量为Q=m-×2mv2=m,选项D错误。 11.(多选)如图所示,倾角为θ=37°的足够长的平行金属导轨固定,两导体棒ab、cd垂直于导轨放置,空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场,磁感应强度大小为B。现给导体棒ab沿导轨平面向下的初速度v0使其沿导轨向下运动,已知两导体棒质量均为m,电阻相等,两导体棒与导轨之间的动摩擦因数均为μ=0.75,导轨电阻忽略不计,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。从ab开始运动到两棒相对静止的整个运动过程中两导体棒始终与导轨保持良好的接触,且不相撞,下列说法正确的是(　　) A.导体棒cd中产生的焦耳热为m B.导体棒cd中产生的焦耳热为m C.当导体棒cd的速度为v0时,导体棒ab的速度为v0 D.当导体棒ab的速度为v0时,导体棒cd的速度为v0 答案　BD 解析　由于mgsin 37°=μmgcos 37°,所以两棒组成的系统沿导轨方向动量守恒,当最终稳定时,有mv0=2mv,解得v=0.5v0,回路产生的焦耳热为Q=m- ×2mv2=m,导体棒cd中产生的焦耳热为Qcd=Qab=Q=m,选项A错误,B正确;当导体棒cd的速度为v0时,由动量守恒定律得mv0=m·v0+mvab,解得vab=v0,选项C错误;当导体棒ab的速度为v0时,由动量守恒定律得mv0=m·v0+mvcd,解得vcd=v0,选项D正确。 12.如图所示,空间存在一竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B,水平面内有两根固定的足够长的光滑平行金属导轨,导轨间距为l。在导轨上面平放着两根平行的导体棒ab和cd,质量分别是2m和m,电阻分别是R和2R,其余部分电阻可忽略不计。初始时刻cd棒静止,给ab棒一个向右的初速度v0,则: (1)从开始运动到最终稳定,电路中产生多少电能? (2)从开始运动到最终稳定,两棒之间的距离减少了多少? 答案　(1)m　(2) 解析　(1)设两棒稳定时共同的末速度为v,由动量守恒定律,得2mv0=(2m+m)v 由能量守恒定律,得 ×2m=(2m+m)v2+E 联立解得E=m。 (2)从开始运动到最终稳定,设两棒之间减少的距离为Δx,由法拉第电磁感应定律得,电路中产生的平均感应电动势为== 这段时间内回路电流的平均值为 = 对cd棒应用动量定理, 得lBΔt=mv 联立解得Δx=。 培优加强练 13..如图所示，水平金属导轨P、Q间距为L，M、N间距为2L，P与M相连，Q与N相连，金属棒a垂直于P、Q放置，金属棒b垂直于M、N放置，整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中.现给棒a一大小为v0、水平向右的初速度，假设导轨都足够长，两棒质量均为m，在棒a的速度由v0减小到0.8v0的过程中，两棒始终与导轨接触良好且垂直.以下说法正确的是（　BC　） A.俯视时感应电流方向为顺时针方向 B.棒b的最大速度为0.4v0 C.回路中产生的焦耳热为0.1m D.通过回路中某一截面的电荷量为 答案 BC 解析　棒a向右运动，回路面积减小，根据楞次定律可知，俯视时感应电流方向为逆时针方向，A错误；在棒a的速度由v0减小到0.8v0的过程中，棒a减速，棒b加速，对棒a，由动量定理可得B·Lt＝BqL＝mv0－0.8mv0，对棒b，由动量定理可得B·2Lt＝mv，联立可得v＝0.4v0，q＝，B正确，D错误；根据能量守恒定律可得回路中产生的焦耳热为Q＝m－[m(0.8v0)2＋m(0.4v0)2]＝0.1m，C正确. 14 两足够长且不计电阻的光滑金属轨道如图甲所示放置,间距为d=1 m,在左端弧形轨道部分高h=1.25 m处放置一金属杆a,弧形轨道与平直轨道的连接处光滑无摩擦,在平直轨道右端放置另一金属杆b,杆a、b的电阻分别为Ra=2 Ω、Rb=5 Ω,在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度B=2 T。现杆b以初速度大小v0=5 m/s开始向左滑动,同时由静止释放杆a,杆a由静止滑到水平轨道的过程中,通过杆b的平均电流为0.3 A;从a下滑到水平轨道时开始计时,a、b运动的速度—时间图像如图乙所示,以a运动方向为正方向,a、b始终与导轨垂直且接触良好,其中ma=2 kg,mb=1 kg,g取10 m/s2。求: (1)杆a在弧形轨道上运动的时间; (2)杆a在水平轨道上运动过程中通过其截面的电荷量; (3)在整个运动过程中杆b产生的焦耳热。 答案　(1)5 s　(2) C　(3) J 解析　(1)设杆a由静止滑至弧形轨道与平直轨道连接处时杆b的速度大小为vb0,对杆b运用动量定理,有Bd·Δt=mb(v0-vb0) 其中vb0=2 m/s 代入数据解得Δt=5 s。 (2)在杆a由静止下滑到平直导轨上的过程中,由机械能守恒定律有magh=ma 解得va==5 m/s 设最后a、b两杆共同的速度为v',由动量守恒定律得 mava-mbvb0=(ma+mb)v' 代入数据解得v'= m/s 杆a动量的变化量等于它所受安培力的冲量,设杆a的速度从va到v'的运动时间为Δt',则由动量定理可得BdI·Δt'=ma(va-v') 而q=I·Δt' 代入数据得q= C。 (3)由能量守恒定律可知杆a、b中产生的焦耳热为 Q=magh+mb-(mb+ma)v'2= J 杆b中产生的焦耳热为Q'=Q= J。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理人教版选择性必修二教案 第二章 电磁感应 培优专题14 电磁感应中的动量问题 学习目标 1. 对导体棒切割磁感线的变速运动，会将运动分割为微小时间段，应用动量定理列出相关方程，分析解决电磁感应的有关问题。 2. 会应用动量守恒定律分析解决电磁感应的有关问题。 能量提升1　动量定理在电磁感应中的应用 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解. （1）单棒＋水平导轨 情境示例1 水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来 求电荷量q －BLΔt＝0－mv0，q＝Δt，联立解得q＝ 求位移x －Δt＝0－mv0，x＝Δt＝ 应用技巧 初、末速度已知的变加速运动，在用动量定理列出的式子中q＝Δt，x＝Δt；若已知q或x也可求末速度或初速度 （2）单棒＋倾斜导轨 情境示例2 间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，当通过横截面的电荷量为q或下滑位移为x时，速度达到v 求运动时间 －BLΔt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，q＝Δt，－Δt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，x＝Δt 应用技巧 用动量定理求时间需有其他恒力参与.若已知运动时间，也可求q、x、v中的任一个物理量 【典例1】.[2023湖南]如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B.现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R.运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g. （1）先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v0； （2）在（1）问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a0； （3）在（2）问中，从棒b释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx. 【典例2】.[2023北京]如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出.线框的边长小于磁场宽度.下列说法正确的是（　　） A.线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向 B.线框出磁场的过程中做匀减速直线运动 C.线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等 D.线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 能力提升2　动量守恒定律在电磁感应中的应用 在双金属棒切割磁感线的系统中,双金属棒和导轨构成闭合回路,安培力为系统内力,如果两安培力等大反向,则系统受到的外力的合力为0,则满足动量守恒条件,运用动量守恒定律求解比较方便。这类问题可以从以下三个观点来分析: (1)力学观点:如果光滑轨道间距恒定,通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动,而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动,最终两金属棒以共同的速度匀速运动。 (2)动量观点:如果光滑导轨间距恒定,则两个金属棒的安培力大小相等、方向相反, 通常情况下系统的动量守恒。 (3)能量观点:其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。 【典例3】如图所示,两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻),由一段圆弧部分与一段无限长的水平部分组成,其水平部分加有竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B,导轨水平部分静止放置一金属棒cd,质量为2m,电阻为2r。另一质量为m、电阻为r的金属棒ab,从圆弧部分M处由静止释放滑至N处进入水平部分,棒与导轨始终垂直且接触良好,圆弧部分MN半径为R,所对圆心角为60°,重力加速度为g。求: (1)ab棒在N处进入磁场区时的速度和此时棒中的电流; (2)cd棒能达到的最大速度; (3)cd棒由静止到最大速度过程中,系统所能释放的热量。 【典例4】[2023全国甲]如图，水平桌面上固定一光滑U形金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计.导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上.导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v0的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间极短.碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点.P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行.不计空气阻力.求 （1）金属棒P滑出导轨时的速度大小； （2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量； （3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间. 课后巩固训练 基础对点练 题组一　动量定理在电磁感应中的应用 1.(多选)(2025·云南保山高二期末)如图所示,在竖直平面内有两根相互平行、电阻忽略不计的光滑金属导轨(足够长),两平行金属导轨间的距离L=0.4 m,在导轨间接有阻值R=2.0 Ω的电阻,一根质量为m=0.4 kg的金属棒ab垂直导轨放置其上,金属棒的电阻r=1.0 Ω。整个装置处于垂直导轨所在平面的匀强磁场中,磁感应强度B=5 T、方向垂直于导轨所在平面向里。现让金属棒沿导轨由静止开始运动(金属棒始终与导轨良好接触),金属棒下滑高度为h=1.2 m时恰好能达到最大速度,重力加速度为g=10 m/s2。则(　　) A.金属棒由静止先匀加速运动、后匀速运动 B.金属棒能达到的最大速度为3 m/s C.金属棒由静止下滑1.2 m所用时间为0.8 s D.由静止开始到达到最大速度的过程中,通过电阻R的电荷量为0.8 C 2.(动量定理在电磁感应中的应用)如图所示,竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中,两根质量相同的导体棒a和b与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定a、释放b,当b的速度达到10 m/s时,再释放a,经过1 s后,a的速度达到12 m/s,g取10 m/s2,则此时b的速度大小为(　　) A.10 m/s B.12 m/s C.18 m/s D.8 m/s 3. (2025·黑龙江哈尔滨期末)在光滑的水平面上,有一个边长为L的正方形金属框,电阻为R,质量为m。金属框以速度v0向右匀速运动,进入MN右侧磁感应强度为B的匀强磁场区域,磁场方向垂直于金属框平面。从开始进入磁场到金属框的一半进入磁场的过程中(还未停止),下列说法正确的是(　　) A.金属框仍做匀速直线运动 B.最小速度为v0- C.金属框中产生的焦耳热为m D.通过金属框的电荷量为 4. 如图所示,水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ,两导轨间距为L,导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻,导体杆ab质量为m、电阻也为R,并始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0,使杆向右运动,最终ab杆停止在导轨上。下列说法正确的是(　　) A.ab杆将做匀减速运动直到静止 B.ab杆速度减为时,ab杆加速度大小为 C.ab杆速度减为时,通过定值电阻的电荷量为 D.ab杆速度减为时,ab杆通过的位移为 5. 如图所示,长为d、质量为m的细金属杆ab,用长为L的细线悬挂后,恰好与水平光滑的平行金属导轨接触,平行金属导轨间距也为d,导轨平面处于竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中。闭合开关S后,细金属杆ab向右摆起,悬线的最大偏角为θ。重力加速度为g,则闭合开关的短时间内通过细金属杆ab的电荷量为(　　) A. 　 B. C. 　 D. 题组二　动量守恒定律在电磁感应中的应用 6. (2025·山东青岛高二期中)如图,水平面上有两条足够长的光滑平行导轨EF、GH,导轨间距为l,垂直于导轨平行地放有两根完全相同的金属杆a和b。已知两杆质量为m,导轨电阻不计,空间存在垂直轨道平面向上的匀强磁场B。开始时a、b两杆处于静止状态,现给b杆水平向右的初速度v0,在此后的整个过程中,下列说法正确的是(　　) A.两杆最终的速度大小相等,方向相反 B.两杆受到安培力的冲量相同 C.a杆产生的焦耳热为 D.通过b杆某横截面的电荷量为 7.(多选)如图,方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨,两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上,t=0时,棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中,ab、cd始终与导轨垂直且接触良好,两者速度分别用v1、v2表示,回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是(　　) 8.(多选)如图所示,两电阻可以忽略不计的平行金属长直导轨固定在水平面上,相距为L,另外两根长度为L、质量为m、电阻为R的相同导体棒垂直静置于导轨上,导体棒在长导轨上可以无摩擦地滑动,导轨间存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B,某时刻使导体棒a获得大小为v0、水平向右的初速度,同时使导体棒b获得大小为2v0、水平向右的初速度,下列结论正确的是(　　) A.该时刻回路中产生的感应电动势为3BLv0 B.该时刻导体棒a的加速度为 C.当导体棒a的速度大小为时,导体棒b的速度大小也是 D.运动过程中通过导体棒a的电荷量的最大值qm= 9.(动量守恒定律在电磁感应中的应用)如图所示,两根光滑的导轨平行放置。导轨的水平部分放在绝缘水平面上,水平部分所在空间有竖直向上的磁场,磁感应强度为B。导轨的水平部分和倾斜部分由光滑圆弧连接。两根完全相同的金属棒ab和cd质量均为m,接入电路的电阻均为R,将cd置于导轨的水平部分与导轨垂直放置,将ab置于导轨的倾斜部分与导轨垂直放置,ab离水平面的高度为h,重力加速度为g,现将ab由静止释放,求: (1)cd棒最终的速度大小; (2)整个过程中产生的焦耳热Q。 2 综合提升练 10.(2025·北京东城高二期末)如图所示,PQ和MN是固定于水平面内的平行光滑金属轨道,轨道足够长,其电阻忽略不计。质量均为m的金属棒ab、cd放在轨道上,始终与轨道垂直且接触良好。两金属棒的长度恰好等于轨道的间距,它们与轨道形成闭合回路。整个装置处在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。使金属棒cd得到初速度v0的同时,金属棒ab由静止开始运动,考虑两金属棒之后的运动过程(经过足够长时间,不考虑空气阻力),以下说法正确的是(　　) A.ab棒受到的冲量大小为,方向向左 B.cd棒受到的冲量大小为,方向向左 C.金属棒ab、cd组成的系统动量变化量为mv0 D.整个回路产生的热量为m 11.(多选)如图所示,倾角为θ=37°的足够长的平行金属导轨固定,两导体棒ab、cd垂直于导轨放置,空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场,磁感应强度大小为B。现给导体棒ab沿导轨平面向下的初速度v0使其沿导轨向下运动,已知两导体棒质量均为m,电阻相等,两导体棒与导轨之间的动摩擦因数均为μ=0.75,导轨电阻忽略不计,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。从ab开始运动到两棒相对静止的整个运动过程中两导体棒始终与导轨保持良好的接触,且不相撞,下列说法正确的是(　　) A.导体棒cd中产生的焦耳热为m B.导体棒cd中产生的焦耳热为m C.当导体棒cd的速度为v0时,导体棒ab的速度为v0 D.当导体棒ab的速度为v0时,导体棒cd的速度为v0 12.如图所示,空间存在一竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B,水平面内有两根固定的足够长的光滑平行金属导轨,导轨间距为l。在导轨上面平放着两根平行的导体棒ab和cd,质量分别是2m和m,电阻分别是R和2R,其余部分电阻可忽略不计。初始时刻cd棒静止,给ab棒一个向右的初速度v0,则: (1)从开始运动到最终稳定,电路中产生多少电能? (2)从开始运动到最终稳定,两棒之间的距离减少了多少? 培优加强练 13..如图所示，水平金属导轨P、Q间距为L，M、N间距为2L，P与M相连，Q与N相连，金属棒a垂直于P、Q放置，金属棒b垂直于M、N放置，整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中.现给棒a一大小为v0、水平向右的初速度，假设导轨都足够长，两棒质量均为m，在棒a的速度由v0减小到0.8v0的过程中，两棒始终与导轨接触良好且垂直.以下说法正确的是（　　） A.俯视时感应电流方向为顺时针方向 B.棒b的最大速度为0.4v0 C.回路中产生的焦耳热为0.1m D.通过回路中某一截面的电荷量为 14 两足够长且不计电阻的光滑金属轨道如图甲所示放置,间距为d=1 m,在左端弧形轨道部分高h=1.25 m处放置一金属杆a,弧形轨道与平直轨道的连接处光滑无摩擦,在平直轨道右端放置另一金属杆b,杆a、b的电阻分别为Ra=2 Ω、Rb=5 Ω,在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度B=2 T。现杆b以初速度大小v0=5 m/s开始向左滑动,同时由静止释放杆a,杆a由静止滑到水平轨道的过程中,通过杆b的平均电流为0.3 A;从a下滑到水平轨道时开始计时,a、b运动的速度—时间图像如图乙所示,以a运动方向为正方向,a、b始终与导轨垂直且接触良好,其中ma=2 kg,mb=1 kg,g取10 m/s2。求: (1)杆a在弧形轨道上运动的时间; (2)杆a在水平轨道上运动过程中通过其截面的电荷量; (3)在整个运动过程中杆b产生的焦耳热。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $